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§5.3平面向量的数量积和运算律


§5.3平面向量的数量积和运算律

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高效梳理

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●平面向量的数量积 定义 (1)a· b=|a||b|cosθ (2)规定:0· a=0 a· 1x2+y1y2 b=x (1)a· a b=b· (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) (3)(a+b)· c+b· c=a· c

坐标表示 运算律

a在b方向上的投影

|a|cosθ

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a· b的几何意义

数量积a· b等于a的长度|a|与 b在a方向上的投影|b|cosθ的 乘积

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●与平面向量的数量积有关的结论 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). 结论 模 夹角 a⊥b的 充要条件 |a· b|与|a||b|的关 系 几何表示 |a|= a?a cosθ= a· b=0
a? b a b

坐标表示 |a|= cosθ=
2 2 x1 ? y 1

x1 x 2 ? y 1 y 2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

x1x2+y1y2=0

|a· b|≤|a||b|

|x1x2+y1y2|≤
2 2 2 2 x1 ? y 1 ? x 2 ? y 2

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●向量的数量积与数的乘法的区别 两向量的数量积是两向量之间的一种乘法,与数的乘法是有 区别的. (1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量 的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决

定.
(2)当a≠0时,由a· b=0不能推出b一定是零向量.这是因为对任 一与a垂直的非零向量b,都有a· b=0.

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(3)a· c?a=c. b=b·
(4)一般地,a· c)≠(a· c.这是由于b· (b· b)· c和a· b都是实数,而a与c 不一定共线. (5)对于实数a?b,有|ab|=|a|· |b|,但对于向量a?b,有|a· b|≤|a|· |b|.

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●利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问 题的处理方法 (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a· 2; b+b

(3)若a=(x,y),则|a|= x 2 ? y 2 .

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●两个向量的夹角

(1)定义:已知两个非零向量a和b,作

???? OA

=a,

??? ? OB

=b,则∠AOB称

作向量a与向量b的夹角,记作<a,b>. (2)范围:向量夹角<a,b>的范围是0≤<a,b>≤π,且<a,b>=<b,a>.

(3)向量垂直 : 如果 ? a, b ??

?
2

, 则a与b垂直,记住a?b .

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?需注意的问题 当两向量的夹角为钝角时,-1<cos<a,b><0,也就是cos <a,b> ? 1,这一点特别容易忽略,因为cos<a,b>=-1时, 两向量反向,所成角不是钝角,向量a, b的夹角与所在 ? ?? 直线的夹角的区别:前者取值范围是 ? 0,? ? , 后者是 ?0, ? . ? 2?

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?三角“五心”向量形式的充要条件 设O为?ABC所在平面上一点,角A、B、C所对边长分别 为a、b、c,则 ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ?1? O为?ABC的外心 ? OA ? OB ? OC ; ??? ??? ???? ? ? ? 2 ? O为?ABC的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0; ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? 3? O为?ABC的垂心 ? OA?OB ? OB?OC ? OC ?OA; ??? ? ??? ? ???? ? 4 ? O为?ABC的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0; ??? ? ??? ? ???? ? 5? O为?ABC的?A的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC.

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考点自测

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1.下列四个命题中真命题的个数为()

①若a· b=0,则a⊥b;
②若a· c且b≠0,则a=c; b=b· ③(a· c=a· c); b)· (b· ④(a· 2=a2· 2. b) b A.4

B.2
C.0 D.3

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解析:①a· b=0时,a⊥b或a=0或b=0.故①命题错. ②∵a· c,∴b· b=b· (a-c)=0,

又∵b≠0,∴a=c或b⊥(a-c),
故②命题错误. ③∵a· b与b· c都是实数,故(a· c是与c共线的向量,a· c)是与 b)· (b· a共线的向量, ∴(a· c不一定与a· c)相等. b)· (b· 故③命题不正确. ④∵(a· 2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2· 2=a2· 2,故④命题不 b) |b| b 正确. 答案:C
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2.若a与b-c都是非零向量,则“a· c”是“a⊥(b-c)”的() b=a· A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
解析 : a ?b ? a ? ? a ?? b ? c ? ? a ? ? a ? ? 0 ? a ? ?b ? c ?; c b c a ? ?b ? c? ? a? b ? c? ? 0 ? a? ? a ? ? 0 ? a ? ? a ? b c b c. ?

