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2012—2013年高一第二学期数学期末考试


预祝大家考个好成绩

2012~2013 年高一第二学期数学学科期末模块考试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集是 A. [0,5] B. [5, ?? ) C. ( ?? , 0] D. ( ??, 0] ? [

5, ?? ) 开始

2. 等比数列 ?a n ? 中, a 4 ? a 9 ? ?8, a 7 ? a12 ? 1 ,则其公比 q ? A

?

1 2

B

?2

C

1 2

D

2

3. 如右图,此程序框图输出结果是 A. 20 B. 35 C. 56 D. 61

S=0,i=1,t=0

4. ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边分别是 a、b、c . 若a ?

2 , b ? 3, B ?

?
3
4

t=t+i

,则 ? A = S=s+t C i=i+1

A

3? 4

B

?
4



3?

? 3

D

? 4
i<5

5.用等值法求 247,152 的最大公约数是 A . 17 B. 19 C . 29 D. 37

6.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为 A.-110 B.-90 C.90 D.110

输出 s

7.在△ABC 中,AB=3,A=60° ,AC=4,则边 AC 上的高是 3 A. 2 2 3 B. 3 2 3 C. 2 D.3 3

结束

?x≥1, ? 8.若 x,y∈R,且 ?x-2y+3≥0, ?y≥x, ?
A.2 B.3

且 z=x+2y 的最小值等于

C.5

D.9

π 1 π 9.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)的值为 4 3 4 2 2 A. 3 2 2 B.- 3 1 C. 3 1 D.- 3

10.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,则

1 a

?

1 b

的最小值是

A.2

B. 2 2

C.4

D. 8

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

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11.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是

.

12. 写出数列 ?

1 1 1 , , ? , ,…的一个通项公式a n ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

1

13 . 在 ? ABC 中 , b ? 2a, 且 B ? A ? 60 O , 则 A ? ___________
14.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个.命中个数的茎叶图如右.则罚球命中率较高的是 ; 15.下列叙述正确的有: (仅填序号)

① 若过点 A?m ? 1,2 ? 和点 B ?1, 2 m ? 1? 的直线的倾斜角为
2

3? 4

,则 m ? ?1 ;

②若数列 ?a n ? 的前 n 项 S n ? n ? n ? 1 ,则数列 ?a n ? 是等差数列; ③若数列 ?a n ? 是等比数列,前 n 项和为 S n ,则 S 4、 S 8 ? S 4、 S 12 ? S 8 也成等比; ④若函数 f ? x ? ? cos x ?

1 cos x ? 2

? x ? R ? ,则 f ? x ? 的最小值为 0;

⑤已知直线 l1:ax-y+1=0 与 l2:x+ay+1=0(a∈R),不论 a 为何值时,l1 与 l2 都互相垂直。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16、 (10 分)第四届中国国际航空航天博览会于 2010 年 11 月在珠海举行,一次飞行表演中,一架直升飞 机在海拔 800m 的高度飞行,从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯角分别是 45°和 30°(如 右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 PQ . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得 飞机的仰角为 45°和 30°,他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离.

B+C 17、 (10 分)在△ABC 中,若 8· 2 sin -2cos 2A=7. 2

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(1)求角 A 的大小;(2)如果 a= 3,b+c=3,求 b,c 的值

2 18、 分) (8 已知关于 x 不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 { x ?5 ? x ? 3} , 求不等式 ax ? x ? b ? 0 的解集。

2

19、 (12 分)已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 , (1)求 {an } 的通项公式; (2)若等比数列 {bn }

b 满足 b1 ? ?8 , 2 ? a1 ? a2 ? a3 , {bn } 的前 n 项和公式。 求 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

20、 (10 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等.其数字分别为 x,y.用(x,y)表示抽取结果。 (1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (2)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

21、 (15 分)已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 2 a n ?1 ? 2 ? 2 n ? N n ? 2 , a1 ? 2 。
n ?

?

?

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(Ⅰ)求证数列 ?

? an ? 2 ? ? 是等差数列;学科王 n ? 2 ?
学科王

(Ⅱ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)求数列 ?a n ? 的前 n 和 S n 。

22、 (15 分)已知数列 ? an ? 的前项和 S n ? n ? 2 n ;
2

(1)求数列的通项公式 a n ; (2)设 Tn ?

1 a1a 2

?

1 a2 a 3

?

1 a3 a 4

?? ?

1 an an ?1

,求 Tn .

