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2.3双曲线、标准方程和性质练习题(应用)


§2.3 双曲线、标准方程和性质练习题
§2.3.1 双曲线及其标准方程练习题及答案 一.基础巩固题
x2 y2 1.(2008 年高考宁夏卷)双曲线 - =1 的焦距为( ) 10 2 A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 答案:D 2.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 5 4 3 2 9 16 答案:A 3.已知双曲线的焦点在 x 轴上,且 a+c=9,b=3,则它的标准方程是________. x2 y2 答案: - =1 16 9 4.P 是双曲线 x2-y2=16 的左支上一点,F1,F2 分别是它的左,右焦点,则|PF1|-|PF2|= ________. 答案:-8 5.已知圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A、B 都在双曲线上,且 A、B 两点恰好将此 双曲线两焦点间线段三等分,求该双曲线的标准方程. 解:在 x2+y2-4x-9=0 中,令 x=0,得 A(0,-3),B(0,3),∴|AB|=6. |AB| ∴双曲线的焦距 2c=3×6=18,∴c=9.又 a= =3, 2 y2 x2 ∴b2=c2-a2=72,∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 72

二.能力提升题
1.若动点 P 到 F1(-5,0)与到 F2(5,0)的距离的差为± 8,则 P 点的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. + =1 B. - =1 C. + =1 D. - =1 25 16 25 16 16 9 16 9 解析:选 D.由题意知 P 点的轨迹是双曲线.因为 c=5,a=4,所以 b2=c2-a2=25-16=9. x2 y2 因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以 P 点的轨迹方程为 - =1. 16 9 2.已知两定点 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则当 a=3 和 a=5 时,P 点 的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 解析:选 C.由题意,|F1F2|=10,当 a=3 时,|PF1|-|PF2|=2a=6<10,此式中没有加绝对值, 此时点 P 的轨迹是双曲线的一支;当 a=5 时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|,点 P 的轨迹为以 F2 为端点,沿 x 轴向右的一条射线. 3 3.已知椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 10,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 5 个焦点的差的绝对值等于 4,则曲线 C2 的标准方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 4 5 5 4 5 4 4 5 x2 y2 解析:由题意知椭圆 C1 的两个焦点为(-3,0),(3,0).设曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1(a>0, a b 2 2 2 2 b>0),则有 a +b =9,且 2a=4.∴a =4,b =5,故选 A. x2 y2 4.若双曲线 - =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则点 P 到点(-5,0)的距离是( ) 16 9 A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 解析:设 F1(-5,0),F2(5,0),若 P 在左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|-8=
1

15-8=7;若 P 在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点 P 到点(-5,0)的距离是 7 或 23. 选 D. a2 25 5.已知双曲线的焦距为 26, = ,则双曲线的标准方程是________. c 13 x2 y2 y2 x2 解析: ∵2c=26, ∴c=13, 2=25.∴b2=144.即双曲线的标准方程为 - =1 或 - ∴a 25 144 25 144 x2 y2 y2 x2 =1. 答案: - =1 或 - =1 25 144 25 144 2 6.“ab<0”是“方程 ax +by2=c 表示双曲线”的________条件. 解析:若 ab<0,c=0,则方程不表示双曲线. 答案:必要不充分 x2 y2 7.已知方程 + =1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分别求出 k 的取 2-k k-1 值范围. 解:(1)方程表示双曲线需满足(2-k)(k-1)<0,解得 k>2 或 k<1. 即 k 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).

?2-k>0, ? 3 (2)方程表示椭圆需满足?k-1>0, 解得 1<k<2 且 k≠ . 2 ?2-k≠k-1. ?
3 3 即 k 的取值范围是(1, )∪( ,2). 2 2 3 (3)方程表示圆需有 2-k=k-1>0,即 k= . 2 x2 y2 8.设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的纵坐标 27 36 为 4,求此双曲线的方程. x2 y2 解:法一:由椭圆方程 + =1,得椭圆的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). 27 36 因为椭圆与双曲线在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,所以这个交点为 A( 15,4).
2 2 ?42-( 15) =1, ? 2 y2 x2 b 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意得?a a b 2 2 ?a +b =32. ?

? 2 ?a =4. 解得? 2 ?b =5. ?

y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 4 5

法二: 由椭圆方程, F1(0, 得 -3), 2(0,3), 15, ∴2a=||AF1|-|AF2||= ( 15)2+(4+3)2 F A( 4). y2 x2 - ( 15)2+(4-3)2=4.∴a=2,b2=c2-a2=5. 故所求双曲线方程为 - =1. 4 5 x2 x2 2 9.椭圆 2+y2=1(m>1)与双曲线 2-y =1(n>0)有公共焦点 F1,F2,P 是它们的一个交点,求 m n △F1PF2 的面积. 解:根据椭圆与双曲线焦点都在 x 轴上,不妨设 P 在第一象限,F1 是左焦点,F2 是右焦点, ?|PF1|+|PF2|=2m, ? 则由椭圆与双曲线的定义有? 可解得|PF1|=m+n,|PF2|=m-n, ? ?|PF1|-|PF2|=2n, 即|PF1|2+|PF2|2=2(m2+n2).又∵两者有公共焦点,设半焦距为 c.则 m2-1=c2,n2+1=c2, ∴m2+n2=2c2.∴|F1F2|2=4c2=2(m2+n2),∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴∠F1PF2=90° . 1 1 2 2 2 2 2 2 又∵m -1=n +1=c ,∴m -n =2.∴S△F1PF2 = |PF1||PF2|= [(|PF1|+|PF2|) -(|PF1|- 2 8 1 2 |PF2|)2]= (m -n2)=1. ∴△F1PF2 的面积为 1. 2

2

§2.3.2 双曲线的简单几何性质练习题及答案
一.基础巩固题
1.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9 3 2 A.y=± x B.y=± x 2 3 答案:A

x2 y2

) 9 C.y=± x 4 6 的是( 2 4 D.y=± x 9

2.(2009 年高考安徽卷)下列曲线中离心率为 A. - =1 2 4 解析:∵e=

) D. - =1 4 10

x2 y2

B. - =1 4 2
2 2 2

x2 y2

C. - =1 4 6
2

x2 y2

x2

y2

6 3 c 3 a +b 3 b 1 2 ,∴e = .即 2= .∴ 2 = .∴ 2= .故 B 选项正确. 2 2 a 2 a 2 a 2 2 2 x y 14 3.与椭圆 + =1 共焦点,离心率之和为 的双曲线的标准方程为________. 9 25 5 答案: - =1 4 12

y2

x2

x2 y2 2 3 4.已知双曲线 - =1 的离心率 e= ,则实数 m 的值是________. 3 m 3
答案:1

x2 y2 2 3 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和点 B(a,0)的直线 a b 3
与原点的距离为 3 ,求此双曲线的方程. 2

x y 3 解:直线 AB 的方程为: + =1,即 bx-ay-ab=0,根据原点到此直线的距离为 , a -b 2
得 |-ab|

a2+b

= 2

3 2 2 2 2 ,即 4a b =3(a +b ).……① 2
2

2 3 b 4 2 又 e= ,即 e =1+ 2= .……② 3 a 3

2

?a =3, ? 解①②组成的方程组,得? 2 ? ?b =1,

所以双曲线方程为 -y =1. 3

x2

2

二.能力提升题
1.(2009 年高考天津卷)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲 线的渐近线方程为( A.y=± 2x ) B.y=±2x C.y=± 2 x 2 1 D.y=± x 2

x2 y2 a b

解析:选 C.由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2,故双曲线的渐近线方程 2 为 y=± x. 2 2. 双曲线的焦点在 y 轴上, 且它的一个焦点在直线 5x-2y+20=0 上, 两焦点关于原点对称, 5 离心率 e= ,则此双曲线的方程是( ) 3 A. - =1 B. - =1 C. - =-1 D. - =-1 36 64 64 36 36 64 64 36 解析:选 D.在 5x-2y+20=0 中,令 x=0,得 y=10.∴一个焦点为(0,10),∴c=10.

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

3

c 5 y x 2 2 2 又 e= = ,∴a=6,∴b =c -a =64. 则所求双曲线的方程为 - =1. a 3 36 64
3.若双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a 等于( a 3 3 A.2 B. 3 C. D.1 2
2

2

2

x2 y2

)

c a2+3 解析:选 D.∵b= 3,∴c= a +3,∴ = =2,∴a=1. a a 2 2 x y 2 2 2 4.双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切,则 r=(
6 3 A. 3 B.2
2 2

)

C.3

D.6

x y 2 解析: ∵双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 则圆心(3,0)到 2y+x=0 的距离为 r, 6 3 2 3 ∴r= = 3.故选 A. 3 y2 5.过双曲线 M:x - 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线的两渐近线分别交 b
2

→ → 于 B,C 两点,且AB=BC,则双曲线的离心率是________. 解析:易知 A 点坐标为(-1,0),直线 AB 的方程为:y=x+1,渐近线的方程为 y=±bx. ? ?y=x+1, 1 1 由? 得 B 点横坐标为- ;同理,可得 C 点横坐标为 . b+1 b-1 ? ?y=-bx, 1 1 c → → 又AB=BC,所以 B 为 AC 中点,即 2×(- )=-1+ ,解得 b=3,所以 e= = 10. b+1 b-1 a 答案: 10 6.与双曲线 x - =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4 解析:依题意设双曲线的方程为 x - =λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得 λ=3, 4 所以所求双曲线的标准方程为 - =1.答案: - =1 3 12 3 12 2 2 7.已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴,且与圆 x +y =17 相交于 A(4,-1).若圆 在 A 点处的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线方程. 解:依题意,可得圆在点 A(4,-1)处的切线方程为 4x-y=17.由于双曲线的渐近线与切线 2 2 平行,且以坐标轴为对称轴,可得其渐近线方程为 4x±y=0.设所求双曲线方程为 16x -y 2 2 =λ(λ≠0),因为双曲线经过点 A(4,-1),所以 16×4 -(-1) =λ,即 λ=255. 16 2 1 2 所以所求双曲线方程为 x - y =1. 255 255 8.求焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5)的双曲线的离心率、标准方程及顶点坐标.
2 2

y2

y2

x2

y2

x2

y2

y2 x2 解:因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为: 2- 2=1(a>0,b>0).由双曲线 a b 2 2 2 2 的定义知 2a=| 2 +(-5-6) - 2 +(-5+6) |=4 5,所以 a=2 5.又因为 c=6,所以 c 6 3 b2=c2-a2=36-20=16.所以双曲线的离心率为 e= = = 5.所求双曲线的标准方程为 a 2 5 5 y2 x2
- =1.双曲线的两个顶点的坐标分别为:(0,-2 5),(0,2 5). 20 16 2 2 2 9.已知双曲线 x -y =a 及其上一点 P,求证: (1)离心率 e= 2,渐近线方程为 y=±x;

4

(2)P 到它两个焦点的距离的积等于 P 到双曲线中心距离的平方; (3)过 P 作两渐近线的垂线,构成的矩形面积为定值. 2 2 证明:(1)由已知得 c= a +a = 2a,∴e= 2,渐近线方程为 y=±x. 2 2 2 (2) 设 P(x0 , y0) , 则 x0 - y0 = a . 又 F1( - 2 a,0) 、 F2( 2 a,0) , ∴|PF1||PF2| = (x0+ 2a) +y0 · (x0- 2a) +y0 = 2x0 +a +2 2ax0 · 2x0 +a -2 2ax0 =| 2 x0 + a|| 2x0-a|=|2x02-a2|=|x02+y02|=|PO|2. |x0-y0| |x0+y0| (3)设垂足分别为 Q、R,则由点到直线距离公式知|PQ|= ,|PR|= , 2 2 1 2 1 2 2 ∴S 矩形 PQOR=|PQ||PR|= |x0 -y0 |= a (定值). 2 2
? ??
2 2 2 2 2 2 2 2

10. 如图, 已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|, E 分有向线段 AC 所成的比为 点 D、E 三点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.(14 分)
[解析]: 如图, AB 的垂直平分线为 y 轴, 以 直线 AB 为 x 轴, 建立直角坐标系, 则 CD⊥Oy.

8 , 双曲线过 C、 11

D E A
y D A E O

C B

c 由题意可设 A(-c,0) ,C( ,h) ,B(c,0) ,其中 c 为双曲线的半焦 2 1 AB ,h 是梯形的高. 由定比分点公式,得点 E 的坐标为 距, c ? 2 8 c 8 ?c? ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c , 11 xE ? yE ? ? h. 8 8 19 19 1? 1? 11 11
设双曲线的方程为

C B x

c x2 y2 ? 2 ? 1 ,由离心率 e ? . 2 a a b

由点 C、E 在双曲线上,得

?1 c 2 h2 ① h2 1 c2 ? ? 2 ? 2 ? 1, c2 ?4 a b 由①得 ? ? 2 ? 1 ,代入②得 2 ? 9 ? 2 2 b2 4 a a ? 49 ? c ? 64 ? h ? 1. ② 2 2 ? 361 a 361 b ?

所以离心率 e ?

c2 ?3 a2

11.θ 是第三象限角,方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

( D)

12.(2010·宝鸡模拟)P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离

x2 y2 a b

???? ???? ? 5 心率是 ,且 PF1 · PF2 =0,若△F1PF2 的面积是 9,则 a+b 的值等于( 4
A.4 B.7 C.6
2 2

)

D.5
2 2 2 2

解析:设|PF1|=x,|PF2|=y,则 xy=18,x +y =4c ,故 4a =(x-y) =4c -36,又

c a

5

5 = ,∴c=5,a=4,b=3,得 a+b=7. 答案:B 4 13.设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P, 满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程 为( ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

x2 y2 a b

解析:设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|,得 F2M⊥PF1,即|F2M|=2a,在 Rt△F1F2M 中,|F1M| = ? 2c?
2

-?

2a?

2

=2b,故|PF1|=4b,根据双曲线定义 4b-2c=2a,
2 2 2 2

即 2b-a=c,即(2b-a) =a +b ,即 3b -4ab=0,

b 4 即 3b=4a,故双曲线的渐近线方程是 y=± x, 即 y=± x,即 4x±3y=0. a 3
14.如图,椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为 e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,其大小关系为 ______________. 解析:椭圆①,②的 b 值相同,椭圆①的 a 值小于椭圆②的 a 值, c 由 e= = a b 1-? ?2可得 e1<e2<1.同理可得 1<e4<e3,故 e1<e2<e4<e3. a

答案:e1<e2<e4<e3 15. 已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1, 2 在坐标轴上, F 离心率为 2, 且过点(4, 10). - 点 M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程; ????? ????? (2)求证: MF1 · 2 =0; (3)求△F1MF2 面积. MF 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ.∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m m2 m2 ,kMF2= ,kMF1·MF2= k =- . ∵点(3,m)在双曲线上, 3 9-12 3+2 3 3-2 3 ????? ????? ∴9-m2=6,m2=3,故 kMF1·MF2=-1, ∴MF1⊥MF2. ∴ MF1 · 2 =0. k MF ????? ????? ????? ????? 法二:∵ MF1 =(-3-2 3,-m), MF2 =(2 3-3,-m),∴ MF1 · 2 =(3+2 3)×(3- MF ????? ????? MF 2 3)+m2=-3+m2,∵M 点在双曲线上, ∴9-m2=6,即 m2-3=0, ∴ MF1 · 2 =0. ∴kMF1= (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,由(2)知 m=± 3.∴△F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. 16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围.

6

x2 y2 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b x2 由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,∴b2=1,∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y2=1,得:(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 3

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k ?x x = -9 >0, ? 1-3k
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得

3 <k<1. 3

∴当

3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= ,∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2)=k(xA+xB)+2 2 1-3k2 = 2 2 ? 3 2k , 2 ?. . ∴AB 的中点 P 的坐标为? ? 1-3k2 ?1-3k2 1-3k2?

1 4 2 设直线 l0 的方程为:y=- x+m,将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . k 1-3k2 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0.∴m<-2 2. 3 ∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

x2 17.已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 4 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;
OB (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA · >2(其中 O

??? ??? ? ?

为原点),求 k 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, a b x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1,得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 3

?1-3k ≠0 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得? , ?Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0
1 ∴k2≠ 且 k2<1,①, 3 -9 6 2k 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x x = . 1-3k2 1 2 1-3k2

2

7

3k2+7 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 2 . 3k -1
??? ??? ? ? 3k2+7 -3k2+9 1 OB 又∵ OA · >2,得 x1x2+y1y2>2, ∴ 2 >2,即 2 >0,解得 <k2<3,② 3 3k -1 3k -1

1 3 3 由①②得 <k2<1, 故 k 的取值范围为(-1,- )∪( ,1). 3 3 3

8


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高中数学选修2-1同步练习 2.3.1双曲线及其标准方程(含...
高中数学选修2-1同步练习 2.3.1双曲线及其标准方程(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-1同步练习 2.3.1 双曲线及其标准方程一、选择题(每小题...
2.3.2双曲线的性质1
2.3.2双曲线的性质1_数学_高中教育_教育专区。...双曲线的顶点坐标及实 轴、虚轴概念;④应用...曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何 性质. ...
理科县优质课教案 §2.3.2 双曲线的简单性质
并熟练掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线)应用。 ...3 ,双曲 线标准方程。 4 (同步课堂练习)求符合下列条件的双曲线标准方程...
双曲线练习题(含答案)
双曲线的标准方程及其简单的几何性质一、选择题 1.平面内到两定点 E、F 的...-=1 3 4 ) 5.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线的( A.充分不...
《2.3.2双曲线的简单几何性质》教学案3
2.3.2双曲线的简单几何性质》教学案3_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...注意通过对双曲 线标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质的理解和应用, 而且...
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