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江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期末数学模拟试卷(二)


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江苏省扬州市高邮市界首中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学模拟试卷 (二)
一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)将﹣300°化为弧度为________________. 2. (5 分)已知集合 A={x|0<x≤2,x∈Z},则集合 A 的子集个数________________. 3. (5 分)已知 sin(π﹣θ)+3cos(π+θ)=0,其中 ,则 cosθ=________________.

4. (5 分)半径为 πcm,中心角为 120°的弧长为________________.

5. (5 分)已知向量

,则

=________________.

6. (5 分)已知幂函数 f(x)过点

,则 f(4)=________________.

7. (5 分)计算:

=________________.

8. (5 分)已知函数

,若 f(m)=2,则 f(﹣m)=________________.
x

9. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=1+2 ,则

=________________.

10. (5 分) 已知 f (x) 为定义在

上的偶函数, 当

时, f (x) =2cosx﹣3sinx, 设 a=f (cos1) ,

b=f(cos2) ,c=f(cos3) ,则 a,b,c 的大小关系为________________. 11. (5 分)函数 ①函数的最小正周期是 π; ②图象 C 关于直线 ③函数 f(x)在区间(﹣ 对称; , )上是增函数; 个单位长度可以得到图象 C.其中正确的是________________. (写出所有正确 的图象为 C.如下结论:

④由 y=3sin2x 的图象向右平移 结论的序号)

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12. (5 分)已知函数 f(x)= ,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实数根,则

实数 k 的取值范围是________________.

13. (5 分)已知△ ABC 中,

= ,

= 、

= ,若 ? = ? ,且

+

=0,则△ ABC 的形状是.

14. (5 分)对于函数

,下列判断中,正确结论的序号是(请写出所有正确结论的序号) .

①f(﹣x)+f(x)=0; ②当 m∈(0,1)时,方程 f(x)=m 总有实数解; ③函数 f(x)的值域为 R; ④函数 f(x)的单调减区间为(﹣∞,+∞) . 二、解答题(前 3 题每题 14 分、后 3 题 16 分) 15. (14 分)已知角 a 终边上一点 P(﹣4,3) ,求 的值.

16. (14 分)已知函数 f(x)=x +1,g(x)=4x+1,的定义域都是集合 A,函数 f (x)和 g(x)的值域分别为 S 和 T, ①若 A=[1,2],求 S∩T ②若 A=[0,m]且 S=T,求实数 m 的值 ③若对于集合 A 的任意一个数 x 的值都有 f(x)=g(x) ,求集合 A.

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17. (14 分)已知向量 , 且

①用“五点法”作出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象. ②求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; ③求函数 f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量 x 的取值集合 ④函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? ⑤当 x∈[0,π],求函数 解: (1)列表 的值域

(2)作图

18. (16 分)已知向量 ①若向量 与向量 ②若向量 与向量

, =(1,﹣2) , 垂直,求实数 k 的值 共线,求实数 k 的值

③设向量 与 的夹角为 α, 与 的夹角为 β,是否存在实数 k 使 α+β=π?求实数 k 的值,若不存在说明理由?

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19. (16 分)某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产 品的有关数据如表: (单位:万美元) 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定,预计 m∈[6,8],另外, 年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x 万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系,并求出其定 义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.
2

20. (16 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=ax+3(a∈R) ,记函数 F(x)=f(x)﹣g(x) , (1)判断函数 F(x)的零点个数; (2)若函数|F(x)|在[0 ,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. (3)若 a>0,设 F(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式.

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江苏省扬州市高邮市界首中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学模拟 试卷(二)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)将﹣300°化为弧度为 .

考点: 弧度与角度的互化. 专题: 计算题. 分析: 本题角度化为弧度,变换规则是度数乘以 解答: 解:﹣300°× 故答案为: 点评: 本题考查弧度与角度的互化,角度化为弧度用度数乘以 题关键是熟练记忆转化的规则. 2. (5 分)已知集合 A={x|0<x≤2,x∈Z},则集合 A 的子集个数 4. 考点: 子集与真子集. 专题: 规律型. 分析: 根据条件求出集合 A,利用子集的关系即可得到结论. 解答: 解:∵A={x|0<x≤2,x∈Z}={1,2}, ∴对应的子集为?,{1},{2},{1,2},共 4 个. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查集合子集个数的判断,比较基础. ,弧度化为角度用度数乘以 ,正确做对本 = . .

