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高一数学必修3


必修 3 第三章《概率》检测题 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个 样本容量为 10 的样本进行研究,求女同学甲被抽到的概率为( A. 1 50 B. 1 10 1 C. 5 D. 1 4 ) )

2.有分别写着数字 1 到 120 的 120 张卡片,从中取出 1 张,这张卡片上的数字是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率是( A. 1 2 B. 3 4 4 C. 7 D. 2 3 )

3.在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数 a<13 的概率是( A. 1 3 B. 1 7 C. 3 10 D. 7 10

4.在 200 个产品中,一等品有 60 个,二等品有 120 个,三等品有 20 个,用分层抽样的方法抽取一个容量 20 的样本,则二等品 中 A 被抽取到的概率( A.等于 1 5 ) 2 C.等于 3 D.不确定

1 B.等于 10

5.一个正四面体的玩具,各面分别标有 1,2,3,4 中的一个数字,甲、乙两同学玩游戏,每人抛掷一次,朝下一面的数字和为奇数甲 胜,否则乙胜,则甲胜的概率为( A. 1 3 B. 1 2 ) 2 C. 3 D. 3 4

1 1 6.如右图所示,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 与 a,高为 b.向该矩形内随机投一点, 3 2 则所投的点落在梯形内部的概率是( A. 7 10 B. 5 7 C. ) 5 12 ) D. 1 6 倍的概率是( ) D. 5 8

7.掷两颗骰子,事件“点数之和为 6”的概率是( A. 1 11 B. 1 9 C. 5 36

8. A 为圆周上一点, 设 在圆周上等可能的任取一点与 A 连接, 则弦长超过半径 2 A. 3 4 B. 1 2 1 C. 3 D. 3 5

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是( A. π 4 B. π 8 π C. 6 D. π 12 )

)

10.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是( A. 1 27 B. 1 9 2 C. 9 D. 2 27

1 1 2 4 11.设 l 是过点 A(1,2)斜率为 k 的直线,其中 k 等可能的从集合{-1,- ,0, , , ,2,3} 2 2 3 3 中取值,则原点到直线 l 的距离大于 1 的概率为( A. 3 8 B. 5 8 1 C. 2 D. ) 3 4

12.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁 的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下: 根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( A.20 C.40 B.30 D.50 )

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) ·第 1 页·共 4 页·

13.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为 0.65,摸出黄球或白球的概率是 0.6,那么摸出白球的概率是______. 14.在边长为 2 的正△ABC 所在平面内,以 A 为圆心, 3为半径画一弧,分别交 AB、AC 于 D、E.若在△ABC 这一平面区域内任 丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是________. 15.随意安排甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,甲排在乙之前的概率是________. 16.某汽车站每天均有 3 辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车,某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事,但他不 知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第 二辆,否则上第三辆.那么他乘上上等车的概率为________. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件? (1)每天早晨,太阳从东方升起; (2)在标准大气压下,水的温度达到 80° 时沸腾; C (3)某地 3 月 4 日出现沙尘暴天气; (4)某寻呼机在一分钟内接到 8 次寻呼. 18.(本题满分 12 分)某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报” ,事件 B 为“至少订一种报” ,事件 C 为“至 多订一种报” ,事件 D 为“不订甲报” ,事件 E 为“一种报也不订” .判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是 不是对立事件. (1)A 与 C (2)B 与 E (3)B 与 D (4)B 与 C (5)C 与 E 19.(本题满分 12 分)任选一个三位数,求恰好是 100 的倍数的概率. 20.(本题满分 12 分)5 张奖券中有 2 张是中奖的,首先由甲抽一张,然后由乙抽一张,求: (1)甲中奖的概率 P(A). (2)甲、乙都中奖的概率 P(B). (3)只有乙中奖的概率 P(C). (4)乙中奖的概率 P(D). 21.(本题满分 12 分)一个口袋里有 2 个红球和 4 个黄球,从中随机地连取 3 个球,每次取一个,记事件 A=“恰有一个红球” ,事 件 B=“第 3 个是红球” .求 (1)不放回时,事件 A,B 的概率. (2)每次抽后放回时,A,B 的概率. x+3 22.(本题满分 14 分)设集合 A={x| <0},若 p、q∈A,求方程 x2+2px-q2+1=0 有两实根的概率. x-3

第三章综合能力检测答案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个 样本容量为 10 的样本进行研究,求女同学甲被抽到的概率为( A. 1 50 B. 1 10 )

·第 2 页·共 4 页·

1 C. 5 [答案] [解析] C

D.

