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河北省唐山市2013届高三3月第一次模拟考试数学理试题(WORD版)


试卷类型:A

河北省唐山市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试数学理试题(纯 word 版)
说明: 一、本试卷分为第 I 卷和第 II 卷.第 I 卷为选择题;第 II 卷为非选择题,分为必考和 选考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目

的标号涂黑.如 需改 动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.

( 1 ) 设 集 合 A = { 1 , 2},则 满 足 A ? B = { 1 , 2 , 3 , 4 } 的 集 合 B 的 个 数 是 (A) 2 (2) (B) 3
若 复 数
13

(C) 4
a ? 2i 1? i (a ? R )

(

D

)

5 =

为 纯 虚 数 , 则 | 3 - a i |

(A)
(3)


(B) 13

a ? ( 0 , ? ), c

(C) 10
o ?s )? a ( 6 3 3

(D)


10

?

2 2



t

a

n

2

α

=

( A )

3 3

( B ) -

( C )

13

( D ) -

13

.

(4)求三个不相等的实数 a, b, c 最大值的程序框图如图所示,则空白判断框内应 为
(A) a>b? (B) a>c? (C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c? (5 ) 已 知 向 量 a, b 满 足 : (a+2b) ?(a - b) =-6, 且

夹为 |a|=1 ,|b| =2,则 a 与 b 的 角
(A) (C)
?
6
2? 3

(B) (D)

?
3
5? 6

(6 ) 函 数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 ) 的 图 象 如 图 所 示 , 为 了 得 到 函 数
y ? cos ( x ? ?

?
6

) 的 图 象 , 只 需 将 y=f(x) 的 图 象

(A ) 向 左 平 移 (B ) 向 右 平 移 (C ) 向 左 平 移 (D ) 向 心 平 移

?
3

个单位 个单位 个单位
.个 单 位

?
3

?
6

?
6

(7) 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专 题 讲座,每科一节课,每节至少有一 科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安 排 方法共有

(A) 36 种

(B) 30 种

(C) 24 种

(D) 6 种

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15 (8 ) 不 等 式 组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 . , 则 a= 2 ? ax ? y ? 2 a ? 0 ?

(A)

4 7

(B) 1

(C) 2

(

D

)

3

EF Δ (9) 如图 I,边长为 2 的 d 正方形 ABCD 中,, 分别是 AB,BC 的中点, Δ ADE, CDF, 将
Δ BEF 折 起 ,使 A ,C,B 二 点 重 合 于 G, 所 得 二 棱 锥

G-DEF 的 俯 视 图 如 图 2,则 其 正


( A )


1 2






( B )


2 3

( C )

2

2 3

( D )

2 2

(1 0 ) (1 0)己 知 直 线 l 的 斜 率 为 k ,它 勾 抛 物 线 y 2 =4x 相 交 于 A , B 两 点 , F 为 抛

物 线 的 焦 点 , 若 AF ? 2 FB , 则 |k|=
2 4

(A) 2 2

(B)

3

(C)

(D)

( 1 1 ) x 0 函数

f ( x ) = 2 s i n x —π l n x ( x ?

( O , π ) ) 的 零 点 , x 1 <x 2 ? , 则

① 0? (1,e) x



x

0

?

(

1

,

π

)



③f(x1)-f(x2)<0
其中正确的命题为

④f(x1)-f(x2)>0.

(A) ①③ (C) ②③) ( D

(B) ①④ ) ② ④

(12)三棱柱 ABC-A1B1C1,的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,所有棱长都是 6,则四 面体 A1ABC, B1ABC, C 1 ABC 的公共部分的体积等于

(A) 18 3 (B) 12 3 (C) 9 3 (D) 6 3

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上.

(13)不等式

25 25

x x

?1 ?1

? 4

的解集为______.

(14)双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ? 离为 l,则 C 的方程为_______.