3. (5 分)已知 sin(π﹣θ)+3cos(π+θ)=0,其中

,则 cosθ=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用诱导公式化简得到 sinθ=3cosθ,代入 sin θ+cos θ=1 中计算即可求出 cosθ 的值. 解答: 解:∵sin(π﹣θ)+3cos(π+θ)=sinθ﹣3cosθ=0,即 sinθ=3cosθ, 代入 sin θ+cos θ=1,得:9cos θ+cos θ=10cos θ=1,即 cos θ= ∵θ∈(0, 则 cosθ= ) ,∴cosθ>0, .
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故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

4. (5 分)半径为 πcm,中心角为 120°的弧长为



考点: 弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 先将圆心角角度化成弧度制,然后直接利用弧长公式 l=|α|?r 进行求解即可. 解答: 解:圆弧所对的中心角为 120°即为 弧长为 l=|α|?r= 故答案为: ×π= . , 弧度,半径为 π,

点评: 本题主要考查了弧长公式 l=|α|?r,主要圆心角为弧度制,掌握好其公式并能熟练应用,属于基础题.

5. (5 分)已知向量

,则

=1.

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量模的计算公式和平方关系即可得出. 解答: 解:∵向量 ∴ =1. ,

故答案为 1 . 点评: 熟练掌握向量模的计算公式和平方关系是解题的关键.

6. (5 分)已知幂函数 f(x)过点

,则 f(4)=



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用待定系数法求出幂函数的表达式,函数代入求值即可. 解答: 解:设 f(x)=x ,∵f(x)过点 ∴f(2)= ,
﹣2

α



∴α=﹣2,即 f(x)=x = ∴f(4)= .



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故答案为: .

点评: 本题主要考查幂函数的性质,利用待定系数法求出 f(x)是解决本题的关键,比较基础.

7. (5 分)计算:

= .

考点: 有理数指数幂的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 根据指数幂的运算法则进行计算即可. 解答: 解: 故答案为: . 点评: 本题主要考查指数幂的计算,利用指数幂的运算法则是解决本题的关键,比较基础. = = ,

8. (5 分)已知函数

,若 f(m)=2,则 f(﹣m)=﹣2.

考点: 正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: 运用函数奇偶性的定义可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而可得 f(﹣m)=﹣f(m) ,从而求出 f(m)+f(﹣m) 的值,即可求出 f(﹣m)的值 解答: 解:因为 f(x)= f(﹣x)= =﹣( )=﹣f(x)

∴f(﹣m)=﹣f(m) , f(m)=2 即 f(m)+f(﹣m)=0 ∴f(﹣m)=﹣2 故答案为:﹣2. 点评: 本题首先利用构造方法构造新的函数,然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,用整体思想求解 出 f(m)+f(﹣m)为一定值,解题时要注意整体思想的运用. 9. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=1+2 ,则
x

=﹣9.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先根据已知条件把
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转化为 f(﹣3) ;再结合奇函数以及 x>0 时,f(x)=1+2 即可得到结论.

x

解答: 解:因为:log

=﹣3;
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∴ =f(﹣3) ;
x

∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=1+2 , 3 ∴f(﹣3)=﹣f(3)=﹣(1+2 )=﹣9. 故答案为:﹣9. 点评: 本题主要考察函数的奇偶性性质的应用.属于基础题目.

10. (5 分) 已知 f (x) 为定义在

上的偶函数, 当

时, f (x) =2cosx﹣3sinx, 设 a=f (cos1) ,

b=f(cos2) ,c=f(cos3) ,则 a,b,c 的大小关系为 b>a>c. 考点: 正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得,当 时,f(x)=2cosx﹣3sinx 是减函数,函数 f(x)在[﹣ 0]上是增函数,

再由 1>|cos3|>|cos1|>|cos2|>0,利用函数的单调性可得 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:∵已知 f(x)为定义在 数, ∴函数 f(x)在[﹣ 由于|cos1|>cos 0]上是增函数. 上的偶函数,当 时,f(x)=2cosx﹣3sinx 是减函

> ,|cos2|=|﹣cos(π﹣2)|=cos(π﹣2)<cos1,|cos3|=|﹣cos(π﹣3)|=cos(π﹣3)>cos1,

即 1>|cos3|>|cos1|>|co s2|>0,∴f(cos2)>f(cos1)>f(cos3) ,即 b>a>c, 故答案为 b>a>c. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,诱导公式,属于中档题.

11. (5 分)函数 ①函数的最小正周期是 π; ②图象 C 关于直线 ③函数 f(x)在区间(﹣ 对称; ,

的图象为 C.如下结论:

)上是增函数; 个单位长度可以得到图象 C. 其中正确的是①②. (写出所有正确结论的序号)

④由 y=3sin2x 的图象向右平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数 f(x)=3sin(2x﹣ 解答: 解:∵f(x)=3sin(2x﹣ ∴其最小正周期 T= ) , )的性质,对①②③④四个选项逐一判断即可.

