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三次函数图象性质的研究和应用举 - 副本


三次函数图象性质的研究和应用举例
邹立国 内容摘要
由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三 次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点, 本文用数形结合法探讨三次 函数图象性质,进而解决相关的应用问题。 关键词:三次函数 图象性质 应用举例
三次函数的有关问题在近些年的高考中频繁出现,甚至出现在压轴题中,但教材只从求导、 求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索。为此,本文试图用初等数学方法较为 系统地研究它的图象、性质等,并加以适当的应用。

一、三次函数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的图象性质
3 2

1.定义域为 R 2.值域为 R 3.单调性 因为

f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,所以 ? ? 4b2 ?12ac ? 4(b2 ? 3ac) ,于是:

f '( x) ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 (不妨设 x1 < x2 )则 f '( x ) ? 3ax ? 2bx? c 的图象如下图 1 所示,三次函数 y ? f ( x) 的图象如图 2 所示:
①当 b2 ? 3ac > 0 时,方程
2

(1)当 a >0 时

x1

x2

图1 不难得到: 上是减函数。 ②当 b2 ? 3ac ? 0 时,方程 f '( x) ? 0 有两个相等的实根, 下图 3 所示,三次函数 y ? f ( x) 的图象如下图 4 所示:

x= x1
图2

x= x2

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在(-∞, x1 )或( x2 ,+∞)上是增函数,在[ x1 , x2 ]
f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图象如

图3 可知 y ? ax
3

图4

? bx2 ? cx ? d 在(-∞, +∞)上是增函数。 ③ b2 ? 3ac < 0 时 , 方 程 f '( x) ? 0 没 有 实 根 , 且 f '( x) > 0 恒 成 立 。 所 以
1

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在(-∞, +∞)上是增函数。
(2)当 a <0 时 ①当 b2 ? 3 ac > 0 时,方程
2

f '( x ) ? 3ax ? 2bx? c 的图象如下图 5 所示,三次函数 y ? f ( x) 的图象如图 6 所示:

f '( x) ? 0 有两个不等的实根

x1 , x2 (不妨设 x1 < x2 )则

x1

x2

图5 不难得到: y ? ax 是减函数。
3

x= x1
图6

x= x2

? bx2 ? cx ? d 在[ x1 , x2 ]上是增函数,在(-∞, x1 )或( x2 ,+∞)上
f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图象

2 ②当 b ? 3ac ? 0 时,方程 f '( x) ? 0 有两个相等的实根,

如下图 7 所示,三次函数 y ? f ( x) 的图象如下图 8 所示:

图7 可知
2

图8 +∞)上是减函数。
3 2

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在(-∞,

③ b ? 3ac <0 时, 方程 f '( x) ? 0 没有实根, 且 f '( x) <0 恒成立。 所以 y ? ax ? bx ? cx ? d 在(-∞, +∞)上是减函数。 4.三次方程的实根 (1)当 b ? 3ac >0 时,方程 f '( x) ? 0 有两个不等实根 x1 , x2 ,结合前面性质 3 易知:
2

f ( x) ? 0 有 2 个实根;③当 f ( x1 ) · f ( x2 ) <0 时,方程 f ( x) ? 0 有 3 个实根。
2

①当 f ( x1 ) · f ( x2 ) >0 时,方程 f ( x ) ? 0 有 1 个实根;②当 f ( x1 ) · f ( x2 ) ? 0 时,方程 (2)当 b ? 3ac ≤0 时,函数 y ? f ( x) 在(-∞, +∞)上是单调函数,方程 f ( x) ? 0 有 1 个

实根。 5.奇偶性 ( 1 ) f ( x) 为偶函数 ? f (? x) ? f ( x) 恒成立 ?

2ax3 ? 2cx? 0恒成立 ? a ? c ? 0 ,而
b ? d ? 0 ,所以

a ? 0 ,所以 f ( x) 不可能是偶函数。
(2) f ( x) 为寄函数 ? f (? x) ? ? f ( x) 恒成立 ? 2b2 ? 2d ? 0 恒成立 ?

b ? d ? 0 时, f ( x) 是奇函数,此时 f ( x) ? ax3 ? cx 。
6.图象的对称性

2



y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d

变形为:

y?a

( x?

b 3 b b2 ) + ( c? )( x ? )+ 3a 3a 3a

2b3 ? 9abc ? 27a 2 d ,而 27a 2

y ? ax 3 +( c ? b ) x 是奇函数,图象关于原点中心对称,所以函数
3a
b 2b3 ? 9abc ? 27a 2 d , )。 3a 27a 2

2

y ? f ( x) 的图象是中心对称图形,其对称中心是( ?

二、三次函数的图象和性质的应用
例 1.已知函数

f ( x) ?

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m2 ? 2m ? 7) x ? 3 在实数集 R 上是增函 3

数,求实数 m 的取值范围。 解:∵三次函数 ∴ b ? 3ac ≤0
2

f ( x) 在 R 上是增函数,
即 ? ?(4m ? 1) ? ? 3 ? ? (15m2 ? 2m ? 7) ≤0,得 2≤ m ≤4。
2

1 3

例 2.设函数 解:

f ( x) ? x3 ? (m ? 1) x2 ? mx ( m >1), x1 , x2



f ( x) 的两个不同的极

值点,若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤0 成立,求实数 m 的取值范围。 于 0,所以中心对称点在 x 轴上或 x 轴下方,故

f ( x) ? x3 ? (m ? 1) x2 ? mx ,又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤0,即极大值和极小值之和小于等

2b3 ? 9abc ? 27a 2 d ?(m ? 1)(2m2 ? 5m ? 2) 2 ? ≤0 即 2m ? 5m ? 2 ≥0 27a 2 27
解得 m ≥2 或 m ≤
1 (舍去) ,所以 m 的取值范围为 m ≥2 2

例 3.设 a ∈R,讨论关于 x 的方程 x 解:∵函数 ∴函数

f ( x) 导函数 f ( x) 的极大值是 f (?2) ? 4 ? a ,极小值是 f (0) ? ?a

? 3x 2 ? a ? 0 的相异实根的个数。 f '( x) ? 3x2 ? 6x ? 0 的两根为 x1 ? ?2 , x2 ? 0
3

①当 f (?2) f (0) >0, 即 a <0 或 a >4 时, 方程只有一个实根; ②当 f (?2) f (0) ? 0 , 即a ? 0或
a ? 4 时,方程有两个实根;③当 f (?2) f (0) <0,即 0< a <4 时,方程有三个实根。

(此文发表于《甘肃教育》2012 年第 12 期下半月版)

3


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