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新高二数列第八课时:数列的证明与应用2


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教师姓名 学 科 数学 学生姓名 课题名称 年 级 新高二 上课时间 第八课时

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数列的证明与应用 2

教学目标 教学重难点

第八课时:数列的证明与应用 2<

br />讲授要点: 1.定义法的证明与应用 2.待定系数法的证明与应用; 3.结构法的证明与应用; 4.转化法的证明与应用; 本卷以 p,q 法及证明为主体,辅以常规应用 1. (2013 春?朝阳县校级期中)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n﹣λ)an(n=1,2,…) ,λ 是常数. (1)当 a2=﹣1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式,若不可能,说明理由. 2. (2013 春?聊城期末)数列{an}满足 an=2an﹣1+2 ﹣1(n∈N ,n≥2) ,且 a3=25. (1)求 a1,a2 (2)是否存在实数 t,使得 bn= (an+t) (n∈N ) ,且{bn}为等差数列?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.
* n * 2

3. (2013 秋?曲沃县校级期中)已知偶函数 y=f(x)满足:当 x≥2 时,f(x)=(x﹣2) (a﹣x) ,a∈R,当 x∈[0,2) 时,f(x)=x(2﹣x) (1)求当 x≤﹣2 时,f(x)的表达式; (2)试讨论:当实数 a、m 满足什么条件时,函数 g(x)=f(x)﹣m 有 4 个零点,且这 4 个零点从小到大依次构 成等差数列. 4. (2013 秋?温州校级月考)已知数列{an}及其前 n 项和 Sn 满足:a1=3,Sn=2Sn﹣1+2 (n≥2,n∈N*) . (1)证明:设 bn= (2)求 Sn 及 an. ,{bn}是等差数列;
n

二.解答题(共 26 小题) 5. (2013 秋?思明区校级月考)数列{an}的前 n 项和 (1)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论; (2)求数列{bn}中值最大的项和值最小的项. (n∈N ) ,数列{bn}满足
*

(n∈N ) ,

*

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6. (2013 秋?赫山区校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N ) , (1)设 bn=an+1﹣2an,求证:数列{bn}是等比数列; (2) ,求证:数列{cn}是等差数列;
*

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(3)求 Sn=a1+a2+…+an 的值. 7. (2013 秋?双桥区校级月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣2n,求证:数列{an}是等差数列.
2

8. (2013 春?高阳县校级月考) 已知数列{an}中, 数列 (1)求 b1,b2,b3,b4 的值; (2)求证:{bn}是等差数列. 9. (2013 春?东莞市校级月考) (1)已知等差数列{an}, 列;
*



+1=2an﹣1 (n≥2, n∈N ) 数列{bn}满足 bn=

*

(n∈N ) ,求证:{bn}仍为等差数

*

(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N ) ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以证明. 10. (2013 春?吴川市校级月考)函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1﹣x)= (1)求 的值. ,数列{an}是等差数列吗?请给予

(2)数列{an} 满足: 证明.

11. (2012?江苏模拟)设数列{an}的通项是关于 x 的不等式 x ﹣x<(2n﹣1)x(n∈N′ )的解集中整数的个数. (1)求 an 并且证明{an}是等差数列; (2)设 m、k、p∈N*,m+p=2k,求证: + ≥ ;

2

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立, 请说明理由.

12. (2012?三水区模拟)已知数列{an}满足 (I)求证:数列 {去)是等差数列,并求通项 an;

,且



(Ⅱ )若

,且

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

13. (2012?陆川县校级一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,

,且 2Sn=2Sn﹣1+2an﹣1+1(n≥2,n∈N*) .数列{bn}

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满足 ,且 3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈N ) .
*

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(Ⅰ )求证:数列{an}为等差数列; (Ⅱ )求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅲ )求数列{bn}的通项公式以及前 n 项和 Tn. 14. (2012?广元三模) 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同, 且 a1+2a2+2 a3…+2 都成立,数列{bn+1﹣bn}是等差数列. (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{bn}的通项公式; * (III)问是否存在 k∈N ,使 f(k)=bk﹣ak∈(0,1)?并说明理由. 15. (2012 秋?姜堰市校级期中)设
2 n﹣1

an=8n 对任意的 n∈N

+

,其中 c0,c1,c2,…,ck 为非

零常数,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn=fk(n) . (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

16. (2012 春?云梦县校级期中)设数列{an}满足当 n>1 时, (1)求证:数列 为等差数列;



(2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项.如果是,是第几项;如果不是,说明理由. 17. (2012 秋?赫山区校级期中) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列.
2

18. (2012 春?湖北校级期中)在自然数集 N 上定义一个函数 y=f(x) ,已知 f(1)+f(2)=5.当 x 为奇数时,f(x+1) ﹣f(x)=1,当 x 为偶数时 f(x+1)﹣f(x)=3. (1)求证:f(1) ,f(3) ,f(5) ,…,f(2n﹣1) (n∈N+)成等差数列. (2)求 f(x)的解析式. 19. (2012 春?新华区校级月考)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n+1,求数列{an}的通项公式,并说明数列{an}是不是 等差数列. 20. (2012 秋?利津县校级月考)已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an. 21. (2012 秋?泗阳县校级月考)已知数列{an}满足 a1=1,且对任意的正整数 n 有 an+3≥an+3,an+1≤an+1 成立. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an},{bn}满足 ,求证:数列{bn}是等差数列; ,
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(3)若数列{cn},{dn}满足 数列. 22. (2012 春?仁怀市校级月考)已知数列{an}、{bn}是等差数列.求证:{pan+qbn}是等差数列. 23. (2011?台湾)设 为 (1)公差为正的等差数列 (2)公差为负的等差数列 (3)公比为正的等比数列 (4)公比为负的等比数列 (5)既非等差亦非等比数列.

