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《3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义》教学案


《3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义》 教学 案 一、教学目标: 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义 二、教学重点: 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义 三、教学难点: 复数减法的运算法则 四、教学过程: (一)导入新课: 复数的概念及其几何意义; (二)推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题. 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、 复数的加法运算律: 交换律:z1+z2=z2+z1 结合律::(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 3、复数加法的几何意义: 设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为 OZ1 、OZ2 , b),OZ2 =(c, d)以 OZ1 、OZ2 即 OZ1 、OZ2 的坐标形式为 OZ1 =(a, 为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是 OZ , 由于 OZ = OZ1 + OZ2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),所以 OZ1 和 OZ2 的和就 是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 4、复数的减法运算法则: z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 5、复数减法的几何意义: 类似复数加法的几何意义,由于 z1- z 2=( a-c)+(b-d )i,而向量 Z 2 Z1 = OZ1 - OZ2 =(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d),所以 OZ1 和 OZ2 的差就是与复数(a-c)+(b-d) i对应的向量 6、例题讲解: 例1、计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 例2、已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求 AB 对应的复 数z,z在平面内所对应的点在第几象限? 解:由已知得:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z的实部a=-1<0,虚部b=1>0, ∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内. 点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对 应的复数所得的差.即 AB 所表示的复数是zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是zA-zB. 例3、复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形 的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一:利用 AD ? BC ,求点D的对应复数. 解法一:设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C,正方形的 第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),是: AD ? OD ? OA =(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i BC ? OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i ∵ AD ? BC ,即(x-1)+(y-2)i=1-3i, ∴? ?x ? 1 ? 1 ? y ? 2 ? ?3 ?x ? 2 ? y ? ?1 例2图 解得 ? 故点D对应的复数为2-i. 分析二:利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心, 于是有(-2+i)+(x+yi)=0, ∴x=2,y=-1. 故点D对应的复数为2-i.

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