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互斥事件与对立事件


互斥事件与对立事件

评卷人

得分 一、选择题

1.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红 牌”是( ) (A)对立事件 (B)互斥但不对立事件 (C)不可能事件 (D)必然事件 2.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而 不对立的两个事件是( ) . A.至少有 1 个白球,都是白球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是红球 3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取得 2 个球,那么互斥而不对立的两 个事件是( ) A.至少有 1 个黑球与都是黑球 B.至少有 1 个红球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 4.两个事件对立是两个事件互斥的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.下列说法中正确的是( ) A.若事件 A 与事件 B 是互斥事件,则 P( A) ? P( B) ? 1; B.若事件 A 与事件 B 满足条件: 则事件 A 与事件 B 是 对 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 , 立事件; C.一个人打靶时连续射击两次,则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶” 是对立事件; D.把红、橙、黄、绿 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人,每人分得 1 张,则事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件. 6.若 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.以上答案都不对 7.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数,分别有下列事件:①恰 有一个是奇数或恰有一个是偶数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个 是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中为互斥事件的 是 A.① B.②④ C.③ D.①③ 8.从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件,观察正品件数和次品件数, 下列事件是互斥事件的是( ) ①恰有一件次品和恰有两件次品;
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②至少有一件次品和全是次品; ③至少有一件正品和至少有一件次品; ④至少有一件次品和全是正品. (A)①② (B)①④ (C)③④ (D)①③ 9.给出以下三个命题: ①将一枚硬币抛掷两次,记事件 A:两次都出现正面,事件 B:两次都出现反面,则事件 A 与事 件 B 是对立事件;②在命题①中,事件 A 与事件 B 是互斥事件;③在 10 件产品中有 3 件是 次品,从中任取 3 件,记事件 A:所取 3 件中最多有 2 件是次品,事件 B:所取 3 件中至少有 2 件是次品,则事件 A 与事件 B 是互斥事件.其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三件产品全不是次品” ,B=“三件产品全是次 品” ,C=“三件产品至少有一件是次品” ,则下列结论正确的是( ) A.A 与 C 互斥 B.任何两个均互斥 C.B 与 C 互斥 D.任何两个均不互斥 11.给出如下四对事件:①某人射击 1 次, “射中 7 环”与“射中 8 环” ; ②甲、乙两人各射击 1 次, “甲射中 7 环”与“乙射中 8 环” ; ③甲、乙两人各射击 1 次, “两人均射中目标”与“两人均没有射中目标” ; ④甲、乙两人各射击 1 次, “至少有 1 人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标” , 其中属于互斥事件的有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 12.抛掷一枚骰子,记事件 A 为“落地时向上的数是奇数”,记事件 B 为“落地时向上 的数是偶数”,事件 C 为“落地时向上的数是 2 的倍数”,事件 D 为“落地时向上的数 是 2 或 4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A.A 与 D B.A 与 B C.B 与 C D.B 与 D 13.把颜色分别为红、黑、白的 3 个球随机地分给甲、乙、丙 3 人,每人分得 1 个球.事 件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件 D.必然事件 14.[2014·宁夏检测]抽查 10 件产品,设事件 A 为“至少有 2 件次品”,则事件 A 的 对立事件为( ) A.至多有 2 件次品 B.至多有 1 件次品 C.至多有 2 件正品 D.至少有 2 件正品 15.[2014·承德模拟]从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥但不 对立的两个事件是( ) A.至少有 1 个白球,都是白球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是红球 16.一个射手进行射击,记事件 E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于 4”, E4:“中靶环数不小于 5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有 ( ). A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 17.下列叙述错误的是( ) A.频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 B.若随机事件 A 发生的概率为 P(A),则 0≤P(A)≤1 C.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 D.5 张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 18.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
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A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是红球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 19.下列四个命题: ①对立事件一定是互斥事件; ②若 A,B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A,B,C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. 其中错误命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 20.掷一枚均匀的正六面体骰子,设 A 表示事件“出现 2 点”,B 表示“出现奇数点”, 则 P(A∪B)等于( ) (A) (B) (C) (D) 21.掷一颗质地均匀的骰子,观察所得的点数 a,设事件 A=“a 为 3”,B=“a 为 4”,C= “a 为奇数”,则下列结论正确的是( ) (A)A 与 B 为互斥事件 (B)A 与 B 为对立事件 (C)A 与 C 为对立事件 (D)A 与 C 为互斥事件 22.已知事件 A 与事件 B 发生的概率分别为 P ( A) 、 P ( B ) ,有下列命题: ①若 A 为必然事件,则 P( A) ? 1 ; ②若 A 与 B 互斥,则 P( A) ? P( B) ? 1;

③若 A 与 B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 其中真命题有( )个 A.0 B.1 C.2 D.3 23.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.3,甲不输的概率为 0.8,则甲、乙两人下成 和棋的概率为( ) A. 0.6 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.5 24.一枚均匀的正方体骰子,将它向上抛掷一次,设事件 A 表示“向上的一面出现奇数 点” ,事件 B 表示“向上的一面出现的点数不超过 3” ,事件 C 表示“向上的一面出现的 点数不小于 4”则 A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 25.把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A=“至少一次出现反面” ,事件 B=“恰有一次出 现正面” ,则 P( B | A) ? ( )

A.

