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【成才之路】2016年春高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步练习 新人教B版必修5


【成才之路】2016 年春高中数学 第 2 章 数列 2.3 等比数列 第 2 课 时 等比数列的性质同步练习 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1.在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于( A.90 C.70 [答案] D [解析] ∵q =
2

)

B.30

D.40

a6+a7 =2, a4+a5
2 2

∴a8+a9=(a6+a7)q =20q =40. 2.(2014·重庆理,2)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 [答案] D [解析] 设等比数列的公比为 q, ∵ = =q , ∴a6=a3a9,∴a3,a6,a9 成等比数列,故选 D. 3.等比数列{an}各项为正数,且 3 是 a5 和 a6 的等比中项,则 a1·a2·…·a10=( A.3 C.3
9 2

)

B.a2,a3,a6 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列

a6 a 9 a3 a6

3

)

B.3 D.3

10

11

12

[答案] B [解析] 由已知,得 a5a6=9, ∴a1·a10=a2·a9=a3·a8=a4·a7=a5·a6=9, ∴a1·a2·…·a10=9 =3 . 4.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 A.9 C.2 [答案] D [解析] a3a5a7a9a11=a1q =243,
5 30 5 10

a2 9 的值为( a11

)

B.1 D.3

-1-



8 2 a2 ?a1q ? 5 9 6 = =a1q = 243=3. 10 a11 a1q

5. 已知等比数列{an}中, 有 a3a11=4a7, 数列{bn}是等差数列, 且 b7=a7, 则 b5+b9 等于( A.2 C.8 [答案] C [解析] ∵a3a11=a7=4a7,∵a7≠0, ∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}为等差数列, ∴b5+b9=2b7=8. 1 6.(2015·新课标Ⅱ文,9)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 A.2 1 C. 2 [答案] C [解析] 解法一:根据等比数列的性质,结合已知条件求出 a4,q 后求解. ∵a3a5=a4,a3a5=4(a4-1),∴a4=4(a4-1),
2 2 2

)

B.4 D.16

)

B.1 1 D. 8

a4 2 2 3 ∴a4-4a4+4=0,∴a4=2.又∵q = = =8, a1 1 4
1 1 ∴q=2.∴a2=a1q= ×2= ,故选 C. 4 2 解法二:直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出 q 后求解. ∵a3a5=4(a4-1),∴a1q ·a1q =4(a1q -1), 1 6 3 将 a1= 代入上式并整理,得 q -16q +64=0,解得 q=2, 4 1 ∴a2=a1q= ,故选 C. 2 二、填空题 7.(2014·江苏,7)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 ________. [答案] 4 [解析] 本题考查等比数列的通项及性质. 设公比为 q,因为 a2=1,则由 a8=a6+2a4 得 q =q +2q ,q -q -2=0,解得 q =2,所 以 a6=a2q =4.在等比数列中 an=am·q
4 6 4 2 4 2 2 2 4 3

n-m

.

-2-

1 a1+a3+a5+a7 8.已知等比数列{an}的公比 q=- ,则 等于________. 3 a2+a4+a6+a8 [答案] -3 [解析]

a1+a3+a5+a7 a1+a3+a5+a7 = a2+a4+a6+a8 a1q+a3q+a5q+a7q

1 = =-3.

q

三、解答题 9.已知数列{an}为等比数列. (1)若 a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求 an; (2)若 a3a5=18,a4a8=72,求公比 q. [解析] (1)∵a1a2a3=216,∴a2=6, ∴a1a3=36. 又∵a1+a3=21-a2=15, ∴a1、a3 是方程 x -15x+36=0 的两根 3 和 12. 当 a1=3 时,q= =2,an=3·2
2

a2 a1

n-1



1 1 n-1 当 a1=12 时,q= ,an=12·( ) . 2 2 (2)∵a4a8=a3q·a5q =a3a5q =18q =72, ∴q =4,∴q=± 2. 10.已知数列{an}为等比数列. (1)若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,求 a3+a5 的值; (2)若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式. [解析] (1)解法一:∵an>0,∴a1>0,q>0. 又∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a1q·a1q +2a1q ·a1q +a1q ·a1q =36, 即 a1q +2a1q +a1q =36, ∴a1q (1+2q +q )=36, 即 a1q (1+q ) =36. 又∵an>0,∴a1q (1+q )=6, ∴a3+a5=a1q +a1q =a1q (1+q )=6. 解法二:∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a3+2a3a5+a5=36, ∴(a3+a5) =36,
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 6 2 8 3 2 4 3 5 4 3 4 4

-3-

又∵an>0,∴a3+a5=6. (2)∵a2=a1a3, 代入已知,得 a2=8,∴a2=2. 2 设数列{an}的前三项为 ,2,2q,
3 2

q

2 则有 +2+2q=7.

q

1 2 整理得,2q -5q+2=0,∴q=2 或 q= . 2
? ?a1=1 ∴? ?q=2 ?

a1=4 ? ? ,或? 1 q= ? ? 2

.

