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新人教高中数学练习题(选修2-2)含答案


目录:数学选修 2-2
第一章 导数及其应用 第一章 导数及其应用 第一章 导数及其应用 第二章 第二章 第二章 第三章 第三章 第三章 推理与证明 推理与证明 推理与证明 复数 复数 复数 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组] [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

[基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

1

也 ! 予 一 以 贯 之 。

曰 : 然 , 非 与 ? 曰 : 非

多 学 而 识 之 者 与 ? 对

子 曰 : 赐 也 , 女 以 予 为

新课程高中数学测试题组
根据最新课程标准,参考独家内部资料, 精心编辑而成;本套资料分必修系列和选修系 列以及部分选修 4 系列。欢迎使用本资料

(数学选修 2-2)第一章
[基础训练 A 组]
一、选择题

导数及其应用

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

的值为( A. f ( x0 )
'

) B. 2 f ( x0 )
2
'

C. ?2 f ( x0 )
'

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒
3



B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 )

3.函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) C. (??,??)
3 2

B. (??,1) D. (1,??)
'

4. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(



A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3


5.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件
4

6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A. 72 C. 12 B. 36 D. 0
2

B.必要条件 D.必要非充分条件



二、填空题
1.若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________;
3 '

2.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

3.函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________。
3 2

三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程。
3 2

2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

3. 求 函 数 f ( x) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

4.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

思 而 不 学 则 殆 。

子 曰 : 学 而 不 思 则 罔 ,

3

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(数学选修 2-2)第一章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 y = x - 3x - 9 x (- 2 < x < 2) 有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 B.极大值 5 ,极小值 ?11 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ?27 ,无极大值 2.若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
'

导数及其应用

3

2



h ?0

A. ?3 C. ?9

B. ?6 D. ?12
3

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h



3.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)
' '



4. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 5.函数 y ? 4 x ?
2

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 )

1 单调递增区间是( x
B. (??,1) ) C. e
2

A. (0,??) 6.函数 y ? A. e
?1

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

4

二、填空题
1.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,
3

?
2

] 上的最大值是



2.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 3.函数 y ? x ? x 的单调增区间为
2 3
3 2

,单调减区间为___________________。 。

4.若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是 5.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为________。
3 2 2

三、解答题 1. 已知曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值。
2 3

2.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

3. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2
4 2

(1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。

5

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(数学选修 2-2) 第一章
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f (? ) 等于(
'

导数及其应用

) D. 2sin ?
'

A. sin ?

B. cos?
2

C. sin ? ? cos ?

2.若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x) 的图象是(



3.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的
3 2

取值范围是(

) B. [? 3, 3 ] D. (? 3, 3 )
'

A. (??,? 3 ] ? [ 3,??) C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C.

4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,则必有( B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)



f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
4

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0



D. x ? 4 y ? 3 ? 0

6.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,

y

y ? f ?(x)

b

a
则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点 ( A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6

O

x



二、填空题
1.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________; 2.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 。
2

3.设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________ 4.设 f ( x) ? x3 ? 取值范围为
n

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2


5.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
3

三、解答题 1.求函数 y ? (1 ? cos 2 x) 的导数。

2.求函数 y ?

2 x ? 4 ? x ? 3 的值域。

3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a, b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

x 2 ? ax ? b 4.已知 f ( x) ? log 3 , x ? (0, ??) ,是否存在实数 a、b ,使 f (x) 同时满足下列两 x
个条件: (1) f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2) f (x) 的最小值是 1 ,若 存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

7

也 不 之 。 知 乎 为 ! 不 知 知 之 , 为 是 知 知 之 ,

子 曰 : 由 ! 诲 女 知

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(数学选修 2-2)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.数列 2,5,11, 20, x, 47, …中的 x 等于( A. 28 B. 32 C. 33

推理与证明

) D. 27 )

2.设 a, b, c ? (??,0), 则 a ?

A.都不大于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

B.都不小于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2

3.已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2 BC ? DC ; ③ FE ? ED ;④ 2 ED ? FA 中,与 AC 等价的有( A. 1 个 B. 2 个 )

4.函数 f ( x) ? 3 sin(4 x ?

?

C. 3 个

)在[0, ] 内( 4 2

?

D. 4 个 )

A.只有最大值 C.只有最大值或只有最小值

B.只有最小值 D.既有最大值又有最小值 )

5.如果 a1 , a 2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. a1 a8 ? a 4 a5 C. a1 ? a8 ? a 4 ? a5 B. a1 a8 ? a 4 a5 D. a1 a8 ? a 4 a5

6. 若 log 2 [log3 (log 4 x)] ? log3[log 4 (log 2 x)] ? log 4 [log 2 (log3 x)] ? 0 ,则 x ? y ? z ?( ) A. 123 7.函数 y ? B. 105 C. 89 D. 58 ) D. ?
8

1 x

在点 x ? 4 处的导数是 ( B. ?

A.

1 8

1 8

C.

