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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习提升3 苏教版选修1-2


数系的扩充与复数的引入 章末复习提升 3

1.复数的概念 (1)虚数单位 i;(2)复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R);(3)复数的实部、虚部、虚数与纯 虚数. 2.复数集 错误!错误! 3.复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R) (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; (2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; (4)除法: =

z1 z2

(a1a2 ? b1b2 ) ? (a1b2 ? a2b1 ) 2 2 a2 ? b2



a1a2+b1b2 a2b1-a1b2 2 + 2 i(z2≠0); a2 a2 2+b2 2+b2

(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况; (6)特殊复数的运算:i (n 为正整数)的周期性运算; (1±i) =±2i;
-12

n

1 3 3 2 若 ω =- ± i,则 ω =1,1+ω +ω =0. 2 2 4.共轭复数与复数的模 (1)若 z=a+bi,则 z =a-bi,z+ z 为实数,z- z 为纯虚数(b≠0). (2)复数 z=a+bi 的模|z|= a +b , 且 z· z =|z| =a +b . 5.复数的几何形式 (1)用点 Z(a,b)表示复数 z=a+bi(a,b∈R),用向量 O Z 表示复数 z=a+bi(a,b∈R),Z 称为 z 在复平面上的对应点,复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数 0). (2)
2 2 2 2 2



任何一个复数 z=a+bi 一一对应着复平面内一个点 Z(a,b),也一一对应着一个从原点出发 → 的向量OZ. 6.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 → → → → 若复数 z1、z2 对应的向量OZ1、OZ2不共线,则复数 z1+z2 是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的 → 对角线OZ所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 → → 复数 z1-z2 是连接向量OZ1、OZ2的终点,并指向 Z1 的向量所对应的复数.

题型一 分类讨论思想的应用 当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下 是实数、虚数、纯虚数.当 x+yi 没有说明 x,y∈R 时,也要分情况讨论. 例 1 已知复数 z=

a2-7a+6 2 +(a -5a-6)i(a∈R),试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为 a2-1

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解
?a -5a-6=0, ? (1)当 z 为实数时,则有? 2 ?a -1≠0, ?
2

-2-

∴?

?a=-1或a=6, ? ?a≠±1, ?

∴当 a=6 时,z 为实数.
2

? ?a -5a-6≠0, (2)当 z 为虚数时,则有? 2 ?a -1≠0, ?

∴?

?a≠-1且a≠6, ? ? ?a≠±1,

∴a≠±1 且 a≠6,

即当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.

a -5a-6≠0, ? ?a -7a+6 =0, (3)当 z 为纯虚数时,则有? a -1 ? ?a -1≠0,
2 2 2

2

∴?

? ?a≠-1且a≠6, ?a=6且a≠±1. ?

∴不存在实数 a,使 z 为纯虚数. 跟踪演练 1 当实数 a 为何值时,z=a -2a+(a -3a+2)i. (1)为实数; (2)为纯虚数; (3)对应的点在第一象限内; (4)复数 z 对应的点在直线 x-y=0 上. 解 (1)z∈R?a -3a+2=0,解得 a=1 或 a=2.
?a -2a=0, ? (2)z 为纯虚数,则? 2 ?a -3a+2≠0, ?
2 2 2 2

即?

? ?a=0或a=2, ?a≠1且a≠2. ?

故 a=0.
?a -2a>0, ? ? ?a -3a+2>0,
2 2

(3)z 对应的点在第一象限,则?
? ?a<0,或a>2, ?a<1,或a>2, ?

∴?

∴a<0,或 a>2. ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). (4)依题设(a -2a)-(a -3a+2)=0, ∴a=2. 题型二 数形结合思想的应用 数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.本章中,复数本身的几何意
2 2

-3-

义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉 及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数分别为 1+2i,-2+6i,OA∥

BC.求顶点 C 所对应的复数 z.


设 z=x+yi,x,y∈R,如图. ∵OA∥BC,OC=BA, ∴kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|, 2 y-6 ? ?1=x+2, 即? ? ? x2+y2= 32+(-4)2, 解得?
?x1=-5, ? ?y1=0 ?

或?

?x2=-3, ? ?y2=4. ?