=π,故①正确;

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由 2x﹣ =kπ+ (k∈Z)得:x= + (k∈Z) , + (k∈Z) ,

∴f(x)=3sin(2x﹣ 当 k=0 时,x= ,

)的对称轴方程为:x=

∴图象 C 关于直线 x= 由 2kπ﹣ ≤2x﹣

对称,正确,即②正确; 得:kπ﹣ ≤x≤kπ+ (k∈Z) , ](k∈Z) , ,但 > ,

≤2kπ+

∴f(x)=3sin(2x﹣ 当 k=0 时,[﹣ ,

)的增区间为[kπ﹣

,kπ+ >﹣

]为其一个增区间,而﹣ ,

∴函数 f(x)在区间(﹣

)上不是增函数,即③错误; 个单位长度可以得到 y=3sin2(x﹣ )=3sin(2x﹣ )≠3sin(2x﹣ )=f(x) ,

又将 y=3sin2x 的图象向右平移

故④错误. 综上所述,①②正确. 故答案为:①②. 点评: 本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握正弦函数的 性质是解决问题之关键,属于中档题.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实数根,则

实数 k 的取值范围是 0<k<1. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作出函数 f(x)的图象,利用数形结合即可得到 k 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≥2 时,f(x)=2
2﹣x

=



∴作出函数 f(x)的图象如图: 由图象可知,当 k>1 时,方程 f(x)=k 没有根, 当 k=1 时,方程 f(x)=k 只有 1 个根, 当 0<k<1 时,方程 f(x)=k 有 2 个根, 当﹣1≤k≤0 时,方程 f(x)=k 只有 1 个根, 当 k<﹣1 时,方程 f(x)=k 没有根, 故若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是 0<k<1, 故答案为:0<k<1

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点评: 本题主要考查方程根的个数的判断,利用方程和函数之间的关系,转化为两个函数图象的交点问题是解决 本题的关键,利用数形结合是解决本题的基本思想.

13. (5 分)已知△ ABC 中, 角形.

= ,

= 、

= ,若 ? = ? ,且

+

=0,则△ ABC 的形状是等腰直角三

考点: 平面向量数量积的运算;三角形的形状判断. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ? = ? ,利用两个向量的数量积的定义可得| |?cosC=| |cosA,再由余弦定理可得 a=c,故三角形为 等腰三角形.再由 + =0 可得, = , ,△ ABC 也是直角三角形,综合可得结论. = 、 = ,又∵ ? = ? ,

解答: 解:∵△ABC 中,

∴| |?| |?cos(π﹣C)=| |?| |?cos(π﹣A) ,化简可得 | |?cosC=| |cosA. 设△ ABC 的三边分别为 a、b、c,再把余弦定理代入可得 a? 化简可得 a =c ,a=c,故三角形为等腰三角形. 再由 + =0 可得 ?( + )= ?(﹣ )=0,∴ ? =0,∴ .
2 2

=c?



即 B=90°,∴△ABC 也是直角三角形. 故答案为:等腰直角三角形. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,两个向量垂直的条件,判断三角形的形状的方法,注意两个向量 的 夹角的值,属于中档题.

14. (5 分)对于函数

,下列判断中,正确结论的序号是①②(请写出所有正确结论的

序号) . ①f(﹣x)+f(x)=0; ②当 m∈(0,1)时,方程 f(x)=m 总有实数解; ③函数 f(x)的值域为 R; ④函数 f(x)的单调减区间为(﹣∞,+∞) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用.
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分析: ①利用奇函数的定义即可判断出; ②先求出函数的值域即可判断出; ③由②可知不正确; ④可利用导数得出其单调性. 解答: 解:①∵f(﹣x)+f(x)= ②∵﹣|x|≤x≤|x|,∴ ∴函数 f(x)的值域是(﹣1,1) . 因此当 m∈(0,1)时,方程 f(x)=m 总有实数解, ∴②正确; ③由②判断可知③不正确; ④由①可知:函数 f(x)是奇函数. =0, (x∈R) ,∴①正确; ,

又∵f(x)=



当 x≥0 时 ,

, ∴函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增;

由函数 f(x)是奇函数,∴函数 f(x)在(﹣∞,0)也单调递增,且在 x=0 时连续,故函数 f(x)在 R 上单调递 增. 因此④不正确. 综上可知:正确答案为①②. 故答案为①②. 点评: 熟练掌握函数的单调性和奇偶性是解题的关键. 二、解答题(前 3 题每题 14 分、后 3 题 16 分) 15. (14 分)已知角 a 终边上一点 P(﹣4,3) ,求 的值.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 根据题意利用任意角的三角函数定义求出 tanα 的值,所求式子利用诱导公式化简,将 tanα 的值代入计算 即可求出值. 解答: 解:∵角 a 终边上一点 P(﹣4,3) , ∴cosα=﹣ ,sinα= ,tanα=﹣ , ∴原式= =﹣tanα= .