1 16

1 16

二、填空题
1.从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中得出的一般性结论是_____________。
2 2 2

2.已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? (2 x ? 3.已知 a, b 是不相等的正数, x ?
m?1

1 ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________。 a

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是_________。

4.若正整数 m 满足 10

? 2512 ? 10 m ,则 m ? __________ ____.(lg 2 ? 0.3010 )

5.若数列 ? an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ? 11, a4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,... 则 a10 ? ____ 。

三、解答题
1.观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1;
0 0 0 0 0 0

(2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1
0 0 0 0 0 0

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。

2.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。
2

求证: f ( x) ? 0 无整数根。

3. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

4.设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ? (1)求 ? 的值; (2)求 y ? f (x) 的增区间; (3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切。

?
8

.

9

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(数学选修 2-2)第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 f ( x ) ? ?

推理与证明

?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0;
x ?1 ?e , x ? 0

,若 f (1) ? f (a ) ? 2,

则 a 的所有可能值为( A. 1 B. ?



2 2

C. 1, 或 ?

2 2

D. 1, 或

2 2


2.函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A. (

, ) 2 2 3? 5? C. ( , ) 2 2
2 2

? 3?

B. (? ,2? ) D. (2? ,3? ) )

3.设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3 )

D. ?

7 2

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 ( A. y ? sin x
2

B. y ? xe

x

C. y ? x ? x
3

D. y ? ln(1 ? x) ? x

5.设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a, b 和 b, c 的等差中项,则

a c ? ?( x y



A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定 6.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 ? 9 和字母 A ? F 共 16 个计数 符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 0 0 8 8 1 1 9 9 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 ) 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ( A. 6E B. 72 C. 5F D. B0
10

二、填空题
1.若等差数列 ? an ? 的前 n 项和公式为 Sn ? pn ? ( p ? 1)n ? p ? 3 ,
2

则 p =_______,首项 a1 =_______;公差 d =_______。 2.若 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,则 log

2

x ? _____ 。 y

3.设 f ( x) ?

1 2x ? 2

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________。
4.设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图像关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? __________ ____.
5. f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则 设 是 ______________. 三、解答题 1.已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

a b c 的值 ? / ? / f (a) f (b) f (c)
/

3 2 3 sin 2 5? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。

2.计算: 11...1 ? 22...2(n是正整数) ? ?
2n n

3.直角三角形的三边满足 a ? b ? c ,分别以 a, b, c 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体 的体积记为 Va , Vb , Vc ,请比较 Va , Vb , Vc 的大小。

4.已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0 。

11

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(数学选修 2-2)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若 x, y ? R, 则 " xy ? 1" 是 " x ? y ? 1" 的(
2 2

推理与证明



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,则 x1 ? x2 等于(
3 2
2 2



A.

2 3
1 log 2
11

B.

4 3
1 ?

C.

8 3
? 1 log 5
11

D.

12 3
O X1 1

X2 2

x

3.设 P ?

?

1 log 4
11

log 3

11

,则(



A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3

B. 1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4

4.将函数 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭的平面图形的面积是( A. 4 B. 8 C. 2? D. 4? )

5.若 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? ?0, ?? ? ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( ? AB AC
A.外心 C.重心 B.内心 D.垂心



6.设函数 f ( x) ? ? A. a

??1, x ? 0 ( a ? b ) ? ( a ? b) f ( a ? b) ,则 (a ? b) 的值为( 2 ?1, x ? 0
B. b D. a, b 中较大的数
? x ?2

)txjy

C. a, b 中较小的数 7.关于 x 的方程 9 A. a ? ?4 C. a ? 0
? x ?2

? 4?3

? a ? 0 有实根的充要条件是(



B. ?4 ? a ? 0 D. ?3 ? a ? 0

12

二、填空题
. 1.在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) (n ? N ) ,则 S10 ? __________
n *

2.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________。
x

3. 若关于 x 的不等式 (k 2 ? 2k ? ) x ? (k 2 ? 2k ? )1? x 的解集为 ( , ??) , k 的范围是____ 则 4. f (n) ? 1 ?

3 2

3 2

1 2

1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) , 2 3 n 3 5 7 经计算的 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? , 2 2 2 推测当 n ? 2 时,有__________________________.
1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? ? ? (1 ? a n ) , (n ? 1) 2

5.若数列 ?a n ?的通项公式 a n ?

