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高一数学 学习·探究·诊断(必修4)


第一章
测试一

基本初等函数(Ⅱ)
任意角的概念与弧度制 Ⅰ 学习目标

1.了解弧度制,并能进行弧度与度的换算. 2.会用集合表示终边相同的角.



基础性训练

一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) (A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相

等 (C)相等的角终边位置必定相同 (D)不相等的角终边位置必定不相同 2.??是任意角,则??与-??的终边( ) (A)关于坐标原点对称 (B)关于 x 轴对称 (C)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y=x 对称 3.若??是第一象限角,则下列各角中是第四象限角的是( ) (A)90°-?? (B)90°+?? (C)360°-?? (D)180°+?? 4.将分针拨快 20 分钟,则分针转过的弧度数为( ) (A) ?

2π 3

(B)

2π 3
k

(C) ?

π 3 2

(D)

π 3


5.设集合 A ? {x | x ? kπ ? (?1) B 之间的关系为( (A)A B )

? π , k ? Z} , B ? {( x | x ? 2kπ ? π , k ? Z} ,则集合 A
2
(C)A=B (D)A∩B= ?

(B)A B

二、填空题 6.若 0°≤??<360°,且??与-1050°的终边相同,则??=______. 7.一个半径为 R 的扇形中,弦长为 R 的扇形的圆心角的弧度数是______. 8.将下列各角写成??+2k? (0 ? ? ? 2π, k ? Z) 的形式: (1) ?

49π 37π =______;(2) ______. 6 5

9.若??为锐角,k?180°+? (k ? Z) 所在的象限是____________. 10.若角??=30°,钝角??与??的终边关于 y 轴对称,则??+??=______;若任意角??,?? 的终边关于 y 轴对称,则??,??的关系是____________. 三、解答题 11.圆的半径是 2cm,则 30°的圆心角与其所对的圆弧围成的扇形面积是多少?

12.自行车大轮有 48 个齿,小轮有 20 个齿,当大轮转一周时,小轮转过的角度是多少?等 于多少弧度.



拓展性训练

13.一个不大于 180°的正角??,它的 7 倍角的终边与角??的终边相同,求角??的大小.

14.如果一个扇形的周长为 20cm,那么扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的 面积最大.

测试二 三角函数的定义 Ⅰ 学习目标
1.借助单位圆理解三角函数的定义,会用三角函数线比较三角函数值的大小. 2.掌握各函数在各象限的符号.



基础性训练
)

一、选择题 1.角??的终边过点 P(a,a)(a??<0),则 sin??的值为( (A)

2 2

(B) ?

2 2

(C) ?

2 2

(D)1 (D)二、四象限 ) (D)a, 大小关系不定 b (D) sin(?

2.已知 sin??cos??<0,则角??在( ) (A)一、二象限 (B)二、三象限 3.设

(C)三、四象限

π π ? ? ? ,角??的正弦、余弦的值分别为 a,b,则( 4 2
(C)a=b ) (C) cos

(A)a<b (B)b<a 4.设??=10,下列函数值中为负值的是( (A)cos(-2??) (B)cos??

?
2

?
2

)
)

5.已知点 P(sin??-cos??,tan??)在第一象限,则在[0,2?]内??的取值范围是(

π 3π 5π ) ∪ ( π, ) 2 4 4 π 3π 5π 3π (C) ( , ) ∪ ( , ) 2 4 4 2
(A) ( , 二、填空题

π π 5π ) 4 2 4 π π 3π (D) ( , ) ∪ ( , π ) 4 2 4
(B) ( , ) ∪ ( π,

6. 已知角??的终边经过点 Q( ? 3 , 则 cos??=______, ??=______, ??=______. 1), sin tan 7.若角 480°终边上有一点(-4,??),则??的值为______. 8.若 cos?? ?

3 ,且??的终边过点 P(x,2),则??是第______象限角,x=______. 2
②sin??cos??tan??>0; ④1-cos??>1.

9.??为第二象限角,给出下列命题: ①??的正弦值与正切值同号; ③ 1? tan? 总有意义; 其中正确命题的序号为______. 10.若 tan??>sin??>cos?? ? 三、解答题

π π ? ? ? ??,则角??的范围是______. 2 2 2 y. 4

11.已知角??终边上一点 P( ? 3 ,y) (y≠0),且 sin?? 求 cos??和 tan??的值.

12.角??的顶点为坐标原点,终边在直线 y=3x 上,且 sin??<0;P(m,n)是??终边上的一

点,且 OP = 10 ,求 m-n 的值.

拓展性训练 1 13.在单位圆中利用三角函数线求出满足 sin? ? 的角??的范围. 2



14.若 0<??<?,试利用三角函数线讨论 sin??+cos??值的变化规律.

测试三

同角三角函数的基本关系与诱导公式 Ⅰ 学习目标 Ⅱ 基础性训练

初步掌握同角三角函数的基本关系和诱导公式;利用公式进行化简求值. 一、选择题 1.sin210°的值是( (A)

) (B) ?

1 2

1 2

(C)

3 2

(D) ?

3 2

2.若 sin(π ? A) ? ?

1 ,则 sin(6?-A)的值为( 3
(B) ?

)

(A)

1 3

1 3

(C) ?

2 2 3

(D)

2 2 3

3.已知 sin( ? ? ) ? ? , ? ? ( π,

π 2

1 3

3π ) ,则 sin(3?-??)的值为( 2
1 3
(C) ? )

)

(A)

1 3

(B) ?

2 2 3

(D)

2 2 3

4.设 tan??=2,且 sin??<0,则 cos??的值等于( (A)

5 5

(B) ?

1 5

(C) ? )

5 5

(D)

1 5

5.化简 1 ? 2 sin(π ? 2) cos(π ? 2) 的结果是( (A)sin2-cos2 (C)±(sin2-cos2) 二、填空题 6. sin(π ? 2) ? cos( ? 2) 的值为__________. 7. tan(?210 ?) ? cos(?210 ?) =__________. 8.设 sin? ? cos? ? 9. tan? ?

(B)cos2-sin2 (D)sin2

π 2

2 ,则 sin?? cos??的值为______.

1 3 , π ? ? ? π ,则 sin???cos??的值为______. 3 2

cos(?570 ? ) cos120 ? sin 315 ? 10. 的值是______. sin(?1050 ?)
三、解答题 11.计算: tan(?

35 46 37 55 π) ? sin(? π) ? cos π ? tan π . 6 3 6 6

12.设 f ( x) ?

2 cos3 x ? sin 2 (360 ? ? x) ? 2 sin(90 ? ? x) ? 1 π ,求 f ( ) 的值. 2 2 ? 2 cos (180 ? ? x) ? cos(? x) 3


2 2

拓展性训练

13.已知 sin??+sin ??=1,求 3cos ??+cos4??-2sin??+1 的值.

14.化简: sin(

4n ? 1 4n ? 1 π ? ? ) ? cos( π ?? ) , n ?Z . 4 4

测试四

正弦函数的图象与性质 Ⅰ 学习目标

掌握正弦函数的图象与性质;会解决正弦型函数中关于周期性、单调性、奇偶性、对称 性、最值或值域、图象变换等相关问题.


一、选择题 1.函数 y ? sin x,x ? [ ,

基础性训练
)

π 2π ] ,则 y 的取值范围是( 6 3
(B) [ ,] 1

(A)[-1,1]

1 2

(C) [ ,

1 2

3 ] 2

(D) [

3 ,] 1 2

5π ) ) 的对称轴的是( 2 π π π (A) x ? (B) x ? ? (C) x ? 6 6 3 π 3.在下列各区间中,是函数 y ? sin(x ? ) 的单调递增区间的是( 4 π π (A) [ , π] (B) [0, ] (C)[-?,0] 2 4
2.下列直线中,是函数 y ? sin(3x ? 4.函数 y=sinx-|sinx|的值域是( ) (A)[-2,0] (B)[-2,2] 5.函数 y ? sin(2 x ? ) 在区间 [? (C)[-1,1] )

(D) x ? )

π 2

(D) [ , ]

π π 4 2

(D)[-1,0]

π 3

π , π ] 的简图是( 2

二、填空题 6.函数 y ? 3 sin(?x ? ) 的最小正周期为 4?,则??=______.

π 3

3 的定义域是____________. 1 ? 2 sin x π 8.已知函数 y ? a ? b sin(4 x ? ) (b>0)的最大值是 5,最小值是 1,则 a=______,b= 3
7.函数 y ? ______. 9.已知函数 f(x)=ax+bsinx-1,且 f(2)=6,则 f(-2)=______. 10.函数 y=2sin2x-2sinx+1 的值域是______. 三、解答题 11.函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象是由 y=sinx 的图象如何得到的?

π 3

12.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A>0,??>0,0< ? <?)在一个周期内的图象如下图

所示.

(1)试确定 A,??, ? 的值. (2)求 y ? 3 与函数 f(x)的交点坐标.

13.用五点法作出函数 y ? 2 sin(2 x ?

π ) 在一个周期内的图象,并指出函数的单调区间. 3



拓展性训练
π ) 的图象与 y 轴的交点为(0, 2

14.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 , | ? |? (

1),且在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2),(x0+3?,-2). (1)求函数 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)叙述由 y=sinx 的图象如何变换为 f(x)的图象.

测试五

余弦函数、正切函数的图象与性质 Ⅰ 学习目标 Ⅱ 基础性训练
)

掌握余弦函数、正切函数的图象与性质. 一、选择题 1.函数 y=cosx 和 y=sinx 都是增函数的区间是( (A) [ , π] 2.下列不等式成立的是(

π 2

(B) [0, ] )

π 2

(C) [?

π ,0 ] 2

(D) [? π,? ]

π 2

π π ? sin 5 6 π π (C) sin(? ) ? sin(? ) 5 6
(A) sin 3.若 tanx≤0,则( (A) 2kπ ? (C) kπ ? )

π π ? cos 5 6 π π (D) cos(? ) ? cos(? ) 5 6
(B) cos

π ? x ? 2kπ, k ? Z 2

π ? x ? kπ, k ? Z 2 π 4.函数 y ?| cos(x ? ) | 的最小正周期为( 6
(A)2? (B)?

π ? x ? (2k ? 1) π, k ? Z 2 π (D) kπ ? ? x ? kπ, k ? Z 2
(B) 2kπ ? ) (C)

π 2

(D)

5π 6

5.若函数 f ( x) ? cos( x ?

π 2

π ) 对于任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 5
(C)? (D)4

|x1-x2|的最小值为( ) (A)1 (B)2 二、填空题 6.函数 y=tan?x 的最小正周期是______. 7.已知 tan??

3 (0<??<2?),那么??所有可能的值是______. 3 8.函数 y ? log 1 (cos x) 的定义域是______.
2

9.给出下列命题: ①存在实数 x,使 sinxcosx=1; ③ y ? sin(

②存在实数 x,使 sinx+cosx=3; ④(

5π ? 2 x) 是偶函数; 2

π ,0 )是 y=tanx 的对称中心 2

其中正确的是______. 10.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数 y=f(x)的图象恰好 经过 k 个格点,则称该函数 f(x)为 k 阶格点函数.下列函数中是一阶格点函数的是 ____________. ①y=sinx; ② y ? cos(x ?

π ) ; ③y=cosx-1; 6

④y=x2

三、解答题 11.已知 y ? cos(2 x ?

π ) ,写出这个函数的周期、最大值、对称轴,并说明其图象是由函 3

数 y=cosx 怎样变换得到的.

12.已知 f(x)是奇函数,又是周期为 6 的周期函数,且 f(-1)=1,求 f(-5)的值.


13.已知 f (n) ? cos

拓展性训练

nπ ,求 f(1)+f(2)+?+f(100)的值. 4

14.已知 a,b 为常数,f(x)=(a-3)sinx+b,g(x)=a+bcosx,且 f(x)为偶函数. (1)求 a 的值; (2)若 g(x)的最小值为-1,且 sinb>0,求 b.

测试六
一、选择题

三角函数全章综合练习
) (C)2? )象限 (C)第二或第三 ) (D)5?

1.函数 y ? 3 cos( x ? ) 的最小正周期是( (A)

2 5

π 6

2 π 5

(B)

5 π 2

2.若 sin? cos??>0,则角??的终边在( (A)第一 (B)第四 3.函数 y ?

(D)第一或第三

3 的定义域为( 1 ? 2 sin x π (A) {x | x ? 2kπ ? , k ? Z} ? 6 π (B) x | x ? 2kπ ? , k ? Z} { ? 6
(C)R (D) {x | x ? 2kπ ? ?

π 5π , 且x ? 2kπ ? , k ? Z} ? 6 6 π 4.已知函数 f ( x) ? sin(πx ? ) ,那么下列命题正确的是( 2

)

(A)f(x)是周期为 1 的奇函数 (B)f(x)是周期为 2 的偶函数 (C)f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 (D)f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )

(A)y= sin(x ? ) (C)y= cos(4 x ? ) 二、填空题 6.计算 sin(?

π 6

π 3

π ) 6 π (D)y= cos(2 x ? ) 6
(B)y= sin(2 x ?

17 π ) =______. 3
2 5 π , ? ? ? π ,an??=______. 5 2

7.已知 sin ? ?

8.函数 y ? sin(x ?

9.函数 f(x)=Asin(??x+ ? )(A>0,??>0)的部分图象如图所示, 则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(11)=______.

π ) 图象的一个对称中心为____________. 6

10.如图所示,一个半径为 3 米的圆形水轮,水轮圆心 O 距水面 2 米,已知水轮每分钟绕 圆心 O 逆时针旋转 3 圈.

若点 P 从如图位置开始旋转(OP 平行于水面),那么 5 秒钟后点 P 到水面的距离 为______米,试进一步写出点 P 到水面的距离 y(米)与时间 x(秒)满足的函数关系式 ________. 三、解答题

π cos( ? ? ) cos? π 2 11.已知, ? ? ? ? 0 ,求 的值. 2 cos(π ? ? ) cos(?? )

12.已知 tan? ?

1 sin ? ? 3 cos? ,求 的值. 2 sin ? ? cos?

13.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? (1)求??的值; (2)求 f(x)在 [?

π ) (? ? 0) 的最小正周期为?. 3

π π , ] 上的取值范围. 4 4

? 0 , 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin( x ? ? ) (?> 0, ? ? ? π),f (0) ? 1 f ( x) 的 图 象 关 于 点
M( 3π π ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求??, ? 的值. 4 2

第二章
测试七

平面向量

向量的线性运算(一) Ⅰ 学习目标

1.理解平面向量,单位向量,零向量,相等向量,位置向量的含义;理解向量的几何表示. 2.理解两个向量共线的含义及其表示法. 3.掌握向量加法的定义以及向量加法的三角形法则,平行四边形法则和多边形法则. 4.掌握向量减法定义,能熟练作出两个向量的差向量. 5.掌握向量加法的交换律和结合律,并会运用它们进行向量运算.