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 16. (14 分)已知函数 f(x)=x +1,g(x)=4x+1,的定义域都是集合 A,函数 f(x)和 g(x)的值域分别为 S 和 T, ①若 A=[1,2],求 S∩T
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②若 A=[0,m]且 S=T,求实数 m 的值 ③若对于集合 A 的任意一个数 x 的值都有 f(x)=g(x) ,求集合 A. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域,根据集合的基本运算求 S∩T. ②根据条件 A=[0,m] 且 S=T,建立条件关系即可求实数 m 的值. ③根据条件 f(x)=g(x)建立条件关系即可求集合 A. 解答: 解: (1)若 A=[1,2], 2 则函数 f(x)=x +1 的值域是 S=[2,5], g(x)=4x+1 的值域 T=[5,9], ∴S∩T={5}. (2)若 A=[0,m],则 S=[1,m +1],T=[1,4m+1], 2 由 S=T 得 m +1=4m+1,解得 m=4 或 m=0(舍去) . (3)若对于 A 中的每一个 x 值,都有 f(x)=g(x) , 2 即 x +1=4x+1, 2 ∴x =4x 解得 x=4 或 x=0, ∴满足题意的集合是{0],或{4}或{0,4}. 点评: 本题主要考查了二次函数、一次函数的性质,集合相等,集合的表示方法.考查对知识的准确理解与掌握.
2

17. (14 分)已知向量





①用“五点法”作出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象. ②求函数 f(x)的最小正周期和单调增区 间; ③求函数 f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量 x 的取值集合 ④函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?⑤当 x∈[0,π],求函数 的值域 解: (1)列表

(2)作图

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考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 综合题;三角函数的图像与性质. 分析: ①利用“五点法”得到五点,列出表格,可画图; ②由周期公式可得周期,根据正弦函数的增区间可得结果; ③根据正弦函数的最大值可求; ④根据图象的平移、伸缩变换规律可得结果; ⑤先由 x 的范围得 x﹣ 的范围,从而可得答案; ) ,列表如下:

解答: 解:①f(x)=2sin(x﹣

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示:

②f(x)的最小正周期为 2π, 由 ∴f(x)的单调增区 间为[ ③当 x ﹣ = ,即 x= , ,得 ],k∈Z. ,k∈Z 时,f(x)取得最大值为 2, ,k∈Z}. ,

f(x)取得最大值时 x 的取值集合为:{x|x=

④先把 y=sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y=sinx 的图象, 然后把 y=sinx 的图象向右平移 把 y=sin(x﹣ 个单位,得到 y=sin(x﹣ )的图象, )的图象;

)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变,得到 f(x)=2sin(x﹣ ∈[﹣ , ], ,2].

⑤当 x∈[0,π]时,x﹣ 此时函数

的值域为:[﹣

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点评: 本题考查 y=Asin(ωx+φ)的图象作法、图象变换及单调性最值,本题综合性较强,但涉及知识较为基础, 应熟练掌握.

18. (16 分)已知向量 ①若向量 与向量 ②若向量 与向量

, =(1,﹣2) , 垂直,求实数 k 的值 共线,求实数 k 的值

③设向量 与 的夹角为 α, 与 的夹角为 β,是否存在实数 k 使 α+β=π?求实数 k 的值,若不存在说明理由? 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: ①由向量 、 的坐标,求出 与 满足条件的实数 k 的值; ②根据向量 与 的坐标,利用向量平行的条件建立关于 k 的等式,解之可得满足条件的实数 k 的值; 的坐 标,根据向量垂直的坐标表示建立关于 k 的等式,解之可得

③设向量 、 、 的起点为 O,终点分别为 A、B、M,则当点 M 落在∠AOB 的补角∠AOC 的平分线上时,满足 α+β=π.此时点 M 到直线 OA、OB 的距离相等,且 M 在第二或第四象限内,利用点到直线的距离公式建立关于 k 的方程,解之可得:存在 k=﹣ ,使 α+β=π 成立. 解答: 解:∵ ∴ , =(1,﹣2) , =(﹣7,4)

=(k﹣3,﹣2k+1) , 垂直,

①∵向量 与向量

∴(k﹣3)×(﹣7)+(﹣2k+1)×4=0,解之得 k= ; ②∵向量 与向量 共线, ;

∴(k﹣3)×4﹣(﹣7)×(﹣2k+1)=0,解之得 k= ③设 = = , , = =(1,﹣2) ,

此时∠MOA=α,∠MOB=β,α+β=∠MOA+∠MOB, 设∠AOC 是∠AOB 的补角,则当 M 在∠AOC 的平分线上时,α+β=∠MOC+∠MOB=π. 直线 OA 的方程为 x+3y=0,直线 OB 的方程为 2x+y=0,点 M(k﹣3,﹣2k+1)到直线 OA、OB 的距离相等. ∴ ,解之得 k= .

