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【精品】2015年数学教案:3.1.1实数指数幂及其运算(新人教B版必修一)


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学科:数学

课题:实数指数幂及其运算

课型:新授

教师:杨涛

教学目标(三维融通表述) : 1.理解 n 次方根,n 次根式的概念及其性质. 2。能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一 种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化. 3。能利用有理指数运算性质简化根式运算. 教学重点:分数指数幂的概念分数指数的性质 教学难点:根式的概念,分数指数的概念 教 教 学 环 节 引 入 回 顾初中 所学过 的整数 指数幂 概念及 其 性 8 分 钟 2.练习:计算下列各式 3 分 钟 回忆整数指数幂的定义并板书 1.整数指数幂的定义
n个a







问题与 任务

时 教师活动 间 学生活动

an ? a .a? ...... a(n ? N ) ? ? ? ?

回忆整数 指数幂的 定义及其 ,

a 3 ? a 2 , 3x3

? ?

2



a3 a3

a3 ? 1? , 10?3 , ?? ? 5 a ? 2?

?6

性质并思 考,回答

质,引 出 问

题,导 入新课 问题 1: 在初中我们学过平方根、立方根的概念,它是如 何定义的?它有何性质?学生回忆 (1)如果一个数的平方等于 a,即 x 2 ? a ,那么数

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x 叫做 a 的平方根, (2)如果一个数的立方等于 a,即 x 3 ? a ,那么数 x 叫做 a 的立方根; 为学生 理解根 新 课 讲 问 题 解 2:
3

学生尝试 解决问题

18 分 钟

(3)正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的 平方根是零;负数没有平方根。 (4)正数和负数的立方根都只有一个,零的立方 根是零。 以 下 式 子 : ,

式概念 作铺垫

?? 3?2 ? 9

, ,

23 ? 8, ?? 2 ? ? ?8
5

?? 2?4 ? 16

35 ? 243, ?? 3? ? ?243 . 中 ? 3 与 9,2 与 8,
-2 与-8, ? 2 与 16,3 与 243,-3 与-243 是什么 关系?

? 3 叫 9 的平方根,2 叫 8 的立方根,-2 叫-8 的
促使学 生进一 步理解 以上概 念,并 尝试把 知识迁 移到四 次方根 和五次 方根 14 由特殊 到 一 分 钟 式子 n a 叫做根式,这里叫做根指数(,叫 做被开方数. 正数 a 的偶次方根有两个, 它们互为相反数, 分别表示为 n a , - n a (>0,n 为偶数) 学生讨论 交流后回 答 立方根. 类比:? 2 叫 16 的四次方根,3 叫 243 五次方根, -3 叫-243 的五次方根。 试想:如果 x n ? a ,你能试着说出 x 与 a 的关 系吗?
n

学生回忆 独 立 思 考,逐一

由此类推: 一般地, 如果存在实数 x,使得 x ? a , 回答 那么叫做的次方根,其中>1,且∈ N .求 a 的 n
*

次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作开方运算。 的次方根用符号 n a 表示.

般,培

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养学生 归纳、 概括的 能力

负数的偶次方根在实数范围内不存在; 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负 数的次方根是一个负数.都表示为 n a (n 为奇 数) . 根据 n 次方根的定义,根式具有性质:
n n ( a ) ?a (1)

当是奇数时, a 当是偶数时, a
n n

n

n

?a

?a (a ? 0) ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

例如:

? 5?
4

4

? 5 , 3 ? 5 ? ?5,
4

?

?

3

? 2 ? ?2 ?8
5 3 5 3

讨论交流 “试想” 并让多个 学生回答

52 ? 5, 4 ?? 3? ? 4 34 ? 3
我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分 数指数幂。例如
1 ?3 ? 1 ? ? a 3 ? ? a 3 ? a , a3 ? ? ? ? 3

? ?

2 3

2

? a3 ? a

?3

显然,这些运算都不能用整数指数幂的定义来解 释。但是如果规定

进一步 理解根 式的性 质,为 导出分 数指数 幂做铺 垫

a ? a , a ? 3 a2
3

1 3

2 3

则上述分数指数幂得运算就能像整数指数幂那样 运算了。 分数指数幂的意义
1

思考并解 答

规定: a n ? n a (a ? 0)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义

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典 型 例 题 分 析

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的 概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指 数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1) a ? · a ? ? a ? ? ? (a ? 0, ? , ? ? Q ) ; (2) (a ? ) ? ? a ?? (3) (ab) ? a a
? ? ?

(a ? 0, ? , ? ? Q) (a ? 0, ? ? Q) 。

计算: (见书第 87 页)
1 ? 2 ? 3 4? 8 ?8 , 8 ,3 3 ? 3 ? 3 ,? a b ? ? ? ?
3 5 2 5 2 3

3

3

6

巩固知 识点

计算

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巩 固 提 高

小 结

2 分

引导学生回顾本节课所学的知识: (1) 根式的定义 (2) 分数指数幂的概念 有理指数幂的运算性质

个别回答

板 书 设 计 概念及性质

课题 例

1.以下说法正确的是( 作 业 训



A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.0的n次方根是0 (n ? N ) D.a的n次方根是 n a )

2.已知 a ? R, b ? R 下列各式总能成立的是(
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6



A. (6

a ? b)
6

? a?b

B. 8

(a ? b ) ? a ? b
2 2
2

8

2

C. 4 a ? 4 b ? a ? b 3. a ?

D. 10

(a ? b)

10

? a?b

1 化简为 a



4.若 n a =- n a ,则

. .

5.若 n ? 3 ? ? n 3 ,则n的取值范围是
1 1 2 2 ? ?1 ? a 2b 3 (a 3 b ) 6 1

6.化简下列各式: (1)

ab

5

反 思

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