基础性训练

一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) (A)两个相等的向量的起点,方向,长度必须都相同 (B)若 a,b 是两个单位向量,则 a=b (C)若向量 a 和 b 共线,则向量 a,b 的方向相同 (D)零向量的长度为 0,方向是任意的 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(

)

(A) AB ? DC (C) AB ? AD ? BD 3.在四边形 ABCD 中, CB ? AB ? BA ? (

(B) AD ? AB ? AC (D) AD ? CB ? 0 )

(A) DB (C) CD

(B) CA (D) DC

4.已知 a,b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则一定有( ) (A)a=b (B)a∥b,且 a,b 方向相同 (C)a=-b (D)a∥b,且 a,b 方向相反 5.化简下列向量:(1) AB ? BC ? CA (2) AB ? AC ? BD ? CD

(3) FQ ? QP ? EF ? EM

(4) OA ? OB ? AB ,结果为零向量的个数是(

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 6.对于下列命题 ①相反向量就是方向相反的向量 ②不相等的向量一定不平行 ③相等的向量一定共线 ④共线的单位向量一定相等 ⑤共线的两个向量一定在同一条直线上 其中真命题的序号为______. 7.若某人从 A 点出发向东走 3 km 至点 B,从点 B 向北走 3 3 km 至点 C,则点 C 相对于 点 A 的位置向量为______. 8.一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶,而船实际的航行方向与水流成 30°,则船的实际速度的大小为______,水流速度的大小为______. 9.如图,在□ABCD 中, AO ? a , DO ? b ,用向量 a,b 表示下列向量 CB ? ______

AB =_____.

10.已知平面内有□ABCD 和点 O,若 OA ? a , OB ? b , OC ? c , OD ? d,则 a-b+c -d=______. 三、解答题 11.化简: (1) AB ? AC ? BD (2) AB ? CD ? CB ? DA

12. 在单位圆中, 是 OA 的中点, 过 B 且 PQ∥Ox, B PQ MP⊥Ox, NQ⊥Ox, 则在向量 OM ,

ON, , , , , , , 中. MP NQ OP OQ OB OA PQ

(1)找出相等的向量; (2)找出单位向量; (3)找出与 OM 共线的向量;

(4)向量 OM , ON 的长度.

13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若 AB ? a , BC ? b , AC ? c ,求作向量 a-b+c, 并求出|a-b+c|.



拓展性训练

14.已知向量 a,b 满足:|a|=3,|a+b|=5,|a-b|=5,求|b|.

测试八

向量的线性运算(二) Ⅰ 学习目标

1.理解向量数乘的定义及其几何意义,掌握向量数乘的运算. 2.理解平行向量基本定理,会判断两个向量是否平行. 3.掌握轴上向量的坐标及其运算.



基础性训练
) (C)

一、选择题 1.若 3(x+3a)-2(a-x)=0,则向量 x=( (A)2a (B)-2a

7 a 5

(D) ? )

7 a 5

2.若 AB ? 5e , CD ? ?7e 且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 是( (A)平行四边形 (C)菱形 (B)非等腰梯形 (D)等腰梯形 )

3.如图所示,D 是△ABC 的边上的中点,则向量 CD 等于(

(A) ? BC ? (C) BC ?

1 BA 2

(B) ? BC ? (D) BC ?

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

4.已知向量 a=e1-2e2,b=-2e1+4e2,则向量 a 与 b 满足关系( ) (A)b=2a (B)共线且方向相反 (C)共线且方向相同 (D)不平行 5.下列结论中正确的个数是( ) ①若|b|=2|a|,则 b=±2a ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c ③若 ma=mb,则 a=b ④0a=0⑤若向量 a 与 b 共线,则一定存在一个实数?,使得 a=?b (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 二、填空题 6.化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)=______. 7.与非零向量 a 共线的单位向量为____________. 8.数轴上的点 A,B,C 的坐标分别为 2x,-2,x,且 AB ? ?3BC ,则 x=______;|AB| =______. 9.已知向量 a 与 b 方向相反,|a|=6,|b|=4,则 a=______b.

AN ? 3NC , 为 BC 的中点, MN ? ____. 10. □ABCD 中, AB ? a , AD ? b , 在 M 则
三、解答题 11.点 D 是△ABC 边 BC 上一点,且 BD ?

1 BC .设试 AB ? a,AC ? b,用向量 a,b 表示 3

AD.

12.已知向量 a,b 满足 (a ? 3b) ? 求|a|∶|b|.

1 5

1 1 (a ? b) ? (3a ? 2b ) ,求证:向量 a 与 b 共线,并 2 5

13.已知|a|=1,|b|=2.若 a=?b,求|a-b|的值.



拓展性训练

14. 已知平面中不同的四点 A, C, 和非零向量 a, 且 AB ? a ? 2b ,CD ? 5a ? 6b , B, D b,

CD =7a-2b.
(1)证明:A,B,D 三点共线; (2)若 a 与 b 共线,证明 A,B,C,D 四点共线.

测试九

向量的分解与向量的坐标表示 Ⅰ 学习目标

1.了解平面向量基本定理及其意义,会写出向量某一组基底下的分解式; 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标运算; 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,并会运用它处理向量共线问题.



基础性训练
) (D)3 )

一、选择题 1.已知向量 a=(4,2),向量 b=(x,3),且 a∥b,则 x=( (A)9 (B)6 (C)5

2.已知点 A(0,1),B(1,2),C(3,4),则 AB ? 2 BC 的坐标为(

(A)(3,3) (B)(-3,-3) (C)(-3,3) (D)(3,-3) 3.已知基底{e1,e2},实数 x,y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( ) (A)3 (B)-3 (C)0 (D)2 4.在基底{e1,e2}下,向量 a=e1+2e2,b=2e1-?e2,若 a∥b,则?的值为( ) (A)0 (B)-2 (C) ?

1 2

(D)-4

5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c), d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( ) (A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6) 二、填空题 6.点 A(1,-2)关于点 B 的对称点为(-2,3),则点 B 的坐标为______. 7.若 M(3,-2),N(-5,-1)且 MP ?

1 MN ,则 P 点的坐标为______________. 2

8.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),点 P 满足 OP ? OA ? t AB ,当点 P 在 x 轴上时, t=_______. 9.已知□ABCD 的三个顶点 A(-1,3),B(3,4),C(2,2),则顶点 D 的坐标为______.

12 10.向量 OA ? (k, ) , OB ? ( 4,5) , OB ? (10, k ) 若 A、B、C 三点共线,则 k=______.
三、解答题

AB 11.已知梯形 ABCD 中, AB ? 2 DC ,M,N 分别是 DC,AB 的中点.设 AD ? a, ? b
选择基底{a,b},求向量 DC,NM 在此基底下的分解式.

12.已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4), (1)证明:向量 a,b 是一组基底; (2)在基底{a,b}下,若 c=xa+yb,求实数 x,y 的值.

13.已知向量 a=(1,2),b=(-3,x).若 m=2a+b,n=a-3b,且 m∥n,求实数 x 的 值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反.

14.已知点 O(0,0),A(1,4),B(4,-2),线段 AB 的三等分点 C,D(点 C 靠近 A). (1)求点 C,D 的坐标; (2)若点 E 相对于点 B 的位置向量为 OC ? 2OD ,求点 E 的坐标.

测试十

平面向量的数量积及其运算律 Ⅰ 学习目标

1.理解平面向量数量积的含义及其性质和运算律; 2.理解向量在轴上的正射影定义以及和平面向量数量积的关系; 3.会角运算律进行数量积的运算; 4.会用平面向量数量积处理垂直问题,两个向量的夹角以及向量长度等问题.



基础性训练
) (D) ? 6 2 )

一、选择题 1.若|a|=4,|b|=3, 〈a,b〉=135°,则 a?b=( (A)6 (B) (C) 6 2

2.已知|a|=8,e 为单位向量, 〈a,e〉 (A) 4 3 (C) ? 4 3

2π ,则 a 在 e 方向上的正射影的数量为( 3
(B)4 (D)-4

3.若向量 a,b,c 满足 a?b=a?c,则必有( ) (A)a=0 (B)b=c (C)a=0 或 b=c 4.若|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则〈a,b〉=( ) (A)30° (B)60° (C)120°

(D)a⊥(b-c) (D)150°

| | 5.平面上三点 A,B,C,若 | AB |? 3, BC |? 4, CA |? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB
=( ) A.25 (B)-25 (C)50 (D)-50 二、填空题 6.已知 a?b=-4,a 在 b 方向上的正射影的数量为-8,则在|a|和|b|中,可求出具体 数值的是______,它的值为______. 7.已知 a,b 均为单位向量, 〈a,b〉=60°,那么|a+3b|=______. 8.已知|a|=4,|b|=1,|a-2b|=4,则 cos〈a,b〉=______. 9.下列命题中,正确命题的序号是______. (1)|a|2=a2; (2)若向量 a,b 共线,则 a?b=|a||b|; (3)(a?b)2=a2?b2; (4)若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 (5)(a-b)?(a+b)=|a|2-|b|2; 10.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,则|a|2+|b|2 +|c|2 的值是______. 三、解答题 11.已知|a|=5,|b|=4, 〈a,b〉

π ,求(a+b)?a 和|a+b|. 3

12.向量 a,b 满足(a-b)?(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求〈a,b〉 .

13.已知 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OA) ? 0 ,试判断△ABC 的形状.

14.已知向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|= 7 . (1)求|a-2b|; (2)若(a+2b)⊥(ka-b),求实数 k 的值.

测试十一

向量数量积的坐标运算与度量公式 Ⅰ 学习目标

1.掌握数量积的坐标表达式及其度量公式. 2.会用数量积的坐标运算处理垂直,两个向量的角度,向量的长度等问题.



基础性训练
) (D)23 )

一、选择题 1.已知 a=(-4,3),b=(5,6),则 3a2-4a?b=( (A)83 (B)63 (C)57

2.已知向量 a ? ( 3 , 1) ,b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ? 3 ,则 b=(

(A) (

3 1 , ) 2 2

(B) ( ,

1 3 ) 2 2

(C) ( ,

1 3 3 ) 4 4

(D)(1,0) ) (D)直角三角形 )

3.在△ABC 中,A(4,6),B(-4,10),C(2,4),则△ABC 是( (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 4.已知 a=(0,1),b=(1,1),且〈 a ? ?b , a 〉 ? (A)-1 (B)0

π ,则实数?的值为( 2
(D)2

(C)1

5.已知 a=(1,2),b=(-2,-4), | c |?

5 ,若 (a ? b) ? c ?

5 ,则〈a,c〉=( 2

)

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 二、填空题 6.若 a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3),则 a?b=______, 〈a,b〉=______. 7.向量 a=(5,2)在向量 b=(-2,1)方向上的正射影的数量为______. 8.在△ABC 中,A(1,0),B(3,1),C(2,0)则∠BCA=____________. 9.若向量 a 与 b=(1,2)共线,且满足 a?b=-10,则 a=______. 10.已知点 A(0,3),B(1,4),将有向线段 AB 绕点 A 旋转角

π 到 AC 的位置,则点 C 的 2

坐标为______. 三、解答题 11.已知 a=(-3,2),b=(1,2),求值:|a+2b|,(2a-b)?(a+b),cos〈a+b,a-b〉 .

12.若 | a |? 2 13 ,b=(-2,3),且 a⊥b,求向量 a 的坐标.



拓展性训练

13.直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),OC 为△AOB 的内角平分线,且 OC 与 AB 交于点 C,求点 C 的坐标.

AB 1 AC 4 | 14.已知 k ? Z, ? (k,), ? (2, ), AB |? 4 ,且△ABC 为直角三角形,求实数 k 的值.

测试十二 向量的应用 Ⅰ 学习目标
1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题;能将物理问题转化为数学问题,同 时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题.



基础性训练

一、选择题 1.作用于原点的两个力 f1=(1,1),f2=(2,3),为使它们平衡,需要增加力 f3,则力 f3 的大小为( ) (A)(3,4) (B)(-3,-4) (C)5 (D)25 2.在水流速度为自西向东,10 km/h 的河中,如果要使船以 10 3 km/h 的速度从河南岸垂 直到达北岸,则船出发时行驶速度的大小和方向( ) (A)北偏西 30°,20 km/h (B)北偏西 60°,20 km/h (C)北偏东 30°,20 km/h (D)北偏东 60°,20 km/h 3.若平行四边形 ABCD 满足 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则平行四边形 ABCD 一定是( (A)正方形 (B)矩形 (C)菱形 (D)等腰梯形 )

4. □ABCD 对角线的交点为 O, 为平面上任意一点, PO =a, PA ? PB ? PC ? PD 已知 P 且 则 =( ) (A)2a (B)4a (C)6a (D)8a

5.已知非零向量 AB 与 AC 满足 (

AB

?

AC

| AB | | AC |

) ? BC ? 0 且

AB

| AB | | AC |

.

AC

?

1 ,则△ABC 2

为( ) (A)三边均不相等的三角形 (B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)等边三角形 二、填空题 6.自 50 m 高处以水平速度 10 m/s 平抛出一物体,不考虑空气阻力,则该物 2s 时的速度 的大小为______,与竖直向下的方向成角为??,则 tan??=______(g=10 m/s2). 7.夹角为 120°的两个力 f1 和 f2 作用于同一点,且|f1|=|f2|=m(m>0),则 f1 和 f2 的 合力 f 的大小为______,f 与 f2 的夹角为____________. 8.正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 DC,BC 的中点,则 cos∠EAF=____________. 9.在△ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ;②若 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则△ABC 为等腰三角形;③ AB ? BC ? CA =0;④若 AB ? BC ? 0 ,则为△ABC 锐角三角形. 上述命题中正确的是____________(填上你认为正确的所有序号) 三、解答题 10.水平电线 AB 对竖直电杆 BD 的拉力为 300 N,斜拉索 BC 的拉力为 600 N,此时电杆 恰好不偏斜,求斜拉索与地面成角??的大小以及由此引起的电杆对地面的压力(电杆自 重不计).

11.某运动员在风速为东偏北 60°,2 m/s 的情况下正在以 10 m/s 的速度向东跑.若风停 止,运动员用力不变的情况下,求该运动员跑步速度的大小和方向.

12.对于平行四边形 ABCD,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN ? 的方法证明:M,N,C 三点共线.

1 BD .用向量 3



拓展性训练

13.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE= 2EB. 求证:AD⊥CE.

