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高中理科数学解题方法篇(二次函数)


(4)方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者 的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0( a ? 0, ? ? 0) 有且只有一个实
2

根 在 (k1 , k 2 ) 内 , 等 价 于 f (k1 ) f (k

2 ) ? 0 , 或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?

k ? k2 b ? 1 ,或 2a 2

f (k 2 ) ? 0 且

k1 ? k 2 b ?? ? k2 2 2a

若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ??1,1? 上没有零点, 所以 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0
2

a?0



a?

?3 ? 7 2

当 a?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x 恰有一个零点在 ??1,1? 上; ?


当 f ? ?1??f ?1? ? ? a ?1?? a ? 5? ? 0 个零点在 ??1,1? 上;

1? a ? 5

时, y ? f ? x ? 也恰有一



y ? f ? x 在 ??1,1? 上有两个零点时, 则 ?
a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 2 4 ? 4 a ? ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

0

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 7 2
a ?1 或

因此 a 的取值范围是

a?

?3 ? 5 ; 2

二次函数专题

f ( x) ? x2 ? ax ? 2, a ? R
1、 两根 x1 , x2 小于 2,求 a 的取值范围 2、 两根 x1 , x2 大于 2,求 a 的取值范围 a<1

a ??
a>1

3、 两根一个比 2 大,一个比 2 小,求 a 的取值范围 4、 两根在(-2,3)内,求 a 的取值范围 5、 两根 x1 ? ?1 ? 1 ? x2 ,求 a 的取值范围 6、 有且只有一个实根在(-2,1)内,求 a 的取值范围

?1 ? a ?
-1<a<1

7 3

? f (?2) f (1) ? 0或f (?2) ? 0且 ? 2 ?
a ? ?1

a 1 1 a ? ? 或f (1) ? 0且- ? ? 1 2 2 2 2

方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一 个 必 要 而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在
2

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
7.闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 b ? 1 ,或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区 2a

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x ? ? 若

b b ? ? p, q ?, f x) nm ? ( ? ,) (f x ) 则 ( i f 2a 2a

xmxm a a

? (f,)p )?q ( f

?;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ? , 则 f ( xm i ? m?i nf p ) , , (若 ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ) n ( f q ? 2a x??

x??

b ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a

8.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ?m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 或? 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ?m ? ? 2
9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 ? ?
4 2

例 1 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 2a ?1 ( a 为实常数) ,
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 的最小值为 g ? a ? ,求 g ? a ? 的表达式; (3)设 h ? x ? ?

f ? x? ,若函数 h ? x ? 在区间 ?1, 2? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

1 2 3 ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ? 2 ?? 解析:(1) a ? 1 , f ( x) ? x ? | x | ?1 ? ? 2 1 3 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ? (x ? )2 ? , x ? 0 ? 2 4 ?
2

∴ f (x ) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 2

1 ,0) 2
2

1 1 f (x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2

(2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a ( x ?
0

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1 2 3

0

0

1 1 ?1 即a ? f (x)在[1,2]为增函数 g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 2 2a 1 1 1 1 1 1? ?2 g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ?1 即 ? a ? 时, 2a 4 2 2a 4a 1 1 ?2 即 0 ? a ? 时 f (x)在[1,2]上是减函数 g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 2a 4

0?

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

(3) h( x) ? ax ?

2a ? 1 ?1 x

在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2

则 h( x2 ) ? h( x1 ) ? (ax2 ?
? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x x1
(*)

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] x1 x2 x1 x2

∵ h(x)在[1,2]上是增函数 ∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 1 2 3
0

当 a ? 0时, 上式显然成立

0

a?0 a?0

0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a x1 x2 ?
1 2

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?1 a

解得 0 ? a ? 1

[来源:学科网]

2a ? 1 ?4 a

得?

1 ?a?0 2

所以实数 a 的取值范围是 [? ,1] 例 2 设函数 f(x)=x2-2tx+2,其中 t∈R. (1)若 t=1,求函数 f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若 t=1,且对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5,求实数 a 的取值范围.

