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集合的概念与表示方法


授课主题

集合的概念与表示方法 1、初步理解集合的含义,了解集合元素的性质。 2、知道常用数集及其记法。 3.了解“属于”关系的意义。 4.了解有限集、无限集、空集的意义。 理解集合的元素的性质。

教学目的

教学重点

教学内容

开课典礼
"1 名数学家=10 个师" 第二次世界大战中,美国曾经宣称:一名优秀的数学家的作用超过 10 个师的兵力。你可知这句 话的由来吗? 1943 年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力, 无力增派更多的护航舰,一时间,德军的"潜艇战"搞得盟军焦头烂额。 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰 队与敌潜艇相遇是一个随机事件,按数学角度来看这一问题,它有一定的规律。一定数量的船 (如 100 艘)编队规模越小,编次就越多(如每次 20 艘,就要有 5 个编次) ;编次越多,与敌 人相遇的概率就越大。比如 5 位同学放学都回自己家里,老师要找一位同学的话,随便去哪家 都行,但若这 5 位同学都在其中某一家的话,老师要找几家才能找到,一次找到的可能性只有 20%。 美国海军接受了数学家的建议,命令船队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各 自驶向预定港口。结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25%降低为 1%,大大 减少了损失,保证了物资的及时供应。

课前检测

1.【2013 年全国新课标 1】已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | ? 5 ? x ? 5} ,则(
2

)

A. A ? B ? ?

B. A ? B ? R

C. B ? A

D. A ? B

2.【2013 年安徽】已知 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ??2, ?1,0,1? ,则 (CR A) ? B ? ( ) A. ??2, ?1? B. ??2? C. ??1,0,1? D. ?0,1?

3. 【2013 年福建】若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B 的子集个数为( A.2 B.3 C.4 D.16



4.【2013 年陕西】设全集为 R , 函数 f ( x) ? 1 ? x2 的定义域为 M , 则 CR M 为( A. [-1,1] C. (??, ?1] ? [1, ??) B. (-1,1) D. (??, ?1) ? (1, ??)



知识结构

集合中元素的特性 集合的定义及其表示 集合的表示法 集合的分类 子集、全集、补集 定义、性质、运用

集 合

交集、并集

定义、性质、运用

集合的概念

新知 1:集合与元素的概念 一般地,称一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set) 。集合中的每一个对 象称为该集合的元素(element),简称元。 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C…表示, 集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如 a、b、c、p、q…… 注意: (1)集合是数学中原始的、不定义的概念,只作描述. (2)集合是一个“整体. (3)构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 例如:指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)我国的直辖市; (4)young 中的字母; 新知 2:集合元素的特征 1、对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 2、集合相等:构成两个集合的元素完全一样。例如 A={ 1,2,3 },B={ 3,2,1 }则 A=B (2)五中高一(1)班全体学生; (3)较大的数 (5)大于 100 的数; (6)小于 0 的正数。 例如 A={1,3,a,c,a+b}

新知 3.元素与集合的关系 元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ∈ A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A ( “∈”的开口方向,不能把 a∈A 颠倒过来写 )
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新知 4:常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N 在自然数集内排除 0 的集合叫做正整数集,记作 N*或 N+; 整数全体构成的集合叫做整数集,记作 Z 有理数全体构成的集合叫做有理数集,记作 Q 实属全体构成的集合叫做实数集,记作 R 注意: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0
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(2)非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也是这
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样表示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z* 新知 5:集合的分类: 按它的元素个数多少来分: (i) _________________叫做有限集;

(ii)________________________叫做无限集; (iii) _______________叫做空集,记为_____________

例题解析

题型一 集合的判断 例 1、下面的各组对象能组成集合的是_____ (1)正三角形的全体(2)血压很高的人(3)鲜艳的颜色(4)某校 2009 级高一新生 (5)所有数学难题(6)所有不大于 3,不小于 0 的整数(7)充分接近 100 的全体实数 例 2、下列各组对象不能形成 集合的是__________. .... ⑴大于 6 的所有整数; ⑶被 3 除余 2 的所有整数 ; 变式训练:下面的各组对象能组成集合的是 (1)世界上最高的山峰 (3)中国国旗的颜色 (6)立方等于本身的实数 (7)不等式 2x-8<13 的正整数解 题型二 元素与集合之间的关系 例 1、用 “ ? ” 、 “ ? ”填空 (1)3.14 (5 ) ? Q; (2 ) 3 3.14; (6)0 Z; (3)0 N; (7)0
N* ; (4 ) 3

⑵高中数学的所有难题; ⑷函数 y= 1 x 图象上所有的点.

(2)高一数学课本中的难题 (4)充分小的负数的全体 (5)book 中的字母

R;

?;
则有 3 A, 4 A,

例 2、 A 表示“1~20 以内的所有素数”组成的集合是 7 变式练习 1、 A={2,4,8,16},则 4 2.用“∈”或“ ? ”符号填空: A,8 A,32 A. A,9 A,13 A,15 A 填( ? 或 ? )

填(? 或 ? )

⑴8

N;

⑵0

N;

⑶-3

Z;

