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高二数学培优讲义合情推理与演绎推理


衡阳个性化教育倡导者

第十四讲

合情推理与演绎推理

教学目标: 1、了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的 作用. 2、了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

一、知识回顾

课前热身

知识点 1、合情推理 (1)归纳推理: ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出一般结论的推理. ②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理.

知识点 2、演绎推理 (1)模式:三段论 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

课前练习 1.下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归 纳出所有三角形的内角和都是 180° ;③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形的内角和是 180° ,四边形的内角和是 360° ,五边形的内角和是 540° ,由此得出凸多边形的内角 和是(n-2)· . 180° A.①② B.①③ C.①②④ D.②④

解析:选 C ①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.

2.观察下列各式:5 =3 125,5 =15 625,5 =78 125,?,则 5 A.3 125 B.5 625 C.0 625

5

6

7

2 013

衡阳个性化教育倡导者 的末四位数字为( )

D.8 125

解析:选 A 55=3 125,56=15 625,57=78 125, 8=390 625,59=1 953 125,可得 59 与 55 的后四位数字 ,5 相同,?,由此可归纳出 5m
+4k

与 5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的后四位数字相同,又 2 013=4×502+5,所以

52 013 与 55 后四位数字相同为 3 125. 3.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

解析:选 B ①②不正确,③正确.

二、例题辨析

推陈出新

例 1、 (1)(2012· 江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5 =11,?,则 a10+b10=( A.28 B.76 ) C.123 D.199

1 (2)设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证 3+ 3 明. [解答] (1)记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11. 通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8) =f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123. (2)f(0)+f(1)= 所以 a10+b10=123.

3 3 3 3 ,f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= ,猜想 f(x)+f(1-x)= , 3 3 3 3

1 1 3x 3x 证明:∵f(x)= x ,∴f(1-x)= 1-x = . x= 3+ 3 3 + 3 3+ 3· 3 3? 3+3x? ∴f(x)+f(1-x)= 3+3 1 3x 1 3 + = . x x = x = 3+ 3 3? 3+3 ? 3? 3+3 ? 3 3
x

[答案] (1)C

利用本例(2)的结论计算 f(-2 014)+f(-2 013)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 015)的值. 解:∵f(x)+f(1-x)= 3 ,∴f(-2 014)+f(-2 013)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 015) 3 3 2 015 = 3 3 3 .

=[f(-2 014)+f(2 015)]+[f(-2 013)+f(2 014)]+…+[f(0)+f(1)]=2 015×

衡阳个性化教育倡导者

变式练习 1.观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 ?
3 3 3 3 *

13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 ?

1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225

可以推测:1 +2 +3 +?+n =________(n∈N ,用含 n 的代数式表示). 解析:第二列等式右边分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比较即可得,13+23+ 1 33+?+n3=(1+2+3+?+n)2= n2(n+1)2. 4 1 答案: n2(n+1)2 4

例 2、(2013· 广州模拟)已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则 am
+n



nb-ma .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, n-m

m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. an-am b-a b-a bn-am [解答] 法一:设数列{an}的公差为 d1,则 d1= = .所以 am+n=am+nd1=a+n· = . n-m n-m n-m n-m 类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为 q,由 bn=bmqn
n n-m d ? ?n= n-m dm. bmqn=c· ?c? c
-m

可知 d=cqn m,所以 q=



n-m d ,所以 bm+n= c

法二:(直接类比)设数列{an}的公差为 d1,数列{bn}的公比为 q,因为等差数列中 an=a1+(n-1)d1,等比 数列中 bn=b1qn 1,因为 am+n=


n-m dn nb-ma ,所以 bm+n= . cm n-m

[答案]

n-m dn cm

变式练习 2.在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D. 求证: 1 1 1 = + . AD2 AB2 AC2

那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 证明:如图所示,∵AB⊥AC,AD⊥BC,∴△ABD∽△CAD,△ABC∽ △DBA,

衡阳个性化教育倡导者 ∴AD =BD· DC,AB =BD· BC,AC =BC· DC, ∴ ∴ 1 1 BC2 BC2 = = = 2 .又∵BC2=AB2+AC2, AD2 BD· DC BD· DC· BC· BC AB · 2 AC AB2+AC2 1 1 1 1 1 1 = + .∴ = + . 2= AD AB2· 2 AB2 AC2 AD2 AB2 AC2 AC
2 2 2

猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC,猜想四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 则 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2 下面证明上述猜想成立. 如右图所示,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,∴AB⊥AF.在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + .同理可得在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2.∴ 2= 2+ 2+ 2. AE2 AB2 AF2 AF AC AD AE AB AC AD

故猜想正确.

a 例 3、已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 的值. ? ? [解答] (1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y), 1 1 它关于点?2,-2?对称的点的坐标为(1-x,-1-y). ? ? a a ax 由已知得 y=- x ,则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a+ a a a a·x a ax f(1-x)=- 1-x =- =- =- x ,∴-1-y=f(1-x), a a + a a+ a·x a a+ a x+ a a 1 1 即函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称. ? ? (2)由(1)可知-1-f(x)=f(1-x),即 f(x)+f(1-x)=-1.则 f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

变式练习 a 3.已知函数 f(x)= +bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),试确定 f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间 x 上的增减性.