6 2

其焦点到渐近线的距

(15)1000 名考生的数学成绩近似服从正态分布 N(100,100),则成绩在 120 分以上的 考生人数约为 ________________.
(注:正态总体 N(μ 2)在区.间(μ , μ ), (μ ,μ ), (μ ,μ )内取值的概率分别为 ,σ -σ +σ -2σ +2σ -3σ +3σ

0.683, 0.954, 0,997)

(16)Δ ABC 中 角 B、 所对的边 a, b, c 成等差数列, , A、 C 且最大角是最小角的 2 倍, 则 cos A
+ c o s

C

=

_

_

_

_

_

.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) — (2 丨)题为必考题, (22), (23), (24) 题 为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)
已知等比数列{a n }满足 a 1 a 2 ? ?
1 3 , a3 ? 1
(

9

(I)求{a n } 的通项公式; (II) 设 b n ?
n ?1 1? 2 ? n ?1 2?3 ? ... ? n ?1 n ( n ? 1)

,求数列 {

bn an

} 的前 n 项的和.

(18)(本小题满分 12 分)
某公司共冇职工 8000 名,从中随机抽取了 100 名,调杏上、下班乘车所用时间,得 下表:

公司规定,按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴,补贴金额 Y ( 元)与乘市时 间 t ( 分钟) 的关系是 y ? 200 ? 40 [
t 20 ] ,其中 [

t 20

] 表示不超过 [

t 20

] 的最大整数.以样本频率为概率:

(I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元); (II)以样本频率作为概率, 求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过 300 元的概 率.

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 丄底面 ABCD, [ ? APD ?
?
2

(I )求证:平面PAB 丄平面 PCD;
(I I )如果 A = , PB=PC,求 B BC

二面角 B-PC-D 的余弦

值.

(20)(本小题满分丨 2 分)
已知椭圆 C 1 :
x
2

? y

2

4

? 1 和动圆 C 2 : x

2

? y

2

? r ( r ? 0 ) ,直线 l:y=kx+m 与 C1 和 C 2 分
2

别有唯一的公共点 A 和 B.

(I) 求 r 的取值范围; (II )求 | A B | 的 最 大 值 , 并 求 此 时 圆 C 2 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 己知函数 f(x)=(mx + n)e_x 在 x =1 处取得极值 e-1
(I )求函数 f(x)的解析式,并求 f(x)的单调区间;
(I I ) 当.
x ? ( a , ?? ) 时,f(2x-a)+f(a)>2f(x),求 a 的取值范围.

请考生在第(22), (23), (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题 记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图, 直线 MN 交圆 O 于 A, 两点, 是直径, 平分 ? CAM M, B AC AD 交圆 0 于点 D, 过 D 作 DE 上 MN 于 E.
(I)求证:DE 是圆 O 的切线:
A (II)若 DE=6,AE=3,求ΔBC 的面积

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴. 己知
? x ? m ? t cos a 曲线 C 1 的极坐标方程为 p=4cosθ 曲线 C 2 的参数方程是 ? (t 为参数,0 ? a ? ? ) , ? y ? t sin a

射 ? ? ? ,? ? ? ? 线

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A,B, C.
2 | OA | ;

(I) 求证: | OB | ? | OC |? (II )当 ? ?
?
12

时,B, C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 a 的值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=丨 x—a 丨+ |x—1 丨,a∈R. (I )当 a=3 时,解不等式 f ( x ) ? 4 ; (II)当 x ? ( ? 2 ,1) )时,F(X)>|2x-a-1|.求 a 的取值范围

唐山市 2012—2013 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CAADB B 卷:BBADC 二、填空题: (13)(1,+∞) 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设 an=a1q
1 2 2 1 n-1

CBCBA DCCAB

BD BA

x 2 (14) -y =1 2

2

(15)23

(16)

7 8

,依题意,有

?a a =a q=- 31, 1 解得 a =1,q=- . ? 1 3 ?a =a q = 9 ,
1 2 3 1

?4 分

所以 an=(-

1 n-1 ) . 3

?5 分

n+1 n+1 n+1 1 1 1 (Ⅱ)bn= + +?+ =(n+1)[ + +?+ ] 1×2 2×3 n(n+1) 1×2 2×3 n(n+1) =(n+1)[(1- 分 bn 记数列{ }的前 n 项的和为 Sn,则 an Sn=1+2×(-3)+3×(-3) +?+n×(-3)
2 3 2 n-1

