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高考数列求和的方法


数列求和









求一个数列的前 n 项和的几种方法:
1运用公式法

2 倒序相加法
3 错位相减法 4 分组求和 法 5 裂项相消法

1.公式法:
即直接用求和公式,求数列的前n和Sn


n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ①等差数列的前n项和公式:Sn ? 2 2

②等比数列的前n项和公式

?na1 (q ? 1) ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

常见数列的前 n 项和

n(n+1) (1)1+2+3+?+n= 2 ;
(2)2+4+6+?+2n=

n2 +n



2 n (3)1+3+5+?+(2n-1)= ;

n(n+1) 2 [ 2 ] (4)12+22+32+?+n2=
3 3 3 3

; .

n(n+1)(2n+1) (5)1 +2 +3 +?+n = 6

例1:若实数a,b满足:4a ? 9b ? 4a ? 6b ? 2 ? 0
2 2

求: a ? a 2b ? a3b2 ? ? ? a100b99 分析:通过观察,看出所求得数列实际上就是等比 数列其首项为a,公比为ab,因此由题设求出a,b, 再用等比数列前n项和公式求和 解:由已知有(4a 2 ? 4a ? 1) ? (9b2 ? 6b ? 1) ? 0
2 即:(2a-1) ? (3b ? 1)2 ? 0 解得a= 1 ,b ? 1 .

?a ? a b ? a b ??? a
2 3 2

2

100

3

b

99

?

a? ?1 ? ( ab ) 1 ? ab

100

? ? ?

1 2

3 1 ? (1 ? 100 ). 5 6

1 100 ? ? 1? ( ) ? ? 6 ? ? 1 1? 6

例2 求和:1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解: ∵1,1/a,1/a2……1/an是首项 为1,公比为1/a的等比数列,

1 ? ? 1? ?1 ? n ?1 ? n ?1 a a ? 1 ? ? ∴原式= ? 1 n ?1 n 原因: a ?a 1? a 上述解法错误在于,当公比 1/a=1即a=1时,前n 项和公 式不再成立。

例2 求和: S ? 1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解:当a=1时, S ?

n ? 1;
n ?1

当a ? 1时,
? ? 1 ? n ?1 ? 1? ?1 ? ? ? ? ?a? ? ? ? ? S? 1 1? a

a ?1 ? n ?1 n a ?a

? n ? 1, ? n+1 ? S ? ? a ?1 ? n ?1 n ?a ? a

? a=1? ? a ? 1?

对策: 在求等比数列前n项和时,要特别 注意公比q是否为1。当q不确定时 要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求 解。

即时小结 在什么情况下,用公式法求和?

公式法求和的前提是由已知条件能得到
此数列是等差或等比数列,因此,要求不仅 要牢记公式,还要计算准确无误.

2.倒序相加法 倒序相加法:如果一个数列{an},首末两 端等“距离”的两项具备某种固定的关系 (如它们的和相等或等于同一个常数), 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相 加法求和;

类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……

1 例:设 f(x)= x 例 3 2 ? 2 求 : f (?5) ? f (?4) ? ... ? f (0) ? f (1) ? ... ? f (5) ? f (6)的值。

1 1 1 1 = x ? 解:f(x)+f(1-x)= x ? 1? x 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 x 2
1 2x 1 2x = x ? = x ? x 2 ? 2 2( 2 ? 2 x ) 2 ? 2 2? 2 ?2

2x ? 2 2 = = x 2 2( 2 ? 2 )

S ? f (?5) ? f (?4) ? ... ? f (0) ? f (1) ? ... ? f (5) ? f (6) S ? f (6) ? f (5) ? ... ? f (1) ? f (0) ? ... ? f (?4) ? f (?5) 两式相加得 : (即倒序相加得 :)

2S ? [ f (?5) ? f (6)] ? [ f (?4) ? f (5)] ? ... ? [ f (0) ? f (1)] ? ?[ f (1) ? f (0)] ? ... ? [ f (5) ? f (?4)] ? [ f (6) ? f (?5)]

2 ? 12 ? 2
f (?5) ? f (?4) ? ... ? f (0) ? f (1) ? ... ? f (5) ? f (6) ? 3 2

变式. 已知 lg(xy) ? 2 n n-1 1 n-1 n S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy ,

(x > 0,y > 0)
n
n

求S .
n-1 n
n-1 n

? S =lgx +lg(x ·y)+...+lgy
S =lgy +lg(y ·x)+ ...+lgx
n n

?2S =lg(xy) +lg(xy) + ...+lg(xy)

n

= 2n(n +1) ? S = n(n +1)

热身训练
求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 89 的值.
2 0 2 0 2 0 2 0

【解析】

倒序相加法

设 S=sin21° +sin22° +sin23° +…+sin288° +sin289° ,

则 S=sin289° +sin288° +sin287° +…+sin22° +sin21° ,

即 S=cos 1° +cos 2° +cos 3° +…+cos 88° +cos 89° ,
89 得 2S=89,所以 S= 2 .

2

2

2

2

2

即时小结 在什么情况下,用倒序相加法求和?

倒序相加法求和的前提首末两项等距离的
两项之和等于首末两项之和.

例4、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的 对应相乘构成的新数列,这样的数列求和该如 何求呢?

Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① 相减 xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 nxn n项
这时等式的右边是一个等 比数列的前n项和与一个 式子的和,这样我们就可 以化简求值。

例4、求和Sn =1+2x+3x2+ …… +nxn-1 (x≠0,1) …… +nxn-1 解:∵ Sn =1 + 2x +3x2 + … + (n-1)xn-1+nxn ∴xSn = x + 2x2 + ∴ ① -②,得: … (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-xn - nxn = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1x)2

3.错位相减法:设数列 {an } 是公差为d的等差 {bn } 是公比为q的等 数列(d不等于零),数列 {cn } 满足: cn ? anbn {cn } 比数列(q不等于1),数列 则 的前n项和为:

S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn

即时小结

在什么情况下,用错位相减法求和?

?cn ? an ? bn ?其中?an ?是等差数列 ?bn ?是等比数列

4. 分组转化法: 把数列的每一项分成两项,或把数列的项 “集”在一块重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转 化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法.

适用于求cn ? an ? bn,(其中数列 {an }, {bn }分别为等 差或等比数列 , 或可以直接用公式求和 的数列)的 数列 {cn }的前n项和。

若数列 {an } 的通项可转化为an ? bn ? cn sb 的形式,且数列 {bn } {cn } 可求出前n项和 则

sc

例6.求下列数列的前n项和 1 1 1 1 (1)2 , 4 , 6 ,?, 2n ? n?1
4 8 16 2

1 2 2 1 2 1 2 n ? 2 ? ( x ? ) , ( x ? 2 ) , ?, ( x ? n ) x x x

1 解(1):该数列的通项公式为 an ? 2n ? n ?1 2 1 1 1 1 ? sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? (2n ? n?1 ) 4 8 16 2
1 1 1 ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? ( ? ? ? ? n ?1 ) 4 8 2
n(2 ? 2n) ? ? 2 1 4 1 ? ? 1? n ? ? 2 ? ? 1 1? 2

1 1 ? n(n ? 1) ? ? n ?1 2 2

1 1 1 4 2n ? Sn ? ( x ? 2 ? 2) ? ( x ? 4 ? 2) ? ? ? ( x ? 2 n ? 2) x x x
2

1 2 1 2n (2) ? an ? ( x ? n ) ? x ? 2 n ? 2 x x
n

1 1 1 ? ( x ? x ? ? ? x ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x
2 4 2n

1 1 (1 ? 2n ) 2 2n 2 当 x ? ?1时,Sn ? x (1 ? x ) x x ? ? 2n 2 1 1? x 1? 2 x 2n 2n?2

Sn ? n ? n ? 2n ? 4n 当x ? ?1时,

( x ? 1)( x ? 1) ? ? 2n 2n 2 x ( x ? 1)

? 4n( x ? ?1) ? 2n ? S n ? ? ( x ? 1)( x 2 n ? 2 ? 1) ? 2n( x ? ?1) 2n 2 ? x ( x ? 1) ?

