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高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 基本初等函数(II) 1.3 三角函数的图象与性质

一、学习任务 1. 能画出 y = sin x ,y = cos x,y = tan x 的图象,并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在 π π [0, 2π] ,正切函数在 (? , ) 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x

轴的交点 2 2 等). 2. 了解三角函数的周期性,知道三角函数 y = A sin(ωx + φ) ,y = A cos(ωx + φ) 的周期为 2π . T = |ω| 3. 了解三角函数 y = A sin(ωx + φ) 的物理意义及其参数 A ,ω ,φ 对函数图象变化的影响;会画 出 y = A sin(ωx + φ) 的简图,能由正弦曲线 y = sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin(ωx + φ) 的图象. 二、知识清单
三角函数的图象 三角方程与不等式 三角函数的性质 三角函数模型的应用 三角函数的图象变换 函数的周期性

三、知识讲解
1.三角函数的图象 描述: 正弦函数的图象

正弦函数 y = sin x, x ∈ R 的图象叫做正弦曲线. 余弦函数的图象 把正弦曲线向左平移 弦曲线.

π 个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数 y = cos x, x ∈ R 的图象叫做余 2

正切函数的图象 用单位圆上的正切线可作正切函数 y = tan x 在开区间 (?

π π , ) 内的图象.根据正切函数的周期 2 2 ( )

性,我们可以把函数图象向左、向右连续平移,得出 y = tan x,x ∈ (? 的图象,即正切曲线.

(

)

π π + kπ, + kπ) , k ∈ Z 2 2

正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图,一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点, 然后在描点作图时要注意到,被 这五个点分隔的区间上的变化情况,在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些,曲线“陡”一些,在

x=

π 3π 附近,函数变化慢一些,曲线变得“平缓”.这种作图方法叫做五点法. , 2 2

例题: 用五点法作下列函数的图象. (1)y = 2 ? sin x,x ∈ [0, 2π] ; (2)y = cos(x +

解:(1)按五个关键点列表如下:

π π 11π ), x ∈ [? , ]. 6 6 6 π 0 2 3π 2 ?1 3 2π 0 2

x

0

sin x 0 2 ? sin x 2
如图所示:

π 2 1 1

x
(2)

? 0 1

π 6 π y = cos(x + ) 6 x+

π 6

π 3 π 2 0

5π 6 π ?1

4π 3 3π 2 0

11π 6 2π 1

2.三角函数的性质 描述: 正弦函数的性质 定义域: R ; 值域: [?1, 1] ;当且仅当 x = 2kπ +

?1 ,其中 k ∈ Z ;

π 3π 时取得最大值 1 ,当且仅当 x = 2kπ + 时取得最小值 2 2

周期性:最小正周期为 2π ; 奇偶性:奇函数; 单调性:在 [?

递减. 正弦型函数 y = A sin (ωx + φ) 的性质 周期性:最小正周期为 T = 频率 f =

π π π 3π + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增;在 [ + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调 2 2 2 2 2π ; |ω|

|ω| 1 ,初相为 φ ; = T 2π 值域为 [? |A| , |A|] ,最大值为 |A| ,最小值为 ?|A| . |A| 又称为振幅.
余弦函数的性质 定义域: R ; 值域: [?1, 1] ;当且仅当 x = 2kπ 时取得最大值 1 ,当且仅当 x = 2kπ + π 时取得最小值 ?1 , 其中 k ∈ Z ; 周期性:最小正周期为 2π ; 奇偶性:偶函数; 单调性:在 [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递减;在 [(2k + 1)π, 2(k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递增. 正切函数的性质 定义域: {x ∣ ∣ x ≠ 2 + kπ, k ∈ Z} ; 值域: R ; 周期性:最小正周期为 π ; 奇偶性:奇函数;

π

单调性:正切函数在每一个开区间 (?