1 1 1 1 1 )+( - )+?+( - )]=n. 2 2 3 n n+1

?7


n

-3Sn=-3+2×(-3) +3×(-3) +?+n×(-3) , 两式相减,得 4Sn=1+(-3)+(-3) +?+(-3) 1-(4n+1)(-3) 故 Sn= . 16 (18)解: (Ⅰ)记一名职工所享受的路途补贴为 X(元) . X 的可能值为 200,240,280,320,360.X 的分布列为 X P X 的均值为 E(X)=200×0.25+240×0.5+280×0.15+(320+360)×0.05=246. 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)=8000E(X)=1968000(元) . (Ⅱ)依题意,当 60≤t≤100 时,y>300. 1 名职工中路途补贴超过 300 元的概率 p=P(60≤t≤100)=0.1, 记事件“4 名职工中至少有 2 名路途补贴超过 300 元”为 A,则 P(A)=C4×0.1 ×0.9 +C4×0.1 ×0.9+0.1 =0.0523. (19)解: (Ⅰ)因为四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,所以 CD⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,所以 CD⊥PA. 又∠APD= ? ,即 PA⊥PD,而 CD∩PD=D,所以 PA⊥平面 PCD. 2 ?4 分
2 2 2 3 3 4 n 2 n-1

-n×(-3) =

n

1-(-3) n -n×(-3) , 4 ?12 分

n

200 0.25

240 0.5

280 0.15

320 0.05

360 0.05

?5 分

?7 分

?8 分

?12 分

因为 PA?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD.

z P

D A B x y

C

(Ⅱ)如图,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 设 AB=2,P(0,a,b)(a>0,b>0) , 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0). → → 由 PA⊥PD,PA=(0,-a,-b),PD=(0,2-a,-b), 得-a(2-a)+b =0. 因为 PB=PC,所以 2 +a +b =2 +(2-a) +b . 由①,②得 a=1,b=1. → 由(Ⅰ)知,PA=(0,-1,-1)是面 PCD 的一个法向量. → → 设面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n·PB=0,n·BC=0, → → 又PB=(2,-1,-1),BC=(0,2,0),
?2x-y-z=0, 所以? 取 n=(1,0,2). ?2y=0,
2 2 2 2 2 2 2

① ② ?7 分 ?8 分

?10 分

→ 10 PA·n __________ → 因为 cos?PA,n?= → =- ,又二面角 B-PC-D 为钝角, 5 |PA|·|n| 所以二面角 B-PC-D 的余弦值- (20)解: 10 . 5 ?12 分

?x +y2=1, ? 2 2 2 (Ⅰ)由? 4 得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0. ?y=kx+m, ?
由于 l 与 C1 有唯一的公共点 A,故 Δ 1=64k m -16(1+4k )(m -1)=0, 从而 m =1+4k .
?x +y =r , 2 2 2 2 由? 得(1+k )x +2kmx+m -r =0. ?y=kx+m,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

① ?2 分

由于 l 与 C2 有唯一的公共点 B,故 Δ 2=4k m -4(1+k )(m -r )=0,

2 2

2

2

2

从而 m =r (1+k ). r -1 2 由①、②)得 k = 2. 4-r 由 k ≥0,得 1≤r <4,所以 r 的取值范围是[1,2). (注:由图形直接看出 r 取值范围而未做代数推理的只给 1 分) (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(Ⅰ)的解答可知 4km 4k km kr x1=- ,x2=- . 2=- 2=- 1+4k m 1+k m k (4-r ) 1+k 2 2 2 2 2 2 2 |AB| =(1+k )(x2-x1) =(1+k )· = 2 ·k ·(4-r ) 2 m m 1 r -1 (r -1)(4-r ) 2 2 = 2· , 2·(4-r ) = 2 r 4-r r 4 2 2 所以|AB| =5-(r + 2)(1≤r<2) . r 4 2 因为 r + 2≥2×2=4,当且仅当 r= 2时取等号, r 所以当 r= 2时,|AB|取最大值 1,此时 C2 的方程为 x +y =2. (21)解: (Ⅰ)f?(x)=-(mx+n-m)e . 依题意,f(1)=e ,f?(1)=0,即
?(m+n)e =e , ? 解得 m=1,n=0. -1 ?-ne =0,
-1 -1 -1 -x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