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

26.把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人 1 张, 事件 A:“甲得红卡” 与事件 B:“乙得红卡”是 ( ) A.不可能事件 B.必然事件 C.对立事件 D.互斥且不对立事件 27.从装有 2 个白球和 2 个蓝球的口袋中任取 2 个球,那么对立的两个事件是( )
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A. “恰有一个白球”与“恰有两个白球” B. “至少有一个白球”与“至少有—个蓝球” C. “至少有—个白球”与“都是蓝球” D. “至少有一个白球”与“都是白球” 28.从装有 2 个白球和 2 个蓝球的口袋中任取 2 个球,那么对立的两个事件是( ) A. “恰有一个白球”与“恰有两个白球” B. “至少有一个白球”与“至少有—个蓝球” C. “至少有—个白球”与“都是蓝球” D. “至少有一个白球”与“都是白球” 29.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个,则互斥但不对立的两个事件是( ) A、至少一个白球与都是白球 B、至少一个白球与至少一个红球 C、恰有一个白球与恰有 2 个白球 D、至少有 1 个白球与都是红球 30.抽查 10 件产品,设事件 A:至少有两件次品,则 A 的对立事件为( ) (A)至多两件次品 (B)至多一件次品 (C)至多两件正品 (D)至少两件正品 31.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A. “至少一个白球”与“都是白球” B. “至少有一个白球”与“至少有 1 个红球” C. “恰有一个白球”与“恰有二个白球” D. “至少有 1 个白球”与“都是红球”

32.已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (1)求取出的 4 个球中没有红球的概率; (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望。 33.地为绿化环境,移栽了银杏树 2 棵,梧桐树 3 棵.它们移栽后的成活率分别

2 1 、 ,每棵树是否存活互不影响,在移栽的 5 棵树中: 3 2 (1)求银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率;
为 (2)求成活的棵树 ? 的分布列与期望. 34. 某煤矿发生透水事故时, 作业区有若干人员被困. 救援队从入口进入之后有 L1 , L2 两 条巷道通往作业区(如下图), L1 巷道有 A1 , A2 , A3 三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都 是

1 3 3 ; L2 巷道有 B1 , B2 两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为 , . 2 4 5

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(1)求 L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率; (2)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX ,并按照"平均堵 塞点少的巷道是较好的抢险路线"的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明 理由. 35.某校在教师外出培训学习活动中,在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示: 派出人数 概率 2 人及以下 0.1 3 0.46 4 0.3 5 0.1 6 人及以上 0.04

⑴ 求有 4 个人或 5 个人培训的概率; ⑵ 求至少有 3 个人培训的概率. 36.有编号为 1,2,3 的三个白球,编号为 4,5,6 的三个黑球,这六个球除编号和颜色外 完全相同,现从中任意取出两个球. (1)求取得的两个球颜色相同的概率; (2)求取得的两个球颜色不相同的概率. 37.在打靶训练中,某战士射击一次的成绩在 9 环(包括 9 环)以上的概率是 0.18, 在 8~9 环(包括 8 环)的概率是 0.51,在 7~8 环(包括 7 环)的概率是 0.15,在 6~ 7 环(包括 6 环)的概率是 0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得 8 环(包括 8 环)以上成绩的概率和该战士打靶及格(及格指 6 环以上包括 6 环)的概率. 38.甲、乙两人玩一种游戏:在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5 五个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果 两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 39.在一次抢险救灾中,某救援队的 50 名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援 工作,其分布的情况如下表,从这 50 名队员中随机抽出 2 人去完成一项特殊任务. 区域 A B C D 人数 20 10 5 15 (1)求这 2 人来自同一区域的概率; (2)若这 2 人来自区域 A,D,并记来自区域 A 队员中的人数为 X,求随机变量 X 的分 布列及数学期望. 40.(本题满分 12 分)某种有奖销售的小食品,袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品 尝”字样,购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖,中奖概率为

1 .甲、 6

乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。 (1)求三位同学都没有中奖的概率; (2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 41.某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本 次考核中只有合格和优秀两个等级.若考核为合格,授予 10 分降分资格;考核为优秀, 授予 20 分降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

2 2 1 、 、 ,他们考核 3 3 2

所得的等级相互独立. (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率; (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量 ξ ,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望. 42.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
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2 2 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以得 3 分;未中奖则不得分.每 3 5
人有且只有一次抽奖机会, 每次抽奖中奖与否互不影响, 晚会结束后凭分数兑换奖品. 若 小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率. 43.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为

1 和 p. 10 49 ,求 p 的值; 50

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ ,求 ξ 的概率 分布列及数学期望 Eξ . 44.某中学经市批准建设分校,工程从 2010 年底开工到 2013 年底完工,分三期完成, 经过初步招标淘汰后,确定由甲、乙两建筑公司承建,且每期工程由两公司之一独立完 成,必须在建完前一期工程后再建后一期工程,已知甲公司获得第一期,第二期,第三 期工程承包权的概率分别是

3 1 1 , , . 4 2 4

(I)求甲乙两公司均至少获得 l 期工程的概率; (II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望 E(X). 评卷人 得分 三、新添加的题型

评卷人

得分 四、填空题

45 .从一批产品中取出三件产品 , 设 A={ 三件产品全不是次品 },B={ 三件产品全是次 品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是________. ①A 与 B 互斥;②B 与 C 互斥;③A 与 C 互斥;④A 与 B 对立;⑤B 与 C 对立. 46.在 4 次独立试验中,事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率是

65 , 81

则事件 A 在一次试验中出现的概率是________. 47.口袋内装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1.若从袋中 摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是________. 48.有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从这 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的概率是________.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根 据 题 意 , 把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人, 每人分得 1 张, 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌” , 由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生,故它们是互斥事件, 又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的,事件“甲分得红牌”与事件 “乙分得红牌” 不是对立事件,所以可知两事件之间的关系是互斥而不对立, 故选 B. 考点:互 斥 事 件 与 对 立 事 件 . 2.C 【解析】 试题分析: (1)至少有 1 个白球的事件中包含 2 个都是白球的事件,所以 A 选项中两个事件 不互斥; (2) 至少有 1 个白球, 至少有 1 个红球都含有 1 个白球 1 个红球这种可能,所以 B 选项中两 个事件不互斥; (3) 至少有 1 个白球的事件包含 1 个白球 1 个红球和 2 个白球,所以至少有 1 个白球的事件 和都是红球的事件既是互斥事件又是对立事件; (4) 恰有 1 个白球, 恰有 2 个白球这两个事件没有公共部分,而且从口袋内任取 2 个球还有 可能取到 2 个红球.所以恰有 1 个白球,恰有 2 个白球是互斥事件但不是对立事件. 综上可知 C 正确. 考点:互斥事件;对立事件. 3.D 【解析】 试题分析:对于 A:事件“至少有 1 个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生,所以 A 不 正确. 对于 B:事件“至少有 1 个红球”与事件“都是黑球”不能同时发生,但一定会有一个发生, 所以这两个事件是对立事件,所以 B 不正确. 对于 C:事件“至少有 1 个黑球”与事件“至少有 1 个红球”可以同时发生,如:一个红球 一个黑球,所以 B 不正确. 对于 D:事件“恰有 1 个黑球”与事件“恰有 2 个黑球”不能同时发生,但从口袋中任取两 个球时还有可能两个都是红球,所以两个事件是互斥事件但不是对立事件.所以 C 正确. 故正确答案为 D. 考点:本题考查互斥事件与对立事件. 4.A 【解析】 试题分析:根据互斥事件和对立事件的定义,两个事件对立则两个事件互斥,反之不成立, A 正确. 考点:充分必要条件的意义及判断. 5.D 【解析】 试题分析:对于 A ,事件 A 与事件 B 是互斥事件,但不一定是对立事件,故 A 不正确;对
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于 B, 若是在同一试验下,由 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,说明事件 A 与事件 B 一定是对 立事件,但若在不同试验下,虽然有 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件 A 和 B 不一定对 立,故 B 不正确;对于 C, 一个人打靶时连续射击两次,则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”不是对立事件;对于 D, 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 互斥事件,故正确. 考点:互斥事件与对立事件的关系 6.D 【解析】 试题分析:若是在同一试验下,由 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,说明事件 A 与事件 B 一定 是对立事件; 但若在不同实验下,虽有 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件 A 和 B 不一定对立,所以事 件 A 与 B 的关系是不确定的 考点:互斥事件与对立事件 7.C 【解析】 试题分析:由互斥事件的概念:两个事件不可能同时发生,可知:③至少有一个是奇数和两 个都是偶数是互斥事件;其余均不是互斥事件;故选 C. 考点:互斥事件的概念. 8.B 【解析】 试题分析:∵从一批产品中任取 2 件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于 2 件, ∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的, 至少有一件次品和全是正品是互斥的, ∴①④是互斥事件. 考点:互斥事件和对立事件. 9.B 【解析】 试题分析: ①将一枚硬币抛掷两次,记事件 A:两次都出现正面,事件 B:两次都出现反面,则事件 A 与事件 B 是互斥事件,但不对立,因为还包括一正一反,故②对,;③在 10 件产品中有 3 件是次品,从中任取 3 件,记事件 A:所取 3 件中最多有 2 件是次品,事件 B:所取 3 件中至少有 2 件是次品,事件 A 与事件 B 都包括有两件次品,所以不是互斥事件 考点:互斥事件与对立事件 10.A 【解析】 试题分析:A 为 “ 三 件 产 品 全 不 是 次 品 ” ,指的是三件产品都是正品,B 为“三件 产品全是次品” ,C 为“ 三 件 产 品 至 少 有 一 件 是 次 品 ” ,它 包 括 一 件 次 品 ,两 件 次 品,三件全是次品三个事件由此知,A 与 B 是互斥事件,A 与 C 是对立事件,也 是互斥事件,B 与 C 是包含关系,故选项 A 正确 . 考点:互斥事件、对立事件. 11.B 【解析】 试题分析:①某人射击 1 次, “射中 7 环”与“射中 8 环”两个事件不会同时发生,故为互 斥事件;②甲、乙两人各射击 1 次, “甲射中 7 环”与“乙射中 8 环”可能同时发生,故不
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是互斥事件;③甲、乙两人各射击 1 次, “两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”不 会同时发生;④“甲射中,但乙未射中目标”发生,则甲、乙两人各射击 1 次, “至少有 1 人射中目标”发生,故不是互斥事件,属于互斥事件的有 2 个. 考点:互斥事件的理解. 12.A 【解析】 试题分析:抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 , 落 地 后 记 事 件 A 为 “ 奇 数 点 向 上 ” ,事件 B 为“偶数点向上” ,事件 C 为“向上的点数是 2 的倍数” ,事件 D 为“2 点或 4 点 向上” . 事 件 A、 B 既 是 互 斥 事 件 也 是 对 立 事 件 ; 所 以 B 不 正 确 . B 与 C 是相同事件,不是互斥事件;所以 C 不正确. B 与 D 不是互斥事件,所以 D 不正确. A 与 D 是 互 斥 事 件 , 但 不 是 对 立 事 件 , 所 以 A 正 确 . 故 选 : A. 考点:对 立 事 件 和 互 斥 事 件 . 13.C 【解析】 由于甲、 乙、 丙 3 人都可以持有白球, 故事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球” 不可能是对立事件. 又事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能同时发生, 故两事 件的关系是互斥事件. 14.B 【解析】∵“至少有 n 个”的反面是“至多有 n-1 个”,又∵事件 A“至少有 2 件次品”, ∴事件 A 的对立事件为“至多有 1 件次品”. 15.C 【解析】A,B 选项中的两个事件不互斥,当然也不对立;C 选项中的两个事件互斥,但不对 立;D 选项中的两个事件不但互斥,而且对立,所以正确答案应为 C. 16.B 【解析】 试题分析:由于事件 E1:“脱靶”;E2:“中靶”;E3:“中靶环数大于 4”;E4:“中靶环 数不小于 5”;则在上述事件中,互斥而不对立的事件分别为 E1 与 E3;E1 与 E4,共 2 对,故 答案为 B. 考点:互斥事件与对立事件. 17.A 【解析】 频率稳定在某个常数上,这个常数叫做概率,故选项 A 不正确,而选项 B,C,D 均正确. 18.D 【解析】 试题分析: 互斥事件指的是在一次试验中不能同时发生的两个事件, 对立事件是不能同时发 生且必然有一个发生的两个事件. 两个事件互斥, 不一定对立, 但是两个事件对立则必互斥, “至少有一个黑球”与“都是黑球”不互斥,故 A 错; “至少有一个黑球”与“至少有一个 红球”不互斥,故 C 错; “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件,故 B 错; “恰有一 个黑球”与“恰有两个黑球”互斥不对立,故 D 正确. 考点:互斥事件和对立事件. 19.D 【 解 析 】 由 对 立 事 件 及 互 斥 事 件 的 概 念 可 知 ① 正 确 ; 当 A,B 两 个 事 件 互 斥 时 ,P(A ∪ B)=P(A)+P(B),所以②错误;③错误;当 A,B 是互斥事件时,若 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事 件,④错误.
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20.B 【解析】由古典概型的概率公式得 ∵P(A)= ,P(B)= = , 事件 A 与 B 为互斥事件, 由互斥事件的概率和公式得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 21.A 【解析】依题意可知:事件 A 与 B 不可能同时发生,A,B 互斥,但不是对立事件;显然 A 与 C 不 是互斥事件,更不是对立事件. 22.C 【解析】 试题分析:由概率的基本性质可知①③为真命题,而②是不正确的命题,只有当 A 、 B 互 斥且对立的时候,才有 P( A) ? P( B) ? 1,故选 C. 考点:1.随机事件的概念与概率;2.互斥事件与对立事件. 23.D 【解析】 试题分析: 由于甲不胜的概率包含甲胜的概率与甲与乙和棋的概率, 并且这两件事是互斥事 件,所以甲不输的概率等于甲胜的概率加上甲与乙和棋的概率,所以甲、乙两人下成和棋的 概率为 0.5.故选 D.本小题主要考查时间的互斥关系. 考点:事件的互斥关系. 24.D 【解析】 试题分析:事件 A 和 B,C 均有同时出现的情况,所以它们之间既不互斥,更不对立, B,C 事件既不能同时发生,且它们包含了所有的基本事件,所以答案为 D. 考点:互斥事件和对立事件的概念. 25.C 【解析】 试题分析:由题意, P ( AB ) ?

P( AB) 3 3 3 1 7 ? , P ( A) ? 1 ? 3 ? ,所以 P( B | A) ? ? . 3 2 8 2 8 P( A) 7

考点:条件概率与独立事件. 26.D 【解析】 试题分析:把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人 1 张, 事件 A:“甲得红 卡”与事件 B:“乙得红卡”不可能同时发生,但事件 A:“甲得红卡”不发生时,事件 B: “乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件 A:“甲得红卡”与事件 B:“乙得红 卡”是互斥但不对立事件. 故正确答案为选项 D. 考点:对立事件、必然事件、不可能事件、互斥事件 27.C 【解析】 试题分析:因为事件“至少有—个白球”与“都是蓝球”的交事件是不可能事件,事件“至
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少有—个白球”与“都是蓝球”的并事件是必然事件,所以事件“至少有—个白球”与“都 是蓝球”是对立事件,故答案为 C . 考点:对立事件的概念. 28.C 【解析】 试题分析:因为事件“至少有—个白球”与“都是蓝球”的交事件是不可能事件,事件“至 少有—个白球”与“都是蓝球”的并事件是必然事件,所以事件“至少有—个白球”与“都 是蓝球”是对立事件,故答案为 C . 考点:对立事件的概念. 29.C 【解析】 试题分析:A、B 两组事件不互斥,D 组事件是对立的,答案选 C. 考点:事件间的关系 30.B 【解析】 试题分析: “至少有 n 个”的对立事件是“至多有(n-1)个”所以事件 A:至少有两件次品的 对立事件是至多一件次品. 考点:对立事件. 31.C 【解析】 试题分析: “至少一个白球”包括一红一白;两个都是白球, “至少一个红球”包括一红一白; 两个都是红球,因此选项 A,B 的两事件不互斥, 选项 D 的两事件互斥且对立,答案选 C. 考点:事件间的关系 32. (1)

1 2 3 ; (2) ; (3) ; 10 5 2

【解析】 试题分析: (1) 取出的 4 个球没有红球即均为黑色球包括从甲盒内取出的 2 个球均黑球且从 乙盒内取出的 2 个球为黑球, 这两个事件是相互独立的, 根据相互独立事件同时发生的概率 得到结果. (2)取出的 4 个球中恰有 1 个红球有:?从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出 的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;?从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑 球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球两种情况,它们是互斥的. (3)ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,则 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.结合前两问的解法 得到结果,由此得出分布列和期望. 试题解析:解: (1)设“取出的 4 个球中没有红球”为事件 A。

C32C32 1 则 P( A) ? 2 2 ? , C4 C6 10
所以取出的 4 个球中没有红球的概率为

1 。 10

4分

(2)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事件 B, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出 的 2 个球均为黑球”为事件 C。由于事件 B,C 互斥,

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且 P( B) ?

1 1 C32 C3 ? C3 1 3 3 ? ? ? ? , 2 2 C4 C6 2 5 10

6分

P(C ) ?

1 C3 C32 1 1 1 ? ? ? ? 。 2 2 C4 C6 2 5 10

8分

所以,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为

P( B ? C ) ? P ( B ) ? P (C ) ?

3 1 2 ? ? 。 10 10 5

9分 10 分

(3)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3。 由(1) (2)知 P(? ? 0) ?

1 2 , P(? ? 1) ? 。 10 5

P(? ? 2) ?

1 1 1 C3 C3 C3 C32 C32 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 2 ? ? 2? 2 ? ? ? 。 2 2 C4 C6 C4 C6 6 ?15 6 ?15 5

1 C3 C32 1 1 1 P(? ? 3) ? 2 ? 2 ? ? ? , C4 C6 2 5 10

所以, ? 的分布列为:

?
P 12 分

0

1

2

3

1 10

2 5

2 5
13 分

1 10

所以 ? 的数字期望 E? ? 0 ?

1 2 2 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。 10 5 5 10 2

考点:1、互斥事件;2、相互独立事件;3 离散型随机变量的分布列及期望; 【答案】 (1)

1 ; (2)详见解析. 6

【解析】 试题分析: (1)先求出银杏数分别成活 0 、1 、 2 棵的概率,以及梧桐树分别成活 0 、1 、 2 、 3 棵的概率, 然后利用事件的独立性求出题中事件的概率; (2)先确定随机变量 ? 的可能取值,利用事件 的独立性求出 随机变量 ? 在相应取值下的概率,列出分布列求出随机变量的数学期望即可. (1)设 A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵”, 设 Ai ?i ? 0,1,2? 表示“银杏树成活 i 棵”; P ? A0 ? ?

1 4 4 , P ? A1 ? ? , P ? A2 ? ? , 9 9 9 1 3 3 Bk ? k ? 0,1,2,3? 表示 “梧桐树 成活 k 棵”; P ? B0 ? ? , P ? B1 ? ? , P ? B2 ? ? , 8 8 8
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1 P ? B3 ? ? , 8 ? P ? A ? ? P ? A2 ? P ? B0 ? ? 3 1 ? ; 18 6 1 , 72

(2) ? 的可能的取值: 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 , P ?? ? 0 ? ? P ? A0 ? P ? B0 ? ?

P ?? ? 1? ? P ? A0 ? P ? B1 ? ? P ? A1 ? P ? B0 ? ?

7 , 72 19 , 72

P ?? ? 2 ? ? P ? A0 ? P ? B2 ? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? P ? A2 ? P ? B0 ? ?
同理: P ?? ? 3? ?

25 2 1 , P ?? ? 4 ? ? , P ?? ? 5 ? ? , 72 9 18

? ? 的分布列为

?
P

0
1 72 17 . 6

1

2

3
25 72

4

5
1 18

7 72

19 72

2 9

? E? ?

考点:1.事件的独立性;2.随机变量的分布列及其数学期望 34. (1)

1 27 ;(2)分布列详见解析 ; EX ? ; 选择 L2 巷道为抢险路线为好. 2 20

【解析】 试题分析: (1)利用互独立事件的概率计算公式即可得出; (2)写出随机变量 X 的所有可能取值,然后计算相应的概率,列表即得分布列,由数学期 望公式计算期望的大小. 比较走两条路的数学期望的大小,即可得出要选择的路线. (1)设 " L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞 " 为事件 A 则 P( A) ? C3 ? ( ) ? C3 ?
0 3 1

1 2

1 1 2 1 ?( ) ? 2 2 2

4分

(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2

3 3 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20
3 3 9 P( X ? 2) ? ? ? 4 5 20

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所以,随机变量 X 的分布列为: 0 1 X

2

P

1 10

9 20

9 20

EX ? 0 ?

1 9 9 27 ? 1? ? 2 ? ? 10 20 20 20

8分

(方法一)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则 Y 的可能取值为 0,1,2,3

1 1 P (Y ? 0) ? C30 ? ( )3 ? 2 8 1 1 3 P (Y ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? 2 2 8
所以,随机变量 Y 的分布列为:

1 1 3 1 P(Y ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? 2 2 8 1 1 3 P(Y ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 2 8

Y
P

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

1 3 3 1 3 EY ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 8 8 8 8 2
因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好. 12 分

(方法二)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则随机变量 Y ~ B (3, ) ,所以, EY ? 3 ? 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好 12 分

1 2

1 3 ? 2 2

考点:1.离散型随机变量的分布列和期望;2.互斥事件的概率加法公式. 35. (1) 0 .4 ; (2) 0 .9 . 【解析】 试题分析:(1)设 2 人以下为事件 A,3 人为事件 B,4 人为事件 C,5 人为事件 D,6 人及以上为事 件 E,所以有 4 个人或 5 个人培训的事件为事件 C 或事件 D,根据互斥事件有一个发生的概率 的加法公式可知 P?C ? D? ? P?C ? ? P?D? (2)至少有 3 个人培训的对立事件为 2 人及以下,所以对立事件的概率可知: P ? 1 ? P? A? (1) 设 2 人以下为事件 A,3 人为事件 B,4 人为事件 C,5 人为事件 D,6 人及以上为事件 E,所以有

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4 个人或 5 个人培训的事件为事件 C 或事件 D, A, B, C , D, E 为互斥事件, 根据互斥事件有一 个发生的概率的加法公式可知 P?C ? D? ? P?C ? ? P?D? ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 4分

(2) 至 少 有 3 个 人 培 训 的 对 立 事 件 为 2 人 及 以 下 , 所 以 对 立 事 件 的 概 率 可 知 :

P ? 1 ? P? A? ? 1 ? 0.1 ? 0.9
4分 (此题没有设事件,没说明彼此互斥或者彼此对立的关系,而直接用概率加法公式作答,请 酌情给分。 ) 考点:1.互斥事件的概率加法公式;2.对立事件的概率公式. 36. (1)

2 3 (2) 5 5

【解析】从六个球中取出两个球的基本事件: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6),共计 15 个基本事件. (1)记事件 A 为取出的两个球是白球,则这个事件包含的基本事件是(1,2),(1,3),(2,3), 共计 3 个基本事件,故 P(A)=

3 1 = . 15 5 1 . 5

记取出的两个球是黑球为事件 B,同理可得 P(B)=

记事件 C 为取出的两个球的颜色相同,则 C=A+B,且 A,B 互斥,根据互斥事件的概率加 法公式,得 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=

2 . 5

(2)记事件 D 为取出的两个球的颜色不相同,则事件 C,D 互斥,根据互斥事件概率之间的关 系,得 P(D)=1-P(C)=1-

2 3 = . 5 5

37.该战士在打靶训练中射击一次取得 8 环(包括 8 环)以上成绩的概率为 0.69;及格的 概率为 0.93. 【解析】 试题分析:射击的成绩是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式即可求得结果. 试题解析:分别记该战士的打靶成绩在 9 分以上、在 8~9 分、在 7~8 分、在 6~7 分分别 为事件 B、C、D、E,这 4 个事件是彼此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式,该战士的 打靶成绩在 8 分以上的概率是 P(B ? C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 6分 该战士打靶及格的概率,即成绩在 6 分以上的概率,由公式得 P (B ? C ? D ? E) =P (B) +P (C) +P (D) +P (E) =0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 分 考点:互斥与对立事件、概率问题. 38. (1) 8

1 ; (2)不公平.理由参考解析 5

【解析】 试题分析: (1)因为游戏规则是编号分别为 1,2,3,4,5 五个球的口袋中,甲先摸出一个 球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙
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赢.该游戏是有放回的, 所以总共的基本事件有 25 种, 再列出符合条件的基本事件数即可得 到结论. (2) 由于题意可知甲获胜的基本事件共有 13 个, 所以甲获胜的概率大于乙获胜的概率所以 这个游戏不公平. 试题解析: (1)设“两个编号和为 6”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)共 5 个, 又甲、乙两人取出的数字共有 5×5=25(个)等可能的结果, 故

P( A) ?

5 1 ? . 25 5

(2)设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 13 个 : (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。 所以甲胜的概率 P ( B ) ?

13 , 25

乙胜的概率 P (C ) ? 1 ?

13 12 ? ? P( B) (可省略) 25 25

所以这种游戏规则是不公平的. 考点:1.概率的问题.2.列举分类的思想.3.事件的互斥的概念. 39.(1) ; (2)分布列详见解析,数学期望 E? ?

【解析】 试题分析: (1)从 50 名队员中随机抽出 2 人去完成一项特殊任务,且 2 人来自同一区域分 为四种情况,分别求概率,再根据互斥事件的概率求和公式计算; ( 2 )基本事件总数为
2 2 , X 的取值有三种情况: 当 X ? 0 时, 那么所选的两人都来自于 D, 有 C15 种; 当 X ?1 C35 1 1 时,一人来自于 A,一人来自于 D,有 C20 ? C15 种;当 X ? 2 时,所选两人全部来自于 A,

有 C20 ,分别计算其概率,并写出随机变量 X 分布列,进而再求数学期望. 试题解析: (1)记“这 2 人来自同一区域”为事件 E,那么 P(E)= = ,

2

所以这 2 人来自同一区域的概率是 . (2)随机变量 ξ 可能取的值为 0,1,2,且
2 C15 P(X=0)= 2 = C35

,P(X =1)=

=

,P(X =2)=

=

所以 ξ 的分布列是: X 0 P ξ 的数学期望为 Eξ =0× +1×

1

2

+2×

=

考点:1、古典概型和互斥事件的概率;2、离散型随机变量的分布列和期望.

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40. (1)

125 25 ; (2) . 27 216

【解析】 试题分析: (1)因为甲、乙、丙三位同学是否中奖是相互独立,因此可用相互独立事件同时 发生的概率求三位同学都没有中奖的概率; (2)将此问题看成是三次独立重复试验,每试验“中奖”发生的概率为

1 . 6

试题解析:解:设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件 A、B、C,那么事件 A、B、C 相互独 立,且 P(A)=P(B)=P(C) ?

1 . 6
__
__

(1)三位同学都没有中奖的概率为:
3 P( A · B · C )=P( A )P( B )P( C ) ? ( ) ?

__

__

__

__

5 6

125 . 216

6分

(2)三位同学中至少有两位没有中奖的概率为:
2 2 P= C 3 ( ) ?

5 6

25 125 200 25 1 3 5 3 ? C3 ( ) ? ? ? ? . 6 6 72 216 216 27

12 分

考点:1、相互独立事件同时发生的概率;2、独立重复试验. 41. 【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优秀” 为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A B C 与事件 E 是对立事件,于是 P(E)=1-P( A B C )=1-(1-

2 2 1 17 )(1- )(1- )= . 3 3 2 18

(2)ξ 的所有可能取值为 30,40,50,60.

2 2 1 1 )(1- )(1- )= , 3 3 2 18 5 P(ξ =40)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= , 18 8 P(ξ =50)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= , 18 4 P(ξ =60)=P(ABC)= . 18
P(ξ =30)=P( A B C )=(1- 所以 ξ 的分布列为 ξ P 30 40 50 60

1 18

5 18

8 18

4 18

∴E(ξ )=30× 42.