1 4

因为在分层抽样中,任何个体被抽取的概率均相等,所以某女同学甲被抽到的概率为 P=

10 1 = ,故应选 C. 50 5 )

2.有分别写着数字 1 到 120 的 120 张卡片,从中取出 1 张,这张卡片上的数字是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率是( A. 1 2 D. D 2 的倍数有 60 个,3 的倍数有 40 个,6 的倍数有 20 个,∴P= 60+40-20 2 = . 120 3 ) 2 3 B. 3 4

4 C. 7 [答案] [解析]

3.在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数 a<13 的概率是( A. 1 3 B. 1 7 7 10

3 C. 10 [答案] [解析] C

D.

3 长度型几何概型,概率为 . 10

4.在 200 个产品中,一等品有 60 个,二等品有 120 个,三等品有 20 个,用分层抽样的方法抽取一个容量 20 的样本,则二等品 中 A 被抽取到的概率( A.等于 C.等于 [答案] [解析] 1 5 )

1 B.等于 10 D.不确定

2 3 B

每一个个体被抽到的概率都相等,等于

20 1 = . 200 10 5.一个正四面体的玩具,各面分别标有 1,2,3,4 中的一个数字,甲、乙两同学玩游戏,每人抛掷一次,朝下一面的数字和为奇数甲 胜,否则乙胜,则甲胜的概率为( A. 1 3 B. 1 2 3 4 )

2 C. 3 [答案] [解析] B

D.

用(x,y)表示第一次抛掷朝下面的数字为 x,第二次抛掷朝下一面的数字为 y,则 x,y 的所有可能结果如表 第二次 1 第一次 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 2 3 4

8 1 共有基本事件 16 个,其中和为奇数的基本事件有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),∴所求概率 P= = . 16 2 ·第 3 页·共 4 页·

1 1 6.如右图所示,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 与 a,高为 b.向该矩形内随机投一点, 3 2 则所投的点落在梯形内部的概率是( )

A.

7 10

B.

5 7 5 8

5 C. 12 [答案] [解析] C

D.

由几何概型知

11 1 ( a+ a)b 23 2 5 P= = . ab 12 7.掷两颗骰子,事件“点数之和为 6”的概率是( A. 1 11 B. 1 9 1 6 )

5 C. 36 [答案] [解析] C

D.

掷两颗骰子,每颗骰子有 6 种可能结果,所以共有 6×6=36 个基本事件,这些事件出现的可能性是相同的;事件“点数 5 .故选 C. 36 )

之和为 6”包括的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有 5 个.∴P=

8.设 A 为圆周上一点,在圆周上等可能的任取一点与 A 连接,则弦长超过半径 2倍的概率是( A. 3 4 B. 1 2 3 5

1 C. 3 [答案] [解析] B

D.

作等腰直角三角形 AOC 和 AMC,B 为圆上任一点,则当点 B 在

1 上运动时,弦长|AB|> 2R,∴P= . 2

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是( A. C. π 4 B. π 8 π 12

)

π 6 C

D.

[答案]

·第 4 页·共 4 页·

[解析]

4 a 设正方体棱长为 a,则正方体的体积为 a ,内切球的体积为 π 2 3
3

()

3

1 3 πa 6 1 3 π = πa ,故点 M 在球 O 内的概率为 3 = . 6 a 6 )

10.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是( A. 1 27 B. 1 9 2 27

2 C. 9 [答案] [解析] B

D.