又∵点 M(k﹣3,﹣2k+1)是第二或第四象限内的点,
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∴(k﹣3) (﹣2k+1)<0,解得 k< 或 k>3,由此可得 k= 综上所述,存在 k=﹣ ,使 α+β=π 成立. 不符合题意,舍去.

点评: 本题给出向量含有参数 k 的坐标, 探索两个向量平行、 垂直的位置关系. 着重考查了平面向量的坐标运算、 向量平行与垂直的条件、点到直线的距离公式及其应用等知识,属于中档题. 19. (16 分)某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产 品的有关数据如表: (单位:万美元) 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定,预计 m∈[6,8],另外, 2 年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x 万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系,并求出其定 义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题;作差法. 分析: (1)利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税,可求得该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年 利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系和定义域; (2)作差法比较年利润 y1,y2 的大小,设确定计相关方 案. 解答: 解: (1)y1=10x﹣=(10﹣m)x﹣20,0<x≤200,且 x∈N 2 2 y2=18x﹣(8x+40)﹣0.05x =﹣0.05x +10x﹣40,0<x≤120 且 x∈N (2)∵6≤m≤8 ∴10﹣m>0 ∴y1=(10﹣m)x﹣20 为增函数 又 0≤x≤200,x∈N ∴x=200 时,生产 A 产品有最大利润(10﹣m)×200﹣20=1980﹣200m(万美元) y2=﹣0.05x +10x﹣40=﹣0.05(x﹣100) +4600≤x≤120,x∈N ∴x=100 时,生产 B 产品有最大利润 460(万美元) (y1)max﹣(y2)max =1980﹣200m﹣460 =1520﹣200m 当 6≤m<7.6 时, (y1)max﹣(y2)max>0 当 m=7.6 时, (y1)max﹣(y2)max=0 当 7.6<m≤8 时, (y1)max﹣(y2)max<0
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∴当 6≤m<7.6 投资 A 产品 200 件可获得最大利润 当 7.6<m≤8 投资 B 产品 100 件可获得最大利润 m=7.6 生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润. 点评: 考查根据实际问题抽象函数模型的能力,并能根据模型的解决,指导实际生活中的决策问题,属中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=ax+3(a∈R) ,记函数 F(x)=f(x)﹣g(x) , (1)判断函数 F(x)的零点个数; (2)若函数|F(x)|在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. (3)若 a>0,设 F(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)求出函数 F(x)的表达式,根据判别式即可判断函数 零点的个数. (2)根据函数|F(x)|在[0,1]上是减函数,即可求实数 a 的取值范围. (3)根据函数 F(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,讨论对称轴与区间的关系,即可求出 g(a) .的表达式 2 解答: 解: (1)∵f(x)=x ,g(x)=ax+3(a∈R) , 2 ∴函数 F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣ax﹣3. 2 2 则判别式△ =a ﹣4(﹣3)=a +12>0, ∴函数 F(x)的零点个数有 2 个. 2 (2)∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣ax﹣3. ∴|F(x)|=|x ﹣ax﹣3|= 当 a≤0 时,对应的图象为: , 当 a>0 时,对应的图象为: , ∴要使函数|F(x)|在[0,1]上是减函数, 则 ,解得﹣2≤a≤0.
2 2 2 2



(3)∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣ax﹣3=(x﹣ ) ∴对称轴 x= , ①若 ②若 ③若 3.

﹣3,

,即 0<a≤2 时,函数 F(x)在[1,2]上单调递增,∴F(x)最小值为 g(a)=F(1)=﹣2﹣a. ,即 a≥4 时,函数 F(x)在[1,2]上单调递减,∴F(x)最小值为 g(a)=F(2)=1﹣2a. ,即 2<a<4 时,函数 F(x)在[1,2]上不单调,∴函数 F(x)最小值为 g(a)=F( )=﹣ ﹣

综上:g(a)=



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点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法得到二次函数的对称轴,根据对称轴和单调区间之间的 关系是解决本题的关键.

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