∵OA≠BC, ∴x2=-3,y2=4(舍去), 故 z=-5. 跟踪演练 2 已知复数 z1=i(1-i) . (1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 解 (1)|z1|=|i(1-i) |=|i|·|1-i| =2 2.
3 3 3

(2)如图所示,由|z|=1 可知,z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1,圆心为 O(0,0)的圆, 而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2,-2). 所以|z-z1|的最大值可以看成是点 Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|z-z1|max=|z1|+r(r 为圆半径)=2 2+1. 题型三 转化与化归思想的应用 在求复数时,常设复数 z=x+yi(x,y∈R),把复数 z 满足的条件转化为实数 x,y 满足的条
-4-

件,即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要. 例 3 已知 z 是复数,z+2i, 均为实数,且(z+ai) 的对应点在第一象限,求实数 a 的 2-i 取值范围. 解 设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i 为实数,∴y=-2. 又

z

2

x-2i 1 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

z

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i 为实数, 5 5 ∴x=4.∴z=4-2i, 又∵(z+ai) =(4-2i+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i 在第一象限.
? ?12+4a-a >0, ∴? ?8(a-2)>0, ?
2 2 2 2

解得 2<a<6.

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 跟踪演练 3 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y) -3xyi=4-6i,求 x,y. 解 设 x=a+bi(a,b∈R),则 y=a-bi. 又(x+y) -3xyi=4-6i,
?4a =4, ? ∴4a -3(a +b )i=4-6i,∴? 2 2 ?a +b =2, ?
2 2 2 2 2 2

∴?

? ?a=1, ?b=1 ?

或?

? ?a=1, ?b=-1 ?

或?

? ?a=-1, ?b=1 ?

或?

? ?a=-1, ?b=-1. ?

∴?

?x=1+i, ? ?y=1-i ?

或?

?x=1-i, ? ?y=1+i ?

或?

?x=-1+i, ? ?y=-1-i ?

或?

?x=-1-i, ? ?y=-1+i. ?

题型四 类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法 类比多项式乘法,除法类比根式的分子分母有理化,且要注意 i =-1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i 的乘方:i =1,i (2)(1±i) =±2i; 1 3 1 3 2 2 2 3n 3n+1 (3)设 ω =- ± i,则 ω =1,ω = ω ,1+ω +ω =0, =ω ,ω =1,ω =ω (n 2 2 ω ∈N )等; 3 ?3 ?1 (4)? ± i? =-1; ?2 2 ?
-5* 2 4k 4k+1 2

=i,i

4k+2

=-1,i

4k+3

=-i(k∈Z);

(5)作复数除法运算时,有如下技巧:

a+bi (a+bi)i (a+bi)i = = =i,利用此结论可使一些特殊的计算过程简化. b-ai (b-ai)i a+bi
例 4 计算: 3 ? ? 1 (1)(1-i)?- + i?(1+i); ? 2 2 ? -2 3+i ? 2 ?2014 (2) +? ? . 1+2 3i ?1-i? 3 ? ? 1 解 (1)方法一 (1-i)?- + i?(1+i) ? 2 2 ? 3 1 3 ? ? 1 =?- + i+ i- i2?(1+i) 2 2 ? ? 2 2 =? = 3+1 ? ? 3-1 + i?(1+i) 2 2 ? ? 3-1 3+1 3-1 3+1 2 + i+ i+ i =-1+ 3i. 2 2 2 2

3 ? ? 1 方法二 原式=(1-i)(1+i)?- + i? ? 2 2 ? 1 3 ? ? 1 3 ? 2 ? =(1-i )?- + i?=2?- + i?=-1+ 3i. ? 2 2 ? ? 2 2 ? -2 3+i ? 2 ?2014 (-2 3+i)i 2 1007 (2) +? +( ) ? = - 2i 1 - i ? 1+2 3i ? (1+2 3i)i = (-2 3+i)i 1 1 - 1007=i- =i-i=0. i - i i-2 3
2 2 2015

(2+i)(1-i) (1-i)-(1+i) 1-i 跟踪演练 4 计算: + - . 5 1-2i i 1-i (2+i)(1-i) (1-i)-(1+i) 1-i 解 + - 5 1-2i i 1-i = = (2+i)·(-2i) (1-i)-2i 1+i + - 1-2i i 1-i 2-4i 1-3i (1+i) + - =2-(i+3)-i=-1-2i. 1-2i i 2
2 2 2 2015

高考对本章考查的重点 1.对复数的概念的考查是考查复数的基础,要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、 共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念. 2.对复数四则运算的考查可能性较大,要加以重视,其中复数的乘法运算与多项式的乘法运
-6-

算类似;对于复数的除法运算,将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成 a+bi(a,

b∈R)的结构形式.
3.对复数几何意义的考查.在高考中 的几何意义、复数加减法的几何意义. 一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数

-7-


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