当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何


高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何
一,选择题部分 1.(集训试题)过椭圆 C:

x2 y2 + = 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂 3 2

足) ,延长 PH 到点 Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1).当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹 的离心率的取值范围为 ( ) A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y).又∵HQ= λPH,所以

3(1 + λ ) x 1 HP = ,所以由定比分点公式,可得: x1 = ,代入椭圆 λ PQ 1 + λ y1 = y
Q
2 x + y2 点 轨 迹 为 [ 3(1 2 λ )] + =1 , 所 以 离 心 率 2 3λ

方 程 , 得

e=

3λ2 2 2 3λ

= 1

2 3λ
2

∈[

3 ,1) . 故选 C. 3

2. . (2006 年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方 年南昌市) ( 程为(D) A. y 2 = 12 x B. y 2 = 12 x C. y 2 = 16 x D. y 2 = 16 x

3. 2006 年江苏)已知抛物线 y 2 = 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点, ( 年江苏) 使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有(B) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个

x2 y2 4. (200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线 2 2 = 1( b > a > 0 )的两支分别相交于 P , 天津) . ( a b

Q 两点, O 为原点,当 OP ⊥ OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于(A)
A.

ab b2 a2

B.

ab 2 b a2

C.

b2 a2 ab

D.

b2 a2 ab
( )

5.(2005 全国)方程 全国

x2 sin 2 sin 3

+

y2 cos 2 cos 3

= 1 表示的曲线是

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解:∵ 2 + 3 > π ,∴ 0 <

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

π
2

2< 3
共9页

π
2

<

π
2

,∴ cos(

π
2

2 ) > cos( 3

π
2

), 即

第1页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

sin 2 > sin 3.
, < 3 < π ,∴ cos 2 > 0, cos 3 < 0,∴ cos 2 cos 3 > 0, 2 2 方程表示的曲线是椭圆.
又0 < 2 <

π π

∵ (sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) = 2 2 sin


2 3 2+ 3 π sin( + ) …… () 2 2 4
2+ 3 π 2+ 3 π + < π .∴ sin( + ) > 0, 2 4 2 4

π
2

<

2 3 2 3 π < 0,∴ sin < 0, < 2 2 2

2 + 3 3π 3π < ,∴ < 2 4 4

∴ ()式 < 0. 即 sin 2 sin 3 < cos 2 cos 3. ∴ 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C.
6. . (2006 年浙江省预赛)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 年浙江省预赛) ( 则满足条件的直线 L 共有 A.1 B.2 解: 由 AB = 条.(C ) C.3

2,

D.4

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有

三条共切线.正确答案为 C. 7. (2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上,0 < y ≤ x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 所围成图形的面积为 年浙江省预赛)
2

1 , 3

则集合 M = {( x, y ) y x ≤ 1}, N = {( x, y ) y ≥ x + 1} 的交集 M ∩ N 所表示的图 形面积为 (B) A.

4 3 解: M ∩ N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称, 由此 M ∩ N 的图形面积只
B. C. 1 D. 要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得. 为此, 只要考虑在第一象限的面积就可以了. 由题意可得,M ∩ N 的图形在第一象限的面积为 A= 面积为

1 3

2 3

1 1 1 = . 因此 M ∩ N 的图形 2 3 6

2 . 所以选(B) . 3

二,填空题部分 1. (200 6 天津)已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) ,长轴的两个端点为 A , B ,若椭圆 a2 b2

上 存 在 点 Q , 使 ∠AQB = 120 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是

6 ≤ e <1 3

.

共9页

第2页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

y ≥ 0 2 2 ,则 x + y 的最大值是 2. (2006 年江苏)已知 3 x y ≥ 0 x + 3y 3 ≤ 0

9

.

3. (2006 吉林预赛)椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,左焦点为 F,若 ∠ABF 是直角,则这个椭圆的离心率为_________. 4. (2006 陕西赛区预赛)若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆

x2 y 2 + = 1截 2 8

得线段的中点的轨迹方程为

1 ( y + 1) 2 =1 2( x ) 2 + 2 2

5.(2005 年浙江 年浙江)根据指令,机器人在平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 α ( 0 ≤ α ≤

π
2

y

P(x,y) A

)方向行走一段时

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟 时的可能落点区域的面积是 .