衡阳个性化教育倡导者 a a ? a 解:法一:设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=?x +bx1?-?x +bx2?=(x2-x1)·x x -b?. ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2

当 0<x1<x2≤ ∴f(x)在?0,

a a a 时,∵a>0,b>0,∴x2-x1>0,0<x1x2< , >b,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), b b x1x2 a? 上是减函数;当 x2>x1≥ b? a a a >0 时,x2-x1>0,x1x2> , <b, b b x1x2 a ? ,+∞ 上是增函数. b ? a ,当 0<x≤ b a a 时,- 2≤-b, b x

?

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在?

?

a 法二:∵a>0,b>0,x∈(0,+∞),∴令 f′(x)=- 2+b=0,得 x= x a ∴- 2+b≤0,即 f′(x)≤0,∴f(x)在?0, x ? ∴f(x)在? a? 上是减函数;当 x≥ b?

a a 时,- 2+b≥0,即 f′(x)≥0, b x

?

a ? ,+∞ 上是增函数. b ?

三、归纳总结

方法在握

归纳 1、归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关 系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.

归纳 2、类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分 析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注 意知识的迁移.

归纳 3、演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成 的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前 提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了 第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确 时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

衡阳个性化教育倡导者

四、拓展延伸

能力升华

例 1、(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° 17° cos ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° 12° cos ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解] 法一:(1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos =1- sin 30° =1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° α+sin 30° α)2-sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin cos sin 3 3 1 3 1 3 3 3 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α= sin2α+ cos2α= . 4 2 4 2 2 4 4 4 法二:(1)同法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° 2α+sin 60° 2α)- sin αcos α- sin2α cos sin 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α)=1- cos 2α- + cos 2α= . 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4

变式练习 1.正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形 各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从 A 点出发,沿正 方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬 行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是( )

衡阳个性化教育倡导者 1 023 2 A. a 2 048 511 2 C. a 1 024 1 023 2 B. a 768 2 047 2 D. a 4 096

1 1 解析:选 A 由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a2=?2a?2= a2,第二段长度的平方为 a2= 1 2 ? ? 4 1 1 ? 2a?2=1a2, 从而可知, ?, 小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2= a2 为首项, 为公比的等比数列, 1 4 2 ?4 ? 8 1 2? ?1?10? a 1- 4 ? ?2? ? 1 023 2 所以数列的前 10 项和为 S10= = a. 1 2 048 1- 2 2.观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________. 解析:观察等式可知,cos α 的最高次的系数 2,8,32,128 构成了公比为 4 的等比数列,故 m=128×4=512; 取 α=0,则 cos α=1,cos 10α=1,代入等式⑤,得 π 1 1 1=m-1 280+1 120+n+p-1,即 n+p=-350;(1)取 α= ,则 cos α= ,cos 10α=- ,代入等式 3 2 2 1 1 1 1 1 1 ⑤,得- =m?2?10-1 280×?2?8+1 120×?2?6+n×?2?4+p×?2?2-1,即 n+4p=-200,(2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 联立(1)(2),得 n=-400,p=50.故 m-n+p=512-(-400)+50=962.答案:962 3.阅读以下求 1+2+3+?+n(n∈N*)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,?,22-12=2×1+1, n2+2n-n n?n+1? 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+?+n)+n,所以 1+2+3+?+n= = . 2 2 类比上述过程,可得 12+22+32+?+n2=________(n∈N*). 解析:由(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,?,23-13=3×12+3×1+1,以 上 各 式 相 加 得 (n + 1)3 - 13 = 3(12 + 22 + ? + n2)+ 3(1 + 2 + ? + n)+ n , 所 以 12 + 22 + 32 + ? + n2 = n?n+1??2n+1? . 6 n?n+1??2n+1? 答案: 6

4.已知:在梯形 ABCD 中,如图,AB=DC=DA,AC 和 BD 是梯形的对角线.求证:AC 平分∠BCD,DB 平分∠CBA. 解:∵等腰三角形两底角相等,(大前提)

衡阳个性化教育倡导者 △ADC 是等腰三角形,∠1 和∠2 是两个底角,(小前提) ∴∠1=∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,(大前提) ∠1 和∠3 是平行线 AD、BC 被 AC 截得的内错角,(小前提) ∴∠1=∠3.(结论) ∵等于同一个角的两个角相等,(大前提) ∠2=∠1,∠3=∠1,(小前提) ∴∠2=∠3,即 AC 平分∠BCD.(结论) 同理可证 DB 平分∠CBA.

