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高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习:专题一 函数与导数、不等式


第4讲
一、填空题

导数与函数图象的切线及函数零点问题

x 1.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x+2 解析 易知点(-1,-1)在曲线上,且 y′= x+2-x 2 ,所以切线 2= (x+2) (x+2)2

2 斜率 k=y′|x=-1=1=2. 由点斜式得切线方程为 y+1=2(x+1),即 2x-y+1=0. 答案 2x-y+1=0

2.若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处有公切线,则 a +b 的值为________. 解析 ∵f′(x)=-asin x,∴f′(0)=0.

又 g′(x)=2x+b,∴g′(0)=b, ∴b=0.又 g(0)=1=m, ∴f(0)=a=m=1, ∴a+b=1. 答案 1

3.(2015· 邯郸模拟)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a +b 的值为________. 解析 ∵y′=3x2+a.∴y′|x=1=3+a=k,

又 3=k+1,∴k=2,∴a=-1. 又 3=1+a+b,∴b=3, ∴2a+b=-2+3=1. 答案 1

4.(2015· 武汉模拟)曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则 实数 a 的值为________. 解析 答案 1 依题意得 y′=1+ln x,y′|x=e=1+ln e=2,所以-a×2=-1,a=2. 2

5. (2015· 扬州模拟)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点, 则 a 的取值范围是________. 解析 函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,即方程 ex-2x+a=0 有实根,即函数

g(x)=2x-ex 与 y=a 有交点,而 g′(x)=2-ex,易知函数 g(x)=2x-ex 在(- ∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而 g(x)=2x-ex 的值域为(-∞, 2ln 2-2],所以要使函数 g(x)=2x-ex 与 y=a 有交点,只需 a≤2ln 2-2 即 可. 答案 (-∞,2ln 2-2]

?2 ?2?? ?2? ?? 6. 已知 f(x)=x3+f′?3?x2-x, 则 f(x)的图象在点?3,f? ?3??处的切线斜率是________. ? ? ? 解析 2 ?2? ?2? ?2?2 ?2? 2 f′(x)=3x2+2f′?3?x-1,令 x=3,可得 f′?3?=3×?3? +2f′?3?×3-1, ? ? ? ? ? ? ? ?

?2 ?2?? ?2? ?? 解得 f′?3?=-1,所以 f(x)的图象在点?3,f? ?3??处的切线斜率是-1. ? ? ? 答案 -1

7.(2015· 南京、盐城模拟)关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即

可, 又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2.当 x<0 时, f′(x) >0;当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x) 取得极大值,即 f(x)极大值=f(0)=-a;当 x=2 时,f(x)取得极小值,即 f(x)极小


?-a>0, =f(2)=-4-a,所以? 解得-4<a<0. ?-4-a<0, (-4,0)

答案

8.(2015· 安徽卷)设 x3+ax+b=0,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三 次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号). ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2; ④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 解析 令 f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a,

当 a≥0 时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确;当 a<0 时, 由于选项当中 a=-3,∴只考虑 a=-3 这一种情况,f′(x)=3x2-3=3(x+ 1)(x-1), ∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2, f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,

要使 f(x)=0 仅有一个实根, 则需 f(x)极大<0 或 f(x)极小>0, ∴b<-2 或 b>2, ①③ 正确,所有正确条件为①③④⑤. 答案 ①③④⑤

二、解答题 9.已知 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x2-10x 的一个极值点. (1)求 a; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 解 f(x)的定义域为(-1,+∞). a +2x-10, 1+x

(1)f′(x)=

a 又 f′(3)=4+6-10=0, ∴a=16.经检验此时 x=3 为 f(x)的极值点, 故 a=16. (2)由(1)知 f′(x)= 2(x-1)(x-3) . x+1

当-1<x<1 或 x>3 时,f′(x)>0; 当 1<x<3 时,f′(x)<0. ∴f(x)的单调增区间为(-1,1),(3,+∞), 单调减区间为(1,3). (3)由(2)知,f(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞) 上单调递增, 且当 x=1 或 x=3 时, f′(x)=0.所以 f(x)的极大值为 f(1)=16ln 2 -9,极小值为 f(3)=32ln 2-21. 因为 f(16)>162-10×16>16ln 2-9=f(1), f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3), 所以根据函数 f(x)的大致图象可判断,在 f(x)的三个单调区间(-1,1),(1, 3) , (3 ,+∞) 内,直线 y = b 与 y = f(x) 的图象各有一个交点,当且仅当 f(3)<b<f(1). 因此 b 的取值范围为(32ln 2-21,16ln 2-9). 10.(2015· 南师附中模拟)已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).

(1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; ?1 ? (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在?e,e?上有两个零点,求实数 m 的取值范围. ? ? 解 (1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x,

2 f′(x)=x -2x+2,切点坐标为(1,1), 切线的斜率 k=f′(1)=2,则切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. -2(x+1)(x-1) 2 (2)g(x)=2ln x-x2+m,则 g′(x)= x-2x= . x ?1 ? 因为 x∈? e,e?,所以当 g′(x)=0 时,x=1. ? ? 1 当 e<x<1 时,g′(x)>0;当 1<x<e 时,g′(x)<0. 故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1. 1 ?1? 又 g? e?=m-2-e2,g(e)=m+2-e2, ? ? 1 ?1? ?1? g(e)-g?e?=4-e2+e2<0,则 g(e)<g? e?, ? ? ? ? ?1 ? 所以 g(x)在?e,e?上的最小值是 g(e). ? ? ?1 ? g(x)在?e,e?上有两个零点的条件是 ? ? g(1)=m-1>0, ? ? 1 ? ?1? 解得 1<m≤2+e2, 1 g? ?=m-2-e2≤0, ? ? ?e? 1? ? 所以实数 m 的取值范围是?1,2+e2?. ? ? 11.(2015· 江苏高考命题原创卷)已知函数 f(x)=x2-aln x-1,函数 F(x)= x-1 . x+1

(1)如果函数 f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数 a 的取值 范围; (2)当 a=2 时,你认为函数 y= 点?请证明你的结论. 解 (1)∵f(x)=x2-aln x-1 的定义域为(0,+∞),函数 f(x)的图象上的每一 f(x) 的图象与 y=F(x)的图象有多少个公共 x-1

点处的切线斜率都是正数, a ∴f′(x)=2x- x>0 在(0,+∞)上恒成立. ∴a<2x2 在(0,+∞)上恒成立, ∵y=2x2>0 在(0,+∞)上恒成立,∴a≤0. ∴所求的 a 的取值范围为(-∞,0]. (2)当 a=2 时,函数 y= 当 a=2 时,y= f(x) 的图象与 y=F(x)的图象没有公共点. x-1

f(x) x2-2ln x-1 = ,它的定义域为{x|x>0 且 x≠1},F(x) x-1 x-1

的定义域为[0,+∞). 当 x>0 且 x≠1 时,由 -2ln x-x+2 x-2, 2 1 则 h′(x)=2x- x-1+ = x ( x-1)(2x x+2x+ x+2) . x ∴当 0<x<1 时,h′(x)<0,此时,h(x)单调递减; 当 x>1 时,h′(x)>0,此时,h(x)单调递增. ∴当 x>0 且 x≠1 时,h(x)>h(1)=0,即 h(x)=0 无实数根. f(x) ∴当 a=2,x>0 且 x≠1 时, =F(x)无实数根. x-1 ∴当 a=2 时,函数 y= f(x) 的图象与 y=F(x)的图象没有公共点. x-1 f(x) =F(x)得 x2-2ln x-x+2 x-2=0.设 h(x)=x2 x-1


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