当前位置:首页 >> 高三数学 >>

数系的扩充和复数的概念(合成)


第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数 的概念

问题提 出

1.数的概念产生和发展的历史进程: N 正分数 Q+ 正无理数 R+ 零和负数 R

数系每次扩充的基本原则: 第一、增加新元素; 第二、原有的运算性质仍然成立;
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.

问题提出

1 2.若 x + = 1 ,则 x
1 1 2 x + 2 = (x + ) - 2 = - 1. x x
2

对此你有什么困惑?

问题提 出

3.唯物辨证法认为,事物是发展变化的, 事物内部的矛盾运动是推动事物向前发 展的根本动力.由于实数的局限性,导致 某些数学问题出现矛盾的结果,数学家 们预测,在实数范围外还有一类新数存在,

还有比实数集更大的数系.

问题探 究

这与 x +

1 1 2 1、由 x + = 1 得 x + 2 = - 1, x x 1 2
x 方程x2-x+1=0无实根
2

> 0 矛盾的原因是什么?

2、方程x2-x+1=0无实根的根本原 因是什么? -1不能开平方

问题提 出

3、我们设想引入一个新数,用字母i表 示,使这个数是-1的平方根,即 i2 =-1,那么方程x2-x+1=0的根是什 么?

1 3 ± i 2 2

问题提 出

4、若x4=1,利用i2=-1,则x等于 什么? 1,-1,i,-i.

问题探 究

5、满足i2=-1的新数i显然不是实数, 称为虚数单位,根据数系的扩充原则, 应规定虚数单位i和实数之间的运算满 足哪些运算律? 乘法和加法都满足交换律、结合律, 乘法对加法满足分配律.

问题探 究

6、设a∈R,下列运算正确吗?
a?i ?i?a ai ? ia

i(a ? b) ? ia ? ib
1 i ? 2 ? ?i i i

i ? i ? i ? ?i
3 2

问题探 究

1、虚数单位i与实数进行四则运算, 可以形成哪种一般形式的数? a+bi(a,b∈R)

2、把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做 复数,全体复数所成的集合叫做复数集, 记作C,那么复数集如何用描述法表示? C={a+bi|a,b∈R}

问题探 究

3、复数通常用字母z表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式 叫做复数的代数形式,其中a与b分别 叫做复数z的实部与虚部,那么复数 z= 2-3i的实部和虚部分别是什么?

实部为 2 ,虚部为-3.

问题探 究

4、两个实数可以相等,两个复数也 可以相等,并且规定:a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)的充要条件是a=c 且b=d,那么a+bi=0的充要条件是 什么? a= b = 0

问题探 究

5、对于复数z=a+bi(a,b∈R) 当b=0时,z为什么数?由此说明实 数集与复数集的关系如何? 当b=0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.

问题探 究

6、对于复数z=a+bi(a,b∈R)当 b≠0时,z叫做虚数,当a=0且b≠0 时,z叫做纯虚数,那么虚数集与纯 虚数集之间如何? 纯虚数集是虚数集的真子集.

问题探 究

7、复数集、实数集、虚数集、纯虚 数集之间的关系用韦恩图怎样表示?
复数 纯虚数 实数 虚数

8、两个实数可以比较大小,一个实数与 一个虚数或两个虚数可以比较大小吗? 虚数不能比较大小.

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 虚数 b ? 0 ? ? ?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ?

典例讲 评

例1 实数m取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i分别是实数, 虚数和纯虚数? 当m=1时,z是实数; 当m≠1时,z是虚数;

当m=-1时,z是纯虚数.

练习1 设复数z=lg(m2–2m–2)+

(m2+3m+2)i,试求实数m取何 值时。 (1)z是纯虚数; (2)z是实数;

例2

设x,y∈R,并且

(2x–1)+xi=y–(3–y)i,求x, y。
解题总结:
复数相等 的问题
转化

求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想—转化思想

典例讲 评

练习 设复数z1=(x-y)+(x+3)i, z2=(3x+2y)-yi,若z1=z2,求实数x, y的值. x=-9,y=6.

课堂小 结

1.将实数系扩充到复数系是源于解 方程的需要,到十九世纪中叶已建立 了一套完整的复数理论,形成一个独 立的数学分支.

课堂小 结

2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾,并将实数集扩充到了复 数集,它使得任何一个复数都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形式.

课堂小 结

3.复数包括了实数和虚数,实数 的某些性质在复数集中不成立,如 x2≥0; 若x-y>0,则x>y等,今后 在数学解题中,如果没有特殊说明, 一般都在实数集内解决问题.

? 1.若方程 x +(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数m的 值. 2 2 ? 2.已知不等式 m -( m -3m)i 2 ? <10+( m -4m+3)i,试求实数m的值.

变式练习

2

误点警示:虚数不能比较大小!

3.1

数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义

复习巩固

1.虚数单位i的基本特征是什么?
(1)i2=-1; (2)i可以与实数进行四则运算,且原 有的加、乘运算律仍然成立. 2.复数的一般形式是什么?复数相 等的充要条件是什么? a+bi(a,b∈R); 实部和虚部分别相等.