(3)若对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求 t 的取值范围. 解 因为 f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,所以 f(x)在区间(-∞,t]上单调减,在区间[t, ∞)上单调增,且对任意的 x∈R,都有 f(t+x)=f(t-x), (1)若 t=1,则 f(x)=(x-1)2+1. ①当 x∈[0,1]时.f(x)单调减,从而最大值 f(0)=2,最小值 f(1)=1. 所以 f(x)的取值范围为[1,2]; ②当 x∈[1,4]时.f(x)单调增,从而最大值 f(4)=10,最小值 f(1)=1. 所以 f(x)的取值范围为[1,10]; 所以 f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1, 10]. ???????????3 分 (2)“对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5”等价于“在区间[a,a+2]上,[f(x)]max≤5” . 2 若 t=1,则 f(x)=(x-1) +1, 所以 f(x)在区间(-∞,1]上单调减,在区间[1,∞)上单调增. 当 1≤a+1,即 a≥0 时, 由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,得 -3≤a≤1, 从而 0≤a≤1. 当 1>a+1,即 a<0 时,由[f(x)]max=f(a)=(a-1)2+1≤5,得 -1≤a≤3, 从而 -1≤a<0. 综上,a 的取值范围为区间[-1, 1]. ???????????6 分 (3)设函数 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 M,最小值为 m, 所以“对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于“M-m≤8” . ①当 t≤0 时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2. 由 M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得 t≥1. 从而 t∈?. ②当 0<t≤2 时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得 4-2 2≤t≤4+2 2. 从而 4-2 2≤t≤2. ③当 2<t≤4 时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2 2≤t≤2 2. 从而 2<t≤2 2. ④当 t>4 时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t. 由 M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得 t≤3. 从而 t∈?. 综上,a 的取值范围为区间[4-2 2, 2 2]. ???????????10 分 例 3 已知 y ? f ? x ? 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x .
2

(1)求 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式;

(2)问是否存在这样的正数 a , b ,当 x ? ?a ,b ? 时 , g ? x ? ? f ? x ? ,且 g ? x ? 的值域为

?1 1 ? ? b , a ? ?若存在,求出所有的 a , b 的值,若不存在,请说明理由. ? ?
18.解: (1)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,于是 f ? ? x ? ? ?2x ? x ,又 f ? x ? 为奇函数,所以
2

f ? x ? ? ? f ? ?x ? ? 2x ? x2 ,即 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x2 ;
(2)分下述三种情 况:① 0 ? a ? b ? 1 ,那么

1 ? 1 ,而当 x ? 0 时, f ? x ? 的最 a

大 值 为 1 , 故 此 时 不 可 能 使 g ? x? ? f ? x? . ② 若 0 ? a ? 1 ? b , 此 时 若 则 得 这与 0 ? a ? 1 ? b g ? x ? ? f ? x ? , g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? f ?1? ? 1, a ? 1 , 矛 盾 ; ③ 若 1 ? a ? b , 因 为 x ? 1 时 , f ? x? 是 单 调 减 函 数 , 此 时 若

?1 2 ? b ? g ? b ? ? ?b ? 2b ? g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? x2 , 于是有 ? ? 1 ? g ? a ? ? ? a 2 ? 2a ?a ?
?? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0 1? 5 ? ?? ,考虑到 1 ? a ? b ,解得 a ? 1 , b ? ,综上所 2 2 ?? b ? 1? ? b ? b ? 1? ? 0 ?

