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【高考数学】圆锥曲线典型例题整合


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a ,且 此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线 中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值” 与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹 不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条 件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A . PF B . PF C . PF 1 ? PF 2 ? 10 1 ? PF 2 ? 4 1 ? PF 2 ?6 D. PF1
2

? PF2

2

; (2)方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线 ? 12 (答:C)

的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ,且“点点距为分子、点线距为分母” ,其商即 是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值 4

是_____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 点在 y 轴上时

x2 y2 ? a cos ? ? ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ? x ,焦 2 y ? b sin ? (参数方程,其中 为参数) a b

?

y2 x2 2 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A, 2 a b 1 1 x2 y2 (?3, ? ) (? , 2) ) B, C 同号, A≠B) 。 如 (1) 已知方程 则 k 的取值范围为____ (答: ; ? ? 1 表示椭圆, 2 2 3? k 2? k (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 ) x2 y2 y2 x2 2 2 y ? ? 2 =1 =1 , 焦点在 轴上: ( a ? 0, b ? 0 ) 。 方程 Ax ? By ? C 2 2 2 a b a b x2 y2 5 表示双曲线的充要条件是什么? (ABC≠0, 且 A, B 异号) 。 如 (1) 双曲线的离心率等于 , 且与椭圆 ? ?1 9 4 2 x2 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: ? y 2 ? 1 ) ; (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴 4 上,离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) (3) 抛物线: 开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 开口向上时 x2 ? 2 py( p ? 0) ,
(2) 双曲线: 焦点在 x 轴上: 开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦 m ?1 2 ? m

点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: ( ?? ,?1) ? (1, ) ) (2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭圆、双曲线 的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小, 是椭圆、 双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时, 首先要判断开口方向; (2) 在椭圆中,a 最大,a ? b ? c ,
2 2 2
2 2

3 2

在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。 4.圆锥曲线的几何性质:
2 2 2

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) 为例) : ①范围:?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; ②焦点: 两个焦点 (?c, 0) ; a2 b2 ③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴
(1) 椭圆 (以

c a2 长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大, a c 2 2 25 x y 10 椭圆越扁。如(1)若椭圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; (2)以椭圆上一点和 ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5 椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) (2)双曲线(以 :①范围: x ? ? a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两个焦点 a 2 b2 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚 轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线: c a2 ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越 a c b 大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等 a 1 13 13 2 2 于______(答: 或 ) ; (2)双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = (答: 4或 ) ; 4 2 3 x2 y2 (3) 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 中, 离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值范围是________ (答: a b ? ? [ , ]) ; 3 2 p (3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 的几 2 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线: p c 2 一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为 a 2
两条准线 x ? ? ________(答: (0,

1 ; )) 16 a

2 2 x0 y0 x2 y2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1; ( )的关系 : ( 1 )点 在椭圆外 (2) P ( x , y ) ? 0 0 a 2 b2 a2 b2 2 2 2 x 2 y0 x0 y0 ? ? ?1 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 = 1 ; ( 3 )点 在椭圆内 P ( x , y ) ? 2 0 0 a b2 a2 b2

5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1) 相交:? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交, 但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, 故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件, 但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴 平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 如 (1) 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是_______ (答: (2 2

15 ,-1)) ; 3

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞) (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 ) ; 5 m x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答: (3)过双曲线 1 2
3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与

双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P a2 b2

点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支 相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是 切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条 切线和一条平行于对称轴的直线。 如 (1) 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答: 2 ) ; ( 2 ) 过点 (0,2) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 ______ (答: 9 16

? y2 ? 4 4 5? ? 2 ; (3)过双曲线 x ? ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足条件 ?? , ? ?) 3 3 2 ? ? ? ? 2 的直线 l 有____条(答:3) ; (4)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内
部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离) ; (5) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则

x2 y2 1 1 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右 ; (6)设双曲线 ? ? _______(答:1) 16 9 p q 支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于) ;

8 13 ) ; (8)直线 y ? ax ? 1 与双曲 13 线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为
(7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答: 直径的圆过坐标原点?(答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ; 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线 的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆 椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为____(答:

?

?