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,求证:数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差

,n 为正整数,且知 an 皆为正.令 bn=logan,则数列 b1,b2,b3,…

24. (2011?吉林校级模拟)设数列{an},{bn}的各项均为正数,若对任意的正整数 n,都有 an,bn ,an+1 成等差数列, 2 2 且 bn ,an+1,bn+1 成等比数列. (Ⅰ )求证数列{bn}是等差数列; n (Ⅱ )如果 a1=1,b1= ,比较 2 与 2an 的大小. 25. (2011?江苏模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an }的前 n 项和为 Tn,满足 a1=1, ,其中 p 为常数. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 是否存在正整数 n,m,k(n<m<k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若存在,指出 n,m,k 的关系;若不存 在,请说明理由; ② 若对于任意的正整数 n,都有 an,2 an+1,2 an+2 成等差数列,求出实数 x,y 的值. 26. (2011?沅江市模拟)已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足 a2?a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)通过 (3)求 构造一个新的数列{bn},是否存在一个非零常数 c,使{bn}也为等差数列; 的最大值.
x y 2

2

27. (2011?石狮市校级模拟)已知数列{an}满足:a1=2,nan+1=Sn+n(n+1) ,n∈N . (1)求证:数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式; ,若 bn<M 对任意的 n∈N 恒成立,求 M 的取值范围.
*

*

(2)已知数列{bn}满足:

28. (2011 秋?鹿城区校级期中)设数列满足

,令



(Ⅰ )证明数列{bn}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式; * (Ⅱ )若存在 m,n∈N ,n≤10 使得 b6,am,an 依次成等比数列,试确定 m,n 的值.

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29. (2010?山东模拟)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= (1)证明:数列 (2)若 是等差数列.并求数列{an}的通项公式; ,Tn=b1+b2+…+bn,求证: . + (n≥2) ,a1=1.

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30. (2010?泰安二模)已知数列

,且

(I)求证:数列

是等差数列,并求 an;

(II)令

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

新高二数列之 pq 与证明 2
参考答案与试题解析

一.选择题(共 4 小题) 1. (2013 春?朝阳县校级期中)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n﹣λ)an(n=1,2,…) ,λ 是常数. (1)当 a2=﹣1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式,若不可能,说明理由. 考点: 等差关系的确定;等差数列的通项公式. 专题: 常规题型;转化思想. 分析: (1)利用 a2 的值列出关于 λ 的方程是解决本题的关键,求出 λ 的值,再根据 a2 的值计算出 a3 的值; (2) 先假设数列{an}可能为等差数列, 利用该数列的前 3 项成等差数列, 得出关于 λ 的方程, 确定出 λ 的值, 考查数列后面的项是否满足等差数列,从而肯定或者否定假设. 2 解答: 解: (1)由于 an+1=(n +n﹣λ)an(n=1,2,…) ,且 a1=1, 所以当 a2=﹣1 时,得﹣1=2﹣λ, 2 故 λ=3.从而 a3=(2 +2﹣3)×(﹣1)=﹣3. (2)数列{an}不可能为等差数列,证明如下: 2 由 a1=1,an+1=(n +n﹣λ)an,得 a2=2﹣λ,a3=(6﹣λ) (2﹣λ) ,a4=(12﹣λ) (6﹣λ) (2﹣λ) . 若存在 λ,使{an}为等差数列,则 a3﹣a2=a2﹣a1, 即(5﹣λ) (2﹣λ)=1﹣λ,解得 λ=3. 于是 a2﹣a1=1﹣λ=﹣2, a4﹣a3=(11﹣λ) (6﹣λ) (2﹣λ)=﹣24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以,对任意 λ,{an}都不可能是等差数列. 点评: 本题考查数列递推关系确定数列的问题,考查数列为等差数列的判定方法、探究性问题的解决思路,考查学 生解决问题的方程思想、确定一个命题为假命题的方法.关键要进行问题的转化,考查学生的运算能力.
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2. (2013 春?聊城期末)数列{an}满足 an=2an﹣1+2 ﹣1(n∈N ,n≥2) ,且 a3=25. (1)求 a1,a2 (2)是否存在实数 t,使得 bn=
n *

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(an+t) (n∈N ) ,且{bn}为等差数列?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

*

考点: 等差关系的确定. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)在 an=2an﹣1+2n﹣1(n∈N*,n≥2)中,令 n=3 求出 a2,令 n=2 求出 a1,
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(2)设存在 t 满足条件,则由{bn}为等差数列,设 关系式,与 an=2an﹣1+2 ﹣1 比较作答. 3 解答: 解: (1)a3=2a2+2 ﹣1=25,∴ a2=9. 2 a2=2a1+2 ﹣1=9,∴ a1=3 (2)设存在 t 满足条件,则由{bn}为等差数列,设 an﹣ an﹣1
n n

(an+t)﹣

(an﹣1+t)=d,整理得出数列的递推

(an+t)﹣

(an﹣1+t)=d,则
n

=d.整理得出 an﹣2an﹣1﹣t=2 d,而 an﹣2an﹣1+1=2 ,

所以 d=1,t=﹣1. 点评: 本题考查数列递推公式的灵活应用,考查逻辑推理,运算求解能力. 3. (2013 秋?曲沃县校级期中)已知偶函数 y=f(x)满足:当 x≥2 时,f(x)=(x﹣2) (a﹣x) ,a∈R,当 x∈[0,2) 时,f(x)=x(2﹣x) (1)求当 x≤﹣2 时,f(x)的表达式; (2)试讨论:当实数 a、m 满足什么条件时,函数 g(x)=f(x)﹣m 有 4 个零点,且这 4 个零点从小到大依次构 成等差数列. 考点: 等差关系的确定;函数奇偶性的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设 x≤﹣2 则﹣x≥2,代入可得 f(﹣x)=(﹣x﹣2) (a+x) ,结合函数的奇偶性可得答案; (2)设 f(x)﹣m 的零点 x1,x2,x3,x4,y=f(x)与 y=m 交点有 4 个且均匀分布,分 a≤2 时,2<a<4
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且 m= 时,a=4 时 m=1,和 a>4 时,m>1,几类结合函数的图象进行讨论,综合可得答案. 解答: 解: (1)设 x≤﹣2 则﹣x≥2,∴ f(﹣x)=(﹣x﹣2) (a+x) , 又∵ y=f(x)为偶函数,∴ f(﹣x)=f(x) , 所以 f(x)=(﹣x﹣2) (a+x)…(3 分) (2)设 f(x)﹣m 的零点从左到右依次为 x1,x2,x3,x4,即 y=f(x)与 y=m 交点有 4 个,

(Ⅰ )a≤2 时,

,解得









所以 a≤2 时,m=f( )=

…(5 分) ,解得 ,

(Ⅱ )2<a<4 且 m= 时,可得 所以当 2<a< 时,m= …(7 分)

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(Ⅲ )当 a=4 时 m=1 时,符合题意…(8 分)

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(IV)a>4 时,m>1,

,可解得



此时 1<m<

,所以 a>

,或 a<

(舍去)