?a ? 1 ? 述? 1? 5 ?b ? ? 2
www.xkb1.com 例 4 已知二次函数 f ( x ) 满足条件 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; 值范围;

(2)在区间 ??1,1? 上, y ? f ( x) 的图像恒在 y ? 2 x ? m 的图像上方,试确定实数 m 的取

? 解: (1)令 x ? 0,则f (1) ? f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 1, 1 ∴二次函数图像的对称轴为 x ? .∴可令二次函数的解析式为 2 2 1 y ? a( x ? ) ? h . 2 3 由 f (0) ? 1,又可知 f (?1) ? 3得a ? 1,h ? , 4 1 3 ∴二次函数的解析式为 y ? f ( x) ? ( x ? ) 2 ? ? x 2 ? x ? 1 2 4

另解:⑴ 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2
2 2

,则

f ( x ? 1) ? f ( x) ? [a( x ? 1) b( x ? 1) ? c] ? (ax ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b

?2a ? 2, ?a ? 1, ? ? a ? b ? 0 解之得, ?b ? ?1 又 f (0) ? c ? 1 , 与已知条件比较得: ? ? f ( x) ? x2 ? x ? 1 ????8 分
(2)? x2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 ??1,1? 上恒成立 ? x2 ? 3x ? 1 ? m 在 ??1,1? 上恒成立 ? ? 令 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1,则 g ( x) 在 ??1,1? 上单调递减 ? ∴ g ( x)min ? g (1) ? ?1, ? m ? ?1 .
x 例 5 已知函数 f ? x ? ? log 2 4 ? 1 ? kx, ? k ? R ? 是偶函数.

?

?

(1)求 k 的值; (2)设函数 g ? x ? ? log 2 ? a ? 2 ?
x

? ?

4 ? a ? ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且只有 3 ?

一个交点,求 a 的取值范围 解: (1)∵ f ( x) ? log2 (4x ? 1) ? kx (k ?R) 是偶函数, ∴ f (? x) ? log2 (4? x ? 1) ? kx ? f ( x) 对任意 x ? R ,恒成立 即: log2 (4x ?1) ? 2x ? kx ? log2 (4x ?1) ? kx 恒成立,∴ k ? ?1
x (2)由于 a ? 0 ,所以 g ( x) ? log 2 (a ? 2 ?

2分 5分

4 4 a) 定义域为 (log 2 , ?? ) , 3 3
7分

4 3 ∵函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交点,
也就是满足 2 ?
x

∴方程 log 2 (4 ? 1) ? x ? log 2 ( a ? 2 ?
x x

4 4 a) 在 (log 2 , ?? ) 上只有一解 3 3
9分

4 4x ? 1 4 ? a ? 2 x ? a 在 (log 2 , ?? ) 上只有一解 即:方程 x 3 2 3
x 令 2 ? t, 则 t ?

4 ,因而等价于关于 t 的方程 www.xkb1.com 3
10 分

4 4 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 (*)在 ( , ??) 上只有一解 3 3
① 当 a ? 1 时,解得 t ? ?

3 4 ? ( , ??) ,不合题意; 4 3
2

11 分

② 当 0 ? a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ? ∴函数 h(t ) ? (a ? 1)t ?
2

4 2a at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? ?0 3 3(a ? 1)

4 at ? 1 在 (0, ??) 上递减,而 h(0) ? ?1 3

∴方程(*)在 ( , ??) 无解 ③ 当 a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ?
2

4 3

13 分

4 2a at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? ?0 3 3(a ? 1)

所以,只需 h ( ) ? 0 ,即 ∴此时 a 的范围为 a ? 1

4 3

16 16 (a ? 1) ? a ? 1 ? 0 ,此恒成立 9 9
15 分 16 分

综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 1

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巩固练 1.定义在 R 上的奇函数 f (x) 有三个零点 x1 , x2 , x3 ,则下列关系中正确的是(B) A. x1 x2 x3 ? 0 B. x1 x2 x3 ? 0 C. x1 x2 x3 ? 0 D.以上三种关系都可能成立

2.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bc ? c 是偶函数,它有两个零点 x1 , x 2 ,则 x1 ? x2 =0. 3.函数 y ? log2 x ? 1 的零点有(D) A.1 个 B.2 个
? x ?1

C.3 个

D.4 个

4.若函数 y ? 2

? m 有零点,则实数 m 的取值范围是 (0,1] .

5.已知函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1 ,当 x ? [?1,1] 时, f (x) 的值有正也有负,则实数 a 的取 值范围是 ? 1 ? a ? ? .