⑷ 2 A,美国

Q; (5)-14 A,印度

R A

(6)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 题型三 集合中元素的特性

A,英国

例 1: 以方程 x -5 x +6=0 和方程 x - x ? 2 ? 0 的解为元素构成的集合 M,则 M 中元素的个数为 (
2 2



A 、1 个

B

2个

C 3个

D 4个

例 2、已知集合 A 是由 2,x,x -x 三个元素组成的集合,则 x 应满足的条件是____________

2

变式训练:
n (? 1 ) 1、由 ,n ? N 构成的集合中含有元素的个数为(



A、 1 个 B、 2 个 C、 0 个
2

D、 无数个

2、已知集合 A 是由 0,m,m -3m+2 三个元素组成的集合,且 2 ? A,则实数 m=___________

题型四

集合的分类

例 4 下列各组对象能否构成集合。若能构成集合,则指出它们是有限集、无限集还是空集。 ? ? ? ? ? 中国的所有人口的全体; 山东省 2008 年应届初中毕业生; 数轴上到原点的距离小于 1 的点; 方程 x2=0 的解的全体; 你们班中成绩较好的同学;

?

小于 1 的正整数的全体.

2、表示方法

新知 6:集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来 , 并用花括号“ ?

? ”括起来表示集合的方法叫列举

法。如:A={1,2,3,4,5},B={x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…; 说明:1、书写时,元素与元素之间用逗号分开; 2、一般不必考虑元素之间的顺序; 3、集合中的元素可以为数,点,代数式、文字等; 4、列举法可表示有限元素集,也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法 比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况 下,也可以用列举法表示。 5、对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号,象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1、用列举法表示下列集合: : (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2 = x的所有实数根组成的集合; (3)我国现有的直辖市。. 例1 解答: (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此集合A可以有不同的列举 法. 例如:

A = {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(2)设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B,那么B = {0,1}. 变式练习 用列举法表示下列集合: ⑴x2-4 的一次因式组成的集合. ⑶方程 x2+6x+9=0 的解集. ⑵{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}. ⑷{20 以内的质数}.

⑸{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}. ⑹{大于 0 小于 3 的整数}. ⑺{x∈R|x2+5x-14=0}. ⑻{(x,y)}|x∈N,且 1≤x<4,y-2x=0}. ⑼{(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一 条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ?x ? A p( x)

? 其中 x 代表元素,A 是集合,P 是集合 A 的一个特征性质。.

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},…;

说明:① 描述法表示集合时, 应特别注意集合的代表元素, 如 {( x, y) | y ? x2 ? 1} 与 { y | y ? x2 ? 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如 {x | x ? 1} , {x | x ? 3k , k ? Z } . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集 Z,所以不必写{全体整数}. 下列写法{实数集},{R}也是错误的. 例 2 用描述法表示下列集合: ⑴方程 2x+y=5 的解集. ⑶方程 ax+by=0(ab≠0)的解. ⑵小于 10 的所有非负整数的集合. ⑷大于 3 的全体偶数组成的集合.

⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合. ? ?x + y=1 ⑹方程组? 的解的集合. ?x-y=1 ? ⑺{1,3,5,7,…}.

说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时, 不 宜采用列举法。 变式练习 用描述法表示下列集合: ① ② ③ x 轴上所有点的集合. 非负偶数. 能被 3 整除的整数.

. 3、veen(韦恩)图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有韦恩图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示:
A 表示任意一个集合 A 3,9,27 表示{3,9,27}

知识拓展
1、集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念: 把 若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集 合,其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提 出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 2、所谓质数或称素数,就是一个正整数,除了本身和 1 以外并没有任何其他因子。例如 2, 3,5,7 是质数,而 4,6,8,9 则不是,后者称为合成数或合数。从这个观点可将整数分为 两种,一种叫质数,一种叫合成数。除了 1 和它本身两个约数外,还有其它约数的数,叫合数 1.把能够整除某一个数的数, 叫做这个数的约数。 几个数所公有的约数叫这几个数的公约数。 公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2.几个数所公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个(零除外)叫做这几 个数的最小公倍数。

课堂小结

自我检测
一、选择题 1.下列元素与集合的关系中正确的是(
1 A. ? N 2

) C.|-3|?N* D.-3.2?Q

B.2?{x?R|x≥ 3 }

2.给出下列四个命题: (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合; (3)1,
3 6 1 , , ? ,0.5 这些数字组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y?R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

3.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={2,1} 4.已知 x?N,则方程 x2 ? x ? 2 ? 0 的解集为( A.{x|x=-2} B. {x|x=1 或 x=-2} ) C. {x|x=1} ) D.9 D.?

5.已知集合 M={m?N|8-m?N},则集合 M 中元素个数是( A.6 二、填空题 6.用符号“?”或“?”填空: 0_______N, 5 ______N, 16 ______N. B.7 C.8

7.用列举法表示 A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x?Z}为_______________. 8.用描述法表示集合“方程 x2-2x+3=0 的解集”为_____________. 9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合?________ 10.已知集合 P={x|2<x<a,x?N},已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a=_________. (附加题)下列对象能否组成集合: (1)数组 1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足 3x-2>x+3 的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国 NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于 6 的数; (7)所有绝对值小于 3 的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员;

(9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员. 三、解答题 11.已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x=ab,a?A,b?A}. (1)用列举法写出集合 B; (2)判断集合 B 的元素和集合 A 的关系.

12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数 a、b 的值.

13.(探究题)下面三个集合:① ? x | y ? x 2 ? 2? ,② ? y | y ? x 2 ? 2? ,③ ?( x, y ) | y ? x 2 ? 2? (1)它们是不是相同的集合? (2)试用文字语言叙述各集合的含义


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