试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________ ______. 三、解答题 1.已知 a ? b ? c, 求证:

1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

2.求证:质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

3.在 ?ABC 中,猜想 T ? sin A ? sin B ? sin C 的最大值,并证明之。

4.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) ? , (n ? N ) 6

13

也 ! 予 一 以 贯 之 。

曰 : 然 , 非 与 ? 曰 : 非

多 学 而 识 之 者 与 ? 对

子 曰 : 赐 也 , 女 以 予 为

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(数学选修 2-2)第三章
[基础训练 A 组] 一、选择题

复数

1.下面四个命题 (1) 0 比 ?i 大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 (4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应, 其中正确的命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (i ? i ) 的虚部为(
?1 3

)

A. 8i B. ?8i C. 8 D. ?8 3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( A. z ? z C. z 为实数
4 5 6
?

)

B. z ? z D. z ? z 为实数
12 4 5 6 12
?

2

4.设 z1 ? i ? i ? i ? ? ? i , z2 ? i ? i ? i ??? i , 则 z1 , z2 的关系是( ) A. z1 ? z2 C. z1 ? 1 ? z2
20 20

B. z1 ? ? z2 D.无法确定

5. (1 ? i) ? (1 ? i) 的值是( ) A. ?1024
n

B. 1024
?n 2

C. 0

D. 1024

6.已知 f (n) ? i ? i (i ? ?1, n ? N ) 集合 ? f (n)? 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个

14

二、填空题
1. 如果 z ? a ? bi(a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z , z , z , z , z , z ? z , z , z , z 中是
2 2 2 ? ? ? ?

虚数的有

_______个,是实数的有
2 2

个,相等的有

组.

2. 如果 3 ? a ? 5 ,复数 z ? (a ? 8a ? 15) ? (a ? 5a ? 14)i 在复平面上的 对应点 z 在 象限. .

3. 若复数 z ? sin 2a ? i(1 ? cos 2a) 是纯虚数,则 a = 4.
2

log 设 z ? log 2 (m ? 3m ? 3) ? i ? 2 ( m ? 3)( m ? R), 若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,
.
3
?

则 m 的值是

5. 已知 z ? (2 ? i ) , 则 z ?z = 6. 若 z ?

.

2 ,那么 z100 ? z 50 ? 1 的值是 1? i
2 3 2000

.

7. 计算 i ? 2i ? 3i ? ? ? 2000i

?

.

三、解答题
1.设复数 z 满足 z ? 1 ,且 (3 ? 4i)?z 是纯虚数,求 z .
?

2.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z , 求

(1 ? i ) 2 (3 ? 4i ) 2 的值. 2z

15

(数学选修 2-2)第三章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.若 z1 , z2 ? C, z1 z2 ? z1 z2 是( A.纯虚数 B.实数
? ?

复数

). C.虚数 D.不能确定

? ? 2.若有 R , R , X 分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合 m m ? X =(
2

?

?

).

A. R ?

B. R ?

C. R ? R

?

?

D. R ? ?0?
?

3.

(?1 ? 3i )3 ?2 ? i ? 的值是( (1 ? i )6 1 ? 2i
A. 0 B. 1 C. i

). D. 2i )

2 4.若复数 z 满足 z ? 3(1 ? z )i ? 1 ,则 z ? z 的值等于(

A. 1

B. 0

C. ?1

D. ?

1 3 ? i 2 2
)

( 5.已知 3 ? 3i ? z ? ?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于(
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 1 ,则 z1 ? z 2 等于( ) A. 1 7.若 ? ? ? B. 2 C. 3 D. 2 3

1 3 ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2
B. 0 C. 3 ? 3i

)

A. 1

D. ?1 ? 3i

8.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i
2 m m ?1

? i m? 2 ? i m?3 ? 0;

其中正确命题的序号是( A. (1) B. (2)(3)

) D. (1)(4)

C. (1)(3)

16

二、填空题
1.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a ? b ? _________。
2 2

2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 3.复数 z ?

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



1 的共轭复数是_________。 1? i

4.计算 (1 ? i)(1 ? 2i) ? __________。 1? i 5.复数 z ? i ? i ? i ? i 的值是___________。
2 3 4

?1? i ? 1. 在复平面内, z 所对应的点在第________象限。 1? i 7.已知复数 z0 ? 3 ? 2i, 复数 z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数 z ? __________.
6.复数 z ? 8.计算

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

? ______________。

9.若复数 a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为___________。
1 ? 2i

10.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i ( x ? R), 若 z1 z2 为实数,则 x ? _____________

17

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.B

导数及其应用

[基础训练 A 组]

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h lim
s ' (t ) ? 2t ? 1, s ' (3) ? 2 ? 3 ? 1 ? 5

2.C 3.C 4.D

y ' = 3x 2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' (?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?
3 ' 2 '

10 3

5.D 对于 f ( x) ? x , f ( x) ? 3x , f (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y ' ? 4 x3 ? 4, 令y ' ? 0, 4 x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y ' ? 0;当x ? 1时, y ' ? 0
, 得 y极小值 ? y |x ?1 ? 0 而端点的函数值 y |x ??2 ? 27, y |x ?3 ? 72 ,得 ym i n? 0

二、填空题 1. ?1 2. ?

f ' ( x0 ) ? 3x0 2 ? 3, x0 ? ?1

3 4

3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t a n ? ? 1 , ?? ? ? 4
y' ? (sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2

3.

x cos x ? sin x x2
1 e

1 1 1 1 y ' ? , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e 5 5 ' 2 5. (??, ? ), (1, ??) 令y ? 3x ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 3
4. , x ? ey ? 0 三、解答题 1.解:设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6 x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y |x ? a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
' 2

3

2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y ? ( x ? a) ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)
' ' ' '

? ( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a) ( x? c)? ( x? a) ( x b) ?