π π + kπ, + kπ) , k ∈ Z 内都是增函数. 2 2

例题: 求使下列函数取得最大值和最小值的 x 的取值范围,并说出最大值和最小值是什么:(1)

π )(0 ≤ x ≤ π);(3)y = 2 cos2 x + 5 sin x ? 4 . 4 解:(1)当 x = kπ(k ∈ Z) 时,函数 y = | sin x| 取得最小值 0 ; π 当 x= + kπ(k ∈ Z) 时,函数 y = | sin x| 取得最大值 1 . 2 π π 3π π √2 (2)因为 0 ≤ x ≤ π ,所以 ? ≤ x ? ,? ≤ ≤ sin(x ? ) ≤ 1 ,所以 4 4 4 2 4 π π π π √2 √2 .所以当 x ? ;当 x ? 1 ≤y ≤2+ = ? ,即 x = 0 时,y max = 2 + = ,即 2 4 4 2 4 2 3π 时,y min = 1 . x= 4 5 9 (2)y = 2 cos2 x + 5 sin x ? 4 = ?2 sin 2 x + 5 sin x ? 2 = ?2(sin x ? )2 + ,因为 4 8 π sin x ∈ [?1, 1] ,所以,当 sin x = ?1,即 x = ? + 2kπ(k ∈ Z)时,y 有最小值 ?9;当 2 π sin x = 1 ,即 x = + 2kπ(k ∈ Z) 时,y 有最大值 1 . 2 y = | sin x|;(2)y = 2 ? sin(x ? π π 4π 19π 与sin ;(2)cos 与 cos . 4 8 7 7 π π π π π π 解:(1)因为 0 < < < ,且 y = sin x 在 [0, ] 上单调递增,所以 sin > sin ; 8 4 2 2 4 8 19π 5π 5π
比较下列函数值大小:(1)sin

8 4 2 2 4 19π 5π 5π (2)cos . = cos(2π + ) = cos 7 7 7 4π 5π 4π 5π 因为 0 < . < < π,且 y = cos x 在 [0, π] 上单调递减,所以cos > cos 7 7 7 7
求函数 f (x) = sin(2x ? 解:① T =

8

2π = π; 2 π π π π 5π ② 当 ? + 2kπ ≤ 2x ? ≤ + 2kπ,即 ? + kπ ≤ x ≤ + kπ(k ∈ Z) 时,f (x) 的单调 2 3 2 12 12 π 5π 递增区间是 [? + kπ, + kπ](k ∈ Z); 12 12 π π 3π 5π 11π 当 + 2kπ ≤ 2x ? ≤ + 2kπ ,即 + kπ ≤ x ≤ + kπ 时,f (x) 的单调递减区间是 2 3 2 12 12 5π 11π [ + kπ, + kπ ](k ∈ Z); 12 12 π π 5π kπ 5π kπ ③ 当 2x ? 时,f (x) 的对称轴是 x = = + kπ,即 x = + + , k ∈ Z; 3 2 12 2 12 2 π π kπ π k ④ 当 2x ? ,所以 f (x) 的对称中心是 ( + π, 0 ), k ∈ Z. = kπ,即 x = + 3 6 2 6 2 π ) 的定义域、值域,并指出它的最小正周期、奇偶性、单调性、对称中心. 3 π π 5 kπ 解:由已知 3x ? ≠ + kπ,解得 x ≠ π+ , k ∈ Z ,所以,函数的定义域为 3 2 18 3 5 kπ π {x|x ≠ π+ , k ∈ Z} ,函数的值域为 (?∞, +∞) ,最小正周期为 T = .因为函数的定义域不 18 3 3
求函数 y = tan(3x ? 关于原点对称,所以,函数为非奇非偶函数. 当 kπ ?