α
O x

【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y ) . 设机器人改 变方向的点为 A, OA = a , AP = b .则由已知条件有 a + b = 2 × 10 = 20 ,以及

x 2 + y 2 = a 2 + 2ab sin α + b 2 ≤ (a + b) 2 = 400 x = a cos α .所以有 y = a sin α + b x + y = a (sin α + cos α ) + b ≥ a + b = 20
即所求平面图形为弓形,其面积为 100π 200 平方米.

6. (2006 年浙江省预赛)已知 A = ( x, y ) x 2 + y 2 2 x cos α + 2(1 + sin α )(1 y ) = 0, α ∈ R , 年浙江省预赛)

{

}

B = {( x, y ) y = kx + 3, k ∈ R}.若 A ∩ B 为单元素集,则 k = ± 3 .
解 由

x 2 + y 2 2 x cos α + 2(1 + sin α )(1 y ) = 0 ( x cosα ) 2 + ( y 1 sin α ) 2 = 0 x = cos α , y = 1 + sin α x 2 + ( y 1) 2 = 1

A ∩ B 为单元素集,即直线 y = kx + 3 与 x 2 + ( y 1) 2 = 1 相切,则 k = ± 3 .
7.(2005 全国 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2 x 17 上,另外两个顶点在抛物线

y = x 2 上.则该正方形面积的最小值为

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y = 2 x 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) ,D ( x 2 , y 2 ) , CD 所在直线 l 的方程 y = 2 x + b, 将直线 l 的方程与抛物线方 则
程 联 立 , 得 x 2 = 2 x + b x1, 2 = 1 ± b + 1. 令 正 方 形 边 长 为 a, 则

共9页

第3页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

a 2 = ( x1 x 2 ) 2 + ( y1 y 2 ) 2 = 5( x1 x 2 ) 2 = 20(b + 1). ①
,它到直线 y = 2 x + b 的距离为 a,∴ a = 在 y = 2 x 17 上任取一点(6,,5)
2 ①,②联立解得 b1 = 3, b2 = 63. ∴a 2 = 80, 或 a 2 = 1280. ∴ a min = 80.

| 17 + b | 5

②.

8. . (2004 全国)在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) 全国) ,点 P 在 ( X 轴上移动,当 ∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为_______________. 解:经过 M,N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a, 3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x a ) + ( y 3 + a ) = 2(1 + a ) .对于定长的弦在优弧上所
2 2 2

对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ∠MPN 取最大值时,经过 M, N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足

2(1 + a 2 ) = (a 3)2 , 解得 a=1 或 a=-7.即对应的切点分别为 P (1, 0)和P ' (7, 0) ,而
过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M,N,P 的圆的半径,所以 ∠MPN > ∠MP ' N , 故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1. 三,解答题部分 1.(集训试题 集训试题)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙ 集训试题 Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M,N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A, 使得∠MAN 为定值.求∠MAN 的度数. 解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0),点 A(k, λ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x + 2 =1+r.
2 2

or oh k AN k AM 2 所以 x=± r + 2r 3 , ∴tan∠MAN= = x+rh xrh oh oh 1 + k AN k AM 1+ x+r h xr k

=

2rh 2rh 2rh = = , 2 2 2 2 2 2 2 2 (x k) r + h ( ± r + 2r 3 ) r h h + k 3 + 2 r 2k r 2 + 2r 3
2

令 2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 2 ,所以 m+r k r + 2r 3 =nhr, n

∴m+(1-nh)r= ± k r 2 + 2r 3 ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,

m 2 = 3k 2 (1) 因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以 2m(1 nh) = 2k 2 (2) ,由(1) (2)式,得 2 2 (1 nh) = k (3)
m=0, k=0,由(3)式,得 n=

1 1 .由 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= =h=± h n

3. 所以∠MAN=60°或 120° (当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°)故∠MAN=60°. (舍) ,
共9页 第4页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优 2. . (2006 吉林预赛)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 是坐标原点,M(0,b)(b>0)为 y 轴上一 吉林预赛) ( ( 动点,过 M 作直线交 C 于 A,B 两点,设 S△ABC =mtan∠AOB,求 m 的最小值. - 2 0.5p )

3. . (2006 年南昌市)(高二)给定圆 P: x + y = 2 x 及抛物线 S: y = 4 x ,过圆心 P 作直线 l , 年南昌市) (
2 2 2

此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程. 解:圆 P 的方程为 ( x 1) + y = 1 ,则其直径长 B C = 2 ,圆心为 P (1, 0 ) ,设 l 的方程为
2 2

ky = x 1 ,即 x = ky + 1 ,代入抛物线方程得: y 2 = 4ky + 4 ,设 A ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 )


y1 + y 2 = 4k ,则 ( y1 y 2 ) 2 = ( y1 + y 2 ) 2 4 y1 y 2 y1 y 2 = 4
2 2 2 2 2 y12 y 2 ) 4