18

4 3 2 2 3.解: f ?( x) ? 5 x ? 20 x ? 15 x ? 5 x ( x ? 3)( x ? 1) ,

当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1? [?1, 4] , ?3 ? [?1, 4] 列表:

x
f ' ( x)

?1
0 0

(?1,0)
+ ↗

0
0

(0, 4)
+ ↗

f ( x)

1

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。
5 4 3

4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x ?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x ?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2
'

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18 x ? 18 x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1
'

? y极小值 ? y |x ?0 ? 0

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.C

导数及其应用

[综合训练 B 组]

y ' ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y ' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y ' ? 0
当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ; x 取不到 3 ,无极小值

2.D 3.C

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ?0 h 4h
' 2 ' 2

设切点为 P0 ( a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 ,
3 3

把 a ? ?1 , 代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? ?4 ; a ? 1 , 把 代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? 0 , 所以 P (1,0) 和 (?1, ?4) 0 4.B

f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意

19

5.C

1 8 x3 ? 1 1 令 y ? 8x ? 2 ? ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 2 x x 2
'

6. A

令y ?
'

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x 当 当 ? ? 0, x ? e , x ? e 时,y ' ? 0 ; x ? e 时,y ' ? 0 , 2 2 x x

1 1 y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e e
二、填空题

y ' ? 1 ? 2 s i x ? 0 , ? ,比较 0 , , 处的函数值,得 ym a x? ? 3 n x 6 6 6 2 6 3 3 2. ? f ' ( x)? 3x2 ? 4 , f' ( 1 ) 7 , ? 1 ) y1 0 , ? 1 x ? 7 (y时 1 ) , x ? 0 , ? f ( ? 0 ? ? 7 7 2 2 2 ' 2 3. (0, ) (??, 0), ( , ??) y ? ?3x ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ? 3 3 3
1. 4. a ? 0, 且b ? 3ac
2

?

? 3

?

? ?

?

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立,
则?

?a ? 0 ?? ? 4b ? 12ac ? 0
2

, a ? 0, 且b 2 ? 3ac

5. 4, ?11

f ' ( x)? 3x2 ? 2a x b ' f ( 1? ? , )

2? a

b ?

3 ?

0 ,f ( 1 ) a ? a b ? ?2 ? ? 1

10

? 2 a ? b ? ? 3 ? a ? ?3 ?a ? 4 ,? ,或 ? ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ? 2 ?b ? ?11 ? a ? a ? b ? 9 ?b ? 3
三、解答题 1.解: y ? 2 x, k1 ? y |x ? x0 ? 2 x0 ; y ? 3x , k2 ? y |x ? x0 ? 3x0
' ' ' 2 ' 2

k1k 2 ? ?1, 6 x 30 ? ?1, x ? ? 0

3

36 。 6

2.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

V ? (8 ? 2 x)(5 ? 2 x) x ? 4 x3 ? 26 x 2 ? 40 x
' V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ? 0, 得x ? 1, 或x ?

10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V ( 1 ) 1,在定义域内仅有一个极大值, ? 8 ?V最大值 ? 18
3.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

20

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10
? ? ? ? 1 3 b ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

4.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta ? ? k (t 2 ? 3)a ? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b

1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4
所以增区间为 (??, ?1),(1, ??) ;减区间为 (?1,1) 。

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.A 2.A 3.B

导数及其应用

[提高训练 C 组]

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?
对称轴 ?

b ? 0, b ? 0, f ' ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
' '

4. 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 , C 函数 f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; x ? 1时, f ( x) ? 0 , f ( x) 当 在 (??,1) 上是减函数,故 f ( x) 当 x ? 1 时取得最小值,即有

f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
5. A 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , y ? x 在某一点的导数为 4 , 即
4

而 y? ? 4 x ,所以 y ? x 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0
3 4

6.A

极小值点应有先减后增的特点,即 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
' ' '

二、填空题 1. 6

f ' ( x)? 3x2 ? 4c x 2c , 'f ( 2? 2c? 8? 1 ? ? ) c 2 y ' ? 2 ? c o x ? 对于任何实数都成立 s 0

0c, , c ? 2 时取极小值 ? 或 2, 6

2. (??, ??) 3.

? 6

f ' ( x) ? ? sin( 3x ? ? )( 3x ? ? )' ? ? 3 sin( 3x ? ? )
21

? f ( x)? f ( x) 2 c o s ( x? ? ? ?3 3
要使 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,需且仅需 ? ? 即: ? ? k? ? 4. (7, ??) 5. 2n?1 ? 2

?

)

?
3

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

?
6

, k ? Z 。又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? ?

?
6



x ? [?1,2] 时, f ( x )m a x? 7
y/
x?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 :y , ?

n

2 ? ?

