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理科数学高三模拟试题答案解析


理科数学(一)答案解析
1. 答案 D 解析: U ? {?2, ? 1, 0, 1, 2} , ? B ? {0, 1} ,故 A ? (? B) ? {0, 1, 2} . U U

2.





B





:

r />
a b b sin A 3 ? ? sin B ? ? sin A sin B a 2





00 ? B ? 1800 且B ? A ,? B ? 600 或1200
3.A.【解析】 y ? sin( x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ) ; 再 将 图 象 向 右 平 移

? 到 函 数 y ? s i nx ( 2 y ? s i n [x ? ( 2 3 4.【解析】选 C

?

?

? ) ? 6

?

6

] x s , x ? ?2 是其图象的一条对称轴方程. ? n ( i ) 2 2

?

?

? 个 单 位 , 得 函 数 3

1 倍(纵坐标不变) ,得 2

z?

2 2(?1 ? i ) ? ? ?1 ? i ?1 ? i (?1 ? i )(?1 ? i )

p1 : z ? 2 , p2 : z 2 ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 ?1 ? i , p4 : z 的虚部为 ?1
5.D.【解析】若 ? , ? 相交,则 a , b 可能相交,也可能异面,故 D 为假命题. 6.【解析】选 A
1 2 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2C4 ? 12 种

7. D【解析】由 FB ? AB ? ? c, b ? ? ? ?a, b ? ? 0 ,得 ?ac ? b ? 0 ,所以 ?ac ? c ? a ? 0 ,
2 2 2

??? ??? ? ?

即 ?e ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ?
2

1? 5 1? 5 或e ? (舍去). 2 2

8.

C【解析】对应的可行域如图.当直线 z ? 3x ? y 过点

A? 0,4?

时,z 有最小值-4;由图可知 z 没有最大值.

9. B【解析】作出满足题意的区域如下图,则由几何概型得,所求概

率为

1 1 ? 3 ? 4 ? ? π ?12 S阴影 2 P? ?2 1 S三角形 ? 3? 4 2
π . 12

? 1?

10. C【解析】因为 a ? b ? 0 ,所以 a ? b ? 0 .所以

a2 ?

1 1 4 4 ? a2 ? ? a2 ? 2 ? 2 a2 ? 2 2 b(a ? b) a a ? b ? a ?b ? ? ? 2 ? ?
4 2 且 b ? a ? b , 即 a ? 2, b ? 时等号同时成立.故代数式 2 a 2

? 4 , 当 且 仅 当 a2 ?

a2 ?

1 的最小值为 4. b( a ? b)
x

11.C 【解析】 y? ? e ? 2 ,k ? y? |x?0 ? e0 ? 2 ? 3 ,则切线方程为 y ? 1 ? 3x ,即 y ? 3x ? 1 .

?1? ?1? 12. D【解析】 f ( x) ? log3 ( x ? 1) ? ? ? ? 0 ? log3 ( x ?1) ? ? ? ,在同一坐标系中作出 ? 3? ? 3?
函 数 y ? l o g x ? 1) y ? ? ? 的 图 象 , 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 由 函 数 对 称 性 可 知 与 3 (

x

x

?1? ?3?

x

log3 ( x1 ?1) ? log3 ( x2 ?1) ? 0 ,得 log3 [x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0,即 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1 .
所以 x1 x2 ? x1 ? x2 .

第Ⅱ卷
13. -3 或 2【解析】由两直线平行的充要条件得 14.

a ? a ?1? ? 3? 2 ? 0

,解得 a ? ?3 或 a ? 2 .

? 2 【 解 析 】 显 然 公 比 q ? 1 , 设 首 项 为 a1 , 则 由 S 3 ? 3S 2 ? 0 , 得
, 即

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 2 ) ? ?3 ? 1? q 1? q

q 3 ? 3q 2 ? 4 ? 0





q 3 ? q 2 ? 4q 2 ? 4 ? q 2 (q ? 1) ? 4(q 2 ? 1) ? 0 , 即 (q ? 1)(q 2 ? 4q ? 4) ? 0 , 所 以 q 2 ? 4q ? 4 ? (q ? 2) 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 .

15. π 【解析】由 p ∥ q ,得

3
理得 cos C ?

4S ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?

,则

S?