有放回地取球三次,共有不同结果 33=27 种,其中球的颜色全相同的取法有 3 种,

3 1 ∴所求概率 P= = . 27 9 1 1 2 4 11.设 l 是过点 A(1,2)斜率为 k 的直线,其中 k 等可能的从集合{-1,- ,0, , , ,2,3}中取值,则原点到直线 l 的距离大于 2 2 3 3 1 的概率为( A. 3 8 ) B. 5 8 3 4

1 C. 2 [答案] [解析] 由题意 B

D.

l:y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0, |-k+2| >1,∴k2-4k+4>1+k2, 1+k2

3 3 5 ∴k< ,故当 k< 时,事件 A=“原点到直线 l 的距离大于 1”发生,∴P(A)= . 4 4 8 12.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图 如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( A.20 C.40 [答案] [解析] C B.30 D.50

)

∵体重在[56.5,64.5]间的频率为:2(0.03+2×0.05+0.07)=0.4.

∴学生人数为 0.4×100=40 人. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为 0.65,摸出黄球或白球的概率是 0.6,那么摸出白球的概率是______. [答案] [解析] 0.25 设摸出红球、白球、黄球的事件分别为 A、B、C,由条件 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.65,

P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.6, ·第 5 页·共 4 页·

又 P(A∪B)=1-P(C),∴P(C)=0.35, ∴P(B)=0.25. 14.在边长为 2 的正△ABC 所在平面内,以 A 为圆心, 3为半径画一弧,分别交 AB、AC 于 D、E.若在△ABC 这一平面区域内任 丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是________. [答案] [解析] 3π 6 由题意知,△ABC 中 BC 边上的高 AO 正好为 3,

∴弧与 AB 相切,如图.

1π π S 扇形= ·· 3· 3= , 23 2 1 3 S△ABC= ×2×2× = 3, 2 2 ∴P= S扇形 = 3π . 6

S△ABC 15.随意安排甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,甲排在乙之前的概率是________. [答案] [解析] 1 2 1 甲、乙、丙三人排在三天中值班,每人 1 天,故甲在乙前和乙在甲前的机会相等,∴概率为 . 2

16.某汽车站每天均有 3 辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车,某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事,但他不 知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第 二辆,否则上第三辆.那么他乘上上等车的概率为________. [答案] [解析] 1 2 共有 6 种发车顺序①上、中、下②上、下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、中(其中画横线的表示

3 1 袁先生所乘的车),所以他乘坐上等车的概率为 = . 6 2 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件? (1)每天早晨,太阳从东方升起; (2)在标准大气压下,水的温度达到 80° 时沸腾; C (3)某地 3 月 4 日出现沙尘暴天气; (4)某寻呼机在一分钟内接到 8 次寻呼. [解析] (1)每天早晨,太阳从东方升起是必然现象,所以是必然事件;

(2)因为在标准大气压下,水的温度达到 100° 时才可沸腾,所以(2)是不可能事件; C (3)某地出现沙尘暴天气是偶然的,因而在 3 月 4 日可能出现沙尘暴天气,也可能是晴天,故该事件是随机事件; (4)某寻呼机在一分钟内接到的寻呼次数也可能低于 8 次,还可能高于 8 次,故该事件亦是随机事件. [点评] 本例的求解关键在于准确理解几种事件各自的概念,注意判断的前提是在一定条件之下.例如(2),若没有“标准大气压” ·第 6 页·共 4 页·

这一条件,水在 80° 时也可能会沸腾. C 18.(本题满分 12 分)某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报” ,事件 B 为“至少订一种报” ,事件 C 为“至 多订一种报” ,事件 D 为“不订甲报” ,事件 E 为“一种报也不订” .判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是 不是对立事件. (1)A 与 C (2)B 与 E (3)B 与 D (4)B 与 C (5)C 与 E [解析] (1)由于事件 C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件 A 与事件 C 有可能同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件.