故 | AD | = ( y1 y 2 ) + ( x1 x 2 ) = ( y1 y 2 ) + (

y
A

= ( y1 y 2 ) 2 [1 + (

y1 + y 2 2 ) ] = 16(k 2 + 1) 2 ,因此 | AD |= 4(k 2 + 1) 4
o
C

B P

据等差, 2 BC = AB + CD = AD BC

x

,

D

所以 AD = 3 BC = 6 即 4( k 2 + 1) = 6 , k = ±

2 2 ,

则 l 方程为 x =

2 2 y + 1或 x = y +1. 2 2

4. 2006 年上海)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,其焦点为 F,一条过焦点 F,倾斜角为 ( 年上海)

θ (0 < θ < π ) 的直线交抛物线于 A, 两点, B 连接 AO (O 为坐标原点) 交准线于点 B′ , ,
连接 BO,交准线于点 A′ ,求四边形 ABB′A′ 的面积. 解:当 θ = 当θ ≠

π

π
2

2

时, S ABB′A′ = 2 p .
2

…………………(4 分)

时,令 k = tan θ .设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则由

共9页

第5页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

p y = k ( x ) ,① y 2 = 2 px , 2 2p 2 y p 2 = 0 ,所以 消去 x 得, y k 2p 2 y1 + y2 = , y1 y2 = p . ③ k


A/

y A

O B/

F B

x

y 2p x, 又直线 AO 的方程为: y = 1 x ,即为 y = x1 y1
所以, 与准线的交点的坐标为 B′( AO

p p2 , ), 2 y1

而由③知, y2 =

p2 ,所以 B 和 B′ 的纵坐标相等,从而 BB′ x 轴.同理 AA′ x 轴, y1 1 1 ( AA′ + BB′ ) A′B′ = AB A′B′ 2 2

故四边形 ABB′A′ 是直角梯形.………………(9 分) 所以,它的面积为 S ABB′A′ =

=

1 ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 y2 y1 2

1 1 1 1 = ( y2 y1 )2 1 + 2 = 1 + 2 ( y1 + y2 )2 4 y1 y2 2 k k 2
3 1 2 2 2 = 2 p 1 + 2 = 2 p (1 + cot θ ) 2 .………………(14 分) k 2 3

5. (2005 年浙江 . 年浙江)(20 分)设双曲线 x 2 y 2 = 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,若 PF1 F2 的 顶点 P 在第一象限的双曲线上移动, 求 PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边

PF2 上的切点轨迹.
【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 PF1 F2 的内切圆 在边 F1 F2 上的切点,H 为 PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 PF1 F2 的内切圆 在边 PF1 上的切点.则有

GF1 GF2 = KF1 HF2 = ( KF1 + KP ) ( HF2 + HP ) = PF1 PF2 ----5 分
由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点. 而 F2 G = F2 A =

2 1 .根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,

所以 PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心,
共9页 第6页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

2 1 为半径的圆弧.------- 10 分
因为 P ( x, y ) 是在 x 2 y 2 = 1 第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时, 与 x 轴正向的交角 θ 的正切的极限是 lim tan θ = lim
x → +∞

x2 1 x 2

x → +∞

=1

即 θ →

π
4

. 故 点 H 的 轨 迹 方 程 为 (极 坐 标 形 式 )

x 2 = ( 2 1) cos θ , y = ( 2 1) sin θ

(

π
4

< θ < π )-- 15 分

也可以用直角坐标形式.由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直 线段,方程为

x = 1 ( 0 < y < 1) .

-------------------------------- 20 分

6. 2006 浙江省) x 轴同侧的两个圆: . ( 浙江省) 在 动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 4abx 2ay + b 2 = 0 外切( a, b ∈ N , a ≠ 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;
2 2 (2) 若直线 4( 7 1) abx 4ay + b + a 6958a = 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,