2012~2013 年高一第二学期期末模块考试答题卡

预祝大家考个好成绩

DABDB 答案 D 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4, 7=a1+6d=a1-12, 9=a1+8d=a1-16, a a 又∵a7 是 a3 与 a9 的等比中项, ∴(a1-12)2=(a1-4)· 1-16),解得 a1=20. (a 1 ∴S10=10×20+ ×10×9×(-2)=110. 2 答案 B 解析 ∵A=60° ,∴sin A= 3 . 2

1 1 3 ∴S△ABC= AB· sin A= ×3×4× =3 3. AC· 2 2 2 设边 AC 上的高为 h, 1 1 3 则 S△ABC= AC· ×4×h=3 3,∴h= 3. h= 2 2 2 答案 B 解析 可行域如图阴影部分所示,则当直线 x+2y -z=0 经过点 M(1,1)时,z=x+2y 取得最小值,为 1+2=3. DC、 11.-49;

12.

13. 30

O

14.甲
a n ? ? ?1?
n

15.①④⑤
1 n ? n ? 1?
Rt ?ACP 中,
PC AC ? tan ?CAP ,

16、解: (1)在

则 PC ? 800 ? tan 45? ? 800 . 在 Rt ?ACQ 中,
QC AC

??(3 分) ??(5 分)

? tan ?CAQ ,则 QC ? 800 ? tan 60? ? 800 3 .

所以, PQ ? QC ? PC ? 800 3 ? 800 (m). ??(7 分) (2)在 ?APQ 中, PQ ? 600 , ?AQP ? 30? , ?PAQ ? 45? ? 30? ? 15? . ??(8 分) 根据正弦定理,得
PA sin 30?
?

?

600 sin15?

, ??(10 分)
300 6? 2 4

则 PA ?

600?sin 30? sin(45? ? 30?)

600? 30? sin sin 45? cos 30? ? cos 45? sin 30 ?

?

? 300( 6 ? 2) .

B+C π A 17.、解 (1)∵ = - , 2 2 2 ∴sin B+C A =cos , 2 2

预祝大家考个好成绩

∴原式可化为 8cos -2cos 2A=7, 2 ∴4cos A+4-2(2cos2A-1)=7, 1 ∴4cos2A-4cos A+1=0,解得 cos A= ,∴A=60° . 2 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, ∴b2+c2-bc=3. 又∵b+c=3,∴b=3-c, 代入 b2+c2-bc=3,并整理得 c2-3c+2=0, 解之得 c=1 或 c=2,
?b=1, ?b=2, ? ? ∴? 或? ? ? ?c=2, ?c=1.

2A

18、解:由 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 { x ? 5 ? x ? 3} 可知: ? 5 与 3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两 根;……………..2 分 ∴?

? 25 ? 5 a ? b ? 0 ? 9 ? 3a ? b ? 0
解得 ?



???4 分

?a ? 2 ?b ? ? 15

??? 7 分
…………..9 分

从而 ax 2 ? x ? b ? 0 变为 2 x 2 ? x ? 15 ? 0 解得其解集为 { x | ?3 ? x ?

5 2

}

???12 分
。。。。 分 。。。。1

19、解: (1)设等差数列 {an } 的公差 d 。因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 ∴?

? a1 ? 2 d ? ? 6 ? a1 ? 5 d ? 0

。。。。。。。。 分 。。。。。。。。3

解得 a1 ? ?10, d ? 2

。。。。。。。。 分 。。。。。。。。5 。。。。。 分 。。。。。7

∴ an ? ?10 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 12 (2)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,

。。。。。。8 分 。。。。。 。。。10 分 。。 。。。。。。。。12 分 。。。。。。。

∵ b2 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?24, b1 ? ?8 ∴ ?8q ? ?24 即 q =3

∴ {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?

b1 (1 ? q n ) 1? q

? 4(1 ? 3n )

。。。。。14 分 。。。。

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20、解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y. 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).--------4 分 (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. ----------------------------6 分 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
4 16



1 4

.----------------------8 分

(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)}-----10 分 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
7 16

.---------------------------12 分

21、①由等差数列的定义可证: ?

? an ? 2 ? ? 是一个以 2 为首项,1 为公差的等差数列-----理科 3 分文科 5 分 n ? 2 ?
------------文科 8 分
n ?1

② 由①有:

an ? 2 2
n

? n ?1

? a n ? ?n ? 1? ? 2 n ? 2
,由错位相减法可得 An ? n ? 2

记 ?n ? 1? ? 2

?

n

?的前 n 项和为 A

n

? S n ? n ? 2 n ?1 ? 2 n
2

-----------------------理科 8 分文科 14 分
2

22、解: (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 n ? [( n ? 1) ? 2( n ? 1)] ? 2 n ? 1 ① …4 分 当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,也满足①式
2

???6 分

∴数列的通项公式为: a n ? 2 n ? 1 (2)

??? 7 分
1 ? 1 2n ? 3 )

1 a n a n ?1

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3)

?

1

2 2n ? 1

(

???10 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ?? ? ) 2 3 5 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3

???12 分 ???14 分

?

1 1 1 n ( ? )? 2 3 2n ? 3 3( 2 n ? 3)


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