∴an=2

n-1

1 n-1 3-n ,或 an=4×( ) =2 . 2

一、选择题 1 .设 {an} 是由正数组成的等比数列,公比 q = 2 ,且 a1·a2·a3·…·a30 = 2 ,那么
30

a3·a6·a9·…·a30 等于(
A.2 C.2
10

) B.2 D.2
20

16

15

[答案] B [解析] 设 A=a1a4a7…a28,B=a2a5a8…a29,

C=a3a6a9…a30,则 A、B、C 成等比数列,
公比为 q =2 ,由条件得 A·B·C=2 ,∴B=2 , ∴C=B·2 =2 . 2.如果数列{an}是等比数列,那么( A.数列{an}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 [答案] A [解析] 设 bn=an,则
2 2 10 20 10 10 30 10

) B.数列{2an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列

bn+1 a2 an+1 2 2 n+1 = 2 =( ) =q , bn an an

2an+1 ∴{bn}成等比数列; =2an+1-an≠常数; 2an 当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan,

-4-



cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q = = ≠常数. cn nan n
)

3.在等比数列{an}中,公比为 q,则下列结论正确的是( A.当 q>1 时,{an}为递增数列 B.当 0<q<1 时,{an}为递增数列 C.当 n∈N+时,anan+2>0 成立 D.当 n∈N+时,anan+2an+4>0 成立 [答案] C

[解析] 如等比数列-1,-2,-4,-8,…,的公比 q=2,而该数列为递减数列,排 1 1 1 1 除 A;如等比数列 1, , , ,…,的公比 q= ,而该数列为递减数列,排除 B;如等比数 2 4 8 2 列-1,1,-1,1,-1,…,中 a1a3a5<0,排除 D,故选 C. 4.已知 2 =3,2 =6,2 =12,则 a,b,c( A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 解法一:a=log23,b=log26=log2 3+1,
a b c

)

c=log2 12=log2 3+2.
∴b-a=c-b. 解法二:∵2 ·2 =36=(2 ) ,∴a+c=2b,∴选 A. 二、填空题 5.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则
2

a

c

b 2

b6b8=________.
[答案] 16 [解析] ∵2a3-a7+2a11=2(a3+a11)-a7 =4a7-a7=0, ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b7=16. 6.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6 则成等比数列, 则此未知数是__________. [答案] 3 或 27
2 2 2 2

-5-

?2a=3+b ? [解析] 设此三数为 3、a、b,则? 2 ??a-6? =3b ?



解得?

? ?a=3 ?b=3 ?

或?

? ?a=15 ?b=27 ?

.

∴这个未知数为 3 或 27. 三、解答题 7.{an}为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,求 a11. [解析] ∵{an}为等比数列, ∴a1·a9=a3·a7=64,又 a3+a7=20, ∴a3、a7 是方程 t -20t+64=0 的两个根. ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4, 当 a3=4 时,a3+a7=a3+a3q =20, ∴1+q =5,∴q =4. 当 a3=16 时,a3+a7=a3(1+q )=20, 5 1 4 4 ∴1+q = ,∴q = . 4 4 ∴a11=a3q =64 或 1. 8.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若 b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3, 求此等比数列的通项公式 an. [解析] 由 b1+b2+b3=3, 得 log2(a1· a2·a3)=3, ∴a1·a2·a3=2 =8, ∵a2=a1·a3,∴a2=2,又 b1·b2·b3=-3, 2 设等比数列{an}的公比为 q,得 log2( )·log2(2q)=-3.
2 3 8 4 4 4 4 2

q

∴1-(log2q) =-3,∴log2q=±2. 1 解得 q=4 或 , 4 ∴所求等比数列{an}的通项公式为

2

an=a2·qn-2=22n-3 或 an=25-2n.
9.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2,且 S1,S2,S4 成等比数列,求{an}的通项 公式. [解析] 设{an}的公差为 d. 由 S3=a2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2=S1S4.
-62 2 2 2

又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d) =(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d =-2d ,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d) =(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.
2 2 2 2

-7-


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