答案:C

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3.已知a ? ? 2,3? , b ? ? ?4, 7 ? , 则a在b上的投影为() A. 13 B. 13 5 65 C. 5 D. 65

答案:C

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4.已知|a|=1,|b|=

2

,且a⊥(a-b),则向量a与b的夹角是__________

解析 : a ? ? a ? b ? ,? a ? a ? b ? ? 0, ? ? 即a 2 ? a ?b ? 0,? a ?b ? 1. 设a与b的夹角为? , 则 a? b 1 2 cos? ? ? ? , a b 1? 2 2 ?? ?

?
4

.

答案 :

?
4
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5.已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且<a,b>为锐角, 则实数λ的取值范围是__________.
? ?? 解析: ? a, b ?? ? 0, ? , ? ? 2? ? a ? ? 0且a, b不同向. b 1 由a ? ? 0, 得 i ? 2? j ? 0, 得? ? . b 2 当a, b同向时,由a=kb ? k ? 0 ? 得? ? ?2.
2 2

1 ? ?的取值范围为? ? 且? ? ?2. 2

1 答案:? ? 且? ? ?2 2

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题型突破

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题型一tixingyi利用数量积求向量的夹角

1 1 b ?例1?已知 a ? 1, a ? ? , ? a ? b ?? a ? b ? ? . ? ? ? 2 2 求 : ?1? a与b的夹角;

? 2 ? a ? b与a ? b的夹角的余弦值.

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规律方法:本题也可用坐标法表示同量,或利用加法的几何意 义解答.

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创新预测1已知a?b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与 7a-2b垂直,求a与b的夹角θ.

解析:由已知:(a+3b)· (7a-5b)=0,(a-4b)· (7a-2b)=0.
即7a2+16a· b-15b2=0, 7a2-30a· b+8b2=0, 两式相减,得2a· 2. b=b 1 2 b a? b 2 1 ? cos ? ? ? ? , 故? ? 60?. 2 a b 2 b

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题型二tixinger利用数量积求向量的模
【例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算:①|a+b|;②|4a-2b|. (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
? 1? 解析:由已知,a ? ? 4 ? 8 ? ? ? ? ? ?16. b ? 2?

?1? ① ? a ? b ? a 2 ? 2a?b ? b 2
2

? 16 ? 2 ? ? ?16 ? ? 64 ? 48, ? a ? b ? 4 3. ② 4a ? 2b ? 16a 2 ? 16a ? ? 4b 2 , b
2

? 4a ? 2b ? 16 3.

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? 2 ? 若 ? a ? 2b ? ? ? ka ? b ? , 则 ? a ? 2b ?? ka ? b ? ? 0. ? ? ka 2 ? ? 2k ? 1? a ? ? 2b 2 ? 0, b 16k ? 16 ? 2k ? 1? ? 2 ? 64 ? 0,
? k ? ?7.

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规律方法:(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要
掌握此类问题的处理方法: ①|a|2=a2=a· a; ②|a±b|2=a2±2a· 2; b+b ③若a=(x,y),则|a|=
x2 ? y 2

.

(2)对于非零向量a,b,a⊥b ? a· b=0是非常重要的性质,它对于解 决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若两非零 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ? x1x2+y1y2=0.

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创新预测2已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|; (3)若
??? ? AB

=a,

???? AC

=b,求△ABC的面积.