1 5 8 4 145 +40× +50× +60× = . 18 18 18 18 3

11 15 2 2 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不 3 5

【解析】解:由已知得:小明中奖的概率为

答案第 11 页,总 14 页

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影响,记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“X=5”,

2 2 4 × = , 3 5 15 11 ∴P(A)=1-P(X=5)= . 15
∵P(X=5)= ∴这两人的累计得分 X≤3 的概率为

11 . 15

43. (1)

1 27 (2) 5 10

【解析】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P( C )=1-

1 49 ·p= . 10 50

解得 p=

1 . 5

0 (2)由题意,P(ξ =0)= C3 ?

1 ? 1 ?3 ? = 1000 , ? 10 ?

1 P(ξ =1)= C3 ?

27 1? ? 1 ?2 ? ? · ?1 ? ? = 1000 , ? 10 ? ? 10 ?
1 ? 2 243 ? 1 ? ? ? · ?1 ? ? = 1000 , ? 10 ? ? 10 ? 1 ? 3 729 . ?= 10 ? 1000

2 P(ξ =2)= C3 ?

3 P(ξ =3)= C3 ?1 ?

? ?

所以,随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ 0 1 2 3

P

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 ξ 的数学期望:

E(ξ )=0×

1 27 243 729 27 +1× +2× +3× = 1000 1000 1000 1000 10

44. (I)

13 ; 16
0 1
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(II)分布列为

X

2

3

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P

3 32

13 32

13 32

3 32

E(X) ? 0 ?
【解析】

3 33 13 3 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 32 32 32 32 2

试题分析: (I) 由题意得乙公司得第一期, 第二期, 第三期工程承包权的概率分别是 , ,

1 1 3 . 4 2 4

记“甲乙至少获得 1 期工程”为事件 A ,甲公司获得 1 期工程,乙公司获得 2 期工程为事 件 B ,甲公司获得 2 期工程,乙公司获得 1 期工程为事件 C . 利用 P(C ) ? P( A) ? P( B) 或 P(C) ? P( A) ? 1 ? P( A) 加以计算; (II)由题意知, X 可取 0 , 1 , 2 , 3 .利用相互独立事件同时发生的概率计算公式即得. 应用数学期望计算公式得 E(X) ? 0 ?

3 33 13 3 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 32 32 32 32 2

此类问题的解答,关键在于明确算理,细心计算. 试题解析: (I) 由题意得乙公司得第一期, 第二期, 第三期工程承包权的概率分别是 , ,

1 1 3 . 4 2 4

记“甲乙至少获得 1 期工程”为事件 A ,甲公司获得 1 期工程,乙公司获得 2 期工程为事 件 B ,甲公司获得 2 期工程,乙公司获得 1 期工程为事件 C .

3 1 1 3 1 1 3 1 1 13 P(B) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 2 4 4 2 4 4 2 4 32 3 1 1 3 1 1 3 1 1 13 P(C ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? , 4 2 4 4 2 4 4 2 4 32
所以 P(C ) ? P ( A) ? P( B) ?

13 16 3 1 1 1 1 3 13 ? ? ? ? )? . 4 2 4 4 2 4 16

或 P(C ) ? P ( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ( ?

(II)由题意知, X 可取 0 , 1 , 2 , 3 .

3 1 1 3 P(X ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? , 4 2 4 32 3 1 3 1 1 3 1 1 1 13 P(X ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 4 4 2 4 4 2 4 32

答案第 13 页,总 14 页

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3 1 1 3 1 1 3 1 1 13 P (X ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? , 4 2 4 4 2 4 4 2 4 32 3 1 1 3 P (X ? 3) ? ? ? ? 4 2 4 32
分布列为

X P

0

1

2

3

3 32

13 32

13 32

3 32

所以 E(X) ? 0 ?

3 33 13 3 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 32 32 32 32 2

考点:相互独立事件同时发生的概率,对立事件的概率,随机变量的分布列及数学期望. 45.①②⑤ 【解析】A 为{三件产品全不是次品},指的是三件产品都是正品,B 为{三件产品全是次品},C 为{三件产品不全是次品},它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件, 由此知:A 与 B 是互斥事件,但不对立;A 与 C 是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B 与 C 是互斥事件,也是对立事件. 所以正确结论的序号为①②⑤. 46.

1 3
4

【解析】设 A 发生概率为 P,1-(1-P) =

65 1 ,P = . 3 81

47.

13 63
3 C52C5 , 5 C10

【解析】 数字之和小于 2 或大于 3 的对立事件为数字之和为 2 或者 3, 发生的概率为 2
3 13 C52C5 = . 5 63 C10

所以数字之和小于 2 或大于 3 的概率为 1-2

48.

284 285

3 【解析】基本事件总数为 C20 =1140.

方法一: 将所求事件分三类: “恰有 1 个一等品”“恰有 2 个一等品”“恰有 3 个一等品”,
1 2 2 1 3 由分类记数原理有 C16 =1136 种.故所求概率为 C4 +C16 C4 +C16

1136 284 = . 1140 285

3 3 方法二:考虑其对立事件“3 个都是二等品”,用间接法 C20 - C4 =1136 种,故所求的概

率为

1136 284 = . 1140 285
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