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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章3.3几个三角恒等式


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3.3

【学习要求】 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式,体会其中的三角 恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.
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2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公 式的基本方法. 理解方程思想、 换元思想在整个变换过程中所 起的作用. 3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基 本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以 及三角恒等式的证明和一些简单的应用.

3.3

【学法指导】 学习本节内容时,应在熟练掌握两角和与差的三角函数公式、 二倍角的三角函数公式的基础上,对公式进行适当变形,从而
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导出积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式;学 习的重点是体会和感悟在推导这些公式中所蕴含的三角恒等变 换基本思想方法以及数学思想方法;应通过典型例题的学习和 适量的训练,体会和感悟三角恒等变换在三角函数式化简、求 值以及三角恒等式证明中的作用,掌握应用三角恒等变换解题 的通性通法.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3

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1.半角公式

± α (1)S α :sin = 2 2
(2)Cα 2 (3)Tα 2 α ± :cos = 2

α ± :tan = 2 sin α = 1+cos α =

1-cos α 2 ; 1+cos α 2 ; 1-cos α 1+cos α (无理形式)
1-cos α sin α

(有理形式).

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3

2.辅助角公式 使 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)成立时,cos φ=
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a a2+b2

,sin φ=

b a2+b2

,其中 φ 称为辅助角,

它的终边所在象限由 点(a,b) 决定.

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3.3

探究点一 半角公式的推导
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α α α 问题 1 试用 cos α 表示 sin 、cos 、tan . 2 2 2 2α 2α 2α 答 ∵cos α=cos -sin =1-2sin , 2 2 2
1-cos α ∴2sin 2=1-cos α,∴sin 2= , 2
2α 2α

α ∴sin =± 2

1-cos α ; 2
2α 2α

1+cos α ∵cos α=2cos 2-1,∴cos 2= , 2

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3.3

α ∴cos =± 2
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1+cos α ; 2


1-cos α sin 1-cos α 2 2 α 2 ∵tan = = = , 2 α 1+cos α 1+cos α cos22 2 α ∴tan =± 2 1-cos α . 1+cos α

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1-cos α α sin α 问题 2 证明:tan = = . 2 1+cos α sin α α α 2sin 2cos 2 sin α α 答 ∵ = =tan , α 2 1+cos α 2 2cos 2 α sin α α 1-cos α ∴tan = ,同理可证 tan = . 2 1+cos α 2 sin α 1-cos α α sin α ∴tan = = . 2 1+cos α sin α

3.3

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3.3

探究点二

积化和差与和差化积公式的推导

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根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整: ①sin(α+β)+sin(α-β)= 2sin αcos β ; ②sin(α+β)-sin(α-β)= 2cos αsin β ; ③cos(α+β)+cos(α-β)= 2cos αcos β ; ④cos(α+β)-cos(α-β)= -2sin αsin β .

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3.3

问题 1

由上述①~④这四个等式不难得出下列四个对应的

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积化和差公式,请你试一试写出这四个公式: 1 2[sin(α+β)+sin(α-β)] ; sin αcos β= 1 2[sin(α+β)-sin(α-β)] ; cos αsin β= 1 cos αcos β= 2[cos(α+β)+cos(α-β)] ; 1 sin αsin β=-2[cos(α+β)-cos(α-β)] .

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3.3

问题 2 在上述①~④这四个等式中,如果我们令 α+β=θ, θ+φ θ-φ α-β=φ,则 α= ,β= ,由此可以得出四个相应 2 2
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的和差化积公式,请你试一试写出这四个公式: θ+φ θ-φ 2sin 2 cos 2 sin θ+sin φ= ; θ+φ θ-φ sin θ-sin φ= 2cos 2 sin 2 ; θ+φ θ-φ cos θ+cos φ=2cos 2 cos 2 ; θ+φ θ-φ -2sin sin 2 2 . cos θ-cos φ=

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3.3

探究点三

辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)

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使 asin x+bcos x= a2+b2 sin(x+φ)成立时, cos φ= a b ,sin φ= 2 ,其中 φ 称为辅助角,它的终边 a2+b2 a +b2 所在象限由点(a,b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性 质中有着重要的应用.