14.如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

测试十三
一、选择题

平面向量全章综合练习
) (D) AM ) )

1.向量 ( AB ? MB) ? ( BO ? CB) ? OM 化简后等于( (A) AC (B) BC (C) AB

2.点 A 的坐标为(1,-3),向量 AB 的坐标为(3,7),则点 B 的坐标为(

(A)(4,4) (B)(-2,4) (C)(2,10) (D)(-2,-10) 3.已知向量 a=(-2,4),b=(-1,-2),c=(2,3),则(a+b)?(a-c)的值为( (A)10 (B)14 (C)-10 (D)-14 4.已知向量 a=(2,t),b=(1,2).若 t=t1 时,a∥b;t=t2 时,a⊥b,则( ) (A)t1=-4,t2=-1 (B)t1=-4,t2=1 (C)t1=4,t2=-1 (D)t1=4,t2=1

5. 若点 O 是△ABC 所在平面内一点, 满足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC? OA , 则点 O 是△ABC 的( ) (A)三个内角的角分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高线的交点 二、填空题 6.河水的流速为 2 m/s,一只小船想要以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小 船在静水中的速度的大小应为______________. 7.数轴上的点 A,B,点 A 的坐标为-3,且向量 AB 的长度为 5,则点 B 的坐标为______. 8.已知 p=(-2,2),q=(1,3),则 p 在 q 方向上的正射影的数量为______. 9.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(a+b)⊥(a+?b),则实数?=______. 10.给出下列命题: ①

a ?b b ? ; a2 a

②|a|-|b|<|a-b|;

③|a?b|=|a||b|;

④(b?c)a-(c?a)b 与 c 垂直; ⑤已知 a,b 是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则 a⊥b; ⑥已知 a,b 是两个单位向量,则 a2=b2. 所有正确的命题的序号为____________. 三、解答题 11.已知点 A(-2,1),B(1,3).求线段 AB 中点 M 和三等分点 P,Q 的坐标.

12.已知|a|=2,|b|=4, 〈a,b〉

2π .求|a-b|和〈a,a-b〉的余弦值. 3

13.已知向量 a=(1,2),b=(x,1).

(1)求与 a 垂直的单位向量的坐标; (2)求|b-2a|的最小值以及此时 b 的坐标; (3)当 x 为何值,a+2b 与 b-2a 平行,并确定它们此时是同向还是反向.

14.如图,以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB,使∠B=90°.求点 B 的坐 标和 AB 的坐标.

第三章
测试十四

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦、正切 Ⅰ 学习目标 Ⅱ 基础性训练
) (C) ?

灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角式的化简和计算. 一、选择题 1.cos12°cos18°-sin12°sin18°=( (A) ?

1 2

(B) ?

3 2

1 2
)

(D)

3 2

2.如果 tanxtany=2,tanx-tany=3,那么 tan(x-y)的值为( (A)3 (B)-3 (C)1 3.cos(-15°)的值是( ) (A) ? 4. sin

(D)-1

2 4

(B)

2 4
)

(C)

6? 2 4

(D)

6? 2 4

π π ? 3 cos 的值是( 12 12
(B) ?

(A) ? 3

2

(C) 2

(D) 3 (D)不确定

5.在△ABC 中,若 0<tanAtanB<1,则△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 二、填空题 6.若 tan ? ?

π 1 ,则 tan(? ? ) =______. 2 4 12 3 π 7.如果 cos? ? ? ,? ? ( π, π) ,那么 cos( ? ) 的值等于______. ? 13 2 4
8.函数 y ? sin x ? cos x 的周期为______,最大值为______.

tan 20 ? tan(?50? ) ? 1 9. 的值是______. tan 20 ? ? tan 50 ?
10.

sin(? ? 30 ? ) ? cos( ? 60 ? ) ? =______. 2 cos ?

三、解答题 11.如果 tan(? ? ? ) ?

2 π 1 π , tan(? ? ) ? , tan(? ? ) 求的值. 5 4 4 4

12.计算: sin( ? 3x) cos( ? 3x) ? cos( ? 3x) sin( ? 3x) .

π 4

π 3

π 6

π 4

13.当 x ? [?

π π , ] 时,求函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域. 2 2

拓展性训练 π 4 3 5 π 3 π 14.已知 sin( ? ? ) ? ? , sin( π ? ? ) ? ,且 ? ? ? π, 0 ? ? ? , 4 5 4 13 4 4 4 π 求 cos( ? ? ), cos( ? ? ) 的值. ? 4



测试十五

二倍角的正弦、余弦和正切 Ⅰ 学习目标 Ⅱ 基础性训练

掌握二倍角公式及各种变形公式的运用,能灵活进行三角式的变形和化简. 一、选择题 1.若 cos 2? ?

1 ,则 sin2?=( 3
(B)

)

(A)

1 3

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

2.若 sin(? ? (A) ?

7 9

π 1 2π ) ? ,则 cos( ? 2? ) =( 3 3 3 1 (B) 3
)

) (C) ?

1 3

(D)

7 9

3. 1? sin 6 等于(

(A)sin3+cos3 (B)-sin3-cos3 4.已知 sin76°=a,则 cos7°的值为( ) (A)

(C)sin3-cos3

(D)cos3-sin3

1? a 2

(B)

1? a 2

(C)

2 a 2
)

(D)

a 2

5.已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

3 ,且 cos??<0,那么 tan??等于( 3
(B) ?

(A)

2 2

2 2

(C)

2 5 5

(D)-

2 5 5

二、填空题 6.已知 x ? (?

π 4 ,0), cos x ? ,则 tan2x=______. 2 5
2

7.化简 2 ? sin 2 ? cos 4 的结果是______. 8.函数 y=3cos2?x-1 的周期为______,当 x ? [0, ] 时,函数的值域为______.

1 4

1 的值为______. tan15o π π 2 2 10. cos ( x ? ) ? cos ( x ? ) 的取值范围是______. 4 4
9. tan15 ?
?

三、解答题 11.已知 sin ? ?

3 π 1 , ? ? ( , π), tan(π ? ? ) ? ,求 tan(??-2??)的值. 5 2 2

12.已知 sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ?

π 4

π 4

1 π , ? ? ( , π) ,求 sin4??. 6 2

π 13.已知 tan 2? ? ?2 2 , ? 2? ? π ,求 2

2 cos2

?
2

? sin ? ? 1
的值.

π 2 sin( ? ? ) 4


π 2

拓展性训练

14.已知 ? , ? ? (0, ) ,且 3sin2??+2sin2??=1,3sin2a-2sin2??=0, 求证: ? ? 2? ?

π . 2

测试十六
一、选择题 1.sin15°sin75°的值是( (A) ) (B)

三角恒等变换全章综合练习(一)

1 4

1 2

(C)

3 4
)

(D)

3 2

2.函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期和最小值分别是( (A) π,?1 3.已知 tan ? ? (B) π,?

1 2

(C)

π , ?1 2

(D)

π 1 ,? 2 2

1 2 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan(??-2??)的值是( 2 3
(B)

) (D) ?

1 1 (C) ? 8 8 kπ 4.下列各式与 tan??(其中 ? ? )相等的是( ) ? 2 1 ? cos 2? sin ? sin ? (A) (B) (C) 1 ? cos? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2?
(A) 5.设 0≤x≤2?,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则( (A) 0 ? x ? π 二、填空题 6.sin215°=______. 7.若 sin ? ∶ cos (B) )

7 4

7 4

(D)

1 ? cos 2? sin 2?

π 7π ?x? 4 4

(C)

π 5π ?x? 4 4

(D)

π 3π ?x? 2 2

?
2

2 π 8.若函数 f(x)=sinx+cosx,则 f ( ) =______. 12 π 1 2π π 9.已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) =______, sin( ? ? ) =______. 3 3 3 6 sin 2? cos? 10.化简 =______. . 1 ? cos 2? 1 ? cos?
三、解答题 11.已知 0 ? ? ?

=8∶5,则 sin

?

等于______,cos??等于______.

π 4 , sin ? ? ? 2 5
sin 2 ? ? sin 2? 5π 的值. ) 的值;(2)求 4 cos2 ? ? cos 2?

(1)求 tan(? ?

12.已知 f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R), (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值,并求出相应的 x 的值.

13.如图,在矩形中 ABCD,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD.求 得 tan∠APD 值.

π sin( ? 2? ) 2 14.已知 3 sin ? ? ? cos? ? 1,? ? (0, π ) . cos(π ? ? ) 2
(1)求??的值; (2)求满足 sin(? ? x) ? sin(? ? x) ? 2 cos? ? 1 ?

2 的钝角 x. 2

测试十七
一、选择题 1.sin15°cos15°的值是( (A) ) (B)

三角恒等变换全章综合练习(二)

1 4

1 2

(C)

3 4

(D)

3 2

2.下列各式与 cos2??不相等的是( ) 2 2 2 (A)cos ??-sin ?? (B)2cos ??-1 3.若 cos(π ? ? ) ?

(C)1-2sin2?? )

(D)2sin2??-1

4 π ,??是第二象限角,则 sin(? ? ) 等于( 5 3
(B) ?

(A)

3 5

3 5

(C)

3?4 3 10

(D)

3? 4 3 10
)

4.函数 y ? sin(2 x ? (A)??,1?? 5.函数 f ( x) ?

π π ) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期和最大值分别为( 6 3
(B)??, 2 (C)2?,1

(D)2?, 2

1 ? cos 2 x ( ) cosx π π 3π 3π (A)在 [0, ), ( , π] 上递增,在 [ π, ), ( ,2π] 上递减 2 2 2 2 π 3π π 3π (B)在 [0, ), [ π, ) 上递增,在 ( , π], ( ,2π] 上递减 2 2 2 2 π 3π π 3π (C)在 ( , π], ( ,2π) 上递增,在 [0, ), [ π, ) 上递减 2 2 2 2 3π 3π π π (D)在 [ π, ), ( ,2π) 上递增,在 [0, ), ( , π] 上递减 2 2 2 2
π 1 ,则 sin 2( ? x) =______. 3 4

二、填空题 6.已知 sin x ?

7.

1 3 cos15 ? ? sin 15 ? =______. 2 2

8.已知 a ? ( , π) , sin ? ? 9. tan 70 cos10
? ?

π 2

π 3 则 tan(? ? ) 等于______. 5 4

? 3 sin10 ? tan 70 ? ? 2 cos 40 ? =______.

10.关于函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x (x∈R),有下列命题: ①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可得 x1 ? x2 必是?的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ;

π 6

π ,0 )对称; 6 π ④y=f(x)的图象关于直线 x ? ? 对称. 6
③y=f(x)的图象关于点( ? 其中正确的命题的序号是______. 三、解答题 11.已知 sin ? ? (1)sin2??; (2) tan( ? ? ) .

5 π , ? ? ( , π) ,求下列各式的值. 5 2

π 4

12.已知 0 ? ? ?

π 3 5 ? ? ? π ,且 cos? ? , sin(? ? ? ) ? . 2 5 13

(1)求 tan??; (2)求 cos??.

π 1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 13.已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f(x)的定义域; (2)设??是第四象限的角,且 tan ? ? ?

4 ,求 f(??)的值. 3

14.已知 ?

π 1 ? x ? 0, sin x ? cos x ? . 2 5
x x x x ? 2 sin cos ? cos2 的值. 2 2 2 2

(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求 3 sin
2

15.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,若存在实数 m,n 使得 h(x)=m?f(x)+n? g(x),则称 h(x)为 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数. 若 f(x)=cos2x,g(x)=sinx. (1)判断函数 y=cosx 是否为 f(x),g(x)在 R 上生成的函数.并说明理由;

(2)记 l(x)为 f(x),g(x)在 R 上生成的一个函数,若 l ( ) ? 2 ,且 l(x)的最大值为 4, 求 l(x).

π 6

测试十八

必修 4 模块自我检测题

一、选择题 1.已知 cos???tan??<0,那么角??是( ) (A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角 2.已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b( ) (A)垂直 (B)不垂直也不平行 (C)平行且同向 (D)平行且反向 3.??是第四象限角, tan ? ? ? (A)

1 5

5 ,则 sin??=( ) 12 1 5 (B) ? (C) 5 13
) (C) ( π, (B) ( ,

(D) ?

5 13

4.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( (A) (?

π π , ) 4 4
2

π 3π ) 4 4

3π ) 2

(D) (

3π ,2 π ) 2

5.若函数 f ( x) ? sin x ? (A)最小正周期为

1 ( x ? R ),则 f(x)是( 2

)

π 的奇函数 (B)最小正周期为?的奇函数 2 π (C)最小正周期为 的偶函数 (D)最小正周期为?的偶函数 2 1 π 3π 6.已知 sin ? ? cos? ? ,且 ? ? ? ,则 cos2??的值是( ) 2 4 5 7 7 24 24 (A) ? (B) (C) ? (D) 25 25 25 25
7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? [? π,0]) 的单调递增区间是( (A) [? π,? ) (D) [?

5π ] 6

(B) [?

5π π ,? ] 6 6

(C) [?

π ,0 ] 3

π ,0 ] 6

8.若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( ) (A)|2a|>|2a+b| (B)|2a|<|2a+b| (C)|2b|>|a+2b| (D)|2b|<|a+2b| 二、填空题 9.sin210°=______. 10.若??是锐角, cos? ?

1 ? ,则 sin =______. 3 2

11.已知向量 a=(2,4),b=(1,1).若向量 b⊥(a+?b),则实数?的值是______. 12.若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 120°,则 a?a+a?b=______. 13.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是?;

kπ , k ? Z} ; 2 π π ③把函数 y ? 3 sin(2 x ? ) 的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象; 3 6
②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

④函数 y ? sin(x ?

π ) 在[0,?]上是减函数. 2

其中真命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号) 14.2002 年在北京召开的国际数学大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小 正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为??,那么 cos2?? 的值等于______.

三、解答题 15.已知 sin ? ? ?

2 3π 1 3π , ? ? ( π, ), cos ? ? , ? ? ( ,2π) 3 2 3 2

(1)求 sin2??的值; (2)求 cos(??-??)的值.

16.已知 a=(sinx,cosx),b=(1,-1). (1)若 ?a, b? ?

π ,求 x; 2

(2)求|a-b|的最大值.

17.已知△ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c=5,求 sinA 的值.

18.已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间 [ ,

π 3π ] 上的最小值和最大值. 8 4

19.已知函数 f ( x) ? sin(x ?

π π ) ? sin(x ? ) ? cos x ? a (a∈R,a 是常数). 6 6

(1)求函数 f(x)的最小正周期;

(2)若 x ? [?

π π , ] 时,f(x)的最大值为 1,求 a 的值. 2 2

20.将一块圆心角为 120°,半径为 200cm 的扇形铁片截成一块矩形;如图有两种截法:让 矩形一边在扇形的一条半径 OA 上,或让矩形一边与弦 AB 平行。请问哪种截法能得到 最大面积的矩形,并求出这个最大值。

参考答案 第一章
测试一
一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 提示: 5.对于集合 A, 当 k=2n 时, x ? 2nπ ? (?1) 2 n

基本初等函数(Ⅱ)
任意角的概念与弧度制

π π ? 2nπ ? , n ? Z ; 2 2
2 n ?1

此时 x 表示终边在 y 轴正半轴上的任意角. 当 k=2n+1 时, x ? (2n ? 1) π ? (?1)

π π π ? 2nπ ? π ? ? 2nπ ? , n ? Z , 2 2 2

此时 x 仍表示终边在 y 轴正半轴上的任意角. 综上,A=B. 二、填空题 6.30° 7.

π 3

8.(1) ? 10π ?