② ?4 分

?6 分

?10 分

?12 分

所以 f(x)=xe . f?(x)=-(x-1)e . 当 x∈(-∞,1)时,f?(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f?(x)<0. 函数 f(x)在(-∞,1)单调递增;在(1,+∞)单调递减.
-x

-x

?4 分

?6 分

(Ⅱ)设 g(x)=f(2x-a)+f(a)-2f(x),则 g?(x)=2[f?(2x-a)-f?(x)]. ?7 分 设 h(x)=f?(x)=-(x-1)e ,则 h?(x)=(x-2)e . 当 x∈(-∞,2)时,h?(x)<0,h(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增. ?8 分
-x -x

(1) a≥2, 若 则当 x∈(a, +∞)时, 2x-a>x, h(2x-a)>h(x), f?(2x-a)>2f?(x), 即 所以 g?(x)>0,g(x)在(a,+∞)单调递增,此时 g(x)>g(a)=0, 即 f(2x-a)+f(a)-2f(x)>0. ?10 分

a+2 (2) a<2, 若 则当 x∈(a, )时, 2x-a>x, h(2x-a)<h(x), f?(2x-a)<2f?(x), 即 2

所以 g?(x)<0,g(x)在(a,2)单调递减,此时 g(x)<g(a)=0. 综上,a 的取值范围是[2,+∞). (22)解: (Ⅰ)连结 OD,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA. 因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD. 因为∠EAD+∠EDA=90?,所以∠EDA+∠ODA=90?,即 DE⊥OD. 所以 DE 是圆 O 的切线.
C

?11 分 ?12 分

?2 分

?4 分

D O M E A
2

B

N

(Ⅱ)因为 DE 是圆 O 的切线,所以 DE =EA·EB, 即 6 =3(3+AB),所以 AB=9. 因为 OD∥MN, 所以 O 到 MN 的距离等于 D 到 MN 的距离,即为 6 ?8 分 ?10 分
2

?6 分 又

因为 O 为 AC 的中点,C 到 MN 的距离等于 12 故△ABC 的面积 S= 1 AB·BC=54. 2

(23)解: (Ⅰ)依题意, |OA|=4cosφ ,|OB|=4cos(φ + 则|OB|+|OC|=4cos(φ + ? ? ),|OC|=4cos(φ - ), 4 4 ?2 分

? ? )+4cos(φ - ) 4 4

=2 2(cosφ -sinφ )+2 2(cosφ +sinφ )=4 2cosφ , = 2|OA|. ?5 分

? ? ? (Ⅱ)当 φ = 时,B,C 两点的极坐标分别为(2, ),(2 3,- ). 12 3 6 化为直角坐标为 B(1, 3),C(3,- 3). C2 是经过点(m,0),倾斜角为 α 的直线, 又经过点 B,C 的直线方程为 y=- 3(x-2), 2? 所以 m=2,α = . 3 ?9 分 ?10 分 ?7 分

(24)解:

?4-2x,x≤1, ? (Ⅰ)当 a=3 时,f(x)=?2,1≤x≤3, ?2x-4,x≥3. ?
当 x<2 时,由 f(x)≤4 得 4-2x≤4,解得 x≥0; 当 1≤x≤3 时,f(x)≤4 恒成立; 当 x>3 时,由 f(x)≤4 得 2x-4≤4,解得 x≤4. 所以不等式 f(x)≤4 的解集为{x|0≤x≤4}. (Ⅱ)因为 f(x)=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|, 当(x-1)(x-a)≥0 时,f(x)=|2x-a-1|; 当(x-1)(x-a)<0 时,f(x)>|2x-a-1|. 记不等式(x-1)(x-a)<0 的解集为 A,则(-2,1)?A,故 a≤-2, 所以 a 的取值范围是(-∞,-2]. ?10 分 ?7 分 ?4 分 ?5 分


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