? 1 n

2? n ?
n

?

2 ?( ,2 ) x

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以 数列 ? 三、解答题 1.解: y ? (1 ? cos 2 x) ? (2cos x) ? 8cos x
3 2 3 6

an ? 2n ,则 n ?1

2 ?1 ? 2n ? ? an ? ? 2n ?1 ? 2 的前 n 项和 S n ? ? 1? 2 ? n ? 1?

y ' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x)

? ?48sin x cos5 x 。
2.解:函数的定义域为 [?2, ??) , y ?
'

1 1 1 1 ? ? ? 2x ? 4 2 x ? 3 2x ? 4 4 x ? 12

当 x ? ?2 时, y ? 0 ,即 [?2, ??) 是函数的递增区间,当 x ? ?2 时, ymin ? ?1
'

所以值域为 [?1, ??) 。 3.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? (? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x) 极大值 ? 极小值 ? f ( x) ? 2 2 所以函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? ,1) ; 3 3 1 2 2 2 22 3 (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f (? ) ? ?c 2 3 3 27
由 f (? ) ?
'

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ? [?1, 2]
2

恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2

22

x 2 ? ax ? b 4.解:设 g ( x) ? x
∵ f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数.

∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x) 满足题设的两个条件.

(数学选修 2-2)第二章
一、选择题 1.B 2.D 3.D

推理与证明

[基础训练 A 组]

5 ? 2 ? 3,11 ? 5 ? 6, 20 ?11 ? 9, 推出 x ? 20 ? 12, x ? 32

1 1 1 a ? ? b ? ? c ? ? ?6 ,三者不能都小于 ?2 b c a ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ??? ? ? ① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ;② 2BC ? DC ? AD ? DC ? AC
? ③ F E? E D ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? F D A C 2E D? F A F C F ? ,都是对的 ? ;④ ? ? A AC

4.D

T?

2? ? ? ? , [ 0 , 已经历一个完整的周期,所以有最大、小值 ] 4 2 2

5.B 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5 6.C

log 2 [log3 (log 4 x)] ? 0, log3 (log 4 x) ? 1, log 4 x ? 3, x ? 43 ? 64 log3[log 4 (log 2 x)] ? 0, log 4 (log 2 x) ? 1, log 2 x ? 4, x ? 2 4 ? 16

log 4 [log 2 (log3 x)] ? 0, log 2 (log 3 x) ? 1, log 3 x ? 2, x ? 9

x ? y ? z ? 89
7.D

y?

1 ? 1 1 ?3 1 1 1 ? x 2 , y' ? ? x 2 ? ? , y '(4) ? ? ?? 2 16 x 2x x 2? 4 4

二、填空题
1. n ? n ? 1 ? ... ? 2n ? 1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ? 1) , n ? N
2 *

注意左边共有 2n ? 1 项

2. 1

1 1 1 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 有最小值,则 a ? 0 ,对称轴 x ? , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 a a a 1 1 2 1 1 2 2 即 f ( ) ? a ? ( ) ? 2 ? ? a ? ? 0, a ? ? ?1, a ? a ? 2 ? 0, (a ? 0) ? a ? 1 a a a a a
23

3. x ? y 4. 155 5.1000

y 2 ? ( a ? b )2 ? a ? b ?

2(a ? b) ( a ? b ) 2 ? ? x2 2 2

512lg 2 ? m ? 512lg 2 ? 1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N * , m ? 155
前 10 项共使用了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 10 ? 55 个奇数,a10 由第 46 个到第 55 个奇数

的和组成,即 a10 ? (2 ? 46 ? 1) ? (2 ? 47 ? 1) ? ... ? (2 ? 55 ? 1) ?

10(91 ? 109) ? 1000 2

三、解答题
1. 若 ? , ? , ? 都不是 90 ,且 ? ? ? ? ? ? 90 ,则 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1
0
0

2.证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ? bn ? c ? 0, (n ? Z )
2

而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a, b, c 同时为奇数‘ 或 a, b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, a n ? b n 为偶数;当 n 为偶数时,
2 2 2 也为偶数,即 a n ? b n 为奇数,与 a n ? b n c 0 矛盾。 a n2 ? b n ? c ? ?

无整数根。 ? f ( x )? 0 3.证明:要证原式,只要证

a ? b ? c a? b? c c ? ?3 ,即 ? a? b b? c a b ?

a b ?

?1 c

即只要证

bc ? c 2 ? a 2 ? ab , a ? 1, 而 A ? C ?2 B B? 6 00 ,2b ? 2 ? 2c ? a c ab ? b 2 ? ac ? bc b? 2 c 2 a c ? ? ab ? 2 2 ab a ? ? ? ac ? c c ? a ? 2c ?c2 ?a b ab ? 1 2 2 b c ? a b? a ? c bc

?

2 2 b c? c ? a ? a b ? 2 a b? b ? a c b c ?

4.解: (1)由对称轴是 x ?