复习巩固

3.复数集、实数集、虚数集、 纯虚数集之间的关系如何?
复数 纯虚数 实数 虚数

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。

?实数b ? 0 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ? 虚数 b ? 0 ? ? ?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ?

提出问题

4.实数与数轴上的点一一对应,从 而实数可以用数轴上的点来表示,这 是实数的几何意义,根据类比推理, 复数也应有它的几何意义.因此,探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.

问题探究

1、在什么条件下,复数z惟一确定?
给出复数z的实部和虚部 2、设复数z=a+bi(a,b∈R),以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 (a,b),那么复数z与有序实数对 (a,b)之间是一个怎样的对应关系? 一一对应

问题探 究

3、有序实数对(a,b)的几何意义是什 么?复数z=a+bi(a,b∈R)可以用什 么几何量来表示? y
b
Z : a + bi x
a

O

复数z=a+bi(a,b∈R)可以用直角 坐标系中的点Z(a,b)来表示.

形成结论

用直角坐标系来表示复数的坐标平面 叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做 虚轴.

形成结论

一般地,实轴上的点,虚轴上的点,各 象限内的点分别表示什么样的数?
y

实轴上的点表示实数,b 虚轴上的点除原点外 都表示纯虚数,各象 O 限内的点表示虚部不 为零的虚数.

Z : a+ bi

a

x

问题探究

1、用有向线段表示平面向量,向量的 大小和方向由什么要素所确定?
有向线段的始点和终点.

2、用坐标表示平面向量,如何根据向 量的坐标画出表示向量的有向线段?
以原点为始点,向量的 坐标对应的点为终点画 有向线段.
O
y (a , b) x

问题探究

3、在复平面内,复数z=a+bi(a, b∈R)用向量如何表示?
y

b
O a

Z : a+ bi

x

以原点O为始点,点Z(a,b)为终点的 uuu r 向量 OZ .

uuu r 4、复数z=a+bi(a,b∈R)可以用OZ 向量 uuu r
y

问题探究

表示,向量 OZ 的模叫做复数z的模,记作|z| 或|a+bi|,那么|a+bi|的计算公式是什么?
b
Z : a+ bi a

| a + bi |=

a +b

2

2

O

x

问题探究

5、设向量a,b分别表示复数z1,z2, 若a=b,则复数z1与z2的关系如何? 规定:相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|=1,|z|<1,则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么? 单位圆,单位圆内部.

典例讲评

例1 已知复数

z = log2 (m - 3m - 3) + i log2 (m - 3)
对应的点在直线x-2y+1=0上,求实数m 的值.

2

m =

15

典例讲评

例2 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1=1+2i,z2=-2+ i,z3=-1-2i,求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
y Z1

z 4=2 -i

Z2 O Z3 Z4 x

典例讲评

例3 设复数 z = log 1 x + 4i ,

若|z|≥5,求x的取值范围.

2

课堂小结

1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的,即 一一对应 复数z=a+bi 复平面内的点 Z ( a, b) 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的,即 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的向 uuu r 量 OZ

课堂小结

3.复数z=a+b i 与复平面内的点 uuu r Z(a,b)和向量OZ 是一个三角对应 关系,即
复数z=a+bi

点 Z(a , b)

uuu r 向量 OZ


赞助商链接
相关文章:
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念》教学设计 - 《数系的扩充和复数的概念》教学设计 课题:数系的扩充和复数的概念 教学目标: 1. 知识与技能:了解引进复数的必要性;...
3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)
3.1.1 数系的扩充与复数的引入 【教学目标】 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类 表; 2.理解复数的有关概念...
高中数学选修1-2常考题型:数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念 【知识梳理】 1.复数的定义 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i2=-1.全体复数所成的集 合 C 叫做...
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念 - 数系的扩充和复数的概念 【学习目标】1.准确记忆复数的基本概念; 2.明确复数的几何意义. 【学习重点】 复数的基本概念. 【学习难点...
数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念教案_理学_高等教育_教育专区。《§3.1.1 数系的扩充...的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化,分与合,实与虚等...
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念 - 第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。 教学重点:复数及其...
数系的扩充和复数的概念教学设计
3.1.1 数系的扩充和复数的概念(人教版) 华南师范大学 陈栩林 (仅供参考) 一、教学内容数系的三次扩充过程,复数的引入过程,复数概念的知识 二、教学目标知识不...
3.1.1数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1 数系的扩充与复数的概念 刘经纬 教学目标 知识与技能: 了解引进复数的必要性; 理解并掌握虚数的单位 i , 理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、...
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念 - 弘德中学 2017 年高二(下)数学学案(理) 编号:1 3.1 数系的扩充与复数的概念 一、学习目标:1、了解数系的扩充过程,掌握实数集扩展...
数系的扩充与复数概念随堂练习题
数系的扩充与复数概念随堂练习题 - 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1 数系的扩充和复数的概念练习题 一.选择题: 1.复数-2i 的实部与虚部是( )(A)0...
更多相关标签: