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人教a版必修一:第一章《集合与函数概念》章末总结(含答案)


第一章 集合与函数概念 知识概览

章末复习课

对点讲练
分类讨论思想在集合中的应用 分类讨论思想是高中的重要数学思想之一,分类讨论思想在与集合概念的结合问题上, 主要是以集合作为一个载体, 与集合中元素结合加以考查, 解决此类问题关键是要深刻 理解集合概念,结合集合中元素的特征解决问题. 1.由集合的互异性决定分类 【例 1】 设 A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},则实数 a= ________. 分析 由 A∩B={9}知集合 A 与 B 中均含有 9 这个元素,从而分类讨论得到不同的 a 的值,注意集合中元素互异性的检验. 答案 -3 解析 由 A∩B={9},得 2a-1=9,或 a2=9, 解得 a=5,3,-3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={9,0,-4},

A∩B={9,-4},与 A∩B={9}矛盾; 当 a=3 时,a-5=-2,1-a=-2,B 中元素重复,舍去; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},满足题设. ∴a=-3. 规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用,同时应该注意集 合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用. (2)本题在解题过程中易出现的错误:①分类讨论过于复杂;②不进行检验,导致出现 增根;③分类讨论之后没有进行总结. 变式迁移 1 全集 S={2,3,a2+2a-3},A={|2a+11|,2},?SA={5},求实数 a 的值. 解 因为?SA={5},由补集的定义知,5∈S,但 5 ? A. 从而 a2+2a-3=5,解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,|2a+11|=15 ? S,不符合题意; 当 a=-4 时,|2a+11|=3∈S.故 a=-4. 2.由空集引起的讨论 【例 2】 已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1},若 A∩B=B, 求实数 p 的取值范围. 解 ∵A∩B=B,∴B?A, (1)当 B=?时,即 p+1>2p-1, 故 p<2,此时满足 B?A; (2)当 B≠?时,又 B?A,借助数轴表示知 p+1≤2p-1 ? ? ?-2≤p+1 ? ?2p-1≤5 ,故 2≤p≤3.

由(1)(2)得 p≤3. 规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法. 如 A?B 即可分两类: (1)A=?; (2)A≠ ?.而对于 A≠?又可分两类:①A B;②A=B.从而使问题得到解决.需注意 A=?这 种情况易被遗漏.解决含待定系数的集合问题时,常常会引起讨论,因而要注意检验是 否符合全部条件,合理取舍,谨防增解. 变式迁移 2 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},集合 B={x|mx-2=0},若 B?A,求由 实数 m 构成的集合. 解 A={x|x2-3x+2=0}={1,2} 当 m=0 时,B=?,符合 B?A; 2 2 2 当 m≠0 时,B={x|x= },由 B?A 知, =1 或 =2.即 m=2 或 m=1. m m m 故 m 所构成的集合为{0,1,2}. 数形结合思想在函数中的应用 数形结合是本章最重要的数学思想方法, 通过画出函数的图象, 使我们所要研究的问题 更加清晰,有助于提高解题的速度和正确率. 【例 3】 设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3), (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. (1)证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)解 当 x≥0 时, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,

当 x<0 时, f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, ??x-1?2-2?0≤x≤3? ? 即 f(x)=? . 2 ??x+1? -2 ?-3≤x<0? ? 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图. (3)解 函数 f(x)的单调区间为 [-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数, 在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解 当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2. 故函数 f(x)的值域为[-2,2]. 规律方法 函数的图象是函数的重要表示方法, 它具有明显的直观性, 通过函数的图象 能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图 象正确的画出. 变式迁移 3 当 m 为何值时,方程 x2-4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实数根?

解 令 f(x)=x2-4|x|+5, ?x2-4x+5, x≥0, ? 则 f(x)=? 2 ?x +4x+5, x<0, ? 那么原问题转化为探求 m 为何值时, 函数 f(x)的图象与直线 y=m 有 4 个交点. 作出 f(x) 的图象,如图所示.由图象可知,当 1<m<5 时,f(x)的图象与 y=m 有 4 个交点,即方 程 x2-4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实根. 等价转化思想的应用 数学问题中, 已知条件是结论成立的保证. 但有的问题已知条件和结论之间距离比较大, 难以解出.因此,如何将已知条件经过转化,逐步向所求结论靠拢,是解题过程中经常 要做的工作. 变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替, 使得原条件中隐含的因素 显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间的 内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决. 【例 4】 对任意 x∈[1,+∞),不等式 x2+2x-a>0 恒成立.求实数 a 的取值范围. 解 方法一 由已知 x∈[1,+∞),x2+2x-a>0 恒成立, 即 a<x2+2x,x∈[1,+∞)恒成立. 令 g(x)=x2+2x,x∈[1,+∞), 则原问题可转化为 a 小于 g(x)在[1,+∞)上的最小值. ∵g(x)=(x+1)2-1,图象的对称轴为 x=-1, ∴函数 g(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴x=1 时,g(x)取最小值 g(1)=3.∴a<3. 即所求 a 的取值范围是(-∞,3). 方法二 当 x∈[1,+∞)时,x2+2x-a>0 恒成立,

令 f(x)=x2+2x-a,x∈[1,+∞), 则有 x∈[1,+∞)时,f(x)>0 恒成立, f(x)=(x+1)2-a-1,x∈[1,+∞), ∴f(x)min=f(1)=3-a,问题转化为 3-a>0, 即 a<3.∴所求 a 的取值范围为(-∞,3). 规律方法 本题关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,即 f(x)>a 恒成立 ?f(x)min>a,f(x)<a 恒成立?f(x)max<a. 变式迁移 4 已知函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为 R,求 m 的取值范围. 解 f(x)= mx2+mx+1的定义域为 R,即等价于 x∈R 时,mx2+mx+1≥0 恒成立. 当 m=0 时,1≥0 满足要求, ? ?m>0 当 m≠0 时,则? ,解得:0<m<4. 2 ?Δ=m -4m<0 ? 综上,m 的取值范围为[0,4).

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转化为能力的桥 梁.在日常学习中,同学们要注意数学思想方法在解题中的运用,要增强运用数学思想 方法解决问题的意识,从而迅速找到解题思想或简化解题过程.

课时作业
一、选择题 1.设集合 S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是( ) A.-3<a<-1 B.-3≤a≤-1 C.a≤-3 或 a≥-1 D.a<-3 或 a>-1 答案 A 解析 ∵|x-2|>3,∴x>5 或 x<-1. ∴S={x|x>5 或 x<-1}. 又 T={x|a<x<a+8},S∪T=R, ? ?a+8>5, ∴? ∴-3<a<-1. ?a<-1. ? 2.若偶函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( ) 3? 3? ? ? A.f?-2?<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f?-2?<f(2) 3? ? 3? C.f(2)<f(-1)<f? D.f(2)< f ? - ? <f(-1) ?-2? 2

?

?

答案 D 解析 由 f(x)是偶函数, 得 f(2)=f(-2), 又 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数, 3 且-2<- <-1, 2 3? 则 f(-2)=f(2)<f? ?-2?<f(-1). 3.如果奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间[-5,-1] 上是( ) A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为-3 D.减函数且最大值为-3 答案 D 解析 当-5≤x≤-1 时 1≤-x≤5,

∴f(-x)≥3,即-f(x)≥3. 从而 f(x)≤-3, 又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同, 故 f(x)在[-5,-1]是减函数.故选 D. 4.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象 与 f(x)的图象重合,设 a<b<0,给出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 答案 D 解析 本题采用特值法求解. ? x≥0, ?f?x?, 不妨取符合题意的函数 f(x)=x 及 g(x)=|x|,进行比较或由 g(x)=? ?f?-x?, x<0, ? f(0)=0,f(a)<f(b)<0,f(-a)>f(-b)>0 得出. 5.已知 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 F(x)=f(x)· g(x)的图象可以是( )

答案 A 解析 由图象可知函数 y=f(x)与 y=g(x)均为奇函数. f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),F(x)=f(x)· g(x)=[-f(-x)]· [-g(-x)]=F(-x).所以函 数 F(x)=f(x)· g(x)为偶函数. 注意到函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧部分先小于 0 后大于 0, 而函数 y=g(x)在右侧部分恒大于 0,满足以上条件的只有 A. 二、填空题 6. 设全集 U={2,3, a2+2a-3}, A={|2a-1|,2}, ?UA={5}, 则实数 a 的值为________. 答案 2 解析 ∵?UA={5},∴5∈U 且 5 ? A. ∴a2+2a-3=5,解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,|2a-1|=3≠5 且 3∈U, 当 a=-4 时,|2a-1|=9≠5,但是 9 ? U. 故 a 的值为 2. 7.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7) =______. 答案 -2 解析 f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-2×12=-2. 8.有下列四个命题: |x| ①函数 f(x)= 为偶函数;②函数 y= x-1的值域为{y|y≥0}; |x-2| ③已知集合 A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a 的取值集合为 1? ? ?-1, ?; 3? ? ④集合 A={非负实数}, B={实数}, 对应法则 f: “求平方根”, 则 f 是 A 到 B 的映射. 写出所有正确命题的序号________. 答案 ②④

|x| 解析 函数 f(x)= 的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),它关于坐标原点不对称,所 |x-2| |x| 以函数 f(x)= 既不是奇函数也不是偶函数,即命题①不正确; |x-2| 函数 y= x-1的定义域为{x|x≥1},当 x≥1 时,y≥0,即命题②正确; 因为 A∪B=A,所以 B?A,若 B=?,满足 B?A,这时 a=0; 1 若 B≠?,由 B?A,得 a=-1 或 a= . 3 1? ? 因此,满足题设的实数 a 的取值集合为?-1,0,3?,即命题③不正确. ? ? 依据映射的定义知,命题④正确. 三、解答题 9.设奇函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,若不等式 f(ax+6)+f(2-x2)<0 对于 任意 x∈[2,4]都成立,求实数 a 的取值范围. 解 由 f(ax+6)+f(2-x2)<0 得 f(ax+6)<-f(2-x2). ∵f(x)为奇函数,∴f(ax+6)<f(x2-2). 又 f(x)在 R 上为增函数, ∴原问题等价于 ax+6<x2-2 对 x∈[2,4]都成立, 即 x2-ax-8>0 对 x∈[2,4]都成立. 令 g(x)=x2-ax-8,问题又转化为:在 x∈[2,4]上, a a 2≤ ≤4, ?a>4, ? 2 ? ?2<2, g(x)min>0?? 或 或?2 a ?g?2?>0 ?g?4?>0, ? ? g? ?>0 2

? ? ?

解得 a<-2.综上,a∈(-∞,-2). ax2+1 10.设函数 f(x)= (a,b,c∈N)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3. bx+c (1)求 a,b,c 的值; (2)试研究 x<0 时,f(x)的单调性,证明你的结论. a+1 4a+1 解 (1)由 f(1)=2,得 =2,由 f(2)<3,得 <3, b+c 2b+c 因为 f(x)为奇函数,故 f(x)的定义域关于原点对称. c? ? c 又 f(x)的定义域为?x|x∈R且x≠-b?(显然 b≠0,否则 f(x)为偶函数),所以- =0,则 c b ? ? =0, a+1 4a+1 a 1 于是得 f(x)= x+ ,且 =2, <3, b bx b 2b 8b-3 3 ∴ <3,∴b< ,又 b∈N,∴b=1,∴a=1, 2b 2 故 a=b=1,c=0. 1 (2)由(1)知 f(x)=x+ , x 则 f(x)在[1,+∞)上单调递增 由于 f(x)是奇函数,根据奇函数的对称性,可知 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,所以只 需讨论 f(x)在区间(-1,0)上的增减性即可, 当-1<x1<x2<0 时, 1 ? x1-x2 1 1 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =(x1-x2)? ?1-x1x2?= x1x2 (x1x2-1). x1 x2 显然 x1-x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(-1,0)上为减函数.

综上所述,f(x)在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,0)上是减函数.


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