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13讲 变化率与导数、导数的运算


13讲

考纲要求 1.了解导数概念的实际背景。 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义。 1 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x,y=x2, y=x3,y= x的导数。 4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数。

考情分析 1.导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点。

2. 导数的运算一般不单独命题, 常在考查导数的应用中同时考查, 而导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇命题。 3.题型主要以选择题、填空题或解答题中的基本的一步的形式出 现,属中低档题。

[小题热身] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0)。( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。( √ ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线。( × ) 1 2 (4)若 f(x)=f′(a)x +lnx(a>0),则 f′(x)=2xf′(a)+ x。( √ )

解析:(1)错误。应先求 f′(x),再求 f′(x0)。 (2)正确。 如 y=1 是曲线 y=sinx 的切线, 但其交点个数有无数个。 (3)错误。如 y=0 与抛物线 y2=x 只有一个公共点,但是 y=0 不 是抛物线 y2=x 的切线。 (4)正确。 f′(x)=(f′(a)x2+lnx)′=(f′(a)x2)′+(lnx)′=2xf′(a) 1 + x。

2.若 f(x)=xex,则 f′(1)=( ) A.0 B.e C.2e D.e2

解析:∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e,故选 C。 答案:C

3.曲线 y=xlnx 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实 数 a 的值为( ) A.2 B.-2 1 1 C.2 D.-2

解析:依题意得 y′=1+lnx,y′|x=e=1+ln e=2, 1 所以-a×2=-1,a=2,故选 A。 答案:A

1 2 4.某质点的位移函数是 s(t)=2t - gt (g=10 m/s2),则当 t=2 s 2 时,它的加速度是( ) A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D.-4 m/s2
3

解析:由 v(t)=s′(t)=6t2-gt,a(t)=v′(t)=12t-g, 得 t=2 时,a(2)=v′(2)=12×2-10=14(m/s2)。 答案:A

5.曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为__________。

解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2。 ∴该切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0。 答案:2x-y+1=0

[知识重温] 一、必记 5●个知识点 1.平均变化率及瞬时变化率 Δy (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是: = Δx f?x2?-f?x1? ①______________ 。 x2-x1 (2)f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:Δ lim x→0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim =②__________________ 。 Δ x→0 Δx Δx

2.导数的概念 (1)f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0 处的③__________ 记作 瞬时变化率, f?x0+Δx?-f?x0? y′| x=x 或 f′(x0),即 f′(x0)=Δ lim 。 x→0 Δx (2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时,f′(x)即为 f(x)的导函数,简称 f?x+Δx?-f?x? 。 导数,即 y′=f′(x)=④__________________ lim Δ x→0 Δx 3.导数的几何意义 函 数 f(x) 在 x = x0 处 的 导 数 就 是 ⑤ ________________________________ ,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)) 曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率 y-y0=f′(x0)(x-。 x0) 处的切线的斜率 k=f′(x0),切线方程为⑥________________
0

4.基本初等函数的导数公式 (1)C′=⑦______( C 为常数)。 0 (2)(xn)′=⑧__________( n∈Q*)。 nxn-1 cosx ,(cosx)′=⑩______ -sinx 。 (3)(sinx)′=⑨______ ex ,(ax)′=?______ axlna 。 (4)(ex)′=?______ 1 ,(log x)′=?______ 1 。 (5)(lnx)′=?______ a x xlna 5.导数运算法则 f′(x)± g′(x ) (1)[f(x)± g(x)]′=?__________ 。 f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 。 (2)[f(x)· g(x)]′=?____________________ ? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? (3) ′= (g(x)≠0)。 [g?x?]2 ?g?x??

二、必明 3●个易误点 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘 法公式混淆。 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区 别,前者只有一条,而后者包括了前者。 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线 与二次曲线相切时有差别。

考点一 导数的计算 【典例 1】求下列函数的导数 ? 2 1 1? x (1)y=e sinx;(2)y=x?x +x +x3?; ? ? x x (3)y=x-sin2cos2。

解析:(1)y′=(ex)′sinx+ex(sinx)′=exsinx+excosx。 1 2 3 2 (2)因为 y=x +x2+1,所以 y′=3x -x3。 1 1 (3)因为 y=x-2sinx,所以 y′=1-2cosx。

悟· 技法 导数计算的原则和方法 (1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数 的和、差、积、商,再求导。 (2)方法: ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单 的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差和的形式,再求导; ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导。

通· 一类 1.求下列函数的导数 (1)y=(2x2-1)(3x+1); x+x5+sinx (2)y= ; x2 x? 2x ? (3)y=-sin2?1-2cos 4?。 ? ?

解析:(1)因为 y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以,y′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3。 sinx (2)因为 y= =x +x + 2 , x ?sinx? 3 3 ? ? 所 以 , y′ = (x )′ + (x )′ + x2 ′ = - 2 x ? ? x2cosx-2xsinx 3 -2 -3 2 = 3 x + x cos x - x - 2 x sinx。 4 x 2 ? x? x? 2x ? 2x (3)因为 y=-sin ?1-2cos 4?=sin ?2cos 4-1? 2? 2? ? ? x x 1 1 =sin2cos2=2sinx,所以,y′=2cosx。
? 3 2

3

?

