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福建省漳州市七校2013届高三第三次联考数学(理)试题


(时间:120 分钟.满分:150 分)
参考公式: 样本数据 x1,x2,?,xa 的标准差 锥体体积公式

V ?
其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh

1 Sh 3

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式

4 S ? 4? R 2 ,V ? ? R 3 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题:本大题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,则
3+i = 1? i



) D.1+2i

A.1-2i B.2-i C.2+i 2.若 a ? R,则 a>2 是(a-1) (a-2)>0 的 A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件
[来源:学科网]

3.已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若终边经过点(3,4), 则 A. B. C. D.

等于

[来源:学+科+网]

4.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 4 1 C. 2
A. 5.曲线 C:y=

1 3 2 D. 3
B.

1 ,则 x 轴与 C 及直线 x=1、x=2 围成的封闭图形的面积 x
B.1 一 1n2 C. 1n2 D.2-1n2

为 A.1n2 一 1

6 6.(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 ? ,则函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
12

) 的最小正周期是

A.

? 12
2

B.

? 6

C.

?

D. 2?

7. 已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l , l与双曲线 角三角形,则双曲线的离心率是

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A,B 两点,若△FAB 为直 2 a

A. 3

B. 6

C.2

D.

2 ?1

8. 已知向量 a ? ?x ? z,3? ,b ? ?2, y ? z ? ,且 a⊥b.若 x, y 满足不等式 x ? y ? 1,则 z 的取值范围为 A.

?? 2,2?

B. ?? 2,3?

C. ?? 3,2?

D. ?? 3,3? )

9. 已知 f ( x ) 为奇函数,且 f ( x) ? loga x( x ? 0, a ? 0, a ? 1) ,则当 x ? 0时,f '( x) =( A.

1 x ln a

B. ?

1 x ln a

C.

ln a x

D. ?

ln a x
3

10. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六 乘之,九而一,所得开立方除之, 即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ?
16 V . 人们 9

还用过一些类似的近似公式. 根据 π =3.14159 ? 判断,下列近似公式中最精确的一个是 ( A. d ?
3



16 V 9

B. d ? 3 2V D. d ?
3

C



d?

3

300 V 157

21 V 11

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题 卡的相应位置。 11. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为_______。 12 . 从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三 位数,其中奇数的个数为______。 13. 如图所示是三棱锥 D—ABC 的三视图,若在三棱锥的直观图中,点 O 为线段 BC 的中点,则异面直线 DO 与 AB 所成角的余弦值等于______。

14. 已知数列 ?an ? 的首项为 2,数列 ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an ( n ? N ).若 b2 ? ?2 , b7 ? 8 ,则
*

a8 ?

.

x 15. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 .若同时满足条件:

① ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) , f ( x) g ( x) ? 0 .

则 m 的取值范围是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 某高校在 2013 年考试成绩中 100 名学生的笔试成绩的频率分布直方图如图所示, (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽 样 抽取 6 名学生进入第二轮面试, ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生 乙不同时进入第二轮面试的概率; ② 若第三组被抽中的学生实力相当,在第二轮面试中获得优 秀的概率均为

3 , 设第三组中被抽中的学生有 X 名获得优秀, 4

求 X 的分布列和数学期望。 17.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面

BDE .
(Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA?1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x · cos ? x ? 2 3 cos (I)求 f(x)的最大 值及相应 x 的取值 (Ⅱ) 将函数 y= f(x) 的图象向左平移
2

,且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ? x ? 3 (其中 ? >o)

? 1 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍(纵 2 6

坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)的单调区间.

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (m, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相切 (m ? ?2 3) ,直线 l 与 y 轴交于点 N ,当 m 为何值时

1 2 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x ? ?12 y 的焦 2

?OMN 的面积有最小值?并求出最小值.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 ex

的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x ) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .
[来源:学*科*网]

21. 本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多做,则 、 、 按所做的前两题计分。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
? ?2 ? 已知矩阵 A ? ? 3 ? ? 2

1? 1? ? ? 2?
[来源:学。科。网]

?

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 B ;

(Ⅱ)若直线 l 经过矩阵 B 变换后的直线方程为 7 x ? 3 y ? 0 ,求直线 l 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建
? 1 t, ? x ?1? 5 ? 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若直线 l 与圆 C 相交于 P , Q 两点,且 ? y ?a ? 2 t ? 5 ?

| PQ |?

4 5 . 5

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程,并求出圆心坐标和半径; (Ⅱ)求实数 a 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)已知常数 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 2 ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围.


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