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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷3


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(3)
一.填空题 1.设复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R) ,若 z1 ? z2 为实数,则 x 为 。

2.一个与球心距离为 1 的平面截球所得圆面面积为 ? ,则球的体积为________; 3.若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? =m,且α 是第三象限角,则 sinα = 4.若某程序框图如所示,则该程序运作后输出的 y 等 于 。

?x ? y ? 4 ? 5. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x , ?x ? 1 ?

开始

x ?1

则点 P 到直线 4x+3y+1=0 的距离的最大值是 ________。 x2 y 2 6、若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一 a b 1 条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双曲线的渐近线方 4
程是 。 2 2 7.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 2 的解集是 B, 不等式 x +ax+b<0 的解集是 A?B, 那么 a+b= 。 8. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(其中 ? ? 0 , ?

y ?1


x ? 5?


y ? 2 y ?1
x ? x ?1

输出 y

结 束

?
2

?? ?

?
2



的图象如图所示,若点 A 是函数 f ( x) 的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别是函数

f ( x) 的图象的最高点和最低点,点 C ( ,0) 是点 B 在 x 轴上的射影,则 12 ??? ??? ? ? AB ? BD = 。 9.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20?,这些等式反映了正整数间的 某种规律,设 n 表示正整数,用关于 n 的等式表示为 .
10.直线 x+a y+1=0 与直线(a +1)x-by+3=0 互相垂直,a,b∈R,且 ab≠0,则|ab|的最小值 是 11.函数 f ? x ? ? 1 ? x ?
2
2 2

?

.

x x3 ? 的零点的个数是 2 3


x

12 . 已 知 f ( x)为 偶 函, 且f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 数



f ( x) ? 2 x , 若n ? N * , an ? f (n),则a2008 ?



13.设点 (a, b) 在平面区域 D ? {(a, b) | a | ≤1, | b | ≤1} 中按均匀分布出现,则椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e < 的概率为 2 a b 2



14.若数列{ an }满足 an?1 ? an
2

2

? d (其中 d

是常数, n ?N﹡) ,则称数列{ an }是“等方

差数列”. 已知数列{ bn }是公差为 m 的差数列,则 m=0 是“数列{ bn }是等方差数列”的 条件。 (填充分不必要、 必要不充分、 充要条件、 既不充分也不必要条件中的一个) 二.解答题 15.高三年级有 500 名学生,为了了解数学学科的学习情况, 频 现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成 分组 频率 数 如下频率分布表: ?85,95? ① ② (1)根据上面图表,①②③④处的数值分别为多少? (2)根据题中信息估计总体平均数是多少? ?95,105? 0.050 (3)估计总体落在[129,150]中的概率. ?105,115? 0.200

?115,125? ?125,135? ?135,145?

12 4 ④

0.300 0.275 ③ 0.050

[145, 155] 合计

16. 已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的 最大值及此时 x 的集合; (2) 证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称。 8

17. 已 知 : 矩 形 AEFD 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ? 2,0? , AE 边 所 在 直 线 的 方 程 为 :

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T ? ?1,1? 在 AD 边所在直线上。
(1)求矩形 AEFD 外接圆 P 的方程。 (2) ?ABC 是 ? P 的内接三角形,其重心 G 的坐标是 ?1,1? ,求直线 BC 的方程 .

18.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的 一动点. (1)求证: GN ? AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP//平面 FMC,并给出证明.
主视图 a 左视图
F E

G

D

C N

a a

俯视图
A M

B

19. 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a0 (1)求 a1和a2 的值; (2)求证:

1 ? ?? ,a 2

n

? an?1 ?

1 n
2

2 2, ?. an?1 其中 n=1, 3,

1 an?1

?

1 1 ? 2; an n

(3)求证:

n ?1 ? an ? n . n?2

20.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

参考答案
1.4.提示: z1 ? z2 ? ? 2x ? 2? ? ( x ? 4)i ? R ∴ x ? 4 。

2.

8 2 ? .提示:画出简图可知,由 d 2 ? r 2 ? R 2 得球的半径为 2 ,利用球的体积公式得 3 V? 8 2 ?。 3

3.- 1 ? m 2 .提示:依题意得 cos? ? ?m ,α 是第三象限角,sinα <0,故 sinα = - 1 ? m2 . 4.63.提示:对于图中程序运作后可知,所求的 y 是一个“累加的运算”即第一步是 3;第 二步是 7;第三步是 15;第四步是 31,第五步是 63. 5. 3 提示:由图可知:P(2,2)到直线 4x+3y+1=0 的距离的最大,由点到直线的距离公式 可计算出,应填 3。 6. x ? 3 y ? 0 。 提示:对于双曲线 线的距离因为 b ,而

b 1 ? ,因此 2c 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近 a 2 b2 1 3 b ? c, a ? c 2 ? b 2 ? c, 2 2

b 3 ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . ? ? a 3
7.-3。提示:由题意: A ? {x | ?1< x <3 } , B ? {x | ?3 < x <2 } , A ? B ? {x | ?1< x < 2 } ,由根与系数的关系可知: a ? ?1, b ? ?2 。 8. 又

?2
8

? 8 。提示:提示由图可知

2?

?
3

?? ? ? ? ? ?

?
3

T ? ? ? ? ? ? ? T ? ? ,∴ ? ? 2 , 4 3 12 4
从 而



A(?

?

??? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? 2 ? ? AB ? ( , 2), BD ? ( , ?4) , AB ? BD = ? 8 。 8 4 2
9. (n+2) -n =4(n+1)(n ? N )。
2 2 *

6

,

? 7? 0 ) B( , 2), D( , ?2) , 12 12



10.2 . 提 示 : 由 题 意 k1 ? ?

1 a2 ?1 , k2 ? , ∵ 两 直 线 互 相 垂 直 , ∴ k1 ? k 2 ? ?1 , 即 b a2

2 a2 ? 1 a2 ? 1 1 ? 1 ? a ?1 ? 2 ?? ? ?1 , ∴ a 2b ? a 2 ? 1 ,则 b ? 2 , ∴ | ab |? ?| a | ? ≥2 . ? a |a| |a| ? a ? b

∴ ab 的最小值为 2 . 11.1.提示:对于 f ? ? x ? ? 1 ? x ? x ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ? 0 ,因此函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, 4

而对于 f (?2) ? ? 12.1. 提 示 :

5 23 ? 0, f (2) ? ? 0 ,因此其零点的个数为 1 个. 3 3
由 题 意 可 知

f (x) 为 周 期 函 数 , 周 期 为

4 ,

则a2008 ? f (2008 ? f (4) ? f (0) ? 1。 )
13.

3 1 1 b 。 提示:属几何概型的概率问题,D 的测度为 4; e ? ,则 ? ? 1 , 2 16 2 a

1 d 的测度 1 a ? ? 0, 1?, b ? ? 0, 1? ,则 d 的测度为 ,∴ P ? ? . D的测度 16 4
14. 充分必要条件。提示:一方面,由数列 {bn } 是公差为 m 的等差数列及 m=0 得 bn

? b1 ,

2 2 bn?1 ? bn ? 0 ,数列 {bn } 是等方差数列;另一方面,由数列 {bn } 是公差为 m 的等差数列

及数列 {bn } 是等差数列得
2 2 bn?1 ? bn ? (b1 ? nm) 2 ? [b1 ? (n ? 1)m]2 ? 2b1m ? (2n ?1)m2 ? d

对任意的 n ? N

?

都成立,令 n=1 与 n=2 分别得 2b1m ? m

2

? d , 2b1m ? 3m 2 ? d ,两式相减得 m=0.



上所述,m=0 是数列 {bn } 是等方差数列的充分必要条件. 15.解:设抽取的样本为 x 名学生的成绩, 则由第四行中可知 0.3 ?

12 , 所以 x =40.? x

④40 ③处填 0.1,②0.025, ①1。 (2) 利用组中值估计平均数为 =90 ? 0.025+100 ? 0.05+110 ? 0.2+120 ? 0.3+130 ? 0.275+140 ? 0.1+150 ? 0.05=122.5, (3)在[129,150]上的概率为
2

6 6 ? 0.275 ? 0.1 ? ? 0.05 ? 0.292 。 10 11
2

16.解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,所以,当 2 x ?

π π ? 2kπ ? ,即 4 2

x ? kπ ?

3π 时, f ( x ) 最大值为 2 2 ; 8 π 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8

(2)证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

f (?

π π ? x) ? f (? ? x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8

17.解: (1)设 A 点坐标为 ? x, y ?

? K AE ?

1 且 AE ? AD 3

? K AD ? ?3 又 T ? ?1,1? 在 AD 上
即 A 点的坐标为 ? 0, ?2?

?x ? 3y ? 6 ? 0 ? ?? y ?1 ? x ? 1 ? ?3 ?