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3.3

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问题 1 将下列各式化成 Asin(ωx+φ)的形式, 其中 A>0, ω>0, π |φ|< . 2 ? π? 2sin?x+4? ? ? ; (1)sin x+cos x= ? π? 2sin?x-4? ? ? ; (2)sin x-cos x= ? π? 2sin?x+6? ; (3) 3sin x+cos x= ? ? ? π? 2sin?x-6? (4) 3sin x-cos x= ; ? ? ? π? 2sin?x+3? ? ? (5)sin x+ 3cos x= ; ? π? ? ? (6)sin x- 3cos x= 2sin?x-3? .

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问题 2 请写出把 asin x+bcos x 化成 Asin(ωx+φ)形式的 过程. 答 asin x+bcos x ? ? a b ? 2 2? = a +b ? 2 2sin x+ 2 2cos x? a +b ? a +b ?
= a2+b2(sin xcos φ+cos xsin φ)
= a2+b2sin(x+φ) b a (其中 sin φ= 2 ,cos φ= 2 ). a +b2 a +b2

3.3

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[典型例题]

3.3

1 α α α 例 1 已知 cos α= ,α 为第四象限角,求 sin 、cos 、tan . 3 2 2 2 1 1- 1-cos α 3 α 3 解 sin =± =± =± , 2 2 2 3 本 课 1 时 1+3 1+cos α 栏 α 6 cos =± =± =± , 目 2 2 2 3
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α tan 2=±

1-cos α =± 1+cos α

1 1-3 2 1=± 2 . 1+ 3

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α ∵α 为第四象限角,∴ 为第二、四象限角. 2 α 当 为第二象限角时, 2 α 3 α 6 α 2 sin = ,cos =- ,tan =- ; 2 3 2 3 2 2 α 当 为第四象限角时, 2 α 3 α 6 α 2 sin =- ,cos = ,tan =- . 2 3 2 3 2 2
小结

3.3

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在运用半角公式时,要注意根号前符号的选取,不能确 θ 定时,根号前应保持正、负两个符号,而对于 tan ,还要注意 2 1-cos θ θ sin θ 运用公式 tan = = 来求值. 2 1+cos θ sin θ

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3 θ 跟踪训练 1 已知 cos θ=- ,且 180° <θ<270° ,求 tan . 5 2 θ 解 方法一 ∵180° <θ<270° ,∴90° 2<135° < , θ ∴tan 2<0, ? 3? 1-?-5? 1-cos θ θ ? ? ∴tan 2=- =- ? 3?=-2. 1+cos θ 1+?-5? ? ?
方法二 ∵180° <θ<270° ,∴sin θ<0,
2

3.3

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∴sin θ=- 1-cos θ=- 4 -5
?

9 4 1-25=-5,

θ sin θ ∴tan 2= = ? 3?=-2. 1+cos θ 1+?-5?
?

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例2 已知函数 f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.

3.3

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(1)求函数 f(x)的最小正周期; ?π 3π? (2)求函数 f(x)在区间?8, 4 ?上的最小值和最大值. ? ? 解 (1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1

=sin 2x-cos 2x=

? π? 2sin?2x-4?. ? ?

因此,函数 f(x)的最小正周期为 π. ? ?π 3π? π? (2)因为 f(x)= 2sin?2x-4?在区间?8, 8 ?上为增函数,在区间 ? ? ? ? ?3π 3π? ? , ?上为减函数, 4? ?8 ?π? ?3π? 又 f ?8?=0,f ? 8 ?= 2, ? ? ? ?

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3.3

f
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?3π? ? ?= ?4?

故函数 小结

?3π π? π ? - ?=- 2cos =-1, 2sin 4? 4 ?2 ?π 3π? f(x)在区间?8, 4 ?上的最大值为 2,最小值为-1. ? ?

研究形如 f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx 的性

质时,先化成 f(x)= a2+b2sin(ωx+φ)+c 的形式再解答.

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跟踪训练 2 已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. ? ? π? π? 解 (1)∵f(x)= 3sin 2?x-12?+1-cos 2?x-12? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? π ? π? π? 1 π ?? ? ? ? ? =2? sin 2?x- ?- cos 2?x- ??+1=2sin?2 x-12?-6?+1 ? 12? 2 12?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? π? 2π ?2x- ?+1,∴T= =π. =2sin 3? 2 ? ? ?
π (2)当 f(x)取得最大值时,sin?2x-3?=1,
? ?

