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三角函数图像性质教案(一)[1].doc3。3号下午


5.6

三角函数的图象与性质

5.6.1 正弦函数的图象和性质
教学目标:
1.会作正弦函数的图象,提高动手能力; 2.根据正弦函数的图象,掌握正弦函数的性质. 3. 通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用.

1.会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图,体会“几何法”作正弦函

数图 象的过程,提高动手能力; 1、通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用; 2、三角函数图象和图象的应用;

实验?????????????????????????? 我们生活在周期变化世界中,大到地球、月亮,小到原子、电子都在周期地运动,时 间在年复一年,月复一月,日复一日地变化,所有的生物都会生老病死,等等。研究周期 变化规律是我们必须直面的问题。 周期函数是定量地反映周期变化规律的基本概念, 简单地说经过一定数量重复原来的 变化。即 f (x+k) = f (x)时,函数 y =f (x) 是一个周期函数。 新知识?????????????????????????????? 1. 正弦函数(或余弦函数)的概念 任意给定一个实数 x ,有唯一确定的值 sin x (或 cos x )与之对应,由这个对应法则所确定 的函数 y ? sin x (或 y ? cos x )叫做正弦函数(或余弦函数) ,其定义域为 2. 正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 3. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : (1)正弦函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 的图象中,五个关键点是: , , 。 , , 。



(2)余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ?的图象中,五个关键点是: , 4.正弦函数、余弦函数 , 。

1

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

知识回顾:
1、函数 y ? sin(x ?

?
3

) 的定义域为____________________;值域为____________________;

2、函数 y ? 2 cos(x ?

?
3

) 的定义域为__________________;值域为____________________;

典型例题讲解: 【例 1】 作出函数 y ? 1 - cos x 在 [?2? ,2? ] 上的图像;

1 3

【变式训练】 y ? sin(

x ? 3? ); 2

【例 2】已知 x ? [?

? 3

3 ; , ? ] ,解不等式 sin x ? ? 2 2 2

2

【变式】已知 x ? R ,解不等式 sin x ? ?

3 ; 2

【例 3】求下列函数的值域: (1) y ?| sin x | ? sin x (2) y ? 2 sin(2 x ? (3) y ?

?
3

), x ? [?

? ?

cos x ? 2 cos x ? 1

, ] 6 6

【变式】求函数 y ? 3 sin x ? 4 sin x ? 1, x ? [
2

?
3

, ? ] 的值域;

【例 4】 (1)讨论方程 lg x ? sin x 解的个数;

3

(2)若函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?[0,2? ] 与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,求

k 的取值范围;

【变式】当 k 为何值时,方程 sin x ? 2 | sin x |? k 有一解、三解、四解?

过手训练 1、在同一坐标系内的函数 y ? sin x 与 y ? cos x 的图象的交点坐标是 A. (k? ,0), k ? Z B ( )

(2k? ?
(k? ?

?
2
4

,1), k ? Z
, ), k ? Z

C

(k? ?

?
2

, (?1) k ), k ? Z

D

? (?1) k
2

2、下面有四个判断: ① 作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位长可以不一致; ② y ? sin x, x ? ?0,2? ? 的图象关于 P (? ,0) 成中心对称; ③ y ? cos x, x ? ?0,2? ?的图象关于直线 x ? ? 成轴对称; ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线 y ? 1, y ? ?1 所夹的范围。 其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3、与图中曲线对应的函数是

3个 (

D )

4个

y 1 -π
A

x π
B

O
y ? sin x


C

y ? sin x

y ? ? sin x
4

D

y ? ? sin x

4、在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( A

) D

? ? 5? ( , ) ? (? , ) 4 2 4

B

( ,? ) 4

?

C

? 5? ( , ) 4 4

? 5? 3? ( ,? ) ? ( , ) 4 4 2

2 重点把握:

正、余弦函数的性质(一)

1、理解周期和周期函数的概念,掌握正弦函数、余弦函数的周期性; 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法; 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质,培养数形结合的能力; 4、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性; 5、通过正余弦函数的图象来理解性质,培养数形结合的能力; 6、体会正余弦函数的有界性,并根据此性质来解决一些最值有关的问题; 本节重点一:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

5

自主预习 1. 周期函数的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的 每一个值时,都有: f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫 做这个函数的周期。若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 也是 f ( x) 的周期。即

f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ... f ( x ? kT), k ? Z , k ? 0
2. 正弦函数 y ? sin x, x ? R 是周期函数,它的周期是 正周期是 ; ;最小 ;最小

3. 正弦函数 y ? cos x, x ? R 是周期函数,它的周期是 正周期是 ;

4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R, (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数, 它的最小正周期 T = ;

5. 函数 y ? A cos( ?x ? ? ), x ? R, (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数, 它的最小正周期 T = 课堂演练: ;

1、函数 y ? 2 sin 2 x 的最小正周期为____________; 2、函数 y ? 2 cos 重点二: 1. 奇偶性 (1) 正弦函数的奇偶性:如果点 ( x, y ) 是函数 y ? sin x 的图象上任意一点,那么与它关 于原点对称的点__________也在函数 y ? sin x 的图象上, 这时我们说函数 y ? sin x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f ( x) 为奇函数。 (2) 余弦函数的奇偶性:如果点 ( x, y ) 是函数 y ? cos x 的图象上任意一点,那么与它关 于 y 轴 对 称 的 点 ___________ 也 在 函 数 y ? co sx 的 图 象 上 , 这 时 我 们 说 函 数

1 x ? 3 的最小正周期为____________; 2

y ? cos x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f ( x) 为偶函数。
2. 单调性 (1) 正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从

? 1增大到 1;在每一上闭区间______________________________上都是减函数,其值从1 减 小到 ? 1 。
6

(2) 余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从

? 1增大到1。在每一个闭区间______________________________上都是减函数,其值从1 减 小到 ? 1 。
3. 对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________; 余弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________;

预习检测 1、函数 y ? 2 sin 2 x 的单调递增区间为_____________________; 2、比较大小: sin194 ________cos160 ; 3、函数 y ? A 奇函数
0 0

2 sin 2 x 的奇偶性为 ( )
B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数

典型例题: 【例 1】 (1)下列函数中,周期为 A

? 的是 2
C

( )

y ? sin

x 2

B

y ? sin 2 x

y ? cos

x 4

D

y ? cos 4 x

(2)函数 y ? sin(ax ? ? ) ( a ? 0 )的周期为 【变式】 (1)函数 y ? 3 cos( x ? A

2 5

2 ? 5

B

( ) 的最小正周期是 6 5 C ? 2? 2

?

) D

5?

(2)函数 y ?

sin x 的周期是 tan x

【例 2】 作出下列函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说 出其最小正周期。 (1) y ? sin x (2) y ? sin x

【变式】 求函数 y ?| cos(2 x ? 【例 3】判断下列函数的奇偶性

?
6

) | 的最小正周期;

7

(1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

5 2 sin(2 x ? ? ) 2
2 sin x ? 1

【变式】 f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x )
2

【例 4】求函数 y ? 3 sin(2 x ?

?
6

) 的对称轴方程;

【变式】若 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象关于直线 x ?

?
6

对称,求 a 的值;

【例 5】求下列函数的单调区间: (1) y ? sin(

?

x ? (2) y ? log 1 cos( ? ) ? 2 x) ; 3 4 4 2

【变式】求函数 y ? ? | sin(x ?

?
4

) | 的单调区间;

【例 6】 求下列函数的值域: (1)y ? 3 ? 2 cos(2 x ?

?

(2)y ? 2 sin(2 x ? ), x ? [? , ] ); 3 3 6 6

?

? ?

【变式】若 y ? a ? b sin x 的值域是 [?

1 3 , ] ,求 a, b 的值; 2 2

过手训练 1、设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

), x ? R ,则 f ( x) 是 (



A 最小正周期为 ? 的奇函数 C 最小正周期为

? 的奇函数 2

B 最小正周期为 ? 的偶函数 D 最小正周期为

? 的偶函数 2

2、作出函数 y ? 2 cos x ? 1 的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数, 说出其最小正周期。

3、同时具有以下性质: “①函数的最小正周期是 ? ;②函数图象关于直线 x ?

?
3

对称;③

8

在 ??

? ? ?? , ? 上是增函数”的一个函数是 ( ? 6 3?



A y ? sin(

x ? ? ) 2 6

B y ? cos(2 x ?

?
3

)

C

y ? sin(2 x ? ) 6

?

D

y ? cos(2 x ?

?
6

)

4、 (1)函数 y ? sin(x ?

?
2

)( x ? R) 在 (
B



A

? ? ?? ?? 2 , 2 ? 上是增函数 ? ?

?0, ? ?上是减函数

C

?? ? ,0? 上是减函数
2 3

D ?? ? , ? ?上是减函数 ) D 既奇又偶函数

(2) y ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos x 的奇偶性为 ( A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数

5、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A

?
8

对称,则 ? 可能是( )

? ? 3? C D 4 4 4 ? 6、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象 ( ) 3 ? ? A 关于直线 x ? 对称 B 关于点 ( ,0) 对称 4 4 ? ? C 关于点 ( ,0) 对称 D 关于直线 x ? 对称 3 3
? 2
B

?

3 正切函数的性质与图象
重点把握: 1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质. 2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程,进一步体会函数线的作用. 本节重点一:

9

1.正切函数 y ? tan x 的定义域是



2.回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是周期函数吗?如果是,那么 最小正周期是 ; (奇、偶)函数;

3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是

4.正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数; 预习检测: 1
y







y=tanx
义 域
3? 2 -? ? 2

?? ? y ? tan ? 2 x ? ? 的 定 4? ?

o

? 2

?

3? 2

x

是 2.函数 y ? tan ? 2 x ?



? ?

??

? 的最小正周期是 4?



3. 比较大小: tan100?

tan 200? ;

典型例题: 【例 1】求函数 f ( x) ? ln(tan x) 的定义域;

10

【变式】求函数 y ?

1 的定义域; tan x(tan x ? 3)

【例 2】若 x ? [?

? ?

1 , ] ,求函数 y ? ? 2 tan x ? 1 的最值及相应的 x 的值; 3 4 cos2 x

【变式】函数 y ? sin x ? tan x, x ? [?

? ?

, ] 的值域为 4 4

【例 3】作出函数 y ? tan( x ?

1 2

?
3

) 在一个周期内的图象;

11

【变式】作出函数 y ? tan x ? sin x? | tan x ? sin x | 在区间 (

? 3?
2 , 2

) 内的大致图象;

【例 4】 (1) 求函数 f ( x) ? 3 tan( 的大小;

?

3? x (2) 试比较 f (? ) 与 f ( ) ? ) 的周期和单调递减区间; 2 6 4

【变式】是否存在实数 a ,且 a ? Z ,使得函数 y ? cot( ? ax) 在 x ? (

?

? 5?
8 , 8

4

) 上是单调递

增的?若存在,求出 a 的一个值;若不存在说明理由;

【例 5】 (1)求函数 y ? sin x ? tan x 的定义域; (2)画出函数 y ?| tan x | 的简图,并根据图象写出其最小正周期和单调区间;

【变式】利用正切函数的图象解不等式 tan x ?

3 3

12

过手训练 1、与函数 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( 4?



? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?


?
8

2、函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是

3、函数 y ?

2 的最大值是 tan x ? 2 tan x ? 2
2



4、已知函数 y ? tan ?x 在 (? 5、函数 y ?| tan(x ?

? ?

?
4

, ) 内是减函数,则 ? 的取值范围是____________; 2 2

) | 的单调递增区间是__________________;

13


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