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1.2.2《函数的表示方法》


1.2.2 函数的表示法

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回想初中知识函数的表示方法有哪 几种? 解析法,列表法,图象法. 用图象表示两个变量之 间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

例 3 在礼品盒的专卖店里,某种包装盒的单价是3元,

买x (x ? {1,

2, 3,4,5})个包装盒需要y元,试用函 数的三种表示法表示函数. 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5};

用解析法可将函数表示为 y = 3x, x ? {1, 2, 3,4,5}
用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取 值范围?

函数的定义域是函数存在的前提,再写函数 解析式的时候,一定要写出函数的定义域. 用列表法可将函数表示为: 笔记本数x 钱数y 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15

用图象法可将函数表示为下图:

y y 15
12

9 6
3 0

. . .
1 2 3 4 5 x

.



用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本题 中的图象为什么不是一条直线?

思考

列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).

函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是
直线、折线、离散的点等.

注 意

y = 3x(x ? R) 是连续的直线,但

y = 3x(x ?{1, 2, 3,4,5}) 却是5个离散的点.
所以说在函数概念中,对应关系,定义域, 值域是一个整体.

例1的三种表示方法各自的特点 是什么? 所有的函数都能用解析法 表示吗?

三种表示方法的特点
解析法
①函数关系清楚、精确; ②容易从自变量的值求出其对应的函数值; ③便于研究函数的性质.

解析法是中学研究函数的主要表达方法. 能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今 图象法 后利用数形结合思想解题的基础.

列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值,当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.

例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
成绩
姓名 测试序号

第一次 第二次

第三次 第三次

第五次 第六次

王伟 张城 赵磊 班级平均分

98 90 68 88.2

87 76 65 78.3

91 88 73 85.4

92 75 72 80.3

88 86 75 75.7

95 80 82 82.6

从表格看哪个同学的成绩优秀? 对这三位同学 在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

解:从表中可以知道每位同学在每次测试中的 为了更容易的看出学 成绩,但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况 . 生的学习情况,将离散的 可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数 点用虚线连接。 图像表示出来,如下图,那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况.
100 90 80
平均分 王伟

张城

70 60

赵磊

1

2

3

4

5

6

例5 画出函数y=|x|的图象. 解:y=

x, x≥0 -x, x<0
y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 23

图象如下:

x

比较做图方法与前面例题有何不同? 前面的例题采用的是描点法,而现在借助于 已知函数画图象,描点法一般适用于那些复杂的函 数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借 助于一些基本函数的图象来表示.

变式1:作函数y=|x-1|的图像.
y y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 01 2 3

y=|x|
y=|x-1|

4
3 2 1

y=|x - 1| y=|x -1| + 1

x

-3 -2 -1

1 0

2

3

x

变式2:作函数y=|x-1|+1的图像.

例6:某市“招手即停”公共汽车的票价按
下列规则制定:

(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1 元(不足5公里的按5公里计算)。 如果某条线路的总里程为20公里,请 根据题意,写出票价与里程之间的函数解 析式,并画出函数的图象。

解:设票价为y,里程为x,则根据题意, 自变量x的取值范围是(0,20] 由公交车票价的规定,可得到以下函数解析式:

? 2, ?0 ? x ? 5? 5 ? 3, ?5 ? x ? 10? 4 ? y?? 3 ? ? 4 , 10 ? x ? 15 ? 2 ? ?5, ?15 ? x ? 20?
1

y

我们把这样的函数 称为分段函数
5 10 15 20

O

x

1. 有些函数在它的定义域中,对于自变量x的不 同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分 段函数.分段函数的表达式虽然不止一个,但它不是

几个函数,而是一个函数.
2. 函数图象不一定是光滑的曲线(直线),还 可以是一些孤立的点,一些线段,一段曲线等.

思考
函数是两个数集之间的一种确定关系,那么现 在将数集扩展到任意集合,那又会得到什么呢?

常见的对应关系:
1. 对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序 实数对(x, y)和它对应; 2. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的 座位与它对应;

3. 长途汽车上的每位乘客都有唯一确定的座位相 对应; 4. 对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它 对应; 我们把它们称作什么呢? 称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射.

设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集 合B中都有惟一确定的元素y与之对应,那么就称对 应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
函数概念与映射概念之间有怎样的关系?有什

么异同?
函数是从非空数集A到非空数集B的映射.映射是从 集合A到集合B的一种对应关系,这里的集合A、B可以 是数集,也可以是其他集合.函数是一种特殊的映射.

判断下面对应关系是不是映射?

A ???? B
求正弦

A ???? B
求平方

300 45
0

1 2 2 2 3 2 1

600 900



3 -3 2 -2 1 -1

9 4

1



A ???? B
开平方

A
李明

成绩

B
86

9
4 1

3 -3 2 -2 1 -1

赵刚
王磊

73
86

×



映射f:A→B,可理解为以下几点:
1、映射有三个要素:两个集合、一个对应法则, 三者缺一不可; 2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应; 3、A中元素与B中元素的对应关系,可以是:一 对一,多对一,但不能一对多.

例 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A={P︱P是数轴上的点},集合B=R,对应 关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合A={P︱P是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)︱x ? R, y ? R },对应关系f:平面直角坐标 系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x︱x是三角形},集合B={x︱x是圆}, 对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A={x︱x是新华中学班级},集合B={x︱x是 新华中学的学生},对应关系f:每一班级都对应班里 的学生.

解:(1)按照建立数轴的方法可知,数轴上的任意 一个点,都与唯一的实数与之对应,所以这个对应 f: A→B是从集合A到B的一个映射. (2)按照建立平面直角坐标系的方法可知,平面直 角坐标系中的任意一个点,都有唯一的一个实数对与 之对应,所以这个对应f:A→B是从集合A到B的一个 映射. (3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应, 所以这个对应f:A→B是从集合A到B的一个映.

(4)新华中学的每一班级里的学生都不止一个,即 与一个班级对应的学生不止一个,所以这个对应f: A→B不是从集合A到B的一个映射. 对应关系f改为:每个学生都对应它的班级,那 么f:B→A是集合从B到A的映射吗?

课堂小结
(1)理解函数的三种表示方法; (2)在具体的实际问题中能够选用恰当的表 示法来表示函数; (3)注意分段函数的表示方法及其图象的画法; (4)映射的概念.


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