五、课后作业
推理( )

巩固提高

1.(2013· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上

A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

解析:选 C 由于 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确. 1 4 x x 2 2.(2013· 银川模拟)当 x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +?x?2≥3,由此可以推广为 x+ x x 2 2 ? ? p ≥n+1,取值 p 等于( xn A.nn ) C.n D.n+1

B.n2

1 4 x x 2 解析:选 A ∵x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +?x?2≥3,∴在 p 位置出现的数 x x 2 2 ? ? 恰好是不等式左边分母 xn 的指数 n 的指数次方,即 p=nn. 3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· c=a· c)”; b)· (b· ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· a c ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· b c 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

解析:选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 4.(2012· 江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x, y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 ( )

衡阳个性化教育倡导者 A.76 B.80 C.86 D.92 解析:选 B 通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个数为 4,8,12,可推 出当|x|+|y|=n 时,对应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 80. 5.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结 a+b+c

论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R,四面体 S-ABC 的体 积为 V,则 R=( ) 2V B. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

V A. S1+S2+S3+S4

解析:选 C 设三棱锥的内切球球心为 O,那么由 V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC, 1 1 1 1 3V 即:V= S1R+ S2R+ S3R+ S4R,可得:R= . 3 3 3 3 S1+S2+S3+S4 6. 已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), ?, 则第 60 个数对是( A.(7,5) ) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1)

解析:选 B 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知第 n 组整数对的和为 n+1,且有 n 个 n?n+1? 10?10+1? 11?11+1? 整数对,这样的前 n 组一共有 个整数对,注意到 <60< ,因此第 60 个整数对处于 2 2 2 第 11 组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个位置, 结合题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各对数依 次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个整数对是(5,7). 7.(2012· 陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为________. 解析:观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等,且每行右端分 1 1 1 1 1 2n-1 数的分子构成等差数列.即 1+ 2+ 2+ 2+ 2+?+ 2< (n∈N*,n≥2), 2 3 4 5 n n 1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6

8.(2012· 湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?,191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有________个;(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 解析:从左右对称入手考虑.

(1)4 位回文数第 1、 位取 1,2,3,4,5,6,7,8,9 之一有 4 =90 个,即 4 位回文数有 90 个.

C1=9 9

衡阳个性化教育倡导者 种选法. 2、 位可取 0, 10 种选法, 第 3 有 故有 9×10

(2)首位和末位不能取 0,故有 9 种选法,其余位关于中间数对称,每两数都有 10 种选法,中间数也有 10 种选法,故 2n+1(n∈N*)位回文数有 9×10n 个. 答案:90 9×10n 9. (2013· 包头模拟)如图, 矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′夹在两条平行线 l1、2 之间, A′B′=mAB, l 且 则容易得到矩形 ABCD 的面积 S1 与矩形 A′B′C′D′的面积 S2 满足:S2=mS1.由此类比,如图,夹在两 条平行线 l1、l2 之间的两个平行封闭图形 T1、T2,如果任意作一条与 l1 平行的直线 l,l 分别与两个图形 T1、 y2 x2 T2 的边界交于 M、N、M′、N′,且 M′N′=mMN,则 T1、T2 的面积 S1、S2 满足________.椭圆 2+ 2 a b =1(a>b>0)与圆 x2+y2=a2 是夹在直线 y=a 和 y=-a 之间的封闭图形,类比上面的结论,由圆的面积可 得椭圆的面积为________.

解析:如图,任取一条与 x 轴平行的直线,设该直线与 x 轴相距 h,则这条直线被椭圆截得的弦长 l1= 2b a2-h2 , a 被圆截得的弦长 l2=2 a2-h2, S椭圆 b l1 b 则 = ,即 = . l2 a S圆 a 10.给出下面的数表序列: 表1 1 表2 13 4 表3 1 3 5 4 12 其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都 等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n≥3)(不 要求证明). 解:表 4 为 1 4 12 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列. 3 5 8 12 20 7 8 ? b 故 S 椭圆= ·πa2=πab. a 答案:S2=mS1 πab

衡阳个性化教育倡导者 将这一结论推广到表 n(n≥3), 即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n, 公比为 2 的等比数列. 11.已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 x2 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 2- a y2 =1 写出具有类似特征的性质,并加以证明. b2 x2 y2 解:类似的性质为:若 M,N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点, a b 当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M,P 的坐标分别为(m,n),(x,y),则 N(-m,-n).因为点 M(m,n)在已知的双曲线上, y-n y+n y2-n2 b2 x2-m2 b2 b2 b2 所以 n2= 2m2-b2.同理:y2= 2x2-b2.则 kPM·PN= k · = = 2· = 2(定值). a a x-m x+m x2-m2 a x2-m2 a 3 3 12.观察:①sin210° +cos240° +sin 10° 40° ;②sin26° cos = +cos236° +sin 6° 36° . cos = 4 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 3 解:猜想 sin2α+cos2(α+30° )+sin αcos(α+30° . )= 4 证明:左边=sin2α+cos(α+30° )[cos(α+30° )+sin α]=sin2α+? 3 1 3 =sin2α+ cos2α- sin2α= =右边.所以,猜想是正确的. 4 4 4 3 1 ?? 3cos α+1sin α? cos α- sin α 2 2 ?2 ?? 2 ?


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