(2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 发生可导致事件 E 一定不发生,且事件 E 发生会导致事件 B 一定不发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件 B 发生,事件 D 也可能发生,故 B 与 D 不互斥. (4)事件 B“至少订一种报”中有这些可能: “只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报” 、 、 ,事件 C“至多订一种报”中有这些可 能: “什么也不订”“只订甲报”“只订乙报” 、 、 ,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件 E“一种报也不订”只是事件 C 的一种可能,故事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不互斥. [点评] 由对立事件的定义可知,对立事件首先是互斥事件,并且其中一个一定要发生,因此两个对立事件一定是互斥事件,但两

个互斥事件却不一定是对立事件.解题时一定要搞清两种事件的关系. 19.(本题满分 12 分)任选一个三位数,求恰好是 100 的倍数的概率. [解析] 三位数共有 900 个,其中是 100 的倍数的三位数有 9 个,

9 ∴所求概率为 P= =0.01. 900 20.(本题满分 12 分)5 张奖券中有 2 张是中奖的,首先由甲抽一张,然后由乙抽一张,求: (1)甲中奖的概率 P(A). (2)甲、乙都中奖的概率 P(B). (3)只有乙中奖的概率 P(C). (4)乙中奖的概率 P(D). [解析] 将 5 张奖券编号为 1,2,3,4,5,其中 4、5 为中奖奖券,用(x,y)表示甲抽到号码 x,乙抽到号码 y,则所有可能抽法构成集

合 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4)}. (1)甲中奖包含 8 个基本事件,∴P(A)= (2)甲、乙都中奖包含 2 个基本事件, 2 1 ∴P(B)= = . 20 10 (3)只有乙中奖包含 6 个基本事件,∴P(C)= (4)乙中奖包含 8 个基本事件,∴P(D)= 6 3 = . 20 10 8 2 = . 20 5

8 2 = . 20 5

21.(本题满分 12 分)一个口袋里有 2 个红球和 4 个黄球,从中随机地连取 3 个球,每次取一个,记事件 A=“恰有一个红球” ,事 件 B=“第 3 个是红球” .求 (1)不放回时,事件 A,B 的概率. (2)每次抽后放回时,A,B 的概率. [解析] (1)由不放回抽样可知,第一次从 6 个球中抽一个,第二次只能从 5 个球中取一个,第三次从 4 个球中取一个,基本事件

共 6×5×4=120 个,又事件 A 中含有基本事件 3×2×4×3=72 个,(第一个是红球,则第 2、3 个是黄球,取法有 2×4×3 种, 第 2 个是红球和第 3 个是红球取法一样多) ·第 7 页·共 4 页·

∴P(A)=

72 3 = . 120 5

1 1 第 3 次抽到红球对前两次没有什么要求,因为红球数占总球数的 ,在每一次抽到都是随机地等可能事件,∴P(B)= . 3 3 (2)由放回抽样知,每次都是从 6 个球中取一个,有取法 63=216 种,事件 A 包含基本事件 3×2×4×4=96 种. ∴P(A)= 96 4 = . 216 9 2×4×2 2 = .P(B2) 216 27

第三次抽到红球包括 B1={红,黄,红},B2={黄,黄,红},B3={黄,红,红}三种两两互斥的情形,P(B1)= = 4×4×2 4 4×2×2 2 = ,P(B3)= = , 216 27 216 27

∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3) 2 4 2 8 = + + = . 27 27 27 27 [点评] (1)求基本事件总数可用平面直角坐标系中的点或空间直角坐标系中的点来直观数出,也可以直接用列举法.

(2)第三次抽到红球的概率只与红球所占比例有关与第 n 次抽样无关, 也与有无放回抽样无关, 故求某次取到某种样品的抽样问题, 也可直接用比例算法求得. x+3 22.(本题满分 14 分)设集合 A={x| <0},若 p、q∈A,求方程 x2+2px-q2+1=0 有两实根的概率. x-3 [解析] A={x|-3<x<3},∵p、q∈R,∴点(p,q)在-3<p<3,-3<q<3 的正方形区域 Ω 内,

若使方程有两实根,应有 Δ=(2p)2-4(-q2+1)=4p2+4q2-4≥0, ∴p2+q2≥1, ∴点(p,q)应落在圆 x2+y2=1 的外部,由几何概型的定义知,所求概率为 P= S正方形ABCD-S圆 36-π = . 36 S正方形ABCD

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