11π 7π , (2) 6π ? 6 5

9.第一、三象限

10.180°,??+??=(2k+1)?180°,k∈Z. 提示: 10.由已知,做出 30°角终边,依终边对称性可得??=150°,所以??+??=180°;由上述 分析,换一个角度看,可以得出一般性结论:??与?-??终边相同,所以??=(180°- ??)+k?360°,即??+??=(2k+1)?180°,k∈Z. 三、解答题 11.

π 2 cm . 3 48 ? 2.4 周,所以,小轮转过的角度为 360°?2.4=864°; 20 π 24 864°= 864 ? ? π 弧度. 180 5
则小轮转过

12.解:依题意,大轮转过一周 48 齿,小轮也转过 48 齿.

13.解:由已知,7??=k?360°+??,k∈Z,所以??=k?60°, 又 0°<??≤180°,所以,??=60°,120°或 180°. 14.解:设扇形中心角为??,半径为 r.则 2r+??r=20,即 ? ? 因为 r>0,所以 0<r<10. S ?

20 ? 2r ?0. r

1 1 lr ? ?r 2 ? 10 r ? r 2 . 2 2

所以,当 r=5cm,??=2 时扇形面积最大,最大面积为 25cm2.

测试二
一、选择题 1.B 2.D 3.B 4.B 提示: 5.B

三角函数的定义

4.??≈570°,与 210°终边相同;

?
2

? 285 ? ;-2??≈-1140°与 60°终边相同.

5.由题意 sin??-cos??>0 且 tan??>0,所以作出三角函数线,得到角的范围. 二、填空题 6. ? 提示: 8.由定义, cos ? ? 三、解答题 11.略解.由已知

3 1 3 , ,? 2 2 3

7. 4 3

8.二, x ? ?2 3

9.②④ 10. ( , ) .

π π 4 2

x x2 ? 22

??

3 ,解得 x ? ?2 3. 2

y 3? y
2

?

2 6 15 y ,解得 y ? ? 5 ,则 cos ? ? ? , tan ? ? ? . 4 3 4

12.略解.由已知 n=3m,并且 m<0,n<0.又 m2+n2=10,∴m=-1,n=-3,m-n =2.

5π 13π ,2kπ ? ) 6 6 π π 14.答:当 0 ? ? ? 时, sin ? ? cos?>1; ? ? 时,sin??+cos??=1; 2 2 π 3π 3π 当 ?? ? 时, 0 sin ? ? cos?<1;? ? 时,sin??+cos??=0; < 2 4 4 3π 当 ? ? ? π 时,-1<sin??+cos??<0. 4 测试三 同角三角函数的基本关系与诱导公式
13.答: (2kπ ? 一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 提示: 1. sin 210 ? ? sin(180 ? ? 30?) ? ? sin 30? ? ? sin120 ? ? ? 5. 1 ? 2 sin(π ? 2) cos(π ? 2) ?

1 . 2

1 ? 2 sin 2 cos 2 ? sin 2 2 ? 2 sin 2 cos 2 ? cos2 2

? (sin 2 ? cos 2) 2 ?| sin 2 ? cos 2 |? sin 2 ? cos 2 ,
(因为 sin2>cos2). 二、填空题 6.0 7. 提示: 7.因为-210°=-360°+150°,所以原式 ? tan150 ? ? cos150 ? ? ?

3 6

8.

1 2

9.

3 10

10. ?

6 4

3 3 3 ? ? 3 2 6

8.(sin??+cos??)2=sin2??+cos2??+2sin???cos??=1+2sin???cos??=2.

所以 sin???cos??

1 ? 2

当需要找 sin??±cos??与 sin??? ??的关系时, cos 一般通过(sin??±cos??)2=1±2sin??cos?? 来沟通. 三、解答题 11.0 12.

1 π 1 .化简得 f(x)=cosx,所以, f ( ) ? . 2 3 2

13.2 提示:由已知,sin??=1-sin2??=cos2??, 故原式=3sin??+sin2??-2sin??+1=sin2??+sin??+1=2. 14.0 提示:当 n=2k 时, 原式 ? sin(2kπ ?

π π π π ? ? ) ? cos(2kπ ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4 4 4 π π ? ? sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 0 ; 4 4 3π 5π 3π 5π ? a) ? cos(2kπ ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4 4 4 π π π π ? sin( ? a) ? cos( ? a) ? sin( ? a) ? sin( ? a) ? 0 . 4 4 4 4 测试四 正弦函数的图象与性质

当 n=2k+1 时, 原式 ? sin(2kπ ?

一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 提示: 4. y ? sin x ? | sin x |? ? 值域. 二、填空题 6. ?

?0, sin x ? 0, 据此画出函数的示意图,结合图形,可得函数的 ?2 sin x, sin x ? 0,

1 2

7. x ? 2kπ ? ?

7π 11π 且x ? 2kπ ? ,k ?Z ? 6 6

8.3,2

9.-8

10. [ ,5]

1 2

提示: 9.f(x)=ax+bsinx-1,f(2)=6,得 f(2)=2a+bsin2-1=6,???① 而所求 f(-2)=-2a+bsin(-2)-1=-2a-bsin2-1, 由①知,2a+bsin2=7,所以,-2a-bsin2=-7, 所以,f(-2)=-8. 三、解答题 11.答:先把 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

π 个单位长度,再把所得各点的横坐 3 π 1 标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 2 3

12.答:(1)A=2, ? ?

1 π ,? ? . 2 4

(2)令 2 sin( x ? ) ? 3,

1 2

π 4

1 π π 1 π 2π x ? ? 2kπ ? 或 x ? ? 2kπ ? , k ? Z 2 4 3 2 4 3 π 5π 即 x ? 4kπ ? 或 x ? 4kπ ? , k ? Z, 6 6 π 5π 所以,交点坐标为 (4kπ ? , 3 ) 或 (4kπ ? , 3) , k ? Z . 6 6 π 7π 13.答:函数周期为?,结合图象知函数的递减区间为 [kπ ? , kπ ? ] (k∈Z),递增区 12 12 5π π 间为 [kπ ? , kπ ? ] . 12 12 1 π 14.解:(1) f ( x) ? 2 sin( x ? ) , x0 ? π ; 3 6
得 (2)单调递增区间为 [6k?-2?,6k?+?](k∈Z) (3)首先左移

π ,然后将图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 3 倍;最后 6

将图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍。

测试五

余弦函数、正切函数的图象与性质

一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 提示: 4.做出函数图象的简图,依图象得周期. 5. “对于任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立”的含义是 f(x1)是函数的最小值,f(x2) 是函数的最大值,x1 是使得函数取得最小值的一个自变量,x2 是使得函数取得最大值的 一个自变量,那么,|x1-x2|的最小值应为半个周期. 因为,函数 f(x)的最小正周期为 4,所以|x1-x2|的最小值为 2. 二、填空题 6.1 7. 提示: 10. 以函数 y=sinx 为例, 最好先从纵坐标开始考虑, 可能成为格点的点的横坐标为 x ? 其中,只有当 k=0 时,x 为整数,所以,此函数为一阶格点函数.

π 7π 或 6 6

8. (2kπ ?

π π ,2kπ ? ) k∈Z 9.③④ 10.①③ 2 2 kπ , 2

其他函数可用同样方法分析. 三、解答题 11.解:函数的周期、最大值、对称轴分别为 π,1, x ?

kπ π ? (k ? Z). 2 6 π 先把 y=cosx 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度, 再把所得各点的横坐 3 1 π 标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得 y ? cos(2 x ? ) 的图象. 2 3

12. f(x)是奇函数, 解: 所以 f(1)=-f(-1)=-1, f(x)是周期为 6 的周期函数, 又 所以 f(- 5)=f(1)=-1. 13.解:因为 f(1)+f(2)+?+f(8)=0,所以, f(1)+f(2)+?+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

π π 3π ? cos ? cos ? cos ? cos π ? ?1 4 2 4
14.解:(1)f(x)为偶函数,所以对于任意的 x,f(x)=f(-x), 所以(a-3)sinx+b=(a-3)sin(-x)+b,即 2(a-3)sinx=0,所以,a=3. (2)当 b>0 时,由 g(x)的最小值为-1,可得 a-b=-1, 所以,b=4,与 sinb>0 矛盾,舍去. 当 b<0 时,由 g(x)的最小值为-1,可得 a+b=-1, 所以,b=-4,满足 sinb>0. 综上,b=-4.

测试六
一、选择题 1.D 2.D 二、填空题 6. 3,D 4.B 5.D

三角函数全章综合练习

3 2

7.-2

8. ( kπ ?

π ,0) k∈Z 6

9. 2 ? 2 2

10.5, y ?| 3 sin 提示:

π x ? 2 | , ( x ? 0) . 10 π 4

9.根据函数图象可得 A=2, ? =0,T=8,所以 f ( x) ? 2 sin( x) , 计算得, f (1) ?

2 , f (2) ? 2 , f (3) ? 2 , f (4) ? 0 ,

f (5) ? ? 2 , f (6) ? ?2 , f (7) ? ? 2 , f (8) ? 0 ; f (9) ? f (1) ? 2 ,?,
所以,f(1)+f(2)+?+f(8)=0,且函数周期为 8. 所以,f(1)+f(2)+?+f(11)=f(9)+f(10)+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2+ 2 2 . 10.每秒点 P 转过的角度为

6π π π ? 弧度;x 秒后,P 转过的角度为 x 弧度. 60 10 10

以水轮中心为原点,以水平方向为 x 轴建立坐标系,所以水轮上任意一点 P(3cos??, 3sin??),其中??为从水平位置逆时针转过的角度, 即 P(3 cos

π π x,3 sin x), 10 10
π x ? 2 |( x ? 0) . , 10

所以 P 到水面的距离 y= | 3 sin 三、解答题 11.解: cos? ?

1 π 2 2 , ,? ? ? ? 0 ,所以 sin ? ? ? 3 3 2

π cos( ? ? ) cos? ? sin ? cos? sin ? 2 所以, ? ? ? ?2 2. cos(π ? ? ) cos(?? ) ? cos? cos? cos?
12.解:

sin ? ? 3 cos ? sin ? ? cos ?

?

tan ? ? 3 tan ? ? 1

??

5 3

?

13.解:(1)??=2. (2)f(x)∈[-1,2]. 14.解:由|f(0)|=1,得|sin ? |=1,因为 0≤ ? ≤?,所以 ? ?

π . 2 3π 3π 3?π π 又 f(x)的图象关于点 M ( ,0) 对称,所以 f ( ) ? 0 ,即 sin( ? ) ? 0, 4 4 4 2 3?π π 结合??>0,可得, ? ? kπ, k ? 0,1,2 ,?, 4 2 2 2 π π 当 k=0 时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 在 [0, ] 上是减函数; 3 3 2 2 π π 当 k=1 时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? ) 在 [0, ] 上是减函数; 2 2 10 π π 当 k≥2 时, ? ? , f ( x) ? sin(?x ? ) 在 [0, ] 上不是单调函数; 3 2 2 2 π 所以,综合得 ? ? 或??=2, ? ? . 3 2

第二章
测试七
一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.B 二、填空题 5.C

平面向量

向量的线性运算(一)

6.③ 7. “东偏北 60°,6 km”或“北偏东 30°,6 km”8.10 km/h 9.b-a;a+b 10.0 三、解答题 11.解:(1) CD ; (2)原式= ( AB ? BC ? CD) ? DA ? AD ? DA =0.

5 3 km/h

12.解:(1) MP ? NQ ? OB ;(2) OP, OQ, OA ;(3) ON , PQ ;(4) | OM |?| ON |? 13.解: AB ? a, BC ? b, AC ? c ,所以 DB ? a ? b ,

3 ? 2

BE ? AC ? c, DE ? DB ? BE ? a ? b ? c ,
|a-b+c|=2.

14.解:设 AB ? a, AD ? b ,做□ABCD. 则 AC ? a ? b, DB ? a ? b , 可得 AC ? BD ? 5 ,所以□ABCD 为矩形,

| b |?| AD |? 5 2 ? 32 =4.

测试八
一、选择题 1.D 2.D 二、填空题 3.A

向量的线性运算(二)

4. B 5. A

6.3a-2b 7. ? 三、解答题 11.答: AD ?

a |a|

8.-4;6

9. a ? ?

3 b 2

10.

1 1 b? a 4 4

2 1 a ? b. 3 3

7 b ,所以 a∥b;|a|∶|b|=7∶9. 9 1 1 13.略解:由题意,得|a|=|λ||b|,∴|λ|= ,λ= ? , 2 2
12.略解:化简得 9a=7b,即 a ? |a-b|=|λ-1||b|=2|λ-1|=1 或 3. 14.(1)证明:∵ BD ? CD ? CB ? 2a ? 4b ,∴ BD ? 2 AB , ∴ AB // BD ,因为二者均经过点 B,所以 A,B,C 三点共线. (2)证明:∵a 与 b 共线,设 a=λb,∴ BD ? (2? ? 4)b, CD ? (7? ? 2)b ∵ CD ? 0, BD ? 0 ∴7λ-2≠0,2λ+4≠0.∴ BD ? ? ?

2? ? 4 CD , 7? ? 2

∴ BD // CD ,所以 B,C,D 三点共线,又 A,B,D 三点共线. 所以 A,B,C,D 四点共线.

测试九

向量的分解与向量的坐标表示

一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 二、填空题 6. (?

1 1 , ) 2 2

7. (?1,? )

3 2

8. t ? ?

2 3

9.(-2,1) 10.-2 或 11

三、解答题

1 1 b; NM ? a ? b . 2 4 3 ?2 12.(1)证明:∵ ,∴a 与 b 不平行,所以向量 a,b 是一组基底. ? ? ?2 1
11.答: DC ? (2)略解:(7,-4)=x(3,-2)+y(-2,1), ?

?3 x ? 2 y ? 7, ? x ? 1, 所以 ? ?? 2 x ? y ? ?4, ? y ? ?2 .

13.略解:m=(-1,4+x),n=(10,2-3x), 因为 m∥n,所以-(2-3x)-10(4+x)=0,x=-6, 此时 m=(-1,-2),n=(10,20),有 n=-10m,所以 m 与 n 方向相反.

14.略解:(1) OC ? OA ? AC ? OA ?

1 1 AB ? (1,4) ? (3,?6) ? (2,2) . 3 3 2 2 OD ? OA ? AD ? OA ? AB ? (1,4) ? (3,?6) ? (3,0) . 3 3

(2) OC ? 2OD ? (2,2) ? 2(3,0) ? (8,2) .

OE ? OB ? OC ? 2OD ? (4,?2) ? (8,2) ? (12,0) .

测试十
一、选择题 1.D 2.D 二、填空题 6.|b|; 3.D 4.C

平面向量的数量积及其运算律

5.B

1 2

7. 13

8.

1 4

9.①⑤ 10.4

提示: 10.由 a+b+c=0,得 c=-a-b,又(a-b)⊥c, ∴(a-b)?(-a-b)=0, ∴-|a|2-a?b+a?b+|b|2=0, ∴|b|=|a|=1. 又 c=-a-b, ∴|c|2=|-a-b|2=(-a-b)?(-a-b)=|a|2+2a?b+|b|2=2. ∴ | c |?

2 ,综上,|a|2+|b|2+|c|2=4.

另外,可以结合图示,分析解决问题. 三、解答题 11.解:a?b=10,(a+b)?a=a2+a?b=35,

| a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 61 .
12.解:由题意得 2a2-a?b-b2=-4,所以 2a2-a?b-b2=-4,得 a?b=-4, cos〈a,b〉 ?

a ?b 1 ? ? , 〈a,b〉=120° | a || b | 2

13.略解:因为 (OB ? OC ) ? (OB ? OA) ? 0 ,所以 CB ? AB =0,从而 CB ? AB ,△ABC 为直角三角形. 14.略解:(1)|a-b|2=a2-2ab+b2=7,所以 a?b=-1, |a-2b|2=a2-4ab+4b2=21,即 | a ? 2b |?

21 .

(2)由已知得(a+2b)?(ka-b)=0,即 ka2-ab+2kab-2b2=0,得 k=-7.

测试十一

向量数量积的坐标运算与度量公式

一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 提示: 5.设 c=(x,y), 由 | c |?

5 ,得 x2+y2=5??①,

由 (a ? b) ? c ?

5 5 5 ,得 (?1,?2) ? ( x, y ) ? ,∴ ? x ? 2 y ? ??② 2 2 2
1 3 1 3 ? 3 ,?1 ? ) ,或 c ? (? ? 3 ,?1 ? ). 2 2 2 2

由①②解得 c ? ( ?

5 ? 1 3 a ?c 2 ??1, 当 c ? ( ? ? 3 ,?1 ? ) 时,cos〈a,c〉 ? ? 2 2 | a || c | 2 5 5
∴〈a,c〉=120°, 另一种情况,计算结果相同. 二、填空题 6.-5;135° 7. ? 提示: 10.设 C(x,y),则 AB ? (1,1), AC ? ( x, y ? 3) , 由 AC⊥AB 得, AB ? AC ? 0 ,即 x+y-3=0??① 又 | AB |? AC , ∴2=x2+(y-3)2??②. 结合①②,解得, ? 三、解答题 11.答: | a ? 2b |? 37 ;(2a-b)?(a+b)=22; cos?a ? b, a ? b? ? 12.解:设 a=(x,y),则 ? a=(-6,-4). 13.解:设 C(x,y),则 OC ? ( x, y ) ,由已知可得: OA, OC 〉=〈 OB, OC 〉 〈

8 5 5

8.135° 9.(-2,-4) 10.(-1,4)或(1,2)

? x ? 1, ? x ? ?1 或? ∴C(1,2)或 C(-1,4). ? y ? 2, ? y ? 4

5 . 5

?? 2 x ? 3 y ? 0
2 2 ? x ? y ? 52

,解得: ?

? x ? 6 ? x ? ?6 或? ,所以 a=(6,4)或 ? y ? 4 ? y ? ?4

? AC // AB ?? x ? y ? 1 ? 1 3 ? 则 ? OC ? OC OB ? OC ,所以 ? 3 4 ,解得 x ? ? , y ? , 2 2 ? ?y ? ? 5 x ? 5 y ? ? | OA | | OB | ?
所以 C (? , ) . 14.解:由 | AB |? 4 得 k2≤15,∵k∈Z,∴k=-3,-2,-1,0,1,2,3,

1 3 2 2

AC 当 A=90°时, AB· ? 2k ? 4 ? 0 所以 k=-2; BC BC ( 3 当 B=90°时, AB· ? 0, ? 2 - k,) ,所以 k(2-k)+3=0,k=-1 或 3;

BC BC ( 3 当 C=90°时, AC· ? 0, ? 2 - k,) ,所以 2(2-k)+12=0,k=8(舍).
综上 k=-1 或-2 或 3.

测试十二

向量的应用

一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 提示: 5.设

AB | AB |

? m,

AC | AC |

? n ,则|m|=|n|=1,

由已知 (m ? n) ? BC ? 0 . ∴ m ? BC ? ?n ? BC , ∴ m ? BC cos(x ? B) ? ? n ? BC ? cos C ∴cosB=cosC,又 B、C∈(0,?) ∴B=C. 又由已知 m ? n ?

1 , 2 1 ∴ m ? n cos A ? 2 1 ∴ cos A ? , 又 ? 0, π) ( 2
∴A=60° ∴△ABC 为等边三角形. 二、填空题 6. 10 5m/s; 三、解答题 10.答:??=60°; 300 3N . 11.解:如图,建立平面直角坐标系,作□ABCD,设 | OC |? 2, | OB |? 10 ,则 C(1, 3 ), B(10,0), CB ? (9,? 3 ) ,得 | CB |? 2 21 ? 9.17 m/s , tan ?AOB ? 由计算器计算得∠AOB≈10.89°. 该运动员跑步速度的大小为 9.17 m/s,方向为东偏南约 10.89°.

1 2

7.m,60°, 8.

4 5

9.②③

3 . 9

12.略解:欲证 M,N,C 三点共线,只需证 MN // MC ,可选择一组基底来表示这两个向

量,再证明二者具有关系 MN ? ? MC 即可.

1 1 e2 . 3 3 1 1 1 1 1 1 MC ? e1 ? e2 , MN ? MB ? BN ? e1 ? (? e1 ? e2 ) ? e1 ? e2 . 2 2 3 3 6 3 1 所以 MN ? MC ,所以 M,N,C 三点共线. 3
设 AB ? e1 , AD ? e 2 ,则 BD ? ?e1 ? e 2 , BN ? ? e1 ? 13.证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 a,

AD ? CE ? ( AC ? CD) ? (CA ? AE ) ? AC ? CA ? AC ? AE ? CD ? CA ? CD ? AE ? ? | AC |2 ? | AC || AE | cos 45 ? ? 0? | CD || AE | cos 45 ?

2 1 ? ?a 2 ? a 2 ? a 2 ? 0 所以 AD⊥CE. 3 3
或以点 C 为原点,CA,CB 所在的直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,

1 1 2 1 1 2 a), E ( a, a), AD ? (?a, a), CE ? ( a, a), 2 3 3 2 3 3 1 2 1 2 可得出 AD ? CE ? ? a ? a ? 0 ,所以 AD⊥CE. 3 3
则 A(a,0), D(0, 14.解:设 P(x,y),则 OP ? ( x, y ) ,OB=(4,4), 由 OP, OB ,共线得 4x-4y=0,??①,

AP ? ( x ? 4, y ) ,AC=(-2,6),由 AP, AC 共线得 6(x-4)-y(-2)=0??②,由
①②解得,P(3,3).

测试十三
一、选择题 1.A 2.A 二、填空题 6. 2 26 m/s 三、解答题 11.解: AB ? OB ? OA ? (3,2) , 3.B 4.C 5.D

平面向量全章综合练习

7.-8 或 2

8.

2 10 5

9. ?

17 9

10.④⑤⑥

1 1 1 OM ? (OB ? OA) ? (? ,2), 所以 M (? ,2) , 2 2 2 1 5 5 2 7 OP ? OA ? AB ? (?1, ) ,所以 p(?1, ), OQ ? OA ? AB ? (0, ) , 3 3 3 3 3
所以 Q (0, ) .

7 3

12.答:|a-b| ? 2 7 ,cos〈a,a-b〉 ?

2 7 . 7 5 , 5

13.略解:(1)设单位向量为 e=k(-2,1)=(-2k,k),因为|e|=1,得 k ? ?

e ? (?

2 5 5 2 5 5 , )或e ? ( ,? ) . 5 5 5 5
( x ? 2) 2 ? 9 ,当 x=2 时,|b-2a|最小值为 3,此时 b=(2,1).

(2) | b ? 2a |? (3) x ?

1 ,反向. 2

14.解:设 B(x,y),则 AB ? ( x ? 5, y ? 2), OB ? ( x, y ) ,由已知得 ?

? AB ? OB ? 0 ? ?| AB |?| OB | ?



3 ?x ? 7 ? x ? x( x ? 5) ? y ( y ? 2) ? 0 ? ?1 2 ? 2 2 所以 ? 2 ,解得 ? , 或? 2 2 2 3 ? x ? y ? ( x ? 5) ? ( y ? 2) ?y ? 7 ?y ? ? 2 ? 1 2 ? 2 3 7 7 3 3 1 7 3 所以 B ( , ) 或 B( ,? ) , AB ? (? ,? ) 或 AB ? (? , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2

第三章
测试十四

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦、正切

一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 提示: 3.cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°?cos45°+sin30°?sin45°

?

3 2 1 2 . ? . ? 2 2 2 2

6? 2 . 4

5.由 tanAtanB>0,知 A、B 不可能一个钝角,一个锐角, 又 A,B 不可能均为钝角,所以,A,B 均为锐角. 由 tanAtanB<1,得 :

sin A sin B . ? 1 ,又 cosA>0,cosB>0, cos A cos B

所以 sinAsinB<cosAcosB, 整理得 cosAcosB-sinAsinB>0,cos(A+B)>0, 所以,cos(?-C)>0,即 cosC<0,所以,C 为钝角,△ABC 是钝角三角形. 二、填空题 6.3 7. 提示: 9.原式 ?

?7 2 26

8. 2π, 2

9. 3

10.

1 . 2

1 ? tan 20 ? ? tan 50 ? 1 ? ? 3. ? ? tan20? tan50 tan 30 ?

10.

sin(? ? 30 ? ) ? cos( ? 60 ? ) ? 2 cos? cos? sin 30 ? ? cos? sin 60 o ? cos? cos 60 ? ? sin ? sin 60 o 2 cos? cos? sin 30 ? ? cos? cos 60 o sin 30 ? ? cos 60 ? 1 ? ? . 2 2 cos? 2





三、解答题

π π 3 ) ? tan[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? 4 4 22 π π π π 12.略解 sin( ? 3x) cos( ? 3x) ? cos( ? 3x) sin( ? 3x) 4 3 6 4 π π π π ? sin( ? 3x) sin( ? 3x) ? cos( ? 3x) cos( ? 3x) 4 6 6 4
11.略解 tan(? ?

π π 2 3 2 1 2? 6 π π ? ? ? )? . ? ? cos( ? 3x ? ? 3x) ? cos( ? ) ? ?( 2 2 2 2 4 4 6 4 6
13.解: f ( x) ? sin x ? 3 cos x = 2 sin(x ? 所以 ?

π π π π π 5π , ),? ? x ? ,所以 ? ? x ? ? 3 2 2 6 3 6

1 π ? sin(x ? ) ? 1 ,故 f(x)的值域为[-1,2]. 2 3 π π π π 4 14.解: cos( ? ? ) ? cos[ ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) ? ? . 4 2 4 4 5 π 3 π π π π π π 由已知 ? ? ? π,0 ? ? ? ,得, ? ? ? ? π, ? ? ? ? , 4 4 4 2 4 4 4 2 π 3 所以, sin( ? ? ) ? , 4 5 3 5 π π π 5 π 12 由 sin( π ? ? ) ? , sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? 得 , 所以,sin( ? ? ) ? , 4 13 2 4 4 13 4 13 π π 16 故 cos( ? ? ) ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? ? 4 4 65 测试十五 二倍角的正弦、余弦和正切
一、选择题 1.A 2.D 提示: 3.C 4.B 5.C

4. 由已知 sin76°=cos14°=a, 所以 cos 7 ?
2 ?

1? a 1 ? cos14 ? 1 ? a ? ? , 所以 cos7 ? . 2 2 2

5.由已知得, 1 ? sin? ? 故 tan ?> 0, tan ? ?

1 2 ,即 sin ? ? ? ,又 cos??<0,可知??是第三象限角. 3 3

2 2 5 ? . 5 5

二、填空题 6. ?

24 7

7. ? 3 cos2

8. 1;[ ,2]

1 2

9.4

10.[-1,1].

提示: 7.原式= 2 ? sin 2 ? 1 ? 2 sin 2 ?
2 2

3 cos2 2 ? ? 3 cos 2 .

1 1 ? cos 2πx 3 1 ? 1 ? cos 2πx ? ,所以 T=1,值域为 [ ,2] . 2 2 2 2 π π 1 ? cos(2 x ? ) 1 ? cos(2 x ? ) π π 2 ? 2 10. cos2 ( x ? ) ? cos2 ( x ? ) = 4 4 2 2 1 1 1 1 = ? sin 2 x ? ( ? sin 2 x) ? sin 2 x . 2 2 2 2
8. y ? cos2 πx ? 1 ? 3 ? 三、解答题 11.解:由已知得 tan? ? ? 所以 tan 2? =

3 1 , tan ? ? ? , 4 2

2 tan ? 4 tan? ? tan 2? 7 . ? ? , tan(? ? 2? ) ? ? 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan? ? tan 2? 24

12.解:因为 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) , 所以 sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? =

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

1 π sin( ? 2? ) 2 2

1 1 cos2? ? , 2 6
1 π 2 2 4 2 , ? ? ( , π) ,sin 2? ? ? 又 , 所以 sin4??=2sin 2?? cos 2??= ? . 3 9 3 2 2 tan? 2 , ? ?2 2 ,解得 tan? ? 2 或 ? 2 2 1 ? tan ?

故 cos 2? ?

13.解:由 tan 2? ? 又

π π ? ? ? ,所以 tan? ? 2 . 4 2
cos? ? sin? 1 ? tan? 1 ? 2 ? ? ? 2 2 ? 3. cos? ? sin? 1 ? tan? 1? 2
2 2

原式=

14.解:由已知 3 sin ? ? 1 ? 2 sin ? ? cos 2? , 两式相除得

3 sin 2? ? sin 2? , 2

sin 2? 3 sin 2? cos? ? ? ,即 cos2??cos??-sin2??sin??=0, 2 cos 2? 2 ? 3 sin ? sin ?

所以 cos(2??+?)=0,又 0 ? 2? ? ? ?

3π π ,所以 ? ? 2? ? . 2 2

测试十六
一、选择题 1.A 2.D 二、填空题 6.

三角恒等变换全章综合练习(一)

3.B 4.D 5.C

2? 3 4

7.

4 7 ,? 5 25

8.

6 2

9.

7 2 2 ,? 3 9

10. tan

?
2



提示: 9. cos(

2π π 7 ? 2? ) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ? ) ? ; 3 3 9 π π 2 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? 2. 6 3 3 π 4 4 , sin ? ? ,所以 tan? ? , 2 5 3 4 ( ) ?1 5π π tan? ? 1 1 (1) tan(? ? ) ? tan(? ? ) ? ? 3 ? . 4 4 1 ? tan? 1 ? ( 4 ) 7 3
sin 2 ? ? sin 2? sin? ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? (2) , ? ? cos2 ? ? cos 2? 2 cos2 ? ? sin 2 ? 2 ? tan2 ?