1 3

6.已知关于 x 的方程 3x ? 5x ? a ? 0 的一根大于-2 而小于 0,另一根大于 1 而小于 3,求
2

实数 a 的值.

解 : 设 f ( x) ? 3x 2 ? 5x ? a , 则 f (?2) ? 0, f (0) ? 0, f (3) ? 0 同 时 成 立 , 解 得

? 12 ? a ? 0 .
7.对于函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? n, 若 f (a) ? 0, f (b) ? 0, 则函数 f (x) 在区间 ( a, b) 内( A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 8.若函数在区间(2, 4)内有零点,则下列说法正确的是 A. 在区间(2, 3)内有零点 B 在区间(3, 4)内有零点 C. 在区间(2, 3)或(3, 4)内有零点 D. 在区间(2, 3]或(3, 4)内有零点 9.函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 的零点个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

( D

)

( D

)

二次函数练习题
班级_______

2012-5-31

姓名________

1、在同一直角坐标系中 y ? ax2 ? b 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 的图象的大致是 ( )

2、二次函数的图象过(-1,5)(1,1)和(3,5)三个点,则二次函数的关 , 系式为( )
2 A. y ? ?x 2 ? x 2?

B. y x ? x 2 ? 2 2? D. y x ? x 2 ? 2 2?

C. y x ? x 1 ? 2 2? 3、 方程 3x 2 ? 6 x ? (A)1

1 ? 0 的实根的个数为( ) x (B)2 (C)3

(D)4

0) 4、 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是 x ? 2 ,且经过点 P(3, .则 a ? b ? c 的值为

(

)A. ?1

B.0

C.1

D.2 )

5、 ? 4 ? k ? 0 ”是函数 y ? kx 2 ? kx ? 1恒为负的( “ (A)充分不必要条件 (C)充分且必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

6、 函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? , 那么 f ? 0 ? 、f ? ?1? 、

f ?1? 的大小关系是(

) D f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1?

A f ?1? ? f ? ?1? ? f ?0? B f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? C f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?1?

7、已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值 范围是 ( A. 1, ?? ? ? ) B. 0, 2? ? C.1, 2? ? D.? ??,2?

8、 已知函数 f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,若 f(x)=0 有两个实根,且一个比 2 大,一个比 2 小,则 m 的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 二、填空题: 9、 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? b ,当 f (x) 在区间 (??,1] 上为减函数时,a 的取值范围 为____________; x ? R 时, 若 恒有 f ( x) ? 0 , b 的取值范围是_______________; 则 若 f (x) 是偶函数时,则必有____________。 10、 已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,如果 f ? x1 ? ? f ? x2 ? (其中 x1 ? x2 ),则
?x ?x ? f ? 1 2 ? ? __________。 ? 2 ?

11、要使不等式 ?2 ? x 2 ? 2ax ? 6 ? 2 恰有一解,则 a ? ____ 。 12、函数 y ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [-3,2] 是有最大值 4,则 a = _____________。 三、解答题: 13、已知函数 y=-x2+axa 1 + 在〔-1,1〕上的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

14、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1 )若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的 范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围。

15、函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ,当 x ? [?2,2] 时 f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值。

16、已知二次函数 f(x)=ax2+bx 满足 f(1+x)=f(1-x),且方程 f(x)=x 有等根。 (1)求 f(x)的解析式;(2)是否存在实数 m,n (m<n),使得 f(x)的定义域和值域分别 是[m, n]和[3m, 3n], 如果存在,求出 m, n 的值;如果不存在,说明理由。

答案: 一、DBCBACCB 二、9、﹙-∞, -1], [0,+∞﹚,ɑ=0;10、 三、13、 a ? ?2或
3 4ac ? b 2 ;11、 ?2 ;12、 ?3或 8 4a

10 5 1 1 ;14、 (1) ? ? m ? ? ; (2) (? , 1 ? 2] 。15、[-7, 2] 3 6 2 2 1 2 16、 (1) f ( x) ? ? x ? x , (2) m ? ?4, n ? 0 。 2


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