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高二数学《圆的一般方程》教学设计


高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本:人教版(必修) 学科:数学 年级:高二年级 课题:第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

册别:第二册(上)

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础,由于圆的方程应用及其广泛,所以对圆的一般方程的要求层 次是“掌握”,又由于圆的一般方程中含有三个参变数 D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的 难点是对圆的一般方程的认识,掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析 圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后, 又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行 研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅,且对圆的标准方程运用还不够熟练,在学习过程中难免会出 现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“合作探究与启发式教学法” ,用环环相扣的问题将探究 活动层层深入,教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析 通过展开圆的标准方程,归纳总结得出圆的一般方程,通过求圆的方程,加深对数形结合思想和待定系 数法的理解,通过应用圆的一般方程,熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想 本节课的设计思想是:以多媒体网络教学平台为依托,为学生营造一个探究学习的环境,让他们参与到 多媒体教学中来,探究新知,发现规律,解决问题。 六、教学策略 结合本节内容的特点,可以向学生渗透多种数学思想方法::配方法、待定系数法、数形结合的思想、 转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想,同时对学生的观察类比,创新等多种能力的培养有利,通过 求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 (一)知识与技能 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能 用待定系数法,由已知条件导出圆的方程。 (二)过程与方法 通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探讨,让学生经历知识形成的过程,培养学生探索发 现及分析解决问题的实际能力,并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条 件导出圆的方程的方法。 (三)情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探 索。 八、教学重点、难点 1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导 出圆的方程。 (解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;(2)加强这 方面题型训练。) 2.难点:圆的一般方程的探讨过程。 (解决办法:通过对方程配方分三种讨论得限制条件。) 九、教具:多媒体、黑板、圆规、三角板 十、 【教学过程与设计】(课堂实录) 教学内容 教师活动 学生活动

设计意

图 一、复习引入: 师:同学们!上节课我们研究了圆的标准 学生活动:回答问题,并填 复习巩固 写学案: 圆的标准 方程,请同学们回忆 一下圆的标准方程, 问题 1:圆的标准方程的形式是怎样 方程,进 并填写学案, 的?其中圆心的坐标和半径各是什 一步明确 么? 其结构特 征,为新 知识作铺 教师:提出问题,并对学生的回答加以肯 垫。 若圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方 定。 程怎么表示?

学生带着

疑问,亲

自动笔实

让学生先独立思考, 自主探究, 学生活动:动笔展开方程 问题 2:若把标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 教师活动: 引导学生得出方程形式: (x-a)2+(y-b)2=r2. 展开后,会得出怎样的形式? x2+y2+Dx+Ey+F=0,提出课题

践,发现

新问题, 题。

引 入 课

二、新课讲解 师:这就是我们今天要学习的内容:圆的 一般方程. 教师板书:圆的一般方程

使学生明

确本节课 容。

的学习内

课题:圆的一般方程

问题 3:是不是每个形如 +y2+Dx+Ey+F=0 的方程表示的曲线都 是圆呢?

学生活动:先独立思考,自 让学生经 主探究后,再与前后同学合 历知识形 方程的要求,想到利用配方法将展开式化 作交流。 成的过 成圆的标准方程的形式,并引导学生总结 程,体会 生生互动:在教师引导下, 数形结合 在什么情况下,它的轨迹是圆、点或无轨 合作交流,共同探讨方程 思想,加 迹。 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图 深对知识 组织学生分析讨论,给学生充足的时 形。 的理解。 间讨论,并作适当的引导。 共同探讨后,达成共识:先 【师生互动】:教师巡视指导,参与学生 将方程配方,再与圆的标准 的讨论。 方程比较。 教师活动:提出问题. 引导学生思考圆的 方程比较。教师板书:
D E D ? E ? 4F (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4 ①
2 2

、探讨形成:将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方

教师预设:先将方程配方,再与圆的标准 学生活动:在教师的引导下 让学生积 通过观察、分析后发现: 当 D2+E2-4F>0 时

极主动地

参与到讨

论中来,

成为学习 方 程 ① 表 示 一 个 以
D E ( ? ,? ) 2 2

(1)当 D2+E2-4F>0 时, 方程①表示 一 个圆; 师:请同学们观察方程①,可以看出什 么? 教师提示学生:先把方程①与标准方程比 较,再分类讨论。 当 D2+E2-4F>0 时,方程①表示什么?

的主人,

让学生经

历知识形 为 圆 心 , 成的过

程,体会

知识的来 1 D 2 ? E 2 ? 4F 为 半 径 的 2 龙去脉, 圆; 识的理 解。

加深对知

学生回答:当 D2+E2-4F = 0 (2)当 D2+E2-4F = 0 时,方程①表示 示什么? 时,方程①表示一个点 一个点; 教师预设:当学生回答不明确时,教师作 适当的提示:当 D2+E2-4F = 0 时,方程① 只有实数解 x ? ?
D E ,y ?? 2 2
(? D E ,? ) 2 2

教师继续引导:当 D2+E2-4F = 0 时,又表

教师设问: 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 有没有 实数解?. 教师活动:教师在学生基础上梳理思路,

3)当 D2+E2-4F<0 时, 方程①不表示任

学生回答:没有,因而它不 使学生学 表示任何图形 会归纳总 结

何图形。

.归纳总结:

学生活动:归纳总结:方程 板书: 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图 分别是圆、点或不表示任何图形。 形分别是圆、点或不表示任 师:根据以上结论,请同学们给出圆的一 何图形。 般方程的定义。 【教师活动】板书:

方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形分别 是圆、点或不表示任何图形.