三、解答题 11.解:因为 0 ? ? ?

4 8 ( )2 ? 4 tan2 ? ? 2 tan ? 3 ? 20 . 因为 tan? ? ,所以 ? 3 4 2 3 2 ? tan2 ? 2?( ) 3
12.略解:原式=

1 2 π ? sin(2 x ? ) , 2 2 4

(1)最小正周期为 T=?,单调减区间 [kπ ? (2)当 x ? kπ ?

π 5 , kπ ? π]( k ? Z) . 8 8

1 2 1 2 π 5 时, f ( x) max ? ? ;当 x ? kπ ? π 时, f ( x) min ? ? . 2 2 2 2 8 8

13.略解:设 BP=x,则 DP=x+a,CP=2a-x, 在△PCD 中,(x+a)2=a2+(2a-x)2,解得 x ? tan∠APD=-tan(∠APB+∠DPC)=18.

2 a, 3

π sin( ? 2? ) 2 14.解:(1) 3 sin ? ? ? cos? ? 1 等价于 cos(π | ?? )

3 sin ? ?

cos 2? ? cos? ? 1 ,即 3 sin? ? cos 2? ? 1 ,所以 3 sin ? ? 2 sin 2 ? 因为 cos?

? ? (0, ) ,从而 sin? ?
(2)将 ? ?

π 2

3 π ,所以 ? ? . 2 3

π 2 代入 sin(? ? x) ? sin(? ? x) ? 2 cos? ? 1 ? , 2 3
2 3π 而 x 为钝角,从而 x ? . 2 4

计算整理得, sin x ?

测试十七
一、选择题 1.A 2.D 提示:

三角恒等变换全章综合练习(二)

3.C 4.A 5.A

1 ? (1 ? 2 sin 2 x) 1 ? cos 2 x ? ? 5. f ( x) ? cosx cosx

2 | sin x | , cos x

π π 2 tan x , 2 2 3π 3π 当 x ? [ π, ), ( ,2π] 时, f ( x) ? ? 2 tan x . 2 2
当 x ? [0, ), ( , π] 时, f ( x) ? 据正切函数的图象可得(A)正确. 二、填空题 6.

7 9

7.

2 2

8.

1 7

9.2 10.②③.

提示: 10.令 f(x)=0,则 2 x ?

π 1 π ? kπ, x ? (kπ ? ) . 3 2 3 1 π 1 π ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴x1= (k1π ? ), x2 ? (k 2 π ? ) . 2 3 2 3 1 ∴ x1 ? x2 ? (k1 ? k 2 ) π ,当 k1-k2=1 时,x1-x2 不是?的整数倍. 2

∴①不正确,其他选项易判断. 三、解答题

4 π 1 ;(2) tan( ? ? ) ? . 5 4 3 π 3 4 4 12.略解:(1)由 0 ? ? ? , cos? ? ,所以 sin ? ? , tan ? ? . 2 5 5 3 π π π 3π 12 (2)由 0 ? ? ? , ? ? ? π ,所以, ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , ? 2 2 2 2 13 16 所以, cos ? ? cos[( ? ? ) ? ? ] ? ? . ? 65 π π 13.解:(1)由 cosx≠0 得 x ? kπ ? (k ? Z) ,故 f(x)的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} . ? ? 2 2
11.答:(1) sin 2? ? ?

(2)因为 tan? ? ?

4 4 3 ,且??是第四象限的角,所以 sin? ? ? , cos? ? 3 5 5

2 2 π 1 ? 2 sin(2? ? ) 1? 2 ( 2 sin 2? ? 2 cos2? ) 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 ? 故 f (? ) ? ? cos? cos cos?
? 2 cos2 ? ? 2 sin? cos? 14 ? 2(cos? ? sin? ) ? ? cos? 5

14.解:(1)因为 sin x ? cos x ?

1 1 12 ,所以 1 ? 2 sin x cos x ? , sin x cos x ? ? 5 25 25 49 则 (sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? , 25 π 又因为 ? ? x ? 0 ,所以,sinx<0,cosx>0, 2 7 即 sinx-cosx<0,故 sin x ? cos x ? ? . 5 x x x 2 x (2) 3sin ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 x x x ? 2 sin 2 ? 2 sin cos ? 1 2 2 2
=2-cosx-sinx

? 2?

1 9 ? . 5 5

15.解:(1)函数 y=cosx 不是 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数. 理由:假设函数 y=cosx 是 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数, 则存在实数 m,n 使得 cosx=mcos2x+nsinx. 令 x=0,得 1=m+0 ① 令 x=?,得-1=m ② 由①②矛盾知,所以函数 y=cosx 不是 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数. (2)设 l(x)=acos2x+bsinx(a,b∈R). 则 l( ) ?

π 6

1 1 a? b ? 2, 2 2

∴a+b=4. ∴l(x)=acos2x+(4-a)sinx=-2asin2x+(4-a)sinx+a, ∴l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a. 设 t=sinx,则函数 l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1]. 当 a=0 时,函数化为:y=4t,t∈[-1,1], ∵当 t=1 时,ymax=4, ∴l(x)=4sinx 符合题意. 当 a>0 时,函数化为: y ? ?2a(t ?

4?a 2 (4 ? a) 2 ) ?a? , 8a 4a



4?a 4 ? 1 时,即 0 ? a ? 时, 4a 5
∵当 t=1 时,ymax=4-2a, ∴由 4-2a=4 得 a=0,不符合 a>0 舍去;

当 ?1 ? ∵当 t ?

4?a 4 4 ? 1 ,即 a ? 或 a ? ? (舍去)时, 4a 5 3
4?a (4 ? a) 2 时, ymax ? a ? , 8a 4a

∴由 ymax

(4 ? a) 2 4 ? a? ? 4 ,得 a=4 或 a ? (舍去), 8a 9

∴b=0,此时 l(x)=4cos2x 符合题意; 当

4?a 4 ? ?1 时,即 ? ? a ? 0 时,不符合 a>0 舍去. 4a 3
4?a 2 (4 ? a) 2 4?a 的对称轴 t ? ) ?a? ? 0, 8a 4a 4a

当 a<0 时,函数 y ? ?2a(t ?

∵当 t=1 时,ymax=4-2a, ∴由 ymax=4-2a=4 得 a=0,不符合 a<0 舍去; 综上所述,l(x)=4sinx 或 l(x)=4cos2x.

测试十八
一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.C 二、填空题 9. ? 5.D

必修 4 模块自我检测题
6.A 7.D 8.C

1 2

10.

3 3

11.-3

12.

1 2

13.①③ 14.

7 ? 25

三、解答题 15.解:(1)由 sin ? ? ?

5 2 3π , , ? ? ( π, ) ,得 cos? ? ? 3 3 2
2 3 5 4 5 )? . 3 9

所以 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? 2 ? (? ) ? (?

(2)由 cos ? ? 所以

2 2 1 3π , , ? ? ( ,2π) ,得 sin ? ? ? 3 3 2

cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?
16.(1)因为〈a,b〉

5 1 2 2 2 4 2? 5 ? ? (? ) ? (? )? . 3 3 3 9 3

π π ,所以 a?b=0,即 sinx-cosx=0,∴ x ? kπ ? , k ? Z . 2 4

(2)因为 | a ? b |2 ? 3 ? 2(cos x ? sin x) ? 3 ? 2 2 cos(x ?

π ), 4

所以|a-b|2 的最大值是 3 ? 2 2 ,|a-b|的最大值是 1? 2 . 17.解:(1) AB ? (?3,?4), AC ? (c ? 3,?4) , 由 AB ? AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 得 c ? (2)AB=(-3,-4), AC ? (2,?4) , cos ?A ?

25 . 3
AB ? AC | AB || AC | ? ? 6 ? 16 1 ? , 5 20 5

所以 sin ?A ? 1 ? cos2 ?A ?

2 5 . 5

18.(1)解:f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1

π ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) . 4
因此,函数 f(x)的最小正周期为?.

π π 3π 3π 3π 2 sin(2 x ? ) 在区间 [ , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 4 8 8 8 4 π 3π 上为减函数,又 f ( ) ? 0, f ( ) ? 2 , 8 8 3π 3π π π f ( ) ? 2 sin( ? ) ? ? 2 cos ? ?1 , 4 2 4 4 π 3π 故函数 f(x)在区间 [ , ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1. 8 4
(2)解法一:因为 f ( x) ?

解法二:作函数 f ( x) ? 上图所示:

π π 9π 2 sin(2 x ? ) 在长度为一个周期的区间 [ , ] 上的图象如 4 8 8

π 3π 3π ] 上的最大值为 2 ,最小值为 f ( ) ? ?1 . 8 4 4 π π 19.解:(1) f ( x) ? sin(x ? ) ? sin(x ? ) ? cos x ? a 6 6 π ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2 sin(x ? ) ? a 6
由图象得函数 f(x)在区间 [ , ∴f(x)的最小正周期为 2?.

(2)? x ? [?

π π π π 2 , ], ∴ x ? ? [? , π] 2 2 6 3 3

∴f(x)的最大值为 2+a,∴2+a=1,∴a=-1. 20.解:在方案一中,令∠AOM=??,则 0<??<90°, 在 Rt△OMP 中,MP=200sin??,OP=200cos??, 所以,SOPMN=20000sin2??, 当 2??=90°,即??=45°时,SOPMN 取得最大值 20000cm2. 在方案二中,令∠AOM=??, 则 0<??<60°, 在 Rt△OMS 中,MS=200sin??,OS=200cos??, 在 Rt△MQS 中,∠MQS=60°,

MQ ? MS ?

2 400 1 200 ? sin? , QS ? MQ ? sin? 2 3 3 3

在 Rt△OCQ 中,

CQ ?
?

3 3 OQ ? (OS ? QS ) 2 2
3 200 ? (200 cos? ? sin? ) ? 100 3 cos? ? 100 sin? , 2 3

所以, S MNPQ ? 2CQ ? MQ ? 200 ( 3 cos? ? sin ? ) ?

400 sin ? 3

?
?

80000 80000 ( 3 cos? ? sin? ) sin? ? ( 3 sin? cos? ? sin 2 ? ) 3 3
80000 3 1 ? cos 2? 80000 3 1 1 ( sin 2? ? )? ( sin 2? ? cos 2? ? ) 2 2 2 2 2 3 3

?

80000 1 [sin(2? ? 30 ? ) ? ] , 2 3

40000 3 cm2 . 3 40000 3 比较两种方案的最大值可知, 第二种截法能得到最大面积, 最大面积为 cm2 . 3
当 2??+30°=90°,即??=30°时,SMNPQ 取得最大值

单元测试三
一、选择题 1.sin15°cos75°+cos15°sin75°等于( A.0 B.

三角恒等变换
) C.

1 2
)

3 2

D.1

2.若 tan( ? ? ) =3,则 tan??等于( A.-2 3.下列函数中,周期为 A. y ? 2 sin C. y ? cos B. ?

π 4

1 2
)

C.

1 2

D.2

π 的是( 2

x ?1 2

B.y=sinxcosx D.y=cos22x-sin22x

x 4 3 的是( 2
)

4.下列各式中,值为

A.2sin15°-cos15° C.2sin215°-1 5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是( A. 2 ? 2 B. 2 ? 2

B.cos215°-sin215° D.sin215°+cos215° ) C.0 ) D.1

6.若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是(

3 π π ? x ? 2kπ ? , k ? Z} 4 4 π 5 B. {x | 2kπ ? ? x ? 2kπ ? π, k ? Z} 4 4 π π C. {x | kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z} 4 4 π 3 D. {x | kπ ? ? x ? kπ ? π, k ? Z} 4 4
A. {x | 2kπ ? 7.若

cos 2? 2 ,则 cos??+sin??的值为( ?? 2 π si n (? ? ) 4

)

A. ?

7 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

8.若 f(x)?sinx 是周期为?的奇函数,则 f(x)可以是( ) A.sinx B.cosx C.sin2x 二、填空题

D.cos2x

1 ,则 sin2??的值是______. 5 π 3 10.若 sin( ? ? ) ? ,则 cos2??=______. 2 5 12 3π π 11.如果 cos? ? ? ,其中 ? ? ( π, ) ,那么 cos( ? ) 的值等于______. ? 2 4 13
9.若 sin? ? cos? ? 12.tan20°+tan40°+ 3 tan20°?tan40°的值是______. 13.若 cos( ? ? ) ? ?

1 3 , cos( ? ? ) ? ,则 tan??tan??=______. ? 5 5

14.若角??的终边经过点 P(1,-2),则 sin2??的值为______. 三、解答题 15.已知 tan

?
2

? 2,

(1)求 tan??的值; (2)求

6 sin? ? cos? 的值. 3sin? ? 2 cos?

16.已知 0 ? ? ?

3 5 π ? ? ? π ,且 cos? ? , sin(? ? ? ) ? . 2 5 13

(1)求 tan??; (2)求 cos??.

17.已知 sin22?+sin2?cos2?? cos2?=1, ? ? (0, ) .求 sin?,tan??的值.

π 2

18.已知

2 sin 2 ? ? sin 2? π π ? k( ? ? ? ) , 1 ? tan? 4 2

(1)求 k 的取值范围; (2)试用 k 表示 sin??-cos??的值.

单元测试四
一、选择题 1.已知 sin ? ? A. ?

必修 4 模块测试题
)

1 π , ? ? ( , π) ,则 cos??的值为( 3 2
B.

1 3

1 3

C. ? )

2 2 3

D.

2 2 3

2.函数 f ( x) ? sin( ? x) 的对称中心可以是( A.(0,0) B ( ,0) .

π 2

π 2

C.(?,0)

D.(2?,0) )

3.设 a,b 为非零向量,若|a|=|b|=|??+b|,则向量 a 与向量 b 的夹角为( A.30° B.60° C.90° D.120° 4.下列不等式中成立的是( ) A. sin(? ) ? sin(? ) C. sin

π 5

π 6

B. cos(? ) ? cos(? ) D. cos

π 5

π 6

π π ? sin 5 6 π 3

π π ? cos 5 6
)

5.已知函数 f ( x) ? sin(πx ? ) ? 1 ,则下列命题正确的是( A.f(x)是周期为 1 的函数 C.f(x)是奇函数 6.将函数 y=sin2x 的图象向右平移 函数解析式为( )

B.f(x)是周期为 2 的函数 D.f(x)是偶函数

π 个单位,再向上平移一个单位,得到的图象所对应的 6
π ) ?1 3 π D. y ? sin(2 x ? ) ? 1 3
B. y ? sin(2 x ? )

π 3 π C. y ? sin(2 x ? ) ? 1 6

A. y ? sin(2 x ? ) ? 1

7.若点 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,且 AB ? ? BC 时,实数??的值为( A.1
2

B.2

C.3
| x|

D.4

8.关于函数 f ( x) ? sin x ? ( ) ? ①f(x)是奇函数 ②当 x>2009 时, f ( x) ? ③f(x)的最大值是

2 3

1 ,有下面四个结论: 2

1 恒成立 2

3 2 1 2
C.3 D.4

④f(x)的最小值是 ?