故 a>4 且 a> 综上:① a< ② a=4 时,m=1 ③ a>

时,m=﹣ 时,m= ;

时存在

…(10 分)

时,m=﹣

符合题意

…(12 分)

点评: 本题考查等差关系的确定,涉及函数的奇偶性和函数图象的应用,属中档题. 4. (2013 秋?温州校级月考)已知数列{an}及其前 n 项和 Sn 满足:a1=3,Sn=2Sn﹣1+2 (n≥2,n∈N*) . (1)证明:设 bn= (2)求 Sn 及 an. 考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知可得, ,即可证明
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n

,{bn}是等差数列;

(2)由(1)可求 sn,然后利用 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 可求 an 解答: (本题满分 14 分) 解: (1)∵



(n≥2)…(4 分)



则{bn}是公差为 1 的等差数列

…(6 分)

(2)又∵ ∴ ,





…(9 分)

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当 n≥2 时, …(12 分)

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…(14 分) 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的递推公式 an=sn﹣sn﹣1 的应用 二.解答题(共 26 小题) 5. (2013 秋?思明区校级月考)数列{an}的前 n 项和 (1)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论; (2)求数列{bn}中值最大的项和值最小的项. 考点: 等差关系的确定;数列的应用. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,确定数列的通项,从而可得数列{an}是等差数列; (2)求出数列{bn}的通项,即可求得值最大的项和值最小的项. 解答: 解: (1)数列{an}是等差数列,证明如下:
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(n∈N ) ,数列{bn}满足

*

(n∈N ) ,

*

∵ 数列{an}的前 n 项和 ∴ n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣ n=1 时, ∴ an=n﹣ ∴ n≥2 时,an﹣an﹣1=1, ∴ 数列{an}是等差数列; (2)∵ 数列{bn}满足 ∴ =1+ ,

(n∈N ) ,

*

∴ (bn)min=b2=﹣1, (bn)max=b3=3 点评: 本题考查等差数列的证明,考查数列的最值,正确确定数列的通项是关键. 6. (2013 秋?赫山区校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N ) , (1)设 bn=an+1﹣2an,求证:数列{bn}是等比数列; (2) ,求证:数列{cn}是等差数列;
*

(3)求 Sn=a1+a2+…+an 的值. 考点: 等差关系的确定;等比关系的确定;数列的求和.

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专题: 计算题. 分析: (1)由已知中 Sn+1=4an+2,我们易得 Sn+2=4an+1+2,两式相减可得 an+2=4an+1﹣4an.结合 bn=an+1﹣2an,易 求出数列{bn}相邻两项之比为定值,再结合 a1=1,即可得到数列{bn}是首项,进而得到结论; (2)由 列; (3)由(2)中定义,我们易写出 Sn=a1+a2+…+an 的表达式,结合等比数列的前 n 项和公式化简后,即可得 到答案. 解答: 解: (1)由题意,Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得 Sn+2﹣Sn+1=4(an+1﹣an) 即 an+2=4an+1﹣4an. ∴ an+2﹣2an+1=2(an+1﹣2an) ∵ bn=an+1﹣2an * ∴ bn+1=2bn(n∈N ) , q= =2, ,我们可得 cn+1﹣cn= ,根据(1)的结论易得其值为一定值,即数列{cn}是等差数

又由题设,得 1+a2=4+2=6,即 a2=5 b1=a2﹣2a1=3, n﹣1 ∴ 数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列,其通项公式为 bn=3?2 . (2)由题设,可得 cn+1﹣cn= 数列{cn}是公差为 的等差数列. 又 c1= ∴ cn= (3)∵ cn= an﹣1= ,∴ an= ∴ Sn=a1+a2+…+an=4× , =(3n﹣4)2
n﹣1

=

=

=

=

=

+2.

点评: 本题考查的知识点是等差关系的确定,等比关系的确定,数列的求和,要判断一个数列是否为等差(比)数 列,我们常用定义法,判断数列连续两项之间的差(比)是否为定值. 7. (2013 秋?双桥区校级月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣2n,求证:数列{an}是等差数列. 考点: 等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 首先根据数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2﹣2n,求出数列的首项,用 Sn 减去 Sn﹣1,求出数列的通项,然后证明 数列{an}是等差数列即可. 2 解答: 证明:当 n>1 时,a = [3(n﹣1) ﹣2(n﹣1)]=6n﹣5,
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n

当 n=1 时,a1=s1=3﹣2=1 也满足上式, 所以 an=6n﹣5, 数列{an}的首项是 1,an﹣an﹣1=(6n﹣5)﹣[6(n﹣1)﹣5]=6,
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所以数列{an}是首项是 1,公差是 6 的等差数列. 点评: 本题主要考查了等差数列的判断以及通项的求法,属于基础题.

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8. (2013 春?高阳县校级月考) 已知数列{an}中, 数列 (1)求 b1,b2,b3,b4 的值; (2)求证:{bn}是等差数列.



+1=2an﹣1 (n≥2, n∈N ) 数列{bn}满足 bn=

*

考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列的递推公式进行计算即可求 b1,b2,b3,b4 的值; (2)根据等差数列的定义即可证明{bn}是等差数列. 解答: * 解: (1)∵ 数列 , +1=2an﹣1(n≥2,n∈N )
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∴ ∴ ,

, ,a4=2﹣(﹣1)=3,

∵ bn=



∴ b1=

,b2=

,b3=

,b4=



(2)∵

+1=2an﹣1(n≥2,n∈N )

*







=1+bn﹣1.

∴ bn﹣bn﹣1=1, 即{bn}是以 为首项,1 为公差的等差数列.