π ) 的最小正周期,单调性,对称轴,对称中心. 3

π π π kπ π kπ 5π 时,解得 < 3x ? < kπ + ? <x< + (k ∈ Z) .所以,函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ,即 x = 时,函数的对称中 ( ? , + )(k ∈ Z) 上单调递增.当 3x ? = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z). 9 6

3.三角函数的图象变换 描述: 三角函数的图象变换包括: 左右平移 一般地,把函数 y = sin x 的图象上所有的点(当 φ > 0 时)向左或(当 φ < 0 时)向右平移 |φ| 个 单位长度,就得到函数 y = sin (x + φ) 的图象. 上下平移 一般地,把函数 y = sin x 的图象上所有的点(当 B > 0 时)向上或(当 B < 0 时)向下平移 |B| 个单位长度,就得到函数 y = sin x + B 的图象. x 轴方向上的伸缩 一般地,函数 y = sin ωx(x ∈ R) (其中 ω > 0 且 ω ≠ 1) 的图象,可以看作是把 y = sin x(x ∈ R) 上所有的点的横坐标缩短(当 ω > 1 时)或伸长(当 0 < ω < 1 时)到原来的 而得到的. y 轴方向上的伸缩 一般地,函数 y = A sin x(x ∈ R) (其中 A > 0 且 A ≠ 1 )的图象,可以看作是把 y = sin x(x ∈ R) 上所有的点的纵坐标伸长(当 A > 1 时)或缩短(当 0 < A < 1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.

1 倍(纵坐标不变) ω

例题: (1)说明由 y = sin(x ? π ) 的图象经过怎样的变换,可以得到函数 y = sin(x + π )的图象.

4 6 1 (2)说明由 y = sin x 的图象经过怎样的变换,可以得到函数 y = sin x 的图象. 2 (3)说明由 y = sin x 的图象经过怎样的变换,可以得到函数 y = sin 2x 的图象. π 5π π 解:(1)将函数 y = sin(x ? ) 的图象向左平移 个单位从而得到函数 y = sin(x + ) 的图 4 12 6
象. (2)将 y = 的图象.

1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变),从而得到 y = sin x 2 1 ,从而得到 y = sin 2x 的图 2

(3)将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 象. 函数 y = 2 sin(

1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的? 3 4 π π π 解:变换一:将 y = sin x 的图象向左平移 个单位,得到 y = sin(x + ),再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1 π 的纵坐标不变,横坐标变为原来的 3 倍得,y = sin( x + ),然后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 3 4 1 π 倍,得 y = 2 sin( x + ) ; 3 4 1 1 变换二:将 y = sin x 的纵坐标不变,横坐标变为原来的 3 倍,得 y = sin( x),再将 y = sin( x) 3 3 3π 1 3π 1 π 的图象向左平移 ,得 y = sin[ (x + )],即 y = sin( x + ) ,然后将纵坐标变为原来的 2 4 3 4 3 4 1 π 倍,得 y = 2 sin( x + ) . 3 4
若函数 y = f (x) 的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后再将整个图象沿

x 轴向左平移

y = f (x) 的解析式是( 1 π A.y = sin(2x + ) + 1 2 2 1 π C.y = sin(2x ? ) + 1 2 4
解:B. 由题意可知:f (

π 1 个单位长度,沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,得到函数 y = sin x 的图象,则 2 2


1 π sin(2x ? ) + 1 2 2 1 1 π D.y = sin( x + ) + 1 2 2 4
B.y =

1 π 1 1 π 1 (x + )) ? 1 = sin x,即f ( (x + )) = sin x + 1. 2 2 2 2 2 2 1 π π 1 π 令 (x + ) = t,则 x = 2t ? ,所以 f (t) = sin(2t ? ) + 1,所以 2 2 2 2 2 1 π f (x) = sin(2x ? ) + 1. 2 2

4.三角方程与不等式 描述: 三角方程与三角不等式是指与三角函数相关的方程与不等式问题. 简单的三角方程与三角不等式问题借助三角函数的图象或三角函数线便可以解决,复杂的问题需要先换 元解出三角函数的范围再去解决,要注意这类问题和普通的方程与不等式的区别在于三角函数的周期性 使得结果往往是与周期相关的. 例题:

√3 的 x 的集合: 2 π π (1)x ∈ [? , ];(2)x ∈ R . 2 2
求下列范围内适合 sin x =

解:(1) x ∈ [?

2

2

{

π 2 或 x = 2kπ + π(k ∈ Z) 时, 3 3 π 2 √3 ,则所求 x 的集合是 {x|x = 2kπ + sin x = 或 x = 2kπ + π, k ∈ Z}. 2 3 3
(2)当 x ∈ R 时,根据正弦函数的周期性可知 x = 2kπ +

π }. 3

π π π √3 时,sin x = ,所以所求集合为 , ] 时,y = sin x 单调递增,仅当 x = 2 2 3 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? π π ? ? ? 解:(1)要使 2√? cos 3? x 有意义,则 cos 3x ≥ 0.解得 2kπ ? ≤ 3x ≤ 2kπ + , k ∈ Z,解得 2 2 2kπ π 2kπ π 2kπ π 2kπ π ? ≤x≤ + , k ∈ Z ,所以,定义域为 [ ? , + ](k ∈ Z) . 3 6 3 6 3 6 3 6 ? ? ? 求下列函数的定义域:(1)y = 2√? cos 3? x;(2)y = √tan x ? √3 .
(2)

π π , kπ + )(k ∈ Z). 3 2 π π 方法二:亦可利用单位圆求解,如图 2,所求的定义域为 [kπ + , kπ + )(k ∈ Z). 3 2
方法一:由 tan x ? √3 ≥ 0,得 tan x ≥ √3 .如图 1,所求的定义域为 [kπ + 函数 f (x) = A sin(ωx ?

(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)设 α ∈ (0,

π . 2

π ) + 1(A > 0, ω > 0) 的最大值为 3 ,其图象相邻两条对称轴之间距离为 6

π α ),f ( ) = 2,求 α 的值. 2 2 解:(1)因为函数 f (x) 的最大值为 3 ,所以 A + 1 = 3 ,即 A = 2 .因为函数图象的相邻两条对称 π 轴之间的距离为 ,所以,最小正周期 T = π ,所以 ω = 2,故函数 f (x) 的解析式为 2 π f (x) = 2 sin(2x ? ) + 1. 6 α π π 1 π (2)因为 f ( ) = 2 sin(α ? ) + 1 = 2,即 sin(α ? ) = ,因为 0 < α < ,所以 2 6 6 2 2 π π π π π π ? < α ? < ,所以 α ? = ,故 α = . 6 6 3 6 6 3

5.三角函数模型的应用 描述: 如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以借助三角函数来描述,建立某种三角函数的模型. 例题: 设 y = f (t) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函数,其中 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

0 ? t ? 24 .下表是

t y

0 3 6 11 14.1 11.1

9 12 8.1 10.9

15 13.9

18 10.9

21 24 7.9 11.1

经长期观察,函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象.下面的函 数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )

(

)

A. y = 11 + 3 sin (

π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B. y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C. y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6 π D. y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12

解:C. 由于 y = f (t) 可以近似看成 y = k + A sin(ωt + φ) 的图象,根据港口某一天从 0 时至 24 时记录的 时间 t 与水深 y 的关系,可得函数的周期 T = 12 可排除 A、D,将 (3, 14) 代入B,C,可排除 B,而 C 满足.故选 C.

6.函数的周期性 描述: 函数的周期性 如果存在非零实数 T ,使得对函数 y = f (x) 定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (x + T ) = f (x) ,那么称函数 y = f (x) 是周期为 T 的函数,此时称 T 为函数 y = f (x) 的一个周 期. 最小正周期 如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值,就称这个值为该函数的最小正周期. 函数的对称性与周期性 函数的对称性引起的周期性 (a ≠ b) : ① 如果函数 y = f (x) 关于直线 x = a 对称,且关于直线 x = b 对称,那么 y = f (x) 是周期为 2|a ? b| 的函数. ② 如果函数 y = f (x) 关于点 (a, 0) 对称,且关于点 (b, 0) 对称,那么 y = f (x) 是周期为 2|a ? b| 的函数. ③ 如果函数 y = f (x) 关于直线 x = a 对称,且关于点 (b, 0) 对称,那么 y = f (x) 是周期为 4|a ? b| 的函数. 例题: 已知

f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (x + 4) = f (x) ,当 x ∈ (0, 2) 时, f (x) = 2x2 ,则 f (7) =______. 解:?2 f (7) = f (3) = f (?1) = ?f (1) = ?2 .
已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足下列三个条件: ① 对于任意的 R,都有 f (x + 4) = f (x) ; ② 对于任意的 0 ? x 1 < x 2 ? 2 ,都有 f (x 1 ) < f (x 2 ) ; ③ 函数 f (x + 2) 的图象关于 y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (6.5) > f (5) > f (15.5) B.f (5) < f (6.5) < f (15.5) C.f (5) > f (15.5) > f (6.5) D.f (15.5) > f (5) > f (6.5) 解:A 由 ①②③ 三个条件知函数的周期是 4 ,在区间 [0, 2] 上是增函数且其对称轴为 x = 2,所以 f (5) = f (1),f (15.5) = f (3.5) = f (2 + 1.5) = f (2 ? 1.5) = f (0.5),

f (6.5) = f (2.5) = f (2 + 0.5) = f (2 ? 0.5) = f (1.5), 因为 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 ,函数 y = f (x) 在 [0, 2] 是增函数.f (0.5) < f (1) < f (1.5), f (15.5) < f (5) < f (6.5).故选A. f (x) f (x + 3) = f (x ? 3) x ∈ [?3, ?2] f (x) = 2x

设偶函数 f (x) 对任意 x ∈ R ,f (x + 3) = f (x ? 3),且当 x ∈ [?3, ?2] 时,f (x) = 2x,则 f (113.5) 的值为______. 解:?11 因为 f (x) 对任意 x ∈ R ,都有 f (x + 3) = f (x ? 3),所以 f (x) = f (x + 6) ,即函数是以 6 为周期 的周期函数. 因为 f (x) 为偶函数,所以 f (?x) = f (x). 设 x ∈ [0, 1] ,则 x ? 3 ∈ [?3, ?2] . 当 x ∈ [?3, ?2] 时,f (x) = 2x,所以 f (x ? 3) = 2(x ? 3) = 2x ? 6,所以 f (x + 3) = 2x ? 6,故 f (x) = 2x ? 12.故 f (113.5) = f (5.5) = f (?0.5) = f (0.5) = ?11.

四、课后作业

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1. 已知函数 f (x) = sin (x ? B.函数 f (x) 在区间 [0, D.函数 f (x) 是奇函数
答案: D

π ) (x ∈ R),下面结论错误的是 ( 2

)

A.函数 f (x) 的最小正周期为 2π

π ] 上是增函数 2 C.函数 f (x) 的图像关于直线 x = 0 对称

2. 函数 y = ?x cos x 的部分图象是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: D 解析: 根据奇偶性和函数值正负可快速判断

3. 下列函数中,周期为 π ,且在 [ A.y = sin (2x +

(

π ) 2 )

π π , ] 上为减函数的是 ( 4 2

) π ) 2 )

B.y = cos (2x +

(

C.y = sin (x +
答案: A 解析:

(

π ) 2

)

D.y = cos (x +

(

π ) 2

)

因为 C、D 中的函数的周期为 2π,所以 C、D 不正确.当 x ∈ [ 数 y = sin (2x +

π π ) 为减函数,而函数 y = cos (2x + ) 为增函数,所以 B 不正确. 2 2

π π π 3π , ] 时,2x + ∈ [π, ] ,函 4 2 2 2

4. 函数 f (x) = tan ωx (ω > 0) 图象的相邻两支截直线 y = A.0
答案: A 解析:

B.1 由已知得 f (x) 最小正周期为 T =

π π π 所得线段长为 ,则 f ( ) 的值是 ( 4 4 4 1 C.?1 D. 2

)

π π π = ,即 ω = 4,故 f (x) = tan 4x,所以 f ( ) = 0 . 4 ω 4

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