其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2

二、填空题 9.点 P(-1,-1)为角??终边上一点,则 cos??______. 10.函数 f(x)=sinx?cosx 的最小值为______. 11.已知向量 a=(-1,2),b=(3,4),则|a|2-a?b=______. 12.已知 a=(?,2),b=(-3,5),若 a 与 b 的夹角是钝角,则实数?的取值范围______. 13.函数 f ( x) ? sin( x ?

π π ) ? sin( x ? ) ? cos x 的最小正周期是______;函数 f(x)在[0,2?] 6 6

上的单调递减区间是______. 14.如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与

OC 的 夹 角 为 3 0 ° , 且 | OA |?| OB |? 1 , | OC |? 2 3 , 若 OC ? ? OA ? ? OB

(? , ? ? R) ,则?+??的值为______.

三、解答题 15.已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? cos2 x ? 1 . 2 sin x 4 ,求 f(??)的值. 5

(1)求 f(x)的定义域; (2)设??为锐角,且 sin? ?

16.已知两点??=(-1,3),b=(2,m),并且 a⊥(a-b). (1)求实数 m 的值; (2)当 ka-b 与 a+b 平行时,求实数 k 的值.

17.已知 cos x ? sin x ?

sin 2 x ? 2 sin 2 x 3 2 ,求 的值. 5 1 ? tan x

18.已知函数 f(x)=sinxcosx+sin2x. (1)求 f(x)的值域和最小正周期; (2)设??∈(0,?),且 f(??)=1,求??的值.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,定点 A(2,0),B(0,2),动点 P 位于直线 AB 上(点 P 与点 A,B 不重合).

(1)求 AO ? OB ? OB ? BA ? BA ? AO 的值; (2)求 PA ? PO 的最小值,并求此时向量 PA 与 PO 的夹角的余弦值.

20.已知函数 f(x)=2cos(??x+ ? ).

(1)若 f(x)在一个周期内的图象如图所示,且 ? ? 0, ? ? (0, ) ,写出函数 f(x)的解析 式; (2)若存在实数??,? (其中??≠0,??∈Z,? ∈R)使得函数 f(x)是奇函数,且在 (0, ) 上是增函数,求出所有的??, ? 的值.

π 2

π 4

单元测试一
一、选择题 1.tan690°的值为( A. ? ) B.

基本初等函数(Ⅱ)

3 3

3 3
)

C. 3

D. ? 3

2.已知 cos???tan??<0,那么角??是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 3.如果 x∈[0,2?],则函数 y ? A.[0,?? B. [ ,

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 )

sin x ? ? cos x 的定义域为(

π 3 π 3 C. [ , π] D. [ π,2 π] π] 2 2 2 2 5 4.设??是第四象限角, tan? ? ? ,则 sin??=( ) 12 1 1 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 13 13 1 5.设 M 和 m 分别表示函数 y ? cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( ) 3 2 2 4 A. B. ? C. ? D.-2 3 3 3 π 6.函数 y ? sin(x ? )( x ? [0,2π]) 的单调增区间为( ) 2 π π 3 A. [0, ] B. [ , π] C.[?,2?] D. [ π, π ] 2 2 2
7.使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A. [? ) C. [?

π 3π D.[0,?] , ] 4 4 π 8.为得到函数 y=cos2x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( ) 3 π π A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 6 6 π π C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 3 3
B. [? 二、填空题 9.函数 f ( x) ? cos( x ? ) 的最小正周期为 ?

3π π , ] 4 4

π π , ] 2 2

π 6

π ,其中??>0,则??=______. 5 2 ,则 x=______. 3

10.已知点 P(tan??,cos??)在第三象限,则角??的终边在第______象限. 11.在角??的终边上有一点 P(x,2),若 sin ? ?

12.若半径为 3cm 的扇形面积为 18cm2,则扇形的中心角??=______弧度. 13.已知 sin ? ? cos? ?

1 π ( ? ? ? π) ,则 tan??=______. 5 2

14.方程 sin2x=

1 在[-2?,2?]内解的个数为______. 2

三、解答题 15.已知 tan??=2, (1)求 tan(3?-??)的值; (2)求

6 sin ? ? cos? | 的值. 3 sin ? ? 2 cos?

16.设函数 f ( x) ?

3 . 1 ? 2 cos x

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明.

17.已知函数 y ? 2 sin(x ?

π ), x ? R . 6

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

18.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(??x+ ? )+b,其 中??>0, ? ∈(0,?).

(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

单元测试二
一、选择题

平面向量
1 3 a ? b =( 2 2
)

1.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量

A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 2.对于向量 a,b,c 和实数?,下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若?a=0,则?=0 或 a=0 2 2 C.若 a =b ,则 a=b 或 a=-b D.若 a?b=a?c,则 b=c 3. 在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB ? ( 2,4) ,AC ? (1,3) , DA ? ( AC 若 则 A.(-1,-1) B.(1,1) C.(3,5) 4.设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a?+2b)?c=( A.(-15,12) B.0 C.-3 D.(-3,-5) ) D.-11 )

5.设 A(a?,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA ,与 OB 在

OC 方向上的投影相同,则??与 b 满足的关系式为(

)

A.4a??-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 6.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 )

7.设 a,b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)?(a-xb)的图象是一条直线,则必有( A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 8.若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 二、填空题

9.已知点 D 为△ABC 的边 AC 的中点,设 AB ? a, AC ? b ,则 BD =_________.(要求用 向量 a、b 表示) 10.设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量?a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则?=______. 11.设向量 a 与 b 的夹角为??,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cos??=______. 12.在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0),B(1,1), 则 AB ? AC ? ______. 13.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=|b|=4,那么 b?(2a+b)的值为______. 14.关于平面向量 a,b,c.有下列三个命题: ①若 a?b=a?c,则|b|=|c|; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°. 其中真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号) 三、解答题 15.已知向量 a=(?,2),b=(-1,1).

(1)若 | a |?

2 | b | ,求?的值;

(2)若〈a,b〉=60°,求向量 a.

16.已知向量 : OA ? (?1,2), OB ? (3, m) (O 为坐标原点). (1)若 OA ? AB ,求实数 m 的值; (2)若 O,A,B 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件.

17.已知两点 A(-2,4),B(6,0),在直线 AB 上,求一点 C 使得 | AC |?

1 | AB | . 2

18.已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n; (2)若向量 n 与向量 q=(1,0)的夹角为 求 n?p 的取值范围.

3π ,且 m?n=-1. 4

π π π ,向量 p ? (cos x,2 sin x)( x ? [? , ]) , 2 6 3

北京市西城区 2008—2009 学年度第一学期学业测试 高一数学试卷
本试卷满分 150 分 考试时间:120 分钟

2009.1
满分 100 分
三 18 19 本卷总分

A 卷〔必修模块 4〕
题号 分数 一 二 17

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.若 OA ? ( 2,4) , OB ? (1,3) ,则 AB 等于( ) D.(-3,-7) ) D. ( ) D.

A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) 2.已知??∈(0,2?),sin??>0,且 cos<0,则角??的取值范围是( A. (0, )

π 2

B. ( , π)

π 2

C. ( π,

3π ) 2

3π ,2 π ) 2

3.如果函数 y=tan(x+ ? )的图象经过点 ( ,0) ,那么 ? 可以是( A. ?

π 3

π 3 2 3

B. ?

π 6

C.

π 6

π 3
) D.4

4.设 m∈R,向量 a=(1,-2),b=(m,m-2),若 a⊥b,则 m 等于( A. ? B.

2 3 π 2 π 4

C.-4 )

5.函数 y=(sinx+cosx)2(x∈R)的最小正周期是( A.

π 4

B.

C.? ) C. x ?

D.2?

6.函数 y=cosx 图象的一条对称轴的方程是( A.x=0 B. x ?

π 2
)

D. x ?

3π 4

7.在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则 AB ? AC 等于( A. 2 BD B. 2 DB C. 2 DA

D. 2 AD

8.已知函数 f(x)=sinx+cosx,那么 f ( A.

π ) 的值是( 12
C.

)

2 3 3

B.

3 2

6 2

D.

2 2
)

9.已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a-b|等于( A.1 B. 2 C. 3 D.2 )

10.为得到函数 y ? cos(x ?

π ) 的图象,只需将函数 y=sinx 的图象( 6

π 个长度单位 3 2π C.向左平移 个长度单位 3
A.向左平移 11.设??是第二象限角, sin ? ?

π 个长度单位 3 2π D.向右平移 个长度单位 3
B.向右平移

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

5 ,则 cos??=______. 13

12.若向量 a=(1,2)与向量 b=(?,-1)共线,则实数?=______. 13.2cos215°-1=______. 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=|b|=4,那么 a?b=______. 15.若角??的终边经过点 P(1,-2),则 tan2??=______. 16. 如下图, 某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(??x+ ? )+b(其 中

π ? ? ? π ),那么这一天 6 时至 14 时温差的最大值是______℃;与图中曲线对应的 2

一个函数解析式是__________________.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? ? ( , π) , tan? ? ?2 . (1)求 tan(? ?

π 2

π ) 的值; 4

(2)求 sin2??+cos2??的值.

18.(本小题满分 12 分) 设 ? ? (0, ) ,向量 a=(cos??,sin??), b ? (? , (1)证明:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当|2a+b|=|a-2b|时,求角??.

π 2

1 2

3 ). 2

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

π π π ? x) ? 3 (sin 2 x ? cos2 x) , x ? [ , ]. 4 4 2

(1)求 f (

15 π ) 的值; 12

(2)求 f(x)的单调区间; (3)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

B 卷〔学期综合〕

满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 1.函数 y ?

1 ? log 2 (2 x ? 1) 的定义域是__________________. 1? x
-3 6
2

2.二次函数 y=??x2+bx+c 的部分对应值如下表: x y -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

则不等式 a?x +bx+c>0 的解集是______. 3.已知函数 y=log3x 的图象上有两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且线段 AB 的中点在 x 轴上, 则 x1?x2=______. 4.若函数 y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数 c 的取值范围是______。 5.为预防流感,学校对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, 与 t 的函数关系式为 y ? ( y 为常数).如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

1 t ?a ) (a 16

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式为____________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过______小时后,学生才能回到教室. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分 10 分) - 已知函数 f(x)=2x+2 x. (1)证明 f(x)是偶函数; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明.

7.(本小题满分 10 分) 设 a?∈R,函数 f(x)=x2+a?x+4.

(1)解不等式 f(x)+f(-x)<10x; (2)求 f(x)在区间[1,2]上的最小值 g(a).

8.(本小题满分 10 分) 对于区间[??,b](a<b),若函数 y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;② 函数 y=f(x),x∈[a??,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数 f(x)的“保值”区间. (1)求函数 y=x2 的所有“保值”区间; (2)函数 y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间?若存在,求出 m 的取值范围;若不存 在,说明理由.

单元测试一 一、选择题 1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 二、填空题 9.10 10.二 11. ? 5 12.

基本初等函数(Ⅱ) 7.A 8.B

4 13. ?

4 3

14.8 三、解答题 15.解:(1)tan(3?-??)=tan(-??)=-tan??=-2. (2)

6 sin? ? cos? 6 tan? ? 1 13 . ? ? 3sin? ? 2 cos? 3 tan? ? 2 4

16.解:(1)要使 f(x)有意义,只要 1-2cosx≠0,即 cos x ? ? 所以 x≠2k?±

1 , 2

π ,k∈Z, 3 π , k ? Z }. 3

所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x ? 2kπ ? ? (2)函数 f(x)为偶函数. 证明:因为 f (? x) ?

3 3 ? ? f ( x) , 1 ? 2 cos(? x) 1 ? 2 cos x

所以函数 f(x)为偶函数. 17.解:(1)当 sin(x ? ) ? 1 时,y 取得最大值 2,

π 6 π π 此时只需 x ? ? ? 2kπ, k ? Z , 6 2 π 即 x ? ? 2kπ, k ? Z . 3

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为 {x | x ? (2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

π ? 2kπ, k ? Z} . 3

π π ,得到函数 y ? sin(x ? ) 的图象; 6 6

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数

π y ? 2 sin(x ? ) 的图象; 6
经过这样的变换就得到函数 y ? 2 sin(x ?

π ) 的图象. 6

18.解:(1)由题中图所示,这段时间的最大温差是 30℃-10℃=20℃. (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(??x+ ? )+b 的半个周期的图象,

?

1 2π . ? 14 ? 6(? ? 0) ,解得 ? ? π . 2 ? 8 1 1 由图示, A ? (30 ? 10) ? 10, b ? (30 ? 10) ? 20 . 2 2

这时 y ? 10 sin( x ? ? ) ? 20.

π 8

3π . 4 π 3π 综上,所求的解析式为 y ? 10 sin( x ? ) ? 20 ,x∈[6,14]. 8 4
将 x=6,y=10 代入上式,可取 ? ? 单元测试二 一、选择题 1.D 2.B 3.B 4.C 二、填空题 9.-a+ 5.A 6.C 平面向量

7.A 8.C

1 b 2

10.2 11.

3 10 10

12.1 13.0 14.②

三、解答题
2 15.解:(1)因为|a|= 2 |b|,所以 ? ? 4 ?

2 ? (?1) 2 ? 12 ,解得?=0.

(2)cos〈a,b〉 ?

a ?b 2?? 1 ? ? ,解得 ? ? 4 ? 2 3. | a || b | ?2 ? 4 ? 2 2

所以向量 a ? (4 ? 2 3 ,2) 或 a ? (4 ? 2 3 ,2) . 16.解:(1) ∵ AB ? OB ? OA ∴ AB ? (4, m ? 2) . 由 OA ? AB ,得 OA ? AB ? 0 , 即(-1)?4+2?(m-2)=0, ∴m=4. (2)由 O,A,B 三点能构成三角形, 得向量 OA 与 OB 不平行, ∴(-1)?m-2?3≠0,即 m≠-6. 答:当实数 m≠-6 时,O,A,B 三点能构成三角形. 17.解:因为 A,B,C 三点共线, | AC |? 所以 AC ?

1 | AB | . 2

1 1 AB 或 AC ? ? AB , 2 2

设 C(x,y), 当 AC ? 得?

1 AB 时,由 AC ? ( x ? 2, y ? 4) , AB ? (8,?4) , 2

? x ? 2 ? 4, ? x ? 2, 解得 ? ,即点 C(2,2). ?y ? 2 ? y ? 4 ? ?2,

同理当 AC ? ?

1 AB 时,得 C(-6,6). 2

所以点 C 的坐标为(2,2)或(-6,6). 18.解:(1)设向量 n=(x,y),由 m?n=-1 得 x+y=-1 ① 由向量 n 与向量 m 的夹角为

3π ,得 4

3π ? ?1 , 4 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ? y 2 ? (? ) ? ?1 , 2 m ? n ?| m | ? | n | ? cos
即 x2+y2=1 由①②解得 ? ②

? x ? ?1 ? x ? 0 或? , ?y ? 0 ? y ? ?1

即 n=(-1,0)或 n=(0,-1). (2)由 n 与 q 垂直知 n=(0,-1). 所以 n ? p ? ?2 sin x( x ? [? 因为 ? 所以 ?