求 a, b 之值. 解 : ( 1 ) 由

4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 4abx 2ay + b 2 = 0





(x

b 2 1 1 ) + ( y )2 = ( )2 , 2a 4a 4a
由 a, b ∈ N, 以及两圆在 x 轴同侧, 可知动圆圆心在 x 轴上方, 设动圆圆心坐标为 ( x, y ) , 则有 ( x

b 2 1 1 ) + ( y )2 = y + , 2a 4a 4a
2

整理得到动圆圆心轨迹方程 y = ax bx + 另解 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 ( 在(

b2 4a

(x ≠

b ) .……(5 分) 2a

b 1 1 , ) 为焦点, y = 为准线,且顶点 2a 4 a 4a

b ,0) 点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程 2a b 2 1 b2 b ) = y ,即 y = ax 2 bx + ( x ≠ ) …………………(5 分) 2a a 4a 2a
共9页 第7页

(x

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优 (2)联立方程组

y = ax 2 bx +

b2 b (x ≠ ) 4a 2a




4( 7 1)abx 4ay + b 2 + a 2 6958a = 0
消去 y 得

4a 2 x 2 4 7 abx (a 2 6958a ) = 0 ,

2 2 2 2 由 = 16 × 7 a b + 16a ( a 6958a ) = 0, 整理得

7b 2 + a 2 = 6958a
从③可知 7 a 2 7 a . 故令 a = 7a1 ,代入③可得



b 2 + 7 a1 = 6958a1
2

7 b 2 7 b . 再令 b = 7b1 ,代入上式得
7b1 + a1 = 994a1
2 2

…………………(10 分)

同理可得, 7 a1 ,7 b1 .可令 a = 49n, b = 49m, 代入③可得

7 m 2 + n 2 = 142n
对④进行配方,得



(n 71) 2 + 7 m 2 = 712 ,

对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7 m 2 = 712 ( n 71) 2 为 8 的倍数, 所以 所以

4 m .令 m = 4r ,则 112r 2 ≤ 712 r 2 ≤ 45 . r = 0,1, 3, 5, 2,4,6
2 2

…………………………………(15 分)

仅当 r = 0,4 时, 71 112r 为完全平方数.于是解得

a = 6958, b = 0(不合,舍去)

a = 6272 b = 784

a = 686 . …………………(20 分) b = 784
2

10. . (2004 全国)设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k pk 也是一个正整数,则 全国) ( k=____________. 解:设 k pk = n, n ∈ N , 则 k pk n = 0, k =
2 * 2 2

p ± p 2 + 4n 2 , 2

从而 p 2 + 4n 2 是平方数,设为 m 2 , m ∈ N * , 则 ( m 2n)( m + 2n) = p 2

共9页

第8页

高考资源网——提供高考试题,高考模拟题,发布高考信息题
本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优

p2 + 1 m= m 2n = 1 2 ∵ p是质数,且p ≥ 3, ∴ , 解得 2 2 m + 2n = p n = p 1 4

∴k =

p ± m 2 p ± ( p 2 + 1) ( p + 1)2 = ,故k = . (负值舍去) 2 4 4

共9页

第9页

相关文章:
高中数学竞赛专题讲座之五:解析几何(2)
待遇从优 高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题...A.1 B.2 解: 由 AB = 2 ,则满足条件的 C.3 D.4 5 , 分别以 A,...
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷 ...0, 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 ? (?)式 ? 0. 即 sin 2 ? sin 3 ...
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座...x (1) 解之得: x ? 4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? ...
高中数学竞赛专题讲座——解析几何
高中数学竞赛专题讲座——解析几何_专业资料。高中数学竞赛专题讲座——解析几何一...条. B.2 C.3 D.4 5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个...
高中数学竞赛专题讲座解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座...高中数学竞赛专题讲座之... 4页 3下载券 竞赛→高中竞赛→专项训... 10页...
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷 ...0, 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 ? (?)式 ? 0. 即 sin 2 ? sin 3 ...
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中...(5 5 ? 4,26 ? 5 5 ) (2)∵ d ? ( , 又∵ n ? N - - -9 ...
高中数学竞赛专题讲座之五 《解析几何》各类竞赛试题选讲
高中数学竞赛专题讲座之五 《解析几何》各类竞赛试题选讲_专业资料。高中数学竞赛...10. (05 湖南)过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别...
高中数学竞赛专题讲座之 解析几何
苏科全科网[http://Www.Skqkw.Cn]--免费提供 课件| 教案| 试卷| 高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: 解析几何 x2 y2 + =...
高中数学竞赛函数和解析几何练习附答案
中学数学竞赛讲座及练习(第... 10页 免费 高中数学竞赛专题讲座之四... 9页...高中数学竞赛函数和解析几何练习附答案高中数学竞赛函数和解析几何练习附答案隐藏>...
更多相关标签: