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排列组合解题技巧


高考数学排列组合难题
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4 3 最后排其它位置共有 A4

1 1 3 由分步计数原理得 C4 C3 A4 ?

288

二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元
5 2 2 素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 ? 480 种不同的

排法

甲 乙

丙 丁

三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多 少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素 5 种,
4 4 中间包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法,节目的不同顺序共有 A5 5 A6



四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后
3 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 7 / A3 4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有 4 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 4 并从此位置把圆 形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 ! C D B
6

E F G H

A A B C D E F G H A
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共

有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An n

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2 4 种,再排后 4

1

5 2 1 5 个位置上的特殊元素丙有 A1 4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 4 A 4 A 5

八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装 2 4 入 4 个不同的盒内有 A 4 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4

十九.平均分组问题除法策略 例 9. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?
2 2 2 2 2 2 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象, C6 C4 C2 / A 3 3 种分法。

平均分成的组,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。 练习题:
5 4 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13 C84C4 / A2 2)

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
2 2 2 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为( C4 C2 A 6 / A 2 ? 90 )

例 1:把 10 人平均分成 2 组,每组 5 人,问共有多少种不同的分法?
5 5 解 1:先确定第 1 组,有 C10 种方法,再确定第二组,有 C5 种方法。这样确定两组共

5 5 有 c10 〃 c5 种方法。因为是等分组,第一、二组次序可交换,同一种分法被重复了 P22 次,
5 5 C10 · C5 所以共有 种分法 P22

例 2: 把 10 人分成 3 组, 一组 2 人,一组 3 人,一组 5 人,问有多少种不同的分法? 解 2:按人数的多少,可把各组划分为第一组,第二组,第三组。先确定第 1 组,有

c

2 10

3 5 2 3 5 种;再确定第二组,有 c8 种法;最后确定第三组,有 c5 种,共有 c10 〃 c8 〃 c5 种。

例 3:把 10 分成 3 组,一组 2 人,其余两组各 4 人,问有多少种不同的分法?
2 4 解 3:先确定第 1 组,有 c10 种方法;再确定第二组,有 c8 种方法;最后确定第三组,
4 有 c4 种方法。 因第二、 三组次序可交换, 故同一分法被重复了 P22 次, 所以共有
2 4 C10 · C84 · C4 P22

(1).对于等分组问题:分法数=

按序分组的总数 等分组数的阶乘

(2).对于不等分组问题:分法数=按序分组的总数 按序分组的总数 (3).对于混合分组问题:分法数= 相等组数的阶乘
12.某车间甲组 10 名工人,其中 4 名女工人,乙组 5 名工人,其中 3 名女工人,现采用分层抽样方 法,从甲乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核 (1) 求从甲乙两组各抽取的人数 (2) 求从甲组抽取的 2 人中恰有 1 名女工的概率

2

(3) 用 X 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 X 的分布列及数学期望 . 解: (1)甲组 2 人,乙组 1 人 (3) X 可能取值为 0,1,2,3
1 1 C6 C4 8 (2) ? 2 15 C10

P( X ? 0) ?

2 1 C4 C3 2 ? 2 1 C10 C5 25

P( X ? 1) ?

1 1 1 2 1 C6 C 4 C3 ? C 4 C2 28 ? 2 1 75 C10 C5 2 1 C6 C2 2 分布列为 ? 2 1 C10 C5 15

P( X ? 2) ?

1 1 1 2 1 C6 C 4 C 2 ? C6 C3 31 ? 2 1 75 C10 C5

P( X ? 3) ?

X P

0

1

2

3

2 25

28 75

31 75

2 15

EX ?

8 5

13.袋中有同样的球 5 个,其中 3 个红色, 2 个黄色,现从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当 两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 ? 为此时已摸球的次数,求:. (1)随机变量 ? 的概率分布; (2)随机变量 ? 的数学期望与方差. 解答:(1)随机变量 ? 可取的值为 2, 3, 4, P (? ? 2) ?
1 1 1 C2 C3C2 3 ? ; 1 1 C5 C4 5

1 1 1 P22C3 ? P32C2 P33C2 3 1 P (? ? 3) ? ? ; P (? ? 4) ? 1 1 1 1 ? ; 1 1 1 C5 C4 C 3 10 C5 C4 C3C2 10

x
P (? ? x )

2
3 5

3
3 10

4
1 10

得随机变量 ? 的概率分布律为: (2)随机变量 ? 的数学期望为: E? ? 2 ?

3 3 1 5 ? 3? ? 4? ? ; 5 10 10 2 3 1 9 2 3 2 ? (4 ? 2.5) 2 ? ? 随机变量 ? 的方差为: D? ? (2 ? 2.5) ? ? (3 ? 2.5) ? 5 10 10 20

一、选择题 1. 从 2009 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2009 人中剔除 9 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人, 则在 2009 人中, 每人入选的概率 (C ) 50 1 (A)不全相等 (B)均不相等 (C)都相等,且为 2009 (D)都相等,且为 40 2.某班选派 6 人参加两项公益活动,每项活动最多安排 4 人,则不同的安排方法有 (D. ) A.50 种 B.70 种 C.35 种 D.55 种 3.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人,现抽取 30 人进行分
3

层抽样,则各职称人数分别为( C.

)A. 5,10,15

B. 5,9,16

C. 3,9,18

D. 3,10,17

4.将 n2(n≥3)个正整数 1,2,3,?,n2 填入 n×n 方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相 等,这个正方形就叫做 n 阶幻方,记 f(n)为 n 阶幻方对角线上数的和。如下表所示 8 3 4 就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)= 1 A. n(n2+1) 2 B. 1 2 n (n+1)-3 2 1 5 9 ( A. 6 7 2 ) D.n(n2+1)

1 C . n2(n2+1) 2

5.为激发学生学习的兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合:

A ? {x |

? x ?1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0}, C ? {x | log 1 x ? 1} ;然后叫甲、乙、丙三位同学 x 2

到讲台上,并将“ ? ”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数,以 下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于 6 的正整数;乙:A 是 B 成立的充分不必要条件; 丙:A 是 C 成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对,则“ ? ”中的数为 1 。

6.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同 选法的种数为 (用数字作答)49.. 13 ? 1 7..正整数 m 的三次幂可拆分成几个连续奇数的和, 如右图所示,若 m 的“拆分数”中有一个数是 2009, 则 m 的值为 45. . 8.已知 (2 ?
x
3

23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ? ? ?

21 1 2 9 ) 展开式的第 7 项为 ,则实数 x 的值是 ? 3 4 2
的展开式中,
2

9.

的系数是______1890_____。 11. 在 ( x ?
2

10.在二项式 ( x ?
11

a 5 ) 的展开式中,x 的系数是-10,则实数 a 的值为 1 x
3 3

1 10 ) 的二项 2x

1 ? 1? 展开式中, x 的系数是 15_ 12.在 ?1 ? x ? ?1 ? ? 的展开式中, 含 的项的系数为 15 x ? x?

一、选择题 1. 从 2009 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2009 人中剔除 9 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人,则在 2009 人中, 每人入选的概率( ) 50 1 (A)不全相等 (B)均不相等 (C)都相等,且为 2009 (D)都相等,且为 40
4

2.某班选派 6 人参加两项公益活动,每项活动最多安排 4 人,则不同的安排方法有 ( ) A.50 种 B.70 种 C.35 种 D.55 种 3.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人,现抽取 30 人进行分 层抽样,则各职称人数分别为( ) A. 5,10,15 C. 3,9,18 B. 5,9,16 D. 3,10,17

4.将 n2(n≥3)个正整数 1,2,3,?,n2 填入 n×n 方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相 等,这个正方形就叫做 n 阶幻方,记 f(n)为 n 阶幻方对角线上数的和。如下表所示 8 3 4 1 5 9 6 7 2

就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)= 1 A. n(n2+1) 2 1 C . n2(n2+1) 2 B. 1 2 n (n+1)-3 2 D.n(n2+1)

(

)

5.为激发学生学习的兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合:

A ? {x |

? x ?1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0}, C ? {x | log 1 x ? 1} ;然后叫甲、乙、丙三位同学 x 2

到讲台上,并将“ ? ”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数,以 下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于 6 的正整数;乙:A 是 B 成立的充分不必要条件; 丙:A 是 C 成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对,则“ ? ”中的数为 。

6.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同 选法的种数为 (用数字作答) . 7..正整数 m 的三次幂可拆分成几个连续奇数的和, 如右图所示,若 m 的“拆分数”中有一个数是 2009, 则 m 的值为 .
3

13 ? 1 23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ? ? ?

8. 已知 (2 ?
x

21 2 9 则实数 x 的值是 ( ) 展开式的第 7 项为 , 4 2
B.-3 C.



A. ?

1 3

1 4

D.4
5

9.

的展开式中,

的系数是___________。

10.在二项式 ( x ?
2

a 5 ) 的展开式中,x 的系数是-10,则实数 a 的值为 x

11. 在 ( x ?
2

1 10 ) 的二项展开式中, x11 的系数是____ _______ 2x
3

1 ? 1? 12.在 ?1 ? x ? ?1 ? ? 的展开式中, 含 的项的系数为 x ? x?
3

13.某车间甲组 10 名工人,其中 4 名女工人,乙组 5 名工人,其中 3 名女工人,现采用分层抽样方 法,从甲乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核 (1) 求从甲乙两组各抽取的人数 (2) 求从甲组抽取的 2 人中恰有 1 名女工的概率 (3) 用 X 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 X 的分布列及数学期望 14.袋中有同样的球 5 个,其中 3 个红色, 2 个黄色,现从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当 两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 ? 为此时已摸球的次数, 求: (1)随机变量 ? 的概率分布; (2)随机变量 ? 的数学期望与方差.

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