点评: 本题主要考查递推数列的应用,以及等差数列的证明,考查学生的计算能力.
*

9. (2013 春?东莞市校级月考) (1)已知等差数列{an},

(n∈N ) ,求证:{bn}仍为等差数

列; * (2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N ) ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以证明. 考点: 等差关系的确定;类比推理. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: (1)由求和公式可得 bn= =
*

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,进而可得 bn+1﹣bn 为常数,可判为等差数列; , 则{dn}为等比数列, 只需证明

(2) 类比命题: 若{cn}为等比数列, cn>0, (n∈N ) , dn= 为常数即可. 解答: 解: (1)由题意可知 bn= = ,

∴ bn+1﹣bn=



=



∵ {an}等差数列,∴ bn+1﹣bn=

= 为常数, (d 为公差)

∴ {bn}仍为等差数列; * (2)类比命题:若{cn}为等比数列,cn>0, (n∈N ) , dn= ,则{dn}为等比数列,

证明:由等比数列的性质可得:dn=

=





=

=

为常数, (q 为公比)

故{dn}为等比数列 点评: 本题考查等差数列的定义,涉及类比推理和等比数列的定义,属中档题. 10. (2013 春?吴川市校级月考)函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1﹣x)= (1)求 的值. ,数列{an}是等差数列吗?请给予

(2)数列{an} 满足: 证明. 考点: 等差关系的确定;函数的值;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)在给出的等式中,取 x= ,整理后即可得到答案;
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(2)在给出等式中取 x= ,得到

,把 倒序后两式相加求出 an,然后判断 an+1﹣an 是否

为常数.

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解答: 解: (1)由 f(x)+f(1﹣x)= , 令 ,得 ,∴

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(2)数列{an}是等差数列. 事实上,令 x= ,得 即 又 两式相加得: = ∴ 则 , . , , , ,

故数列{an}是等差数列. 点评: 本题考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,解答的关键是利用倒序相加法求得 an,是中档题. 11. (2012?江苏模拟)设数列{an}的通项是关于 x 的不等式 x ﹣x<(2n﹣1)x(n∈N′ )的解集中整数的个数. (1)求 an 并且证明{an}是等差数列; (2)设 m、k、p∈N*,m+p=2k,求证: + ≥ ;
2

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立, 请说明理由. 考点: 等差关系的确定;一元二次不等式的解法;不等式的证明. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意知数列{an}的通项是关于 x 的不等式的解集中整数的个数,题目首先应该解不等式,从不等式 的解集中得到整数的个数,得到数列的通项,用等差数列的定义来验证. (2)根据前面结果写出要用的前几项的和,从不等式的一侧入手,利用均值不等式得到要求的结论. (3)本题是对上一问的延伸,方法和前面的类似,但题目所给的一般的各项均为正数的等差数列在整理时 增加了难度,题目绝大部分工作是算式的整理,注意不能出错. 2 解答: 解: (1)不等式 x ﹣x<(2n﹣1)x 即 x(x﹣2n)<0 解得:0<x<2n,其中整数有 2n﹣1 个 ∴ an=2n﹣1, 由通项公式可得:an﹣an﹣1=2, ∴ 数列{an}是等差数列;
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(2)由(1)知 ∴ Sm=m ,Sp=p ,Sk=k . 由 =
2 2 2



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≥ 即 ≥ ; =0,

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(3)结论成立,证明如下: 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 ,



=



把 m+p=2k 代入上式化简得 Sm+Sp﹣2Sk= ∴ Sm+Sp≥2Sk. 又 =

≥ 0,



=

=

=









故原不等式得证. 点评: 本题没有具体的数字运算但运算量非常大,它考查的是等差数列和等比数列的性质,基本不等式,实际上这 类问题比具体的数字运算要困难,是几个知识点结合起来的综合问题.

12. (2012?三水区模拟)已知数列{an}满足 (I)求证:数列 {去)是等差数列,并求通项 an;

,且



(Ⅱ )若

,且

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差关系的确定;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (I)由已知,转化构造得出 ,得出 以 1006 为首项,以 为公差的等差数列.先求出
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再求 an (Ⅱ )将 an 代入 bn,得 bn=n+1,从而 cn=bn 解答: 解: (I)将 两边取倒数,并移向 =(n+1)

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.利用错位相消法求解.



以 1006 为首项,以 为公差的等差数列. .

∴ =1006+ (n﹣1)= 通项 an=

(Ⅱ ) 将 an 代入 bn,得 bn=

=n+1

∴ cn=bn Tn= ① ﹣② 得: Tn=

=(n+1)

.Tn= ②



=1+

=

Tn=3﹣



点评: 本题考查等差数列的定义,判断、通项公式求解,错位相消法求和.考查 通过对递推式变形,构造出特殊 的数列来解决问题的能力,计算能力,以及分析问题解决问题的能力. ,且 2Sn=2Sn﹣1+2an﹣1+1(n≥2,n∈N*) .数列{bn}

13. (2012?陆川县校级一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 ,且 3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈N ) .
*

(Ⅰ )求证:数列{an}为等差数列; (Ⅱ )求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅲ )求数列{bn}的通项公式以及前 n 项和 Tn. 考点: 等差关系的确定;等比关系的确定;数列的求和. 分析: 本题考查等差等比数列的证明、an 与 sn 的关系的研究、求通项公式和求前 n 项和公式,
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(Ⅰ )根据 2Sn=2Sn﹣1+2an﹣1+1(n≥2,n∈N*) .可以获得

使问题得证.

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(Ⅱ )根据所证,构造数列{bn﹣an},通过计算得 ,又

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,所

以数列{bn﹣an}为等比数列得证. (Ⅲ )在(Ⅱ )的基础上可以得到数列{bn﹣an}的通项公式,又根据(Ⅰ )数列{an}的通项公式可求,所以数列 {bn}可求,进而可以求得前 n 项和. 解答: (Ⅰ )证明:∵ 2Sn=2Sn﹣1+2an﹣1+1(n≥2,n∈N*) , ∴ 当 n≥2 时,2an=2an﹣1+1, 可得 .

∴ 数列{an}为等差数列. (4 分) (Ⅱ )证明:∵ {an}为等差数列,公差 ∴ 又 3bn﹣bn﹣1=n(n≥2) , ∴ ∴ = = = 又 , (8 分) , ,

(5 分)

∴ 对 n∈N*,bn﹣an≠0,得 ∴ 数列{bn﹣an}是首项为 公比为 等比数列. (9 分) (Ⅲ )解:由(Ⅱ )得 ∴ , . (11 分)







∴ ∴ ∴ . . (14 分)