变式

如果题中的第n项本身就 是一个和式,那么可先将通 项化简再求和

即时小结
分组求和法 先将求和式中的项进行适当分组调整,使之每

一个组为等差或等比数列,然后分别求和,从而得出原数列 的和.它是通过对数列通项结构特点的分析研究,将数列分 解转化为若干个能求和的新数列的和或差,从而求得原数列 的和的一种求和方法.

5.拆项求和
将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和.

例 7.

求和:1×4+2×7+3×10+?+n(3n+1).

解 构造数列{an},an=n(3n+1)=3n2+n, ∴1×4+2×7+3×10+?+n(3n+1) =(3×1 +1)+(3×2 +2)+(3×3 +3)+?+(3n +n) =3(12+22+32+?+n2)+(1+2+3+?+n) n(n+1)(2n+1) n(n+1) 2 =3· + = n ( n + 1) . 6 2
2 2 2 2

即时小结
求前n项和关键的第一步:

在什么情况下,用拆项求和?

6.并项求和
将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得 到一个新数列(容易求和).

并项求和
例8.
2 2 2 2 2 1-2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =?

局部重组转化为常见数列

练习.求和S=1-2+3-4+ ??? +99-100 S=1-2+3-4+ ??? +99-100=-50

即时小结

交错数列,并项求和
n 即{(-1) bn}型

例9、Sn =

1
1×3

+ 3×5

1

+……+ (2n-1)×(2n+1)

1

[分析]:观察数列的前几项:
1 1×3 = 1 2 ( 1 1 1 3 )

1 1 1 1 ? ( ? ) 3? 5 2 3 5
1 1 (2n-1)×(2n+1) = 2 ( 2n-1 ) 1 1 2n+1

裂项相 消法

这时我们就能把数列的每一项裂成 两项再求和,这种方法叫什么呢?

例9、Sn =

1
1×3

+ 3×5 1 1

1

+ …… + (2n-1)×(2n+1) 1

1

解:由通项 a n=

(2n-1)×(2n+1) = 2 ( 2n-1 ) 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( + +……+ 3 5 2n-1 - 2 1) 3 1 1 n = = (1 ) 2 2n+1 2n+1

2n+1
1

1

2n+1

评:裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

7.裂项相消法:若数列{a n } 的通项公式拆分为

某数列相邻两项之差的形式即:
an ? m( 1 ? 1 ) bn ?1 bn

1 ? 1 ) 或( an ? m( b bn ?1 n sn 项和 .

)则可用如下方法求前n

sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? m( 1 ? 1 ) ? m( 1 ? 1 ) ? ? ? m( 1 ? 1 ) b2 b 1 b3 b2 bn?1 bn

1 bn ? {bn } 满足 例10设{a n } 是公差d 不为零的等差数列 , an an ?1 ?bn ? 的前n项和 求:

解: bn ?

1 an an ?1

? Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 1 1 an ?1 ? an ? ) ? ( ? d an an ?1 dan an ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 它的拆 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) d a1 a2 d a2 a3 d an 项方法 an ?1
1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) d a1 a2 a2 a3 an an ?1

你掌握 了吗?

1 1 1 n ? ( ? ) ? . d a1 an ?1 a1an ?1

常见的拆项公式有:
1 1 1 1. ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 2. ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 3. ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 4. ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)

1 1 5. ? ( a ? b) a ? b a ?b

1 练习:求an ? 的前n项和 1? 2 ? 3 ?? ? n 2 1 解:an ? ? 1? 2 ? 3 ??? n n(n ? 1)

1 1 ? 2( ? ) n n ?1

1 1 1 1 1 ? Sn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1

1 2n ? 2(1 ? )? n ?1 n ?1

an ? (2)已知

1 n ? n ?1

前n

,若 ?a n ?