使学生明

确圆的一

圆的一般方程的定义 当 D +E -4F>0 时,方程 3.提出概念:(圆的一般方程的定 x +y +Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程。
2 2 2 2

学生口答: 当 D +E -4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的 一般方程.圆心坐标为: D E (? ,? ) ,半径为: 2 2 1 2 2 D ? E ? 4F 2
2 2

般方程的 定义。

义)
D E 圆心坐标为: (? ,? ) ,半径为: 2 2
1 2 2 D ? E ? 4F 2

教师强调:不要死记结果,要熟记通过配 方求圆心和半径的方法。 教师活动:巡视学生完成情况,对学生的 回答作点评,给出正确答案,同时强调: 方程中隐含条件以及分类讨论的情况。

加强巩固

会通过配

方法判断 学生活动:独立完成,并回 方程所表 答问题。 示的图形

和求圆的

.巩固练习:

半径及圆

、下列方程各表示什么图形?

心坐标。

1) x 2 ? y 2 ? 0
2 2

) x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0
教师设问:圆的一般方程有什么特点? 教师活动:引导学生比较二元二次方程的 一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, 与圆的 2 2 2 2 学生活动:归纳结论: 一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0,(D +E -4F> 0)。 (1)x2 和 y2 的系数相同,不 教师强调:1.条件(1)、(2)是二元二次方 等于零,即 A=C≠0; 程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条 (2)没有 xy 项,即 B=0; 件; 2.只要确定了 D、E、F 即可写出圆的一般 方程。

) x 2 ? y 2 ? 2ax ? b 2 ? 0

、求下列各圆的圆心和半径

1) x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0

2) x 2 ? y 2 ? 2by ? 0

3) x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2 3 y ? 3a 2 ? 0

让学生通 过归纳得 出圆的一 般方程的 形式特 点,体会 圆的标准 方程和圆 的一般方 程各自的 优点。

问题 4:圆的一般方程有什么特点?

进一步巩 固学生能 教师活动:巡视学生完成情况,并请一位 够利用圆 学生上黑板展示,教师点评学生的回答。 的标准方 程求解圆 教师预设: 【学生活动】: 独立完成,认真作答,学生 的方程, 并加强圆 解:(利用待定系数法) 自愿到黑板上展示各自解 的标准方

设圆的方程为:

法:

( x ? 8) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2
∵圆经过点 A(5,-1) ∴ (5 ? 8) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? r 2
r 2 ? 13
2 2

程与一般 方程的转 化。

三、例题精讲 题型一:利用圆的标准方程求圆的

通过利用 方程,并化为一般方程。 ∴ ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13 圆的方程 的两种形 式求解圆 例 1 求过点 A(5,-1),圆心在点 C(8, 的方程, 教师活动:引导学生尝试利用圆的方程的 3)的圆的一般方程,并化为一般方程 进一步体 两种形式求解圆的方程,并引导学生小结 会各自的 例 1、例 2:一般说来,如果由已知条件 学生活动:在老师的引导 优点,并 容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的 下,认真完成,并体会如何 掌握待定 坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标 根据题目条件,恰当选择圆 系数法求 准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径 方程形式。 解圆的方 都无直接关系,往往设圆的一般方程。 程的方 法。 题型二:求利用圆的一般方程求圆的方 教师预设: 解:(利用待定系数法) 程: 设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得, F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得,D=-8,E=6 ∴圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0,

例2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、 (4,2)的圆的方程。

教师活动: 让学生先独立思考, 自主完成, 教师纠错,并给予适当的点评,出示正确 答案.

学生活动:独立完成.

让学生进 一步体会 如何根据 题目条 件,恰当 选择圆方 程形式, 并加强待 定系数法 求解圆的 方程的方 法.

四、 反馈练习: 求过三点 A(-1, 5)、 B(-2,

2)、C(5,5)的圆的方程。

(1)知识性小结:

问题 5:通过这节课的学习你获得 了哪些知识?

教师活动:引导学生回顾本节课所学知识 学生活动:回顾本节课的知 通过学生 的小结, 要点,点评学生小结,并加以归纳补充: 识要点与方法,认真总结, 加深对新 并认真听取老师的补充。 知识的记 1.本节课的主要知识点: 忆,通过 老师的补 (1)圆的一般方程及其形式特点; 充升华本 节课的课 (2)圆的一般方程与圆的标准方程的转 题。 化; (3)用待定系数法求圆的方程。 2.本节课用的数学方法和数学思想: ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想:

简洁明了

(2)方法性小结:

概括本节

问题 6:通过这节课的学习你掌握 了哪些数学思想和方法?

课的重要

知识,学

生易于理

① 数形结合的思想; ② 转化的思想; ③ 分类讨论的思想; ④ 方程的思想。

解记忆。

、分层作业

○巩固型作业:(必做题) 习题 7.6 5,6

90

○思维拓展型作业:(选作题)

针对学生实际,对课后书面作业实施分层 分两个层次留作业,第一层 巩固所学 新知识, 设置。 次要求所有学生都要完成, 加深对新 第二层次要求学有余力的 知识的理 解。能在 同学完成。 作业中发 现和弥补 教学中的 不足。

十一、板书设计 一、复习引入:把圆的标准方程(x-a)2+ (y-b)2=r2 展开: 二、新课讲解 课题:圆的一般方程
2 2

提出概念:圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例 1、 例 2 四、反馈练习 五、课堂小结 (1)知识性小结 (2)方法性小结 六、课后作业

x +y +Dx+Ey+F=0 左边配方:
D E D ? E ? 4F ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4
2 2

归纳总结:当 D2+E2-4F>0 时, 当 D2+E2-4F = 0 时, 当 D2+E2-4F<0 时,


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