?x ? 0 ?? ? y ? ?2

又? M 点是矩形 AEFD 两条对角线的交点 ? M 点 ? 2,0 ? 即为矩形 AEFD 外接圆的圆
2 心,其半径 r ? MA ? 2 2 ? ? P 的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 8 2

(2)连 AG 延长交 BC 于点 N x0, y0 ,则 N 点是 BC 中点,连 MN

?

?

???? ???? ? G 是 ?ABC 的重心,? AG ? 2GN ??1,3? ? 2? x0 ?1, y0 ?1?
3 ? ? x0 ? 2 ? ?? ?y ? 5 ? 0 2 ?
? K BC ? 1 5

? M 是圆心, N 是 BC 中点? MN ? BC , 且 KMN ? ?5

?y?

5 1? 3? ? ?x? ? 2 5? 2?

即直线 BC 的方程为 x ? 5 y ? 11 ? 0

18. 证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN 又 FD⊥AD FD⊥CD, ? FD⊥面 ABCD ? FD⊥AC

? AC⊥面 FDN GN ? 面FDN

? GN⊥AC (2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ? G 是 DF 的中点,? GS//FC,AS//CM ? 面 GSA//面 FMC

GA ? 面GSA

? GA//面 FMC
19. (1)∵ a0

即 GP//面 FMC

?

1 1 2 3 1 ,∴ a1 ? ? ( ) ? ?? ,a 2 2 4 2

2

?

3 1 3 2 57 ? ?( ) ? . 4 4 4 64

(2)∵ an

? an?1 ?

1 n
2

2 an?1 ? 0?? an ? an?1 ? 0 . ,∴

∴ an

? an?1 ?

1 n2

2 an?1 ? an?1 ?

1 n2

an an?1 ,∴
3

1 an?1

?

1 1 ? 2. an n




? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? a ? a ? ? 1 ? 2 2 ? 32 ? a0 a n a0 a1 a0 a 2 n ? ? n?1

?

1 n
2

? 1?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 3 n ?1 n n

又 a0

1 ?? an ? n . ,∴ 2

∵ an

? an?1 ?

1 2 1 n2 ? n ?1 an?1 ? an ? 1 ? 2 (n ? 1) ? an?1 ? an?1 , n2 n n2

∴ an?1

?

n2 an . n2 ? n ?1

1 2 1 n2 n2 ∴ an ? an?1 ? an?1 ? an?1 ? 2 an?1 ? 2 a n ? an?1 ? 2 a n an?1 . n2 n n ? n ?1 n ? n ?1


1 an?1

?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? . an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? a1 an a1 a2 a2 a3 an?1 an 2 3 3 4

1 1 1 1 ( ? )? ? . n n ?1 2 n ?1
∵ a1

?

3 n ?1 1 5 1 1 n?2 ,∴ ,∴ a n ? . ? ? ? 1? | ? 4 n?2 an 6 n ? 1 n ?1 n ?1
n ?1 ? an ? n. n?2

综上所述,

20.解: (1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 3 , 3

∴ f ?? x ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? . 令 f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 当 x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增; 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减; 当 x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递增. ∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ??1? ? ? 当 x ? 3 时, f ?x ? 取得极小值为 f ?3? ? (2) ∵ f ?? x ? = x ? 2 x ? a ,
2

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3

1 ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . 3

∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? . ① 若 a≥1,则△≤0, ∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立, ∴ f(x)在 R 上单调递增 . ∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1,则△>0, ∴ f ?? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2, x1<x2) ( . ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, f
'

?x?, f ?x?的取值情况如下表:
x1
0 极大值 (x1,x2) - ↘

x

?? ?, x1 ?
+ ↗

x2
0 极小值

?x2 ,???
+ ↗

f ?? x ?
f(x)
2

∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,∴ a ? ? x1 ? 2x1 .
2

∴ f ? x1 ? ?

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? a 3

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 3 1 3 ? x1 ? ?a ? 2 ?x1 3 1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 同理 f ?x2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 2 ∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 x 2 x1 ? 3?a ? 2 ? ? x 2 ? 3?a ? 2 ? 9 1 2 2 2 ? ?x1 x 2 ??x1 x 2 ? ? 3?a ? 2? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2? 9 1 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2? 9 4 ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 令 f(x1)·f(x2)>0, 解得 a> 0 .

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?
?

?
?

?

?

?

而当 0 ? a ? 1 时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 , 故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? .


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