120 项和 为10,则项数n为__________.

即时小结
在什么情况下,用裂项相消求和?
1 适用于求cn ? ,或cn ? an ? an?1 1 an ? an?1

(其中数列 {an }为等差数列)的数列 {cn }的前n项和。

1 1 1 1 cn ? ? ( ? ), an ? an?1 d an an?1 cn ? 1 a n ? a n?1 1 ? ( an?1 ? an ) d

8. 奇偶分析法
若构成数列的项中含有 (-1)n ,或者数列是以分段函数 形式给出时,则在求和 Sn 时,一般要考虑 n 是奇数还是 偶数.

例11:若数列{an}中,an=-2[n-(-1) n],求S10和S99.
解:an=-2n+2(-1) n,
k n(?2 ? 2n) k ? ? n( n ? 1 ) ? 2 ( ? 1 ) ? Sn ? ? 2? (? 1 ) 2 S10 ? ?10 ?11 ? ?110

S99 ? ?99 ?100 ? 2 ? ?9902

? an ? (天津卷)已知数列 的通项公式如下:
?6n ? 5 an ? ? n ?2 n为奇数 n为偶数


变式

求数列的前 n 项的和
【解析】 (ⅰ)当 n 为奇数时,

sn

S n ? S奇 ? S偶

n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) (a1 ? an ) 2 2 4 ( 1 ? 4 ) a ( 1 ? 4 ) 2 2 2 ? ? ? ? 2 1? 4 2 1? 4

?

2

n?2

? 9n ? 3n ? 14 ? 6
2

(天津卷)已知数列

? an ? 的 通 项 公 式 如 下 :
n为奇数 n为偶数


?6 n ? 5 an ? ? n ?2

求数列的前 n 项的和

sn

n n (a1 ? an ?1 ) n ?3 2 2 2 ? 9 n ? 15n ? 8 a ( 1 ? 4 ) 2 2 ? ? Sn ? ? 6 2 1? 4 n?2 2 2 ? 9n ? 3n ? 14 ? n为奇数 ? 6 ?

【解析】 (ⅱ)当 n 为偶数时,

S n ? S奇 ? S偶 ,

? Sn ? ? n ?3 2 ? 2 ? 9n ? 15n ? 8 ? n为偶数 ?
6

总结 1、本节课主要讲了8种数列求和方法 公式法 错位相减法 分组结合法

裂项相消法
拆项法

倒序相加法

并项法

奇偶分析法

2、求和时应首先注意观察数列特点和规律考察此数 列,是否是基本数列求和或者可转化为基本数列求和。 3、要熟练运用这些方法,还需要我们在练习中不 断摸索。

n a ? n ? 2 1.已知数列{an}的通项公式为 n ,求

巩固训练

2.已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2 ,求其
n

其前 n 项和 sn

前 n 项和 sn

3.求和S=3+33+333+…+33…3
1 an ? n(n ? 1) , 4 .已知数列 {an} 的通项公式为

s 为其前 n 项和,求 S 2012
n

5. 求 cos 1 ? cos 2 ? cos 3 ? ? ? cos 89 的值.
2 0 2 0 2 0 2 0

延伸·拓展
例.在数列{an}中,an>0, 2√Sn = an +1(n∈N) ①求Sn和an的表达式; an ? 2n ? 1

1 1 1 1 ②求证: ? ? ?? ?2 S1 S 2 S 3 Sn 提示:(1)由Sn与an的关系可得 : an ? an?1 ? 2, a1 ? 1

Sn ? n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? ? ? ... ? S1 S2 S3 Sn 1 2 3 n 2 ?1 3 ? 2 n ? (n ? 1)

1 1 【解题回顾】利用 2 ? ,再用裂项法求和.利用 n n?n - 1?
此法求和时,要细心观察相消的规律,保留哪些项等.必 要时可适当地多写一些项,防止漏项或增项.

1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 2? ? 2 1 2 2 3 n ?1 n n

P62 12、13


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