.由余弦定 3 2 a ? b2 ? c 2 ? ? 4

1 a 2 ? b2 ? c 2 3 3 ,故 S ? ? 2ab cos C ? ab cos C .又由正弦定理得 S ? ab sin C ,所 2 2ab 4 2


? 3 1 ab cos C ? ab sin C ,所以 tan C ? 3 .又 C ? ? 0, π ? ,所以 C ? . 3 2 2

1 16. -4 【解析】 x2=2y 可知 y=2x2, 由 这时 y′=x, P, 的横坐标为 4, 由 Q -2, 这时 P(4,8), Q(-2,2), 以点 P 为切点的切线方程 PA 为 y-8=4(x-4),即 4x-y-8=0①;以点 Q 为切点 的切线方程 QA 为 y-2=-2(x+2),即 2x+y+2=0②;由①②联立得 A 点坐标为(1,-4), 这时纵坐标为-4. 三.解答题 17. 解: (1)条件可化为:?( 2a ? c)cos B ? b cos C .根据正弦定理有

( 2 sin A ? sin C)cos B ? sin B cos C . ∴ 2 sin Acos B ? sin(C ? B) ,
……6 分

由基本不等式可知 6 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 2ac ? 2ac ? (2 ? 2)ac .

即 ac ? 3(2 ? 2) , 故△ABC 的面积 S ?

1 2 3( 2 ? 1) ac sin B ? ac ? . 2 4 2

即当 a =c= 6 ? 3 2 时,△ABC 的面积的最大值为

3( 2 ? 1) . 2

……12 分

V ∴ B ? EFC

? VF ? EBC ?

1 1 1 a a 1 2 S ?EBC ? OF ? ? ? a ? ? ? a . ………12 分 3 3 2 2 2 24

18.【答案】

19.

20(1)椭圆方程 E 为:

x2 y2 ? ?1 16 12

(3 分)

(2) (法一) AF 方程为: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , AF2 方程为: x ? 2 1 设角分线上任意一点为 P?x, y ?, 则

3x ? 4 y ? 6 5

? x?2 。

(5 分) (7 分) (5 分)

得 2 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 8 ? 0(舍, 斜率为正) 直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ? (法二)

AF1 AF1

?

AF2 AF2

??

4 ?1,2? 5

?k ? 2,即 2 x ? y ? 1 ? 0
(3)假设存在 B?x1 , y1 ? C?x2 , y 2 ? 两点关于直线 l 对称,? k BC ? ? 方程为 y ? ?

(7 分)

1 2

(8 分)

2 2 1 2 2 x ? m 代人 x ? y ? 1 得 x ? mx ? m ? 12 ? 0 ,BC 中点为 ? m , 3m ? (10 分) ? ? 2 16 12 ?2 4 ?

在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上, m ? 4 。 得 BC 中点为 ?2,3? 与 A 重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

(11 分) (12 分)

a ?1 2 x ?1 . 2

(Ⅰ)当 a ? ?

1 1 时,求 f (x) 在区间 [ , e ] 上的最值; 2 e

(Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调性; 21. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?

1 1 x2 ?1, 时, f ( x) ? ? ln x ? 2 2 4

∴ f ?( x) ?

?1 x x2 ?1 ? ? . 2x 2 2x

∵ f (x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . ---------------------------2 分 ∴ f (x) 在区间 [ , e ] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, 而 f (1) ?

1 e

1 e

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4 1 e2 5 ? f (e) ? ? , f ( x) min ? f (1) ? . 2 4 4 (a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x
---------------------------4 分

∴ f ( x) max

(Ⅱ) f ?( x) ?

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------5 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增;
2 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

----------------6 分

?a ,? x ? a ?1

?a ?a 或x ? ? (舍去) a ?1 a ?1
--------------------8 分

∴ f (x) 在 ( 综上,

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 在 (

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
-----------------------9 分

当 a ? ?1 时, f (x) 在 (0,??) 单调递减; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? f (

?a ) a ?1

即原不等式等价于 f (

?a a ) ? 1 ? ln(?a) a ?1 2

---------------------------10 分

即 a ln

?a a ? 1 ?a a ? ? ? 1 ? 1 ? ln(?a) a ?1 2 a ?1 2

整理得 ln(a ? 1) ? ?1 ∴a ?

1 ? 1, e

----------------------------11 分

又∵ ? 1 ? a ? 0 ,所以 a 的取值范围为 ? ? 1,0 ? . 22. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (1)证明:∵CH⊥AB,DB⊥AB, ∴△AEH∽△AFB, △ACE∽△ADF, ∴

?1 ?e

? ?

---------------------------12 分

EH AE CE ? ? . BF AF FD

又∵HE=EC, ∴BF=FD. .........5 分 (2) 证明:如图,连接 CB、OC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. 又∵F 是 BD 中点, ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA =∠CAB=∠ACO, ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线 . ..................10 分

?x ? 2 ? 2 cos? x y ? 23. (I) P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上, ? 设 2 2 ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ?
参数方程为 ?

从而 C 2 的

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) …………(5 分) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin? 。射线

??

?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin

?
3



射线 ? ?

?
3

与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3



所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .…………(10 分) 24. 选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

24 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组

x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

…………(5 分)

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

a 2

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2

…………(10 分)


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