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点评: 本题综合性强,过程多,运算量大,解题过程需要思路清晰,运算准确,尤其是在(Ⅰ ) 、 (Ⅱ )的证明中,不 可忽视 n=1 的情况,必须将其作为过程中的一部分; 在(Ⅲ )的求数列{bn}的前 n 项和时,尽管数列{bn}的通项公式已求出,可以直接求其和,但需要拆项分组求 和,较为繁琐,给出的解法以求出数列{bn﹣an}、数列{an}的前 n 项和的基础上再求,显得运算简便,值得 借鉴. 14. (2012?广元三模) 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同, 且 a1+2a2+2 a3…+2 都成立,数列{bn+1﹣bn}是等差数列. (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{bn}的通项公式; * (III)问是否存在 k∈N ,使 f(k)=bk﹣ak∈(0,1)?并说明理由.
2 n﹣1

an=8n 对任意的 n∈N

+

考点: 等差关系的确定;二次函数的性质;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. ﹣ 分析: (I)利用 a1+2a2+22a3+…+2n 1an=8n 推出 n﹣1 时的表达式,然后作差求出数列{an}的通项公式, (II)利用数列{bn+1﹣bn}是等差数列利用累加法求出{bn}的通项公式;
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(III)化简 bk﹣ak=k ﹣7k+14﹣2

2

4﹣k

,通过 k≥4 时,f(k)=(k﹣ ) + ﹣2
*

2

4﹣k

单调递增,且 f(4)=1,所

以 k≥4 时,f(k)≥1,结合 f(1)=f(2)=f(3)=0,说明不存在 k∈N ,使得 bk﹣ak∈(0,1) .
2 n 1 * 解答: 解: (I)已知 a1+2a2+2 a3+…+2 an=8n(n∈N )① 2 n﹣2 * n≥2 时,a1+2a2+2 a3+…+2 an﹣1=8(n﹣1) (n∈N )② n﹣1 4﹣n 4﹣1 ① ﹣② 得 2 an=8,解得 an=2 ,在① 中令 n=1,可得 a1=8=2 , ﹣ 4 n * 所以 an=2 (n∈N ) (4 分) (II)由题意 b1=8,b2=4,b3=2,所以 b2﹣b1=﹣4,b3﹣b2=﹣2, ∴ 数列{bn+1﹣bn}的公差为﹣2﹣(﹣4)=2, ∴ bn+1﹣bn=﹣4+(n﹣1)×2=2n﹣6, bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1) 2 * =8+(﹣4)+(﹣2)+…+(2n﹣8)=n ﹣7n+14(n∈N ) 、 (8 分)


(III)bk﹣ak=k ﹣7k+14﹣2

2

4﹣k

,当 k≥4 时,f(k)=(k﹣ ) + ﹣2
2 4﹣k

2

4﹣k

单调递增,

且 f(4)=1,所以 k≥4 时,f(k)=k ﹣7k+14﹣2 ≥1. * 又 f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在 k∈N ,使得 bk﹣ak∈(0,1) . (12 分) 点评: 本题主要考查等差关系的确定,等差数列、等比数列的通项公式,递推关系式的应用,二次函数的性质应用, 数列与函数的关系,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题. 15. (2012 秋?姜堰市校级期中)设 ,其中 c0,c1,c2,…,ck 为非

零常数,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn=fk(n) . (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. 考点: 等差关系的确定;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由 a1 =S1 求出首项 a1 的值, 当 n≥2 时, 由 an+Sn=2 ① , 可得 an﹣1+Sn﹣1=2 ② , 相减可得 2an﹣an﹣1=0 (n∈N,
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n≥2) .判断

,从而证得结论.
*

(2)若 k=0,由(1)知,不符题意.若 k=1,求得 an=1(n∈N ) ,此时 f1(n)=n+1.若 k=2,同理求得 an=2an
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﹣2a+1(n∈N ) ,此时
*

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当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则 an+Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an}不能成等差数列, 综上可得结论. 解答: (1)证明:∵ k=0,则 fk(n)即 f0(n)为常数,不妨设 f0(n)=c(c 为常数) . 因为 an+Sn=fk(n)恒成立,所以 a1+S1=c,即 c=2a1=2. 而且当 n≥2 时,由 an+Sn=2 可得① an﹣1+Sn﹣1=2,② ,把① ﹣② 可得 2an﹣an﹣1=0(n∈N,n≥2) . 若 an=0,则 an﹣1=0,…,a1=0,与已知矛盾,所以 故数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. (2)解: (i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1(n)=bn+c(b,c 为常数) ,则 当 n≥2 时,由 an+Sn=bn+c ③ ,可得 an﹣1+Sn﹣1=b(n﹣1) +c.④ ③ ﹣④ 得 2an﹣an﹣1=b(n∈N,n≥2) .要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an=b﹣d(常 数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an=1(n∈N ) , * 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an=1(n∈N ) ,此时 f1(n)=n+1. (iii) 若 k=2,设 当 n≥2 时,由 (a≠0,a,b,c 是常数) , ⑤ ,可得 ⑥ ,
*



⑤ ﹣⑥ 得 2an﹣an﹣1=2an+b﹣a(n∈N,n≥2) . 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an=2an+b﹣a﹣d,且 d=2a, * 考虑到 a1=1,所以 an=1+(n﹣1)?2a=2an﹣2a+1(n∈N ) . * 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an=2an﹣2a+1(n∈N ) , 此时 (a 为非零常数) .

(iv) 当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则 an+Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an}不能成等 差数列. 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 点评: 本题主要考查等比关系的确定,等差数列的通项公式的应用,数列的前 n 项和与第 n 项的关系,体现了分类 讨论的数学思想,属于中档题.

16. (2012 春?云梦县校级期中)设数列{an}满足当 n>1 时, (1)求证:数列 为等差数列;



(2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项.如果是,是第几项;如果不是,说明理由. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意数列为非 0 数列,递推关系式取倒数、即可判断数列
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是首项为 5,公差为 4 的等差数列.

(2)求出数列的通项公式,求出 a1a2 令它等于通项,求出 n 的值即可得到结论.

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解答: 解: (1)根据题意 取倒数得: 所以数列 及递推关系有 an≠0,因为 ,即 是首项为 5,公差为 4 的等差数列. , . ,

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(2)由(1)得: 又

所以 a1a2 是数列{an}中的项,是第 11 项. 点评: 本题是基础题,考查数列的判断,数列通项公式的求法,数列中的项的判断,考查计算能力. 17. (2012 秋?赫山区校级期中) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列.
2

考点: 等差关系的确定;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)先利用

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求出数列{an}的通项公式 an,再利用等差数列的定义或根据求

出的通项公式即可证明; (2)利用等差数列的定义或等差中项的意义即可证明. 解答: (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=3﹣2=1, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n ﹣2n﹣[3(n﹣1) ﹣2(n﹣1)]=6n﹣5, * n=1 时,亦满足,∴ an=6n﹣5(n∈N ) . * 首项 a1=1,an﹣an﹣1=6n﹣5﹣[6(n﹣1)﹣5]=6(常数) (n∈N ) , ∴ 数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ , , 成等差数列, ∴ = + 化简得 2ac=b(a+c) .