π π , ]) , 6 3

π π ?x? , 6 3
1 3 ? sin x ? , 2 2

则 ? 3 ? ?2 sin x ? 1 , 所以 n?p 的取值范围为[- 3 ,1]. 单元测试三 一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.B 二、填空题 9. ? 5.A 6.D 三角恒等变换 7.C 8.B

24 25

10. ?

7 25

11. ?

7 2 26

12. 3

13.

1 2

14. ?

4 5

三、解答题

15.解:(1)∵ tan

?
2

? 2 ,∴ tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan2

?
2

?

2? 2 4 ?? . 1? 4 3

4 6 ? (? ) ? 1 4 6 sin ? ? cos? 6 tan? ? 1 7 3 (2)由(1)知 tan? ? ? ,所以 ? ? ? . 3 3sin ? ? 2 cos? 3 tan? ? 2 3 ? (? 4 ) ? 2 6 3 π 3 16.解:(1)? 0 ? ? ? , cos? ? , 2 5

∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ∴ tan? ?

sin? 4 ? . cos? 3 π π 3π (2)由 0 ? ? ? ? ? ? π ,得 ? ? ? ? ? , 2 2 2 5 ∵ sin(? ? ? ) ? , 13 12 ∴ cos( ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . ? 13
∵cos??=cos[(??+??)-??]=cos(??+??)cos??+sin(??+??)sin??, ∴ cos ? ? (?

4 . 5

12 3 5 4 16 )? ? ? ? ? . 13 5 13 5 65

17.解:由倍角公式,得 sin2??=2sin??cos??,cos2??=2cos2??-1,所以原式化简为 4sin2??cos2??+2sin??cos2??-2cos2??=0 ? 2cos2?? (2sin2??+sin??-1)=0 ? 2cos2??(2sin??-1)(sin??+1)=0, ∵ ? ? (0, ) , ∴sin??+1≠0,cos2??≠0, ∴2sin??-1=0,即 sin? ? ∴? ?

π 2

1 . 2

3 π ,∴ tan? ? . 3 6
2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin ? (sin ? ? cos? ) ? ? 2 sin ? cos? ?, sin ? 1 ? tan? 1? cos?

18.解:(1)∵

∴k=sin2??, ∵

π π π ? ? ? ,∴ ? 2? ? π ,则 0<sin2??<1 4 2 2

所以 k 的取值范围为(0,1). (2)因为(sin??-cos??)2=1-2sin??cos??=1-k. 又

π π ? ? ? ,于是 sin??-cos????>0, 4 2

所以 sin? ? cos? ? 1 ? k . 单元测试四 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.C 二、填空题 9. ? 5.B 6.A 必修 4 模块测试题 7.B 8.A

2 2

10. ?

1 2

11.0 12. ? ?

10 3

13. 2 π, [ ,

π 4π ] 3 3

14.6

三、解答题 15.解:(1)由 2sinx≠0,得 x≠k?(k∈Z),所以 f(x)的定义域为{x|x≠k?,k∈Z}. (2)因为??是锐角,且 sin? ? 所以 f (? ) ?

4 3 ,从而 cos? ? ? 5 5

sin 2? ? cos 2? ? 1 2 sin? cos? ? 2 sin 2 ? ? ? sin? ? cos? ?, 2 sin? 2 sin?

故 f (? ) ? sin? ? cos? ?

7 . 5

16.解:(1)a-b=(-3,3-m), 由 a⊥(a-b),得 3+3(3-m),所以 m=4. (2)ka-b=(-k-2,3k-4),a+b=(1,7), 当 ka-b 与 a+b 平行时,-7k-14-3k+4=0,所以 k=-1. 17.解:

sin 2 x ? 2 sin 2 x (2 sin x cos x ? 2 sin 2 x) cos x ? 1 ? tan x cos x ? sin x

?
因为 cos x ? sin x ?

2 sin x cos x(cos x ? sin x) ? sin 2 x . cos x ? sin x

sin 2 x ? 2 sin 2 x 7 7 3 2 ? ,平方得 2 sin x cos x ? ,所以 . 5 1 ? tan x 25 25

18.(1)解:f(x)=sinx?cosx+sin2x

1 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 2 1 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2
? 2 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

因为 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,

π 4

所以

1? 2 2 π 1 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 2 4 2

1? 2 1? 2 , ]. 2 2 2π 函数 f(x)的最小正周期为 T ? ?π. 2
即函数 f(x)的值域为 [ (2)解:由(1)得 f (? ) ?

2 π 1 sin(2a ? ) ? ? 1, 2 4 2

所以 sin(2? ?

π 2 )? , 2 4

因为 0<??<?,

π π 7π , ? 2? ? ? 4 4 4 π π π 3π 所以 2? ? ? ?,或 2? ? ? , 4 4 4 4 π π 所以 ? ? ,或 ? ? 。 4 2
所以 ? 19.解:(1)因为∠AOB=90°,所以 AB ? 2 2 , AO ? OB ? 0 , 所以 AO ? OB ? OB ? BA ? BA ? AO ? OB.BA ? BA ? AO ? BA ? ( AO ? OB )

? BA ? AB ? ?8 .
(2)由已知,A(2,0),B(0,2), BA ? (2,?2) , 因为 P 位于直线 AB 上(点 P 与点 A,B 不重合),所以存在?∈R,使得 PA ? ? BA , 即 PA ? ? (2,?2) ? (2? ,?2? ) , 所以 PO ? PA ? AO ? (2? ,?2? ) ? (?2,0) ? (2? ? 2,?2? ) ,

1 1 PA ? PO ? 2? (2? ? 2) ? 4?2 ? 8?2 ? 4? ? 8(? ? ) 2 ? . 4 2 1 1 所以,当 ? ? 时, PA ? PO 的最小值为 ? ? 4 2
此时, PA ? ( ,? ) , PO ? (?

1 2

1 2

2 10 3 1 , | PO |? , ,? ) , | PA |? 2 2 2 2
?? 5 5 .

所以 cos〈 PA, PO 〉 ?

PA ? PO | PA || PO |

20.解:(1)由已知 T=?,所以??=2,

π π π ? ? ) ? 0 ,所以 ? ? ? kπ ? (k ? Z) , 8 4 2 π π π 又 ? ? (0, ) ,所以 ? ? , f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) . 2 4 4
因为 2 cos(2 ? (2)f(x)为奇函数,所以对于任意的实数 x,均有 f(-x)=-f(x), 即 2cos(-??x+ ? )=-2cos(??x+ ? ), 所以对于任意的实数 x,cos??x cos ? =0,所以 cos ? =0, ? ? kπ ? 当 k=2n 时, f ( x) ? 2 cos(?x ? 2nπ ?

π . 2

π π ) ? ?2 sin ?x ,在 (0, ) 上是增函数, 2 4

?? ? 0, ? 所以 ? 1 2 π π ,解得-2≤??<0,又??∈Z,所以??=-2,-1. ?4 ? | ? | ? 4 ?
当 k=2n+1 时, f ( x) ? 2 cos(?x ? 2nπ ?

3π π ) ? 2 sin ?x ,在 (0, ) 上是增函数, 2 4

?? ? 0, ? 所以, ? 1 2 π π 解得 0<??≤2,又??∈Z,所以??=1,2. ? ? , ?4 | ? | 4 ?
综上,??=-2,-1, ? ? 2nπ ?

π π (n ? Z) ;??=1,2, ? ? (2n ? 1) π ? (n ? Z) . 2 2

北京市西城区 2008—2009 学年度第一学期学业测试 高一数学参考答案及评分标准 A 卷[必修模块 4]满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C 9.A 10.C. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.(一题两空的题目每空 2 分) 11. ?

12 13

12. ?

1 2

13.

3 2

14.-8

15.

4 3

16.20;答案不唯一,如: y ? 10 sin( x ? 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.

π 8

3π ) ? 20, x ? [6,14] 4

π π 4 ? ?1. 17.(1)解: tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan π 3 4 tan ? ? tan
(2)解:由 ? ? ( , π) ,tan??=-2,得 sin ? ?

4分

π 2

2 1 , cos? ? ? , 5 5

6分

所以 sin2a+cos2a=2sinacosa+(cos2a-sin2a)= ? 18.(1)证明:由向量 a=(cos??,sin??), b ? (?

4 3 7 ? ?? . 5 5 5

10 分

1 3 , ), 2 2

得 a ? b ? (cos? ?

1 3 1 3 , sin ? ? ) , a ? b ? (cos? ? , sin ? ? ), 2 2 2 2

由 ? ? (0, ) ,得向量 a+b、a-b 均为非零向量. 因为(a+b)?(a-b)=|a|2-|b|2=(sin2?+cos2?)- ( 所以向量 a?+b 与 a-b 垂直.

π 2

1 3 ? ) =0, 4 4
6分

(2)解:将|2a+b|=|a-2b|两边平方,化简得 3(|a|2-|b|2)+8a?b=0, 由|a|=|b|=1,得 a?b=0,即 ? 所以 sin(? ?

1 3 cos? ? sin ? ? 0 . 2 2

π π π 12 分 ) ? 0 ,注意到 ? ? (0, ) ,得 ? ? . 6 2 6 5π π 5π 5π 5π 19.解:(1) f ( ) ? 2 sin 2 ( ? 3分 ) ? 3 (sin 2 ? cos2 ) ? 3 . 12 4 12 12 12 π (2) f ( x) ? [1 ? cos( ? 2 x)] ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 2 π = 1 ? 2 sin(2 x ? ) . 6分 3 π π π π 2π 又 x ? [ , ] ,所以 ? 2 x ? ? , 4 2 6 3 3 π π π π π 2π 当 ? 2 x ? ? 时,f(x)单调递增;当 ? 2 x ? ? 时,f(x)单调递减, 6 3 2 2 3 3 π 5π 5π π 所以 f(x)的单调递增区间是 [ , 9分 ] ;f(x)的单调递减区间是 [ , ] ? 4 12 12 2 π (3)由(2)得 2 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 3 ,所以 f(x)的值域是[2,3]. 3 π π |f(x)-m|<2 ? f(x)-2<m<f(x)+2, x ? [ , ] . 4 2
所以 m>f(x)max-2 且 m<f(x)min+2, 所以 1<m<4,即 m 的取值范围是(1,4). 14 分 B 卷[学期综合]满分 50 分 一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.(一题两空的题目每空 2 分) 1. {x | ?

1 ? x ? 1} 2

2.{x|x>3,或 x<-2} 3.1 4.(-∞,-2]

?10t ,0 ? t ? 0.1, ? 5.(1) y ? ? 1 t ? 0.1 ?(16 ) , t ? 0.1 ?

(2)0.6

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6.(1)证明:f(x)的定义域为 R, 1分 -x x 且对于任意 x∈R,f(-x)=2 +2 =f(x), 所以 f(x)是偶函数. 4分 (2)f(x)是(0,+∞)上的增函数. 5分 证明如下:设 x1,x2 是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x1<x2,则Δ x=x1-x2<0,

?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ?

1 1 1 1 ) ? (2 x2 ? x2 ) ? 2 x1 ? 2 x2 ? x ? x2 x1 2 2 21 2

? 2 x1 ? 2 x2 ?

2 x2 ? 2 x1 1 x ? (2?1 ? 2 x2 )(1 ? x1 ? x2 ) . x1 ? x2 2 2

因为 0<x1<x2,所以 2 1 < 2 2 , 2 所以 2 1 ? 2
x x2

x

x

x1 ? x2

>1,

? 0, 1 ?

1 2
x1 ? x2

? 0 ,从而?y<0,
10 分 2分 4分

所以 f(x)是(0,+∞)上的增函数. 7.解:(1)f(x)+f(-x)<10x,即 2x2+8<10x, 化简整理得 x2-5x+4<0,解得 1<x<4. (2)函数 f(x)=x2+ax+4 图象的对称轴方程是 x ? ? ①当 ?

a . 2

a ? 1 ,即 a≥-2 时,f(x)在区间[1,2]上单调递增, 2

所以 f(x)min=f(1)=a+5; 6 分 ②当 1 ? ?

a a a ? 2 ,即-4<a<-2 时,f(x)在区间 [1,? ] 上单调递减,在 [ ? ,2] 上单 2 2 2
a 2 a2 ; 4
8分

调递增,所以 f ( x) min ? f (? ) ? 4 ? ③当 ?

a ? 2 ,即??≤-4 时,f(x)在区间[1,2]上单调递减, 2

所以 f(x)min=f(2)=2a+8.

a ? ?2, ? a ? 5, 2 ? a ? 综上, g (a ) ? ?4 ? , ? 4 ? a ? ?2. 4 ? 2a ? 8, a ? ?4. ? ?

10 分

8.解:(1)因为函数 y=x2 的值域是[0,+∞),且 y=x2 在[a,b]的值域是[a,b],所以[a, b] ? [0,+∞),所以 a?≥0,从而函数 y=x2 在区间[a,b]上单调递增, 故有 ?

?a 2 ? a , ?a ? 0或?a ? 1, ? 解得 ? ? ?b 2 ? b. ?b ? 0或 ?b ? 1. ?

又 a<b,所以 ?

?a ? 0, ?b ? 1.
3分

所以函数 y=x2 的“保值”区间为[0,1]. (2)若函数 y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,则有: ①若 a<b≤0,此时函数 y=x2+m 在区间[a,b]上单调递减, 所以 ?

? a 2 ? m ? b, ? 消去 m 得 a2-b2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0. 2 ?b ? m ? a. ?

因为 a<b,所以 a+b+1=0,即 a=-b-1. 又?

?b ? 0, 1 所以 ? ? b ? 0 . 2 ? ? b ? 1 ? b,

因为 m ? ?b 2 ? a ? ?b 2 ? b ? 1 ? ?(b ? ) 2 ? 所以 ? 1 ? m ? ?

1 2

3 1 (? ? b ? 0) , 4 2
6分

3 . 4

②若 b>a≥0,此时函数 y=x2+m 在区间[a,b]上单调递增,

?a 2 ? m ? a , ? 所以 ? 2 消去 m 得 a2-b2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0. ?b ? m ? b. ?
因为 a<b,所以 a+b-1=0,即 b=1-a. 又?

?a ? 0, 1 所以 0 ? a ? . 2 ?a ? 1 ? a ,
2

因为 m ? ?a ? a ? ?(a ? ) ?
2

1 2

1 1 (0 ? a ? ) . 4 2

所以 0 ? m ?

1 . 4 1 . 4
9分

因为 m≠0,所以 0 ? m ?

综合①、②得,函数 y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,此时 m 的取值范围是

3 1 [?1,? ) ∪ (0, ) . 4 4

10 分


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