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解析 : ?1?由? 2a ? 3b ?? 2a ? b ? ? 61, ? 得4 a ? 4a ?b ? 3 b ? 61.
2 2

? a ? 4, b ? 3, 代入上式, 求得a ?b ? ?6. ? cos? ? a? b ?6 1 ? ?? . a b 4?3 2 2? . 3
2 2

又 ? 0 ? ? ? ? ,?? ?
2 2

? 2 ? a ? b ? ? a ? b ? ? a ? 2a?b ? b ? 13.
? a ? b ? 13.

? 3?由?1? 知 ? BAC ? ? ?

??? ? ???? AB ? a ? 4, AC ? b ? 3. ? S ?ABC

2? , 3

? 1 ???? ??? ? AC AB sin ? BAC ? 3 3. 2
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题型三tixingsan利用数量积求解垂直问题 为直角,求k的值.

???? ??? ? 【例3】在△ABC中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC的一个角

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规律方法:三角形一内角为直角,不能确定哪个角为直角,因此 要分三种情况分别来解,在求解的过程中,要弄清直角应为哪 两个向量的夹角,然后求这个向量的坐标.

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创新预测3已知向量a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2,1? , k?t为正实 1 1 数, x ? a ? ? t ? 1? b, y ? ? a ? b.若x ? y, 求k的最大值. k t
2

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题型四tixingsi平面向量的数量积与三角函数的交汇 【例4】已知A?B?C的坐标分别为 A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα). (1)若α∈(-π,0)且|
???? ??? ? 2sin 2 a ? sin 2a (2)若 AC·BC =0,求
1 ? tan a

? ???? ??? |=| |,求角α的值; AC BC

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规律方法:向量与三角函数相结合是高考命题的热点,解题的
基本思路是,根据向量的基本运算对条件进行转化,然后通过 三角诱导公式或和差公式对式子进行化简,再求值或研究其 性质.

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创新预测4已知向量m=(2sinx,cosx),n=( 3 cosx,2cosx),定义
函数f(x)=loga(m· n-1)(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)确定函数f(x)的单调递增区间.
解析: ?因为m?n ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ?1

?? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1, 6? ?
? ? ?? 2? ? 所以f ? x ? ? log a ? 2sin ? 2 x ? ? ? , 故T ? ? ?. 6 ?? 2 ? ?

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?? ? 2 ? 令g ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? , ? 6? ? ? ?? ? 则g ? x ?的单调递增的正值区间是 ? k? ? , k? ? ? , 12 6? ? ? 5? ? ? k ? z , g ? x ?的单调递增减的正值区间是 ? k? ? , k? ? ? 6 12 ? ? , k ? z. ? 5? ? ? 当o ? a ? 1时,函数f ? x ?的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ?, 6 12 ? ? k ? z. ? ?? ? 当a ? 1时,函数f ? x ?的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 6? ?

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对接高考

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1.(2008· 宁夏)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则
λ=() A.-1 B.1 C.-2

D.2
解析:λa+b=(λ+4,-3λ-2). ∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)·a=10λ+10=0. ∴λ=-1. 答案:A

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2.(2008?湖南)在? ABC中, AB ? 3, AC ? 2, BC ? 10, ??? ??? ? ? 则AB?AC ? () 3 2 A. ? B. ? 2 3 2 C. 3 3 D. 2

答案:D

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3.(2009? 陕西)在? ABC中, M是BC的中点, AM ? 1, 点P在 ??? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? AM上且满足AP ? 2PM, 则AP? PB ? PC 等于()

?

?

4 A. 9

4 B. 3

4 C. ? 3

4 D. ? 9

答案:A

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4.(2009? 天津)若等边? ABC的边长为2 3, 平面内一点 ???? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ???? ???? ? M满足CM ? CB ? CA, 则MA?MB ? _______ . 6 3

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方法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐 标运算较为简单,建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件

即可知A(0,3),B(- 3 ,0),M(0,2),

答案:-2

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高效作业

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一?选择题 1.(2009· 福建)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个

非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,|b· c|的值一定等于()
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积 B.以b,c为邻边的平行四边形的面积 C.以a,b为两边的三角形的面积 D.以b,c为两边的三角形的面积 答案:A

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解析:设<a,b>=θ,θ∈(0,π),

? 3? ∵<a,c>= ,∴<b,c>= 2 -θ. 2

以a,b为邻边的平行四边形面积为|a||b|· sinθ, 而|b· c|=|b||c||cos(
3? 2

-θ)|=|b||c|sinθ,

又|a|=|c|,∴|b· c|=|a||b|sinθ.