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到 25 16

35 2 ) ; (2)已知抛物线方程为 y ? 8x ,若抛物线上 3 一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,
则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) ) ; (4)点 P 在椭圆 离的两倍,则点 P 的横坐标为_______(答:

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距 25 9

25 ) ; (5)抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则 12 x2 y2 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______(答:2) ; (6)椭圆 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭 4 3
圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: (

2 6 ; ,?1) ) 3

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定 理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r 1, r 2 ,焦点 ?F 1 PF2 的面积为 S ,则在 椭圆

x2 y2 2b 2 ? ? ? 1 中 , ① = arccos( ? 1) , 且 当 r1 ? r2 即 P 为 短 轴 端 点 时 , ? 最 大 为 ? a2 b2 r1r2

m a x=

? b2 ? c2 2 arccos ;② S ? b tan ? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 2 2 a 2 2 ? 2b 2 ? 1 ? x y 2 ? ? ? ? 1 的焦点三角形有:① ;② S ? r1 r2 sin ? ? b cot 。如(1)短轴长为 5 , ? ? arccos 1? 2 2 ? ? 2 2 a b ? r1r2 ?

离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为________(答: 3

6) ; (2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的 则该双曲线的方程为 (答: x ? y ? 4 ) ; (3)椭圆 9 4 3 5 3 5 → → 动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的横坐标的取值范围是 (答:(? ; (4)双曲线的虚轴长 , )) 5 5 6 为 4,离心率 e= ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 ) ; (5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P
2 2

为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? , S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ? ?1) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 : (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 , B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行 于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB =

1 ? k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 k2

x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长
公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ;

x2 y2 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 2 ? 2 ? 1 中, a b 2 2 2 b x x y 以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直 a b a y0

b 2 x0 p 线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。如(1)如 y0 a y0
x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ; (2) 36 9 x2 y 2 已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上, a b 2 x2 y2 则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; (3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆 ? ? 1 上有不同的两点关 4 3 2 ? 2 13 2 13 ? 于直线 y ? 4 x ? m 对称(答: ? ? ; ? 13 , 13 ? ?) ? ? 特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验 ? ? 0 !
果椭圆 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; 2 2 2 2 a b a b

(2)以 y ? ? 0)。如与双曲线

b x2 y2 x2 y2 x 为渐近线(即与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠ a a b a b

4x2 y 2 x2 y2 ? ? 1) ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______(答: 9 4 9 16

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ;

2b 2 b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 , a c 抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ; ② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) 13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x , y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ;如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距 离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答: y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4 x(0 ? x ? 3) ); ② 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待 定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对 称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y 2 ? 2 x ) ; ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1) 由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为
0

(答: x2 ? y 2 ? 4 );(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹 方程是_______ (答: y 2 ? 16 x );(3) 一动圆与两圆⊙M: x 2 ? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切, 则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上, 则可先用 x , y 的代数式表示 x0 , y0 , 再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上

1 ); 3 ⑤参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x , y 均用一中 间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上 一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x2 ? y 2 ? a | y | );
任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ?
? ??

(2) 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, 则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____ (答:y ? 2 x ? 1(| x |?
2

1 )) ; 2

(3)过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________(答:
2

x2 ? 2 y ? 2 );
注意: ①如果问题中涉及到平面向量知识, 那么应从已知向量的特点出发, 考虑选择向量的几何形式进行 “摘 帽子或脱靴子”转化, 还是选择向量的代数形式进行 “摘帽子或脱靴子”转化。 如 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 (-c, 0) 、 F2 (c, 0) , a2 b2

Q是 段

椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (1)设 x 为点 P 的横坐标,证明

c x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上, a 2 是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (答: (1)略; | F1 P |? a ?

(2) x2 ? y 2 ? a 2 ; (3)当

b2 b2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) c c

②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹 的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构 造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数

?

?

?

?, 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
OA ? ? OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 AP ? ? PB 1? ? (7) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ? AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是锐角, ? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ? AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形;
(6) 给出 OP ? (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角 形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三 条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心是 三角形三条高的交点) ; (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ?
2 2 2

?(

AB AC ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; | AB | | AC |

(15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

?

?


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