?
8

4 3 而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? 4 3 ? 3 ? (2) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 4 2 4 2 ? 5? ? 5? ,增区间为 [k? ? ,k? ? k? ? ? x ? k? ? ] ,k ( Z ) ? 8 8 8 8 3 3 ' (3) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), f ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 , 4 4 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 ? 2 ,即直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线。 2

,得 s i n ( ? ? ? ? )

?

?

1 , ? ? k? ? ? ? k? ? , ? , 4 2 4

?

?

(数学选修 2-2)第二章
一、选择题

推理与证明
24

[综合训练 B 组]

1.C

f (1) ? e0 ? 1, f (a) ? 1 ,当 a ? 0 时, f (a) ? ea ?1 ? 1 ? a ? 1 ;
当 ?1 ? a ? 0 时, f (a ) ? sin ? a ? 1 ? a ?
2 2

1 2 ,a ? ? 2 2

2.B

令 y ? x cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ? x sin x ? 0 ,
' '

由选项知 x ? 0,?sin x ? 0, ? ? x ? 2? 3.C 4.B 5.B 令 a ? 6 cos ? , b ? 3 sin ? , a ? b ? 3sin(? ? ? ) ? ?3

x ? (0, ??) ,B 中的 y ' ? e x ? xe x ? 0 恒成立

6.A

a c a c 2a 2c ? ? ? ? ? x y a?b b?c a?b b?c 2 2 2ab ? 4ac ? 2bc 2ab ? 4ac ? 2bc ? ? ?2 ab ? b2 ? bc ? ac ab ? ac ? bc ? ac A? B ? 10 ?11 ? 110 ? 16 ? 6 ? 14 ? 6E
ac ? b2 , a ? b ? 2 x, b ? c ? 2 y ,

二、填空题
1. ?3, ?5, ?6 Sn ? na1 ?

n(n ? 1)d d 2 d ? n ? (a1 ? )n ,其常数项为 0 ,即 p ? 3 ? 0, 2 2 2 d 2 d d d p ? ?3 , Sn ? ?3n2 ? 2n ? n ? (a1 ? )n, ? ?3, d ? ?6, a1 ? ? ?2, a1 ? ?5 2 2 2 2
lg( xy) ? lg( x ? 2 y)2 , xy ? ( x ? 2 y) 2 , x 2 ? 5 xy ? 4 y 2 ? 0, x ? y, 或x ? 4 y
而 x ? 2 y ? 0,? x ? 4 y, log
2

2. 4

4?4

3. 3 2

f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 1 1 2x ? 1? x ? x ? 2x ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 2x

?

2 2x 2 x2 ? 2 ? ? ? x 2 ? 2x ? 2 2 ? ?2 x 2 ? 2 ? 2 2 2

f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ? [ f (?5) ? f (6)] ? [ f ( ?4) ? f (5)] ? ... ? [ f (0) ? f (1)] ?
4. 0

2 ?6 ? 3 2 2

f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 0, f (2) ? f (?1) ? 0, f (3) ? f (?2) ? 0 f (4) ? f (?3) ? 0, f (5) ? f (?4) ? 0 ,都是 0

5. 0

f ' ( x) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b), f ' (a) ? (a ? b)(a ? c) ,
25

f ' (b) ? (b ? a)(b ? c), f ' (c) ? (c ? a)(c ? b) ,

a b c a b c ? / ? / ? ? ? f (a) f (b) f (c) (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a )(c ? b)
/

?

a(b ? c) ? b(a ? c) ? c(a ? b) ?0 (a ? b)(a ? c)(b ? c)

三、解答题
1.解: 一般性的命题为 sin 2 (? ? 60? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60? ) ? 证明:左边 ?

3 2

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 1200 )] 2 3 ? 2 ?
所以左边等于右边 2.解: 11...1 ? 22...2 ? 11...1?10 ? 11...1 ? 22...2 ? ? ? ? ?
n 2n n n n n

? 11...1?10n ? 11...1 ? 11...1? (10n ? 1) ? ? ?
n n n

? 11...1? 9 ?11...1 ? 3 ?11...1 ? 33...3 ? ? ? ?
n n n n

3.解: Va ? ? b a ? ? ab ? b,Vb ? ? a b ? ? ab ? a,

1 2 1 1 2 1 3 3 3 3 1 ab 1 ab ab Vc ? ? ( )2 c ? ? ab ? , 因为 a ? b ? c ,则 ?a?b 3 c 3 c c

?Vc ? Vb ? Va
4.证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0 ,

? x y ) 而 a ? b? c ( ? 1 ) ? ( ? 1?
2 2

?z (

2

? ? ? ? ?3 ? , 0 1) ? 3

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,

? a, b, c 中至少有一个大于 0 。

(数学选修 2-2)第二章
一、选择题 1.B

推理与证明
2

[提高训练 C 组]
2

令 x ? 10, y ? ?10 , " xy ? 1" 不能推出 " x ? y ? 1" ;