3 2

?

5 2

+ 3x 2 +

?

5 2

考点二 导数的几何意义及应用 1 3 4 【典例 2】已知曲线 y= x + 。 3 3 (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程。

解析:(1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4。 ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0。

? 1 3 4? 1 3 4 ? (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0,3x0+3?, 3 3 ? ? 2 则切线的斜率 k=y′| x=x =x0 。 ?1 3 4? ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x2 0(x-x0), ? ? 2 3 4 2 即 y=x0· x-3x0+3。 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 - 0 3x0+3,
0

2 即 x3 0-3x0+4=0, 2 2 ∴x3 0+x0-4x0+4=0, ∴x2 0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0。

悟· 技法 导数几何意义的应用及解决 (1)已知切点 A(x0,y0)求斜率 k,即求该点处的导数值 k=f′(x0)。 (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k。 (3)求过某点 M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点 A(x0,f(x0)),则 切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把点 M(x1,y1)代入切线方程, 求 x0。 (4)根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点 P(x0,y0) 既在曲线上又在切线上构造方程组求解。 提醒:当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时,则切线恒过 定点。

通· 一类 - 2.曲线 y=xex 1 在点(1,1)处切线的斜率等于( A.2e B.e C.2 D.1

)

解析:∵y=xex-1,∴y′=ex-1+xex-1, ∴k=y′|x=1=e0+e0=2,选 C。 答案:C

3.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a =( ) A.0 B.1 C.2 D.3

1 解析:y′=a- ,由题意得 y′|x=0=2, x+1 即 a-1=2,所以 a=3。 答案:D

4.若曲线 y=e-x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则 点 P 的坐标是__________。

解析:由题意有 y′=-e-x,设 P(m,n),直线 2x+y+1=0 的斜 率为-2,则由题意得-e-m=-2,解得 m=-ln2,所以 n=e-(-ln2)= 2。 答案:(-ln2,2)

1 2 7 5. 已知函数f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? m x ? (m ? 0), 2 2 直线l与函数f ( x), g ( x)的图像都相切, 且与f ( x)图像的切点为( 1,f (1)) , 则m的值为 A. ? 1 C. ? 4 B. ? 3 D. ? 2

高考模拟 1.(2016· 湖北重点中学联考)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满 足关系式 f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则 f′(2)的值等于( ) 9 9 A.2 B.-2 C.4 D.-4

解析:因为 f(x)=x2+3xf′(2)+lnx, 1 所以 f′(x)=2x+3f′(2)+x 。 1 令 x=2,则 f′(2)=2×2+3f′(2)+ , 2 9 9 即 2f′(2)=- ,所以 f′(2)=- ,故选 D。 2 4 答案:D

2.(2016· 厦门质检)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x -a1)(x-a2)?(x-a8),则 f′(0)=( ) A.26 B.29 C.212 D.215

解析:函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1· a2· ?· a8=(a1· a8)4=84 =212,而 f′(0)=a1· a2· ?· a8=212,故选 C。 答案:C

3sinθ 3 cosθ 2 3.(2016· 漯河模拟)设函数 f(x)= 3 x + 2 x +4x-1,其中 θ ? 5π? ∈?0, 6 ?,则导数 f′(-1)的取值范围是( ) ? ? A.[3,6] B.[3,4+ 3] C.[4- 3,6] D.[4- 3,4+ 3]

解析:f′(x)= 3sinθ· x2+cosθ· x+4,
? π? f′(-1)= 3sinθ· (-1) +cosθ· (-1)+4=2sin?θ-6?+4, ? ? ? π? 5π π π 2π 1 ∵0≤θ≤ 6 ,∴-6≤θ-6≤ 3 ,∴-2≤sin?θ-6?≤1, ? ?
2

∴3≤f′(-1)≤6。 答案:A

1 4.(2015· 陕西卷)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x> x 0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为__________。
x

解析:y′=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲 1 线 y= (x>0)上点 P 处的切线与 y=ex 在点(0,1)处的切线垂直,所以 y x 1 1 = (x>0)在点 P 处的切线的斜率为-1,设 P(a,b),则曲线 y= (x> x x 0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a-2=-1,可得 a=1,又 P(a, 1 b)在 y=x 上,所以 b=1,故 P(1,1)。 答案:(1,1)

b 5.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过 x 点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行, 则 a+b 的值是__________。
2

b b 解析:由曲线 y=ax + 过点 P(2,-5),得 4a+ =-5。① x 2 b b 7 又 y′=2ax- 2,所以当 x=2 时,4a- =- ,② x 4 2 ? ?a=-1 由①②得? 所以 a+b=-3。 ? b =- 2 , ? 答案:-3
2


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