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2-1.2.5圆锥曲线与方程复习小结--椭圆标准方程与几何性质


高二数学学案

高二数学组

一.复习目标:熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及重要结论. 二.知识要点: 1、 椭圆及标准方程:标准方程有两种,注意焦点在坐标轴上的确定;有时标准方程可以 改写为 =1;标准方程有时可以用待定系数法求得。

2、 椭圆中的四线:两对坐标轴,两对准线;六点:两个焦点,四个顶点;<

br />
3、 弦长公式:|AB|=

4、 椭圆中的点对焦点的张角的变化情况:

5、 点代作差结论:

6、 焦点三角形的面积:

tan

7、 特殊的焦点弦:通径=

8、 椭圆中的最值问题: (1) 、椭圆上的点到椭圆外的直线距离有最大值和最小值;

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(2) 、椭圆上的点到椭圆内的点及椭圆的焦点的距离之和有最大值和最小值;

(3) 、 A 为椭圆内的点, F 为椭圆的一个焦点, M 是椭圆上动点, 则存在 M, 使得|MA|+ |MF| 有最小值;

(4) 、 A 为椭圆内的点, F 为椭圆的一个焦点, M 是椭圆上动点, 则存在 M, 使得|MA|-|MF| 最大;

9、椭圆的焦半径: 左: = a+e = a-e

10、有关椭圆中向量的最值问题 P 是椭圆上的点,则 (1)、| || |=(a+e )( a-e )= .

(2)、|

|:(|

| =

=

+

+2

=

+

+2|

||

|(

)=

+4

-2(

)=4

+

.

(3)、

+

(或

+



.

(4)、

=|

||

|(

)=

-(

)=

- +

.

三、椭圆精典题型:

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1、 已知椭圆 A.2 2、 椭圆

x2 y2 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为 16 9
B.3 C.4 D.5

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 F,O 是坐标原点,点 P 在椭圆上,且 | PF |? 4 ,M 是线段 25 16

PF 的中点,则 | OM | =___________; 3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 ?ABC 顶 点 A(? 4, 0)和 C (4, 0) , 顶 点 B 在 椭 圆

x2 y 2 sin A ? sin C ____. ? ? 1 上,则 ? sin B 25 9
4、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于( ) m 4
B.8 C.5 D. 5 或 3

A.5 或 3

x2 y2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 ( 5、 已知方程 2 ? m 2?m
A. m ? 2 或 m ? ?1 C. ?1 ? m ? 2
2 2

)

B. m ? ?2 D. m ? 2 或 ?2 ? m ? ?1

6、 “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 7、 椭圆 (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y2 1 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率 e ? , 则 2 2 m n
( ) B.

椭圆的标准方程为 A.

x2 y2 ? ?1 12 16

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 48 64

D.

x2 y2 ? ?1 64 48

8、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有两个顶点在直线 x ? 2 y ? 2 上,则此椭圆的焦点坐标是( ) a 2 b2

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A. (? 3,0)

B. (0, ? 3)

C. (? 5,0)

D. (0, ? 5)

9、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,且经过点 A ( ?1, ) ; (1)求满足条件的椭圆方程;(2)求该椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率. 10、椭圆

3 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 过焦点 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点 , 16 9

则 ?ABF2 的周长是_____;若 ?ABF2 的内切圆的面积为 ? , A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为______. 11、 点 P( x, y) 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(0 ? b ? 2) 上的动点,则 x 2 ? 2 y 的最大值为( 4 b b2 4
C.4 D. b 2

)

A. 4 ?

b2 4

B.

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, 12、 P 为椭圆 M、 N 分别是圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 4 3
上的点,则|PM | + |PN |的最大值为_____________ . 13、 已知 A(4,0), B (? 3, 3)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 内的点, M 是椭圆 25 9

上的动点,则 MA ? MB 的最大值是_______. 14、 如图把椭圆
x2 y 2 + = 1 的长轴 AB 分成 8 等 25 16

分,过每个分点

作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,…,P7 七个点,F 是椭圆的 焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=

求离心率: 15、 如图,用与底面成 30 ? 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心 率为 ( )

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A.

1 2

B.

3 3
1 5

C.

3 2

D.非上述结论

16、 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.

4 5

B.

3 2 C. 5 5

D.

17、

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点为 A、B、C、D,若菱形 ABCD 的内 a b
)

切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是(

3? 5 A. 2

3? 5 B. 8

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 8

18、 椭圆的两个焦点为 F1 、 F2 ,短轴的一个端点为 A ,且三角形 F 的等 1 AF 2 是顶角为 120? 腰三角形形,则此椭圆的离心率为_____________. 19、 如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A, D 为椭圆的两 个焦点,其余四个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率的值是 ___________________. A B C F E D

x2 y2 20、 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 做 x 轴的垂 a b

线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 ?F1 PF2 =60° ,则椭圆的离心率为( )

A.

2 3 B. 2 3

C.

1 2

D.

1 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , M , N 是椭圆上关于原点对称的两点, P 是椭圆上任 a 2 b2 1 意一点,且直线 PM 、PN 的斜率分别为 k1、k2 ,若 k1k 2 ? ,则椭圆的离心率为( ) 4
21、已知椭圆 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 3

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22、在平面直角坐标系 xOy 中 , 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 2 c, 以点 O 为 a2 b2

圆心 , a 为半径作圆 M , 若过点 P (

a2 ,0) 作圆 M 的两条切线互相垂直 , 且切点为 A , B , 则 c

|AB |=_____, 该椭圆的离心率为 ____. 23 、 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , 点 B 在椭圆上 , 且 a 2 b2
)

BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(
A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

24、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P , F1 、 F2 为焦点,若 ?PF1F2 ? 75 , ?PF2 F1 ? 15 ,则 a 2 b2

椭圆的离心率为 (A)

6 3

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3

25、 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存 a 2 b2

在一点 P 使 焦点三角形:

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为___________. ? sin PF1F2 sin PF2 F1

x2 y 2 26、以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 )上一动点 P,当 ?F1PF2 最大时 ?PF1F2 a b
的正切值为 2,则此椭圆离心率 e 的大小为______?

M 总在椭圆内部,则椭圆 27、 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
离心率的取值范围是( )

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A. (0,1)

B. (0, ]

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

28、 已知 F1、F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 a 2 b2

PF1 ? PF2 ?若 ?PF1F2 的面积为 9,则 b ? ____________.
29、 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( ) A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

30、已知点 P 在椭圆 则这样的点 P 有 A2个 31、 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,?F1 PF2 是直角三角形, 40 20
B4 个 C6个 D8 个

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2 , P 为椭圆上的一点, 已知 PF 则△ F1 PF2 1 ? PF 2, 25 9

的面积为__________ . 习题解析: 1、 D 2、 3 3、

5 4

4、 A

5、 D 6、 C 7、 B

8、 A

x2 y2 9 、 (1) 当 焦 点 在 x 轴 时 , 设 椭 圆 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 c=1, 焦 点 坐 标 为 a b

3 3 F1 (?1,0) , F2 (1,0) , 2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? (?1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? ( ) 2 = 4, 2 2
2 2 2 a=2,∴b ? a ? c ? 3 . ∴ 椭圆方程为

x2 y2 2,0),(0,± 3 );长轴长:4; ? ? 1 ; (2) 顶点坐标:(± 4 3

短轴长:2 3 ;离心率 e ? 14、 35.

1 8 7 10、 16, 11、 A 12、 713、 12 2 7

设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系 x1+x2+…+x7=0,于是

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|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填 35.


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