26

反之 x 2 ? y 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? xy ? 2.C
3 2

1 ?1 2

函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 图象过点 (0, 0), (1, 0), (2, 0) ,得 d ? 0, b ? c ? 1 ? 0,

4b ? 2c ? 8 ? 0 ,则 b ? ?3, c ? 2 , f ' ( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c ? 3x 2 ? 6 x ? 2 ,且 x1 , x2 是
函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的两个极值点,即 x1 , x2 是方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的实根
3 2

2

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 4 ?
3.B

4 8 ? 3 3

P ? log11 2 ? log11 3 ? log11 4 ? log11 5 ? log11 120 , 1 ? log11 11 ? log11 120 ? log11 121 ? 2 ,即 1 ? P ? 2

4.D 5.B

画出图象,把 x 轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? ?? ?? ? AB AC ??? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), AP ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? (e1 ? e2 ) ? ? AB AC AB AC

AP 是 ?A 的内角平分线
? (a ? b) ? (a ? b)(?1) ? a, ( a ? b) ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b ) ? ? 2 ?? 2 ? (a ? b) ? (a ? b) ? b, (a ? b) ? ? 2
令3
? x ?2
? x?2

6.D

7.D 方程 9

? t , (0 ? t ? 1) ,则原方程变为 t 2 ? 4t ? a ? 0 ,

? 4?3
2

? x ?2

? a ? 0 有实根的充要条件是方程 t 2 ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有实根
2

再令 f (t ) ? t ? 4t ? a ,其对称轴 t ? 2 ? 1,则方程 t ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有一实根, 另一根在 t ? (0,1] 以外,因而舍去,即 ?

? f (0) ? 0 ??a ? 0 ?? ? ?3 ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ??3 ? a ? 0

二、填空题
1. 35

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 4, a5 ? 1, a6 ? 6,..., a9 ? 1, a10 ? 10 S10 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 6 ? 1 ? 8 ? 1 ? 10 ? 35

2. (1, e), e

设切点 (t , e ) ,函数 y ? e 的导数 y ? e ,切线的斜率
t

x

'

x

et k ? y |x ?t ? e ? ? t ? 1, k ? e, 切点 (1, e) t
' t

27

3. (1 ?

2 2 ,1 ? ) 2 2

3 ? 2 k ? 2k ? ? 1 ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? x,? 0 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ,即 ? 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? ? 2

1 ? 2 ? ?k ? 2k ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? k ? 1 ? 2 2 2 ? ? k ? 1? ?? ?? 2 2 ,?1 ? 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? R ? ? ? 2
4. f (2n ) ? 5. f (n) ?

n?2 2
f (n) ? (1 ? 1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 2 2 3 (n ? 1) 2

n?2 2n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 n ?1 n ?1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2

三、解答题
1.证明:?

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b?b?c ? ? ? a ?b b?c a ?b b?c
b ? c a? b ? ? ? 2 2 a ? b b? c b c a ? ? ? a b b ? ? b ? (a ? b ? c) 4 , c

?2 ?

?

a? c a c ? 1 1 4 ? ?4? , ? ? . a? b b c ? ? b ?b c ? a c a

2.证明:假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列 为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 再构造一个整数 N ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ?11? ... ? P ? 1 , 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,…… N 不能被 P 整除, 即 N 不能被 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除, 所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾, 即质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的 3.证明: sin A ? sin B ? sin C ? sin

?

3 A? B C ? ?2 sin ? 2 sin( ? ?) 2 2 6

? 2sin

A? B A? B C ? C ? cos ? 2sin( ? ) cos( ? ) 2 2 2 6 2 6 A B C? ? ? A B C? ? ? 4 sin( ? ) cos( ? 4 12 4 12

)

28

A ? B? C ? ?4 sin( ? ) 4 12 ? 4 s i n (? ?) 4 12

?

?

4 sin 3

?

A? B ? ? ?c o s 2 ? 1 ?A ? B ? ? C ? ? ? ? ? 1 ) 当且仅当 ?c o s ( ? 时等号成立,即 ?C ? 2 6 3 ? ? A? B ?C ? ? ? ? ? ) ?1 ?cos( ?A ? B ? C ? 3 4 12 ? ?
所以当且仅当 A ? B ? C ? 所以 Tm a x? 3sin

?
3

时, T ? sin

?
3

的最大值为 4sin

?
3

?
3

?

3 3 2

4.证明: 10 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ?

( 1? 1 ) (?2 1 ) ? 1 ,即原式成立 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 20 假设当 n ? k 时,原式成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? 6 k ( k? 1 ) ( 2? 1 ) k 2 2 2 2 当 n ? k ? 1 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? k? 1? ( )2 ? k( ? 6
k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ( k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) ? 6 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 ?
即原式成立

12)

?12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

(数学选修 2-2)第三章

复数

[基础训练 A 组]

一、选择题 1.A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数; (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 是错误的,因为没有表明 x, y 是否是实数; (4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应 2.D

1 i2 ?1 3 ?2 (i ? i ?1 )3 ? (i ? )3 ? ( ) ? ( )3 ? (2i)3 ? ?8i ,虚部为 ?8 i i i
z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z 2 为实数不能推出
?