=

=

=

=

=



∴ 点评:





也成等差数列.

熟练掌握利用 差中项是解题的关键.

求出数列{an}的通项公式 an、等差数列的定义及通项公式、等

18. (2012 春?湖北校级期中)在自然数集 N 上定义一个函数 y=f(x) ,已知 f(1)+f(2)=5.当 x 为奇数时,f(x+1) ﹣f(x)=1,当 x 为偶数时 f(x+1)﹣f(x)=3.
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(1)求证:f(1) ,f(3) ,f(5) ,…,f(2n﹣1) (n∈N+)成等差数列. (2)求 f(x)的解析式.

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考点: 等差关系的确定;函数奇偶性的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用条件建立方程组关系,利用 f(1) ,f(3) ,f(5)的规律,结合等差数列的定义判断 f(2n+1)﹣ f(2n﹣1)是个常数即可. (2)利用当 x 为奇数时,f(x+1)﹣f(x)=1,当 x 为偶数时 f(x+1)﹣f(x)=3 去,求出函数 f(x)的 解析式. 解答: 解: (1)由 ,解得 f(1)=2,f(2)=3.
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所以 f(2n+1)﹣f(2n﹣1)=[f(2n+1)﹣f(2n)]+[f(2n)﹣f(2n﹣1)]=3+1=4, 所以 f(1) ,f(3) ,f(5) ,…,f(2n﹣1) (n∈N+)成等差数列,公差为 4. (2) 当 x 为奇数时, ( f x) =[f (x) ﹣( f x﹣1) ]+[f (x﹣1) ﹣( f x﹣2) ]+…+[f (2) ﹣( f 1) ]+f (1) = 当 x 为偶数时, ( f x) =[f (x) ﹣( f x﹣1) ]+[f (x﹣1) ﹣( f x﹣2) ]+…+[f (2) ﹣( f 1) ]+f (1) = ,

所以 f(x)=



点评: 本题主要考查抽象函数的应用,以及等差数列的定义和判断,综合性较强. 19. (2012 春?新华区校级月考)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n+1,求数列{an}的通项公式,并说明数列{an}是不是 等差数列. 考点: 等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用
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求出数列{an}的通项公式,再判断.

解答: 解:∵ Sn=n +n+1 ∴ 当 n=1 时,a1=S1=1+1+1=3. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n+1﹣[(n﹣1) +(n﹣1)+1]=2n. ∴ an= ∵ a2﹣a1=1≠a3﹣a2=2 ∴ 数列{an}不是等差数列 点评: 熟练掌握方法“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”是解题的关键. 20. (2012 秋?利津县校级月考)已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an. 考点: 等差关系的确定;等比数列的通项公式. ,

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专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知中前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6,根据 an=Sn﹣Sn﹣1,可以得到 an 与 an﹣1 的差为定值,进而 根据等差数列的定义得到答案; (2)结合 a1,a3,a15 成等比数列,令 n=1,我们可以求出 a1,分类讨论后,即可得到满足条件的 a1 及 an 与 an﹣1 的关系,进而求出数列{an}的通项 an. 解答: 证明: (1)∵ …① ∴ ② ﹣① 得: …②

即 ∵ 数列{an}为正项数列 ∴ (an+1+an)≠0 ∴ 即数列{an}是等差数列 (2)当 n=1 时, 解得 a1=2,或 a1=3 由(1)得等差数列{an}的公差 d=5, 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1,a3,a15 不成等比数列 ∴ a1≠3; 2 当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a3 =a1a15, ∴ a1=2, ∴ an=5n﹣3. 点评: 本题考查的知识点是数列的通项公式,数列的函数特征,其中在已知中包含有 Sn 的表达式,求通项 an 时, an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)是最常用的办法. 21. (2012 秋?泗阳县校级月考)已知数列{an}满足 a1=1,且对任意的正整数 n 有 an+3≥an+3,an+1≤an+1 成立. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an},{bn}满足 (3)若数列{cn},{dn}满足 数列. 考点: 等差关系的确定;必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由已知的两个不等式变形后得到 an+3≥an+1+2, 结合 an+3≥an+3, 得到 an+1 与 an 的关系, 从而求出数列{an} 的通项公式; (2)把已知等式的分母化简后乘到等式左边,把式子中的 n 用 n﹣1 替换写出另外一个式子,两式作差即可 得到要证的结论; (3)同(2)一样,化简后得到关于 cn 和 dn 的表达式,然后运用等价思想加以证明. 解答: 解: (1)因为 an+1≤an+1,且 an+3≥an+3,
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,求证:数列{bn}是等差数列; ,求证:数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差

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所以 an+3≤an+3≤an+2+1≤an+1+1+1≤an+1+1+1=an+3, 所以 an+3=an+3① 则 an+4=an+1+3② ① ﹣② 得:an+4﹣an+3=an+1﹣an 在该式中依次取 n=1,2,3,4,5,6… 可得 a2﹣a1=a3﹣a2=a4﹣a3=…=an+1﹣an 所以数列{an}构成等差数列,由 an+3=an+3 得 an+3d=an+3, 所以 d=1. 所以数列{an}是以 a1=1 为首项,以 1 为公差的等差数列, 所以 an=a1+(n﹣1)d=1+n﹣1=n; 证明: (2)由 得: , ,

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所以

③ ,

则 ③ ﹣④ 得: 所以 由 所以数列{bn}是等差数列. (3)由 得 所以 ⑤ ﹣⑥ 得: , ⑤ , , , ,

④ ,

⑥ , ,

若数列{dn}是等差数列,设其公差为 m,则上式等价于 , ? ? . ,则数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等

所以若数列{cn},{dn}满足

差数列. 点评: 本题考查了等差关系的确定,考查了错位相减法,解答此类问题的关键是模仿已知的等式再写出一个类似的 等式,然后两个等式作差整理. 22. (2012 春?仁怀市校级月考)已知数列{an}、{bn}是等差数列.求证:{pan+qbn}是等差数列.

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考点: 专题: 分析: 解答: 等差关系的确定. 证明题;等差数列与等比数列.
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设数列{an}、{bn}的公差,利用等差数列的定义,证明(pan+1+qbn+1)﹣(pan+qbn)为常数即可. 证明:设数列{an}、{bn}的公差分别为 d,d′ ,则 (pan+1+qbn+1)﹣(pan+qbn)=p(an+1﹣an)+q(bn+1﹣bn)=pd+qd′ 为常数 ∴ {pan+qbn}是等差数列. 点评: 本题考查等差数列的证明,正确运用等差数列的定义是关键. 23. (2011?台湾)设 为 (1)公差为正的等差数列 (2)公差为负的等差数列 (3)公比为正的等比数列 (4)公比为负的等比数列 (5)既非等差亦非等比数列. 考点: 等差关系的确定;等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 根据 bn=logan,对 ,n 为正整数,且知 an 皆为正.令 bn=logan,则数列 b1,b2,b3,…

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两边取以 10 为底的对数,利用对数的运算性质,可得

,根据等差数列的定义即可得到答案. 解答: 解:由 得 ,两边取以 10 为底的对数,





故数列 b1,b2, ,bn 为一公差为负的等差数列 故答案为② . 点评: 此题考查等差等比数列的意义与对数运算的性质,注意等差与等比数列之间的关系,此题属于中档题. 24. (2011?吉林校级模拟)设数列{an},{bn}的各项均为正数,若对任意的正整数 n,都有 an,bn ,an+1 成等差数列, 2 2 且 bn ,an+1,bn+1 成等比数列. (Ⅰ )求证数列{bn}是等差数列; n (Ⅱ )如果 a1=1,b1= ,比较 2 与 2an 的大小. 考点: 等差关系的确定;数列与不等式的综合. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ )利用已知条件可得数列{bn}与{an}的递推关系
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,代入 2bn =an+an+1 整理,然后利用等

2

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差中项的证明数列{bn}为等差数列 (Ⅱ )结合(1)求出数列{bn}的公差 d,进一步求得 bn,然后利用递推公式 an=bn﹣1.bn 求出 an,通过 n 的 n 特殊值猜想 2 与 2an 之间的大小关系,利用数学归纳法进行证明 2 解答: 解: (Ⅰ )由题意,得 2bn =an+an+1,① 2 2 2 an+1 =bn bn+1 ,② (1 分) 因为 an>0,bn>0,所以由式② 得 an+1=bnbn+1, 从而当 n≥2 时,an=bn﹣1bn, 2 代入式① 得 2bn =bn﹣1bn+bnbn+1, (3 分) 故当 n≥2 时,2bn=bn﹣1+bn+1(n≥2) , ∴ 数列 bn 是等差数列. (4 分) (II)由 因此 bn 的公差 从而 得 所以当 n≥2 时, 又 a1=1 也适合式③ , ∴
n

及式① 、② 易得 , , (5 分) , ,③



. (6 分)

设 P=2 ,Q=2n﹣n(n+1) , 当 n=1 时,P=Q,当 n=2,3,4 时,P<Q 当 n=5 时,P>Q,当 n=6 时,P>Q 由此猜想当 n≥5 时,P>Q(8 分) 以下用数学归纳法证明. (1)当 N=5 时,P>Q 显然成立, (9 分) (2)假设当 n=k(k≥5)时, P>Q 成立,即 2 >k(k+1)﹣k +k 成立, K+1 k 2 则当 n=k+1 时,P=2 =2?2 >2k +2k 2 2 2 =(k +2k+1)+(k+1)+(k ﹣k﹣2)=(k+1) +(k+1)+(k+1) (k﹣2) k+1 2 ∵ k≥5,∴ (k+1) (k﹣2)>0 即 P=2 >(k+1) +(k+1)成立. 故当 n=k+1 时,P>Q 成立. 由(1) 、 (2)得,当 n≥5 时, P>Q 成立. (11 分) n 因此,当 n=1 时,2 =2an, n 当 n=2,3,4 时,2 <2an, n 当 n≥5 时,2 >2an. (12 分) 点评: (1)利用递推公式进行构造,等差中项证明数列为等差数列:2an=an﹣1+an+1?数列{an}为等差数列 (2)利用数学归纳法证明数学命题或不等式时,要注意由归纳假设 n=k 成立推到 n=k+1 是数学归纳法的关 键. 25. (2011?江苏模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an }的前 n 项和为 Tn,满足 a1=1, ,其中 p 为常数.
2 n 2

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(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 是否存在正整数 n,m,k(n<m<k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若存在,指出 n,m,k 的关系;若不存 在,请说明理由; ② 若对于任意的正整数 n,都有 an,2 an+1,2 an+2 成等差数列,求出实数 x,y 的值. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性. 专题: 综合题. 与 分析: (1)令 n=1,代入 Tn,求出 p 的可能取值,经过验证,确定最终的值 2.利用 an 与 Sn,an2 Tn 的关系, 转化,寻求{an}的性质,根据性质求通项. 0 (2)① 假设存在 n,m,k(n<m<k) ,列出关系式,探讨有无解或关系② 转换成恒成立问题,注意 a =1(a≠0) 的使用. 解答: 解: (1)当 n=1 时,Tn= ,即 1= ,∴ p=0 或 p=2
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x

y

当 p=0 时,Tn= ∴ a2=0,或∴ 当 p=2 时, 将 n=2 代入,得 ② ﹣① 得

.将 n=2 代入,得 1+a2 = 与 an>0 矛盾.∴ p≠0 ① ∴ a2= ,a2= a1 由① 得

2





即 3an+1 =(4﹣Sn+1﹣Sn)an+1 则 3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn ③ 则 3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1 ④ ④ ﹣③ ,得 3an+2﹣3an+1=﹣an+2﹣an+1an+2= an+1,又 a2= a1∴ {an}是等比数列,通项公式 an= (2)① 假设存在正整数 n,m,k(n<m<k) ,使得 an,am,ak 成等差数列,则 2am=an+ak,即 2× 两边同除以 由已知 n﹣m≤﹣1,∴ = 得:2= ≥2,且
x

2



+ >0
y



∴ ⑤ 式不成立.从而不存在满足条件的 n,m,k. ② 若对于任意的正整数 n,都有 an,2 an+1,2 an+2 成等差数列 x+1 y x﹣n+1 1﹣n y﹣n﹣1 则 2 an+1=an+2 an+2,根据通项公式,得 2 =2 +2 , 1﹣n x y﹣2 两边同除以 2 ,得 2 =1+2 ,∴ x=1,y=2. 点评: 本题考查等比数列的定义,性质,通项公式求解,考查转化能力,分析解决问题能力,计算能力,反证法的 运用能力.是难题. 26. (2011?沅江市模拟)已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足 a2?a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)通过 构造一个新的数列{bn},是否存在一个非零常数 c,使{bn}也为等差数列;

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(3)求 的最大值.

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考点: 等差关系的确定;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: (1)利用通项公式,建立关于 a1,d 的方程组,并解出 a1,d 可求通项公式. (2)写出 bn 的表达式,根据等差数列通项公式特点:关于 n 的一次函数形式,确定是否存在. (3)研究 f(n)的函数性质,结合分式形式,考虑用基本不等式法求最值. 解答: 解: (1)∵ 等差数列{an}中,公差 d>0,
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(2) 令

, ,即得 bn=2n,数列{bn}为等差数列, ,使{bn}也为等差数列.

=



∴ 存在一个非零常数 (3) ∵ + ∵ n∈N , ∴ n=45 时,

, ,

有最大值



点评: 本题考查等差数列的定义,通项公式,数列的函数性质,考查分析解决问题、计算的能力. 27. (2011?石狮市校级模拟)已知数列{an}满足:a1=2,nan+1=Sn+n(n+1) ,n∈N . (1)求证:数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式; ,若 bn<M 对任意的 n∈N 恒成立,求 M 的取值范围.
* *

(2)已知数列{bn}满足:

考点: 等差关系的确定;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)通过 an+1=Sn+1﹣Sn 化简数列 nan+1=Sn+n(n+1) ,等号两边同除 n+1) ,即可怎么数列
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是等差数列,

求出数列{an}的首项与公差,即可得到通项公式; (2)通过(1)求出 最大项,即可求 M 的取值范围. 解答: 解: (1)由已知得:nSn+1﹣(n+1)Sn=n(n+1)即 …(2 分) 的表达式,若 bn<M 对任意的 n∈N 恒成立,只需求出数列{bn}中的
*

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∴ 是等差数列,首项为 2,公差为 1,∴ Sn=n +n…(4 分)
2

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∴ an=Sn﹣Sn﹣1=2n 当 n=1 时,a1=2 也适合上式∴ an=2n…(6 分) (2)由(1)得, …(7 分)



,…(8 分)

∴ 当 n=1 时,b1<b2 当 n=2 时,b2=b3,当 n≥3 时,bn>bn+1 ∴ 第二、三项取最大值为
*

,…(10 分) .

∵ bn<M 对任意的 n∈N 恒成立,∴ bn 的最大值小于 M,∴ 所以,M 的取值范围 .…(12 分)

点评: 本题是中档题,考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式与数列中最大项的求法,考查计算能力,转化 思想,分类讨论的应用. 28. (2011 秋?鹿城区校级期中)设数列满足 ,令 .

(Ⅰ )证明数列{bn}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式; * (Ⅱ )若存在 m,n∈N ,n≤10 使得 b6,am,an 依次成等比数列,试确定 m,n 的值. 考点: 等差关系的确定;等比数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: 由已知可得 = ,即可得
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,可证

(Ⅱ )由(1)知

,代入可得(m ﹣1) =12(n ﹣1) ,结合左面是完全平方数,则 n ﹣1 可设为

2

2

2

2

3k, 2 则 n =3k+1,检验可求 k,进而可求 m,n 解答: (I )证明:∵ ∴ =



∵ ∴

. ,

∴ {bn}是以 为公差,以 为首项的等差数列 由等差数列的通项公式可得,

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(Ⅱ )解:由(1)知
*

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存在 m,n∈N ,n≤10 使得 b6,am,an 依次成等比数列 则
2 2

,整理可得(m ﹣1) =12(n ﹣1)
2 2 2

2

2

2

左面(m ﹣1) 是完全平方数,则 12(n ﹣1)=4×3(n ﹣1) 也一定是完全平方数 2 * ∴ n ﹣1 可设为 3k,k∈N ,且 k 是完全平方数 n≤10, 2 ∴ n =3k+1 ∴ 当 k=1 时,n=2,m 不存在 当 k=4 时,n 不存在 当 k=9 时,n 不存在 当 k=16 时,m=5,n=7 综上可得 k=16 时,m=5,n=7 点评: 本题主要考查了利用构造证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用,解答(II)要求考生具备一定综合 应用知识解决综合问题的能力. 29. (2010?山东模拟)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= (1)证明:数列 (2)若 是等差数列.并求数列{an}的通项公式; ,Tn=b1+b2+…+bn,求证: . + (n≥2) ,a1=1.

考点: 等差关系的确定;数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 证明题. 分析: (1)利用平方差公式对题设中的等式化简整理求得 数列

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,进而根据等差数列的定义判断出 的通项公式,进

是一个首项为 1 公差为 1 的等差数列.进而根据首项和公差求得数列

而根据 an=Sn﹣Sn﹣1 求得 an. (2)把(1)中的 an 代入 bn,进而根据裂项法求得前 n 项的和,求得 Tn= 推断出 解答: 解: (1)∵ 又 bn≥o, 又 ,∴ ,所以数列
2

,进而利用

,原式得证. , (n≥2) , 是一个首项为 1 公差为 1 的等差数列.

,sn=n . 当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1;a1=1 适合上式,∴ an=2n﹣1(n∈N) . (2) = ,
2 2

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Tn=b1+b2++bn ; = = ∵ n∈N,∴ , , ,即 .

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点评: 本题主要考查了等差关系的确定和数列的求和,数列和不等式的综合运用.作为高考的必考内容,数列题常 与不等式,函数等问题综合考查,综合性较强.

30. (2010?泰安二模)已知数列

,且

(I)求证:数列

是等差数列,并求 an;

(II)令

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (I)对 两边同时减去 1,整理得到
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=

,然后两边同时取倒数得



=

,即

,进而可证数列

是等差数列,结合等差

数列的定义可得到

,整理即可得到 an 的表达式.

(II)先根据(I)中的 an 的表达式表示出 bn,然后根据数列求和的裂项法求得答案. 解答: 解: (I)∵ ∴ =



=

=



∴ 数列

是公差为

的等差数列

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= ∴

=

(II)由(I)知 ∴

故 Tn=b1+b2++bn= = =

点评: 本题主要考查求数列的通项公式和前 n 项和的裂项法.考查对数列知识的综合运用.

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