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2.(2009· 全国Ⅰ)设非零向量a?b?c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则
<a,b>=() A.150° B.120° C.60°

D.30°
答案:B

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解析:如图所示.

∵|a|=|b|=|c|,∴△OAB是正三角形. ∴<a,b>=120°.

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3.(2009· 辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则
|a+2b|等于( A. 3 B.2 3 C.4 )

D.2
答案:B

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解析 : a ? ? 2, 0 ? , b ? 1, ? a ? 2, a b ? 2 ?1? cos60? ? 1. ? a ? 2b ? a ? 4 ? a ?b ? 4b ? 2 3.
2 2

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4.(2009?海南?宁夏)已知a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? ?1, 0 ? , 向量? a ? b与a ? 2b垂直, 则实数?的值为() 1 A. ? 7
答案:A

1 B. 7

1 C. ? 6

1 D. 6

解析 :由a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? ?1, 0? , 知

? a ? b ? ? ?3? ? 1, 2? ? , a ? 2b ? ? ?1, 2? .
1 又(? a ? b) ? a ? 2b ? ? 0,? 3? ? 1 ? 4? ? 0 ? ? ? ? . 7

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5.(2009· 福建福州三中模拟)已知点O为△ABC所在平面内一
???? 2 ??? 2 ???? 2 ???? 2 ???? 2 ???? 2 ? 点,且 OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB ,

则O一定为△ABC的()

A.外心 B.内心 C.垂心

D.重心
答案:C

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???? ??? ? ???? 6.(2009? 山东临沂模拟)在? OAB中, OA ? a, OB ? b, OD ???? ??? ? 是AB边上的高, 若AD ? ? AB, 则实数? 等于() A. B. C. D. a? b ? a ? ? a?b a?b
2

a? a ? b? ?
2

a? b ? a ? ? a?b a? a ? b? ? a?b

答案:B

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二?填空题

7.(2009· 上海十校联考)已知平面上直线l的方向向量d=(3,-4),
点O(0,0)和A(4,-2)在l上的射影分别是O1和A1,则 |O1A1|=__________. 答案:4

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8.(2009? 天津滨海新区联考)O是平面上一点, A, B, C 是平面上不共线三点, 动点P满足 ??? ???? ? ??? ??? ? ? 1 OP ? OA ? ? AB ? AC , ? ? 时, 2 ??? ??? ??? ? ? ? PA? PB ? PC 的值为_________.

?

? ?

?

答案:0

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9.(2009· 福建龙岩质检)设向量a,b满足|a-b|=2,|a|=2,且a-b与a 的夹角为 答案:2
? 3

,则|b|=____________.

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三?解答题 10.(2009· 山东日照3月模拟)若a,b是两个不共线的非零向 量,t∈R. (1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一 直线上? (2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°,t为何值时,|a-tb|的值最小?
1 3

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11.(2009· 江苏)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;

(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.

解析 : ?1?因为a与b ? 2c垂直, 所以a ?(b ? 2c) ? 4cos ?sin ? ? 8cos ?cos ? ? 4sin ?cos ? ? 8sin? sin? ? 4sin ?? ? ? ? ? 8cos ?? ? ? ? ? 0, 因此tan ?? ? ? ? ? 2.

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12.(2009· 安徽安庆三模)a=(sinx, (2)求f(x)=(a+b)· b在
? ? ? ?? 2 , 0? ? ?

3 2

),b=(cosx,-1).

(1)当a与b共线时,求2cos2x-sin2x的值; 上的值域.

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