3.B

z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数
29

?

4.A

i 4 (1 ? i 9 ) i 4 (1 ? i) 4 z1 ? ? ? i ? 1, z2 ? i 4?5?6?7 ?...?12 ? i 72 ? 1 1? i 1? i
(1 ? i)20 ? (1 ? i)20 ? [(1 ? i)2 ]10 ? [(1 ? i) 2 ]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0

5.C 6.B

1 f (0) ? i 0 ? i 0 ? 0, f (1) ? i ? i ?1 ? i ? ? 2i, f (2) ? i 2 ? i ?2 ? 0, f (3) ? i 3 ? i ?3 ? ?2i i

二、填空题
1. 4,5,3

z , z , z , z 2 四个为虚数; z , z , z ? z , z , z 2 五个为实数;
2 ? ? ?

? ?

?

?

z ? z , z ? z , z ? z ? z 三组相等
2

2.三 3. k? ?

3 ? a ? 5 , a 2 ? 8a ? 15 ? (a ? 3)(a ? 5) ? 0, a 2 ? 5a ? 14 ? (a ? 2)(a ? 7) ? 0
?
2 ,k ?Z sin 2? ? 0,1 ? cos 2? ? 0, 2? ? 2k? ? ? , ? ? k? ?

?
2

,k ?Z

4. 15

log 2 (m2 ? 3m ? 3) ? 2 log 2 (m ? 3) ? 1 ? 0, log 2 m2 ? 3m ? 3 1 ? , m ? ? 1 5而m ? , (m ? 3 2 ) 2

m2 ? 3m ? 3 ? ?1 (m ? 3) 2 15

m,? ? 3

5. 125 6. i

z ? z ? z ? (2 ? i)3 ? ( 5)6 ? 125
2

?

2

z?

2 1? i 1 0 0 1? i ? , z ? z 5 0? ? 1 ( ) 1? i 2 2

100

1? i ?( ) 2

50

?1

2i 2i 5 5 2 ? ( )5 0 ? ( ) 2 ? 1 ? i ?0i ?215? i ? i ? 1 ? i 2 2
7. 1 0 0 0 ?
2 记 i ? 2 i 1 0i0 0 S ? i ?2 2 ?3 3i ? ? 0 0 0 0 0 0

i S ? 2 ?2 3i ?3 4 ? ? 9 9 92 0 0 0 ? 2 0 0i02 0 0 1 i i? 1 i

(1 ? i) S ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? ? ? i 2000 ? 2000i 2001 ?

i(1 ? i 2000 ) ? 2000i 2001 ? ?2000i 1? i

S?

?2000i ? 1000 ? 1000i 1? i

三、解答题
1.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1 得 a ? b ? 1 ;
2 2

30

(3 ? 4i)?z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

4 4 ? ? ? ?a ? ? 5 ? 4 3 ? a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 5 4 3 ? ? , z ? ? i, 或 ? ? i ?? ,或 ? ? 5 5 5 5 ?3a ? 4b ? 0 ?b ? 3 ?b ? ? 3 ? ? ? 5 5 ? ?
2.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z , 即 a ? b ? 1 ? 3i ? a ? bi ? 0
2 2

则?

? a 2 ? b2 ? a ? 1 ? 0 ? ?b ? 3 ? 0 ?

? a ? ?4 ?? , z ? ?4 ? 3i ?b ? 3

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i

(数学选修 2-2)第三章
一、选择题 1.B

复数

[综合训练 B 组]
? ?

z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di,(a, b, c, d ? R), z1 z2 ? z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (a ? bi)(c ? di)
? 2ac ? 2bd ? R

2.B

?m

2

2 m? X ??( b)i? ? ? ? ( b 且 ? ? 2b ? ,R

b0 ) ?

3.D

(? 1 ? 3 3) ? 2? i i ? 1 ? i33 ? ?( ) ? 6 ( 1? i ) ? i2 1 i2

(? 2? ) ( ? 2 ) ? ? 3i 3 i 1 i 1 3 1i ?( ) ( )? 5 2 i 5

5

? i ?i ? i 2
4.C

z ? 3i ?

3zi ? 1 0 ,? ? z

1? 3 i 1 3 ?? ? i ? ? , z ? z 2 ? ? ? ? 2 ? ?1 2 2 1 ? 3i

5.A

z?

3? 3 i 3? 3 1 i 3 ? ? ? i 2 2 ?2 3i 2 3
2 2 2 2

6.C 7.B

z1 ? z2 ?2 ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 ? , z1 ? z2 ? 3 3

? 4 ? ? 2 ?1 ? ? ? ?2 1 ? ? 0

8.C 二、填空题 1. 5 2.

8 3

3. 1 ? i

4. 2 ? i

5. 0

6.二

7. 1 ?

3 i 2

8. ?1

9. ?6 10. ?2

31


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