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选修2-1第三章空间向量知识点及例题


空间向量及应用
1、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p ,存在实数组 ? x, y , z? ,使 得 p ? xa ? yb ? zc . 2、三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是 p p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R .这个集 合可看作是由向量 a , b , c 生成的, a , b , c 称为空间的一个基底, a , b , c 称为基向量.空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 3、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则

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?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 . ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? xx ?y y ?zz a ?b ? ? ? 8 ? cos? a , b ? ? ? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 . a b x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

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? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2 .
4、在空间中,取一定点 ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量 ?? 来表示.向量 ?? 称为 点 ? 的位置向量. 5、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向量 ? a 表示直线 l 的方向向量。 6、平面的法向量: ? ? (1)定义:直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. (2)求法: ①设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a ? (a1 , a 2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 )

??? ?

??? ?

??? ?

-1-

③根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组 ?

?n ? a ? 0 ? ?n ? b ? 0 ?

④解方程组,取其中的一个解作为法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组解中取一个 最简单的作为平面的法向量。 例 1、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1,G、E、F 分别是 AA1、AB、BC 的中点,求平面 GEF 的一个法向量。
D1 B1 C1

A1

D

C

A

B

7、利用空间向量解决立体几何问题 (1)利用空间向量解决立体几何问题的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化 为向量问题; ②通过向量的运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题; ③把向量的运算结果翻译成相应的几何意义。 (2)利用空间向量表示立体几何的平行、垂直 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ① 线线平行: l ∥ m ? a ? k b ; 面面平行: ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? k v ② 线线垂直: l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 面面垂直: ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0 例 2、根据下列条件,判断相应的线面的位置关系: (1) 直线 l, m 的方向向量分别为 a ? (1,?3,?1), b ? (8,2,2) ; (2) 平面 ? , ? 的法向量分别为 u ? (1,3,0), v ? (?3,?9,0) 线面垂直: l ? ? ? a ∥ u ? u ? k v 线面平行: l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0

-2-

例 3、如图所示,在 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别是 CC1、B1C1 的中点,求证: MN ∥ 平面A1 BD
D1 N A1 B1 M C1

D

C

A

B

例 4、如图所示,在 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: 平面A1 BD ∥ CB1 D1
D1 B1 C1

A1

D

C

A

B

例 5、如图所示,在 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 BB1、B1 D1 的中点,求证: EF ? 平面B1 AC
D1 F A1 B1 C1

D E

C

A

B

6、用空间向量求空间的角 (1)两条异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 ②范围:异面直线所成的角的范围: (0,

?
2

]

③向量求法:a,b 的方向向量分别为 a, b ,它们的夹角为 ? (0 ? ? ?

?
2

), cos? ?

| a ?b | | a |?|b |

例 6、直三棱柱 A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 ) BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( A.
30 10

B.

1 2

C.

30 15

D.
-3-

15 10

解:建立如图所示的坐标系,设 BC=1 则 A(-1,0,0) 1(- ,F -
1 ,1) 2

1 1 ,0,1) ,B(0,-1,0) 1(- , ,D 2 2

即 AF1 =(

????

???? ? 1 1 1 ,0,1) BD1 =(- , , ,1) 2 2 2 ???? ?
? 1? 1 ?1 4 ? 30 10
z D1 B1 C1 A F1

∴cos< AF1 , BD1 >=

????

1 1 1 ? 1? ? 4 4 4

A1

B x

C

y

(2)直线和平面所成角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角 ②范围:直线和平面所成角范围: ?0,

③向量求法:设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,

?

? ? 2
?

?

?

? ? l ?n 则有 sin ? ? cos ? ? ? ? l n
例 7、在正四面体 ABCD 中,E 为 AD 的中点,求直线 CE 与平面 BCD 成的角
z A

B F O C x D y

解:如图建立以三角形 BCD 的中心 O 为原点,,OD,OA 依次为 y 轴,z 轴 X 轴平行于 BC。设正四面体 ABCD 的棱长为 a ,
-4-

则 OF ?

3a a 3a 6a , FC ? , OD ? , OA ? 6 2 3 3 3a 3a 6a , 0), D(0, , 0), A(0, 0, ), 6 3 3

∴ C( , ?

a 2

∵E 为 AD 的中点,∴ E (0,

3a 6a , ) 6 6

∴ CE ? (?

??? ?

a 3a 6a , , ) 2 3 6

又因为平面 BCD 的法向量为 n ? (0, 0,1) , ∴即 CE 与平面 BCD 成的角 ? 满足: (3)二面角 ①二面角的取值范围是?0,π ? ②向量求法:设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)

?

??? ? ? ??? ? ? CE ? n 2 ? sin ? ? cos ? CE , n ?? ??? ? ? 3 | CE || n |

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2

例 8、如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=BB1=1,E 为 D1C1 的中点,求二面角 E—BD —C 的正切值. 解法一:∵ABCD—A1B1C1D1 是长方体, ∴作 EF⊥面 BCD,而 E 为 D1C1 的中点,则 F 为 CD 的中点,过 F 作 FM⊥BD 交 BD 于 M,连 EM,由 三垂线定理知 EM⊥BD,∴∠EMF 就是二面角 E—BD—C 的平面角, 又∵AB=2,BB1=BC=1,EF=1, FM=1×
1 5



5 5

∴tan∠EMF=

EF ? 5. FM

-5-

z D1 A1 E C1 B1

D M x A

F

C

y

B

解法二:如图,建立坐标系,则 D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面 BDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

DB ? (1,2,0) , DE ? (0,1,1)
由 n ? DB, n ? DE得?

?n ? DB ? 0 ?

?n ? DE ? 0 ? ? ∴平面 DBE 的一个法向量为 n ? (2, ?1,1) ? 又因为平面 BCD 的一个法向量为 m ? (0, 0,1)
二面角 E—BD—C 的余弦值为:

6 ? ? cos ? ? cos ? m, n ? ? 6 ∴ tan ? ? 5
练习: 已知单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F 分别是棱 BC1、C1 D1 的中点,试求: (1) AD1 与 EF 所成角的大小; (2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值; (3)二面角 C1 ? DB ? B1 所成角的正切值。

-6-

8、用向量法求空间距离:空间中点到面、线到面、面到面的距离都可以转化为点到面的距离 (1)点到平面距离的求法:
B n

A α

O

如图, BO ? ? ,垂足为 O,则点 B 到平面 ? 的距离就是 BO 的长度,若 AB 是平面 ? 的任一条斜线段, 则在 Rt?BOA 中, | BO |?| BA | ? | cos ?ABO |?

| BA ? BO | | BO | | BA ? n | |n|

如果令平面 ? 的法向量为 n ,考虑到法向量的方向,可以得到点 B 到平面 ? 的距离为: | BO |? (2)求一个点到平面的距离的步骤: ①求出该平面的一个法向量; ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离。

例 9、如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,AB=1, AA1 ? 2 ,点 E 为 CC1 的中点,点 F 为 BD1 的中 点,求点 D1 到平面 BDE 的距离.
z D 1

C1 B1

A1

E F

D

C

y

x

A

B

练习: 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a, E、 分别在 A1 B, B1 D1 上, A1 E ? 点 F 且 (1) 求证: EF ∥ 平面ABC1 D1 (2) 求 EF 到 平面ABC1 D1 的距离 d

1 1 A1 B, B1 F ? B1 D1 , 3 3

-7-


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