3.3

? ? π? π? 2? 3sin?2x-6 ?+2sin x-12? ? ? ? ?

(x∈R).

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π π 5π 有 2x- =2kπ+ (k∈Z),即 x=kπ+ (k∈Z), 3 2 12 5π ∴所求 x 的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 12

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例3 如图所示,已知 OPQ 是半径为 1,圆心 π 角为 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 3 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角 α
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3.3

取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

解 在 Rt△OBC 中,OB=cos α,BC=sin α.
DA 在 Rt△OAD 中,OA=tan 60° 3, = 3 3 3 ∴OA= 3 DA= 3 BC= 3 sin α, 3 ∴AB=OB-OA=cos α- 3 sin α. 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AB· BC

几何画板演示

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? =?cos ? ? ? 3 2 3 ? α- sin α?sin α=sin αcos α- 3 sin α 3 ?

3.3

1 3 1 3 3 = sin 2α- (1-cos 2α)= sin 2α+ cos 2α- 2 6 2 6 6
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? 1? 3 3 1 ? ? = ? sin 2α+ cos 2α?- 6 2 3? 2 ? ? π? 1 3 ?2α+ ?- = sin 6? 6 . 3 ? π π π 5π π π 由 0<α< ,得 <2α+ < ,所以当 2α+ = , 3 6 6 6 6 2 π 1 3 3 即 α= 时,S 最大= - = . 6 6 3 6

π 3 因此,当 α= 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6

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3.3

小结 从本例可以看到, 通过三角变换, 我们把形如 y=asin x
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+bcos x 的函数转化为形如 y=Asin(ωx+φ)的函数, 从而使问 题得到简化,这个过程蕴含了化归思想.

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跟踪训练 3 2002 年在北京召开的国际数学家

3.3

大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为 基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一 个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果
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小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中 较小的锐角为 θ,那么 cos 2θ 的值等于______.
解析 由题意,得 5cos θ-5sin
1 ∴cos θ-sin θ=5.
由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,
? π? θ=1,θ∈?0,4?. ? ?

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3.3

7 得 cos θ+sin θ= . 5
∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ
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7 =(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=25. 7 答案 25

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3.3

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1.函数 解析

? ? π? π? 1 f(x)=sin?x+3 ?+sin?x-3 ?的最大值是______. ? ? ? ?

π f(x)=2sin xcos 3=sin x.

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3.3

2.函数 f(x)=sin x-cos
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? π? x,x∈?0,2 ?的最小值为______. -1 ? ?

解析

f(x)=

? ? π? π? 2sin?x-4?,x∈?0,2?. ? ? ? ?

π π π ∵-4≤x-4≤4, ∴f(x)min=
? π? 2sin?-4?=-1. ? ?

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1 x ?π x? 2 3.函数 f(x)=2sin sin?3-2?的最大值等于________. 2 ? ?
解析
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3.3

π x π x? x? f(x)=2sin 2?sin 3cos 2-cos 3sin 2? ? ?

1-cos x 3 3 2x = 2 sin x-sin 2= 2 sin x- 2 3 1 1 = 2 sin x+2cos x-2 ? π? 1 =sin?x+6?-2. ? ? 1 ∴f(x)max=2.

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4.求函数 f(x)=3sin(x+20° )+5sin(x+80° )的最大值. 解 3sin(x+20° )+5sin(x+80° )

3.3

=3sin(x+20° )+5sin(x+20° )cos 60° +5cos(x+20° 60° )sin
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11 5 3 = 2 sin(x+20° )+ 2 cos(x+20° ) =
?5 3? ?11? ?2 2 ? ? +? +φ) ? 2 ? sin(x+20° ?2? ? ?
? ? ?

x+20° ??? +φ =7sin 11 5 3 其中 cos φ=14,sin φ= 14 .

所以 f(x)max=7.

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3.3

1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对 思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后
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继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式. 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 φ 满足: b b ①φ 与点(a,b)同象限;②tan φ=a(或 sin φ= 2 2,cos φ a +b a = 2 ). a +b2

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3.3

3. 研究形如 f(x)=asin x+bcos x 的函数性质, 都要运用辅助角公 式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角
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公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是高考常 考的考点之一.对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握, ? π? 例如 sin x± x= 2sin?x± ?;sin x± 3cos x cos ? 4? ? π? =2sin?x± ?等. ? 3?


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