当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5自主学习导学案:2.5 等比数列前n项和


2.5 等比数列的前 n 项和(学生版)
1.新课引入 国际象棋起源于印度, 相传国王要奖励国际象棋的发明者, 问他要什么, 发明者说: “请在棋盘的第 1 个格子里面放 1 颗麦粒,第 2 个格子里面放 2 颗麦粒,第 3 个格子里面放上 4 颗麦粒,依次类推,每个格子里面放的麦粒 数是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64 个格子. ”国王觉得这个要 求不高

,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为 40 克,根据调查,目前世 界年度小麦产量约为 6 亿吨,根据以上数据,判断国王是否能够实现他的诺 言. 探讨 1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少?

1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? +263
探讨 2: 上面式子有什么特点? 是一个以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项之和,可以记为
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+263

① ②

如果①式两边同乘以 2 得 2S64=2+22+23+· · · +263+264 探讨 3: 比较①、②两式,有什么关系?

两式上下相对的项完全相同,把两式相减,就可以消去相同的项,得到: S64 ? 264 ?1 . 思考 1: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以 2 ? 思考 2:你能求出该数列的前 n 项和 Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+2n?1 吗? 分析: Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+2n?1 ① 公式两边同时乘以等比数列的公比 2,可得: 2Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+2n-1 ? 2n ② 两式相减可得: Sn ? 2n ? 1 . 2.等比数列前 n 项和的推导 问题:设等比数列

?an ? ,首项 a1 ,公比 q ,如何求前 n 项和 Sn ?

说明:这种求和方法称为错位相减法. 思考 3:当公比 q ? 1 时,有人推导出数列 ?an ? 前 n 项和公式为 Sn ?
a1 ? an q ,你知道如何推导的吗? 1? q

思考 4:当公比 q ? 1 时,数列 ?an ? 是什么数列?此时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 怎么求?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ? 1, ,q ? 1, ? 等比数列前 n 项和公式: ?1? S n ? ? 1 ? q ? 2 ? Sn ? ? ? 1? q ? na ,q ? 1. ?na ,q ? 1. ? 1 ? 1
思考:这两个公式有什么区别,分别在什么情况下使用?

※ 典型例题 考点 1.求等比数列的通项公式

.... 【例 1 】已知等比数列: , ,, ,
(1)求其前 8 项和; (2)该数列前多少项和是

1 1 1 1 2 4 8 16

63 ?(3)求该数列第 5 项到第 10 项的和. 64

练习 1.已知等比数列 ?an ? 中, an ? 96 , q ? 2 , Sn ? 189 ,则 n ? ________. 练习 2.已知等比数列 ?an ? 中 , a1 ? ?4 , q ? 考点 2. 等比数列前 n 项和公式的基本运算 【例 2 】在等比数列{an}中, (1)若 a1=1,a5=16,且 q>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 3 9 (3)若 a3= ,S3= ,求 a1 和公比 q. 2 2

1 ,则 S6 ? _____________. 2

练习 1:已知等比数列 ?an ? 中, S3 ? 7 , S6 ? 63 ,求 a9 =____________. 练习 2:已知等比数列 ?an ? 中, S3 ? 3 , a3 ? 1 ,则 S6 ? ___________. 练习 3:在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1+a3an-2=256,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q.

考点 3.错位相减法求数列的前 n 项和 【例 3】设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 . (1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

点评:(1)如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错 位相减法.特别注意等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错 项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一 前提条件.如果不能确定公比 q 是否为 1,应分两种情况讨论. 练习 1.数列 {an } 的通项 an ? (2n ? 1) ? 2n?1 ,前 n 项和为 Sn ,求 Sn .

练习 2.求数列{nxn}的前 n 项和 Sn. 思维启迪:讨论 x 的取值,根据 x 的取值情况,选择恰当方法.

※ 当堂检测 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 - 2.数列 1,x,x2,?,xn 1(x≠0)的前 n 项和为( ) - + 1-xn 1-xn 1 1-xn 1 A. B. C. D.以上均不正确 1-x 1-x 1-x 2 2 3.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 ) 1+a2+?+an等于(

)

1 1 B. (2n-1) C.4n-1 D. (4n-1) 3 3 4.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 5.已知等比数列{an}的首项 a1=1,且公比 q=2,求数列{nan}的前 10 项的和. A.(2n-1)2

考点 4. 等比数列前 n 项和公式的实际应用 【例 4】 从社会效益和经济效益出发,基地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划, 1 本年度投入 800 万元.以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设 5 1 对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 1 1 分析:该题中每年的资金投入都比上一年减少 ,每年的旅游业收入都比上一年增加 ,故为等比数列模型. 5 4

考点 5. 等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和,如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍组成等比数列. (2){an}为等比数列?Sn=Aqn+B(A+B=0). S偶 (3)在等比数列{an}中,若项数为 2n(n∈N*),则 =q. S奇 (4)在等比数列{an}中,Sm+n=Sn+qnSm. (5) 在等比数列 {an } 中, 序号成等差数列的项构成一个新的等比数列. 如在等比数列 {an } 中(公比为 q ),

am , am?k , am?2k , ???, am?nk , ??? 也依次成等比数列 ?am?(n?1) k ? ,其首项是 am ,公比是 qk .
2 (6)若 {an } 、 {bn } 均为等比数列,则 ?an ?, ?

?1? ? an ? ? 也为等比数列, ?an bn ? , ? ? 也为等比数列; a ? bn ? ? n?
a1 n ? q 是关于 n 的指数型函数 an q

(7)当 q ? 0, q ? 1 时,等比数列 {an } 的通项公式 an ? a1q n ?1 ? 形式;前 n 项和公式 Sn ?

? k ? qn 的

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 ? 1 ? q n 是关于 n 的函数 Sn 1? q 1? q 1? q

? A ? Aqn 的形式.

【例 5】在等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求 S30.

练习 1. (1)在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 a 3 ?

3 9 , S 3 ? ,求公比 q . 2 2

(2)在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 5 , S20 ? 15 ,求 S30 .

1.某厂去年的产值记为 1 ,计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ,则从今年起到第五年,这个厂 的总产值为( ) A. 1.1
4

B. 1.1

5

C. 11? (1.1 ? 1)
5

D. 10 ? (1.1 ?1)
6

2.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为 A.81 B.120 C.168 D.192 3.在等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=44,则 a1 的值为( A.4 B.-4 C.2 D.-2
?





) )

4.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 24?n (n ? N ) ,则它的前 5 项和等于( A.

5 2

B. 15

1 2

C. 40

D. 2 ? 1
8

5.若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? A. S n ? 1 ?
1 2n

n ,则前 n 项和为( 2n
C. S n ? n?1 ?

)

B. Sn ? 2 ?

1 n ? n n ?1 2 2

? ?

1 ? ? 2n ?

D. S n ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n 2n

4 6.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( ) 3 1 - - - A.-6(1-3 10) B. (1-310) C.3(1-3 10) D.3(1+3 10) 9 5 7.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 ?1? 8.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的前 5 项和为( ) ? n? 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8 9.若数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+a(a 为常数),则数列{an}是( ) A.等比数列 B.仅当 a=-1 时,是等比数列 C.不是等比数列 D.仅当 a=0 时,是等比数列 10.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式为 an=________. 1 S4 11 设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 =________. 2 a4

1 12.在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. 2 13. 已知 ?an ? 是公比为

1 的等比数列, 若 a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97 ? 100 , 则 a3 ? a6 ? a9 ???? ? a99 的值是 2

__

14.在等比数列 ?an ? 中,设前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2S2 ? 1 , a4 ? 2S3 ? 1 ,则公比 q ?
? 15.若数列 ?an ? 满足 lg an ?1 ? 1 ? lg an n ? N ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 100 ,则

?

?

lg(a101 ? a102 ? a103 ? ? ? a200 ) 等于
16.已知数列 ?an ? , S n 是其前 n 项的和,且 an ? 7Sn?1 ? 2 (n ? 2) , a1 ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 a1 ? a4 ? a7 ???? ? a3n?2 关于 n 的表达式子.

17.在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1=b1=1,a2=b2,a6=b3. (1)求等差数列{an}的通项公式 an 和等比数列{bn}的通项公式 bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Sn.

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn;(2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

2.5 等比数列的前 n 项和(教师版)
1.新课引入 国际象棋起源于印度, 相传国王要奖励国际象棋的发明者, 问他要什么, 发明者说: “请在棋盘的第 1 个格子里面放 1 颗麦粒,第 2 个格子里面放 2 颗麦粒,第 3 个格子里面放上 4 颗麦粒,依次类推,每个格子里面放的麦粒 数是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64 个格子. ”国王觉得这个要 求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为 40 克,根据调查,目前世 界年度小麦产量约为 6 亿吨,根据以上数据,判断国王是否能够实现他的诺 言. 探讨 1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少? 1+2+22+· · · +263 探讨 2: 上面式子有什么特点? 是一个以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项之和,可以记为 S64=1+2+22+· · · +263 ① 2 3 63 64 如果①式两边同乘以 2 得 2S64=2+2 +2 +· · · +2 +2 ② 探讨 3: 比较①、②两式,有什么关系?

两式上下相对的项完全相同,把两式相减,就可以消去相同的项,得到: S64 ? 264 ?1 . 思考 1: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以 2 ? 思考 2:你能求出该数列的前 n 项和 Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+2n?1 吗? 分析: Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?+2n?1 ① 公式两边同时乘以等比数列的公比 2,可得

2Sn ? 2 ? 22 ? 23 ??+2n-1 ? 2n ②
两式相减可得: Sn ? 2n ? 1 . 2.等比数列前 n 项和的推导 问题:设等比数列

?an ? ,首项 a1 ,公比 q ,如何求前 n 项和 Sn ?

说明:这种求和方法称为错位相减法.

思考 3:当公比 q ? 1 时,有人推导出数列 ?an ? 前 n 项和公式为 Sn ?

a1 ? an q ,你知道如何推导的吗? 1? q

思考 4:当公比 q ? 1 时,数列 ?an ? 是什么数列?此时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 怎么求?

等比数列前 n 项和公式:

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ? 1, ,q ? 1, ? ?1? Sn ? ? 1 ? q ? 2 ? Sn ? ? ? 1? q ? na ,q ? 1. ?na ,q ? 1. ? 1 ? 1
思考:这两个公式有什么区别,分别在什么情况下使用?

※ 典型例题 考点 1.求等比数列的通项公式

.... 【例 1 】已知等比数列: , ,, , 63 ?(3)求该数列第 5 项到第 10 项的和. 64 1 1 ? (1 ? ( ) n ) 2 ? 1 ? ( 1 )n . 解:依题意,该数列的前 n 项和为: S n ? 2 1 2 1? 2 1 1 ? (1 ? ( )8 ) 2 ? 1 ? ( 1 )8 ? 255 ; (1) ?1? S8 ? 2 1 2 256 1? 2 1 n 63 (2) Sn ? 1 ? ( ) ? ,解得 n ? 6 ; 2 64 1 1 ? (1 ? ( )6 ) 1 2 ? 63 . (3)依题意, a5 ? ,所以 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 32 1 32 1024 1? 2
(1)求其前 8 项和; (2)该数列前多少项和是 练习 1:已知等比数列 ?an ? 中, an ? 96 , q ? 2 , Sn ? 189 ,则 n ? ____6_____. 练习 2、已知等比数列 ?an ? 中 , a1 ? ?4 , q ?

1 1 1 1 2 4 8 16

1 63 ,则 S6 ? _____ ? ________. 2 8

考点 2. 等比数列前 n 项和公式的基本运算 【例 2 】在等比数列{an}中,

(1)若 a1=1,a5=16,且 q>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 3 9 (3)若 a3= ,S3= ,求 a1 和公比 q. 2 2 分析:解答本题可以根据条件建立方程或方程组,求出基本元素 a1 和 q,再求出所要求的量. a1?1-q7? 1-27 解析:(1)因{an}为等比数列且 a1=1,a5=16∴a5=a1q4,∴16=q4,∴q=2(负舍).∴S7= = = 1-q 1-2 127. a1?1-2n? ? ? 189 = , a1?1-qn? 192 - 1-2 (2)法一:由 Sn= ,an=a1qn 1,以及已知条件得? ∴a1· 2n=192,∴2n= . a1 1-q - ? 2n 1. ?96=a1· 192 ? n-1 96 ∴189=a1(2n-1)=a1? ? a1 -1?,∴a1=3.又∵2 = 3 =32,∴n=6. a1-anq a1-96×2 - 法二:由公式 Sn= 及条件得 189= ,解得 a1=3,又由 an=a1· qn 1, 1-q 1-2 - 得 96=3· 2n 1,解得 n=6. 3 2 a1?1-q3? 9 3 9 9 (3)①当 q≠1 时,S3= = ,又 a3=a1· q2= ,∴a1(1+q+q2)= ,即 2(1+q+q2)= ,解得 q= 2 2 2 q 2 1-q 1 3 - (q=1 舍去),∴a1=6. ②当 q=1 时,S3=3a1,∴a1= . 2 2 3 a =6, ? ? ? 1 ?a1=2, 综上得? 或? 1 ?q=-2, ?q=1. ? ? 练习 1:已知等比数列 ?an ? 中, S3 ? 7 , S6 ? 63 ,求 a9 .

? a1 (1 ? q 3 ) 7 ? , ? 1? q S6 63 ? 解: ? ,两式相除得 9 ? 1 ? q3 ,解得 q ? 2, a1 ? 1 ? ? 9 ? 2 ,? q ? 1 ,? ? 6 S3 7 ?63 ? a1 (1 ? q ) , ? 1? q ?

?a9 ? a1q8 ? 28 ? 256 .
练习 2:已知等比数列 ?an ? 中, S3 ? 3 , a3 ? 1 ,则 S6 ? ____ 6或

21 _______. 8

练习 3:在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1+a3an-2=256,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. 解:∵{an}是等比数列,∴a1an=a2an-1=a3an-2. ∵a2an-1+a3an-2=256,∴a1an=128. 又 a1+an=66, ?a1=2, ?a1=64, ? ? a1-anq ∴? 或? 显然 q≠1,由公式 Sn= =126. 1- q ?an=64 ?an=2. ? ? (1)当 a1=2,an=64 时,得 q=2,由 an=a1×qn 1,得 2n 1=32,∴n=6. 1 (2)当 a1=64,an=2 时,同理解得 q= ,n=6. 2 1 综上,n=6,q=2 或 . 2
- -

考点 3.错位相减法求数列的前 n 项和 【例 3】设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 .

(1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, d q 解: (1)设 ?an ? 的公差为 , ?bn ? 的公比为 ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . (2)

an 2n ? 1 1 ? n ?1 ? (2n ? 1) ? ( )n?1 . bn 2 2

1 1 1 1 Sn ? 1 ? 3 ? ( )1 ? 5 ? ( ) 2 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ? 2 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 , ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n ,② 2 2 2 2 2 2 1 11 1 2 1 n ? 2 1 n ?1 1 n ①-②得 S n ? 1 ? 2[( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ? ( ) ] ? (2n ? 1)( ) , 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 1 1 ? 2n ? 1 ?1 1 2 ? 2n ? 1 ,所以 S ? 6 ? 2n ? 3 . ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ? ? n ? 1 ? n 1 2n ?1 2 2 ? 2 2n ?2 2 1? 2
点评:(1)如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错 位相减法.特别注意等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn” 的表达式. (3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一前提条件. 如果不能确定公比 q 是否为 1, 应分两种情 况讨论.

练习 1.数列 {an } 的通项 an ? (2n ? 1) ? 2n?1 ,前 n 项和为 Sn ,求 Sn . 解析: Sn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ?? ? 2n ? 1? ? 2
0 1 2 n?1

两边乘 2 得

2Sn ?
2 3

3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1 ? ? 2n ?1? ? 2n
n n n?1

两式相减得 ?Sn ? 3 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? 2 故 Sn ? 1 ? ? 2n ?1? ? 2 .
n

?1? ? 2n ?1? ? 2n ,

练习 2.求数列{nxn}的前 n 项和 Sn. 思维启迪:讨论 x 的取值,根据 x 的取值情况,选择恰当方法. 解:(1)当 x=0 时,an=0,∴Sn=0. n?n+1? (2)当 x=1 时,an=n,∴Sn= . 2 - (3)当 x≠0 且 x≠1 时,Sn=x+2x2+3x3+?+(n-1)xn 1+nxn ① - + xSn= x2+2x3+?+(n-2)xn 1+(n-1)xn+nxn 1 ② n x?1-x ? x + + + ①-②得,(1-x)Sn=x+x2+x3+?+xn-nxn 1= -nxn 1,∴Sn= · [nxn 1-(n+1)xn+1], 1- x ?1-x?2

※ 当堂检测 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 2 4 2 ? ? ?a1q =1, ?a1q =1, 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由题意知? 即? 2 2 ?a1?1+q+q ?=7, ?a1?1+q+q ?=7, ? ? ?1?5? 1 ? 4? ?q=2, ?1-?2? ? 31 解得? ∴S5= = . 答案:B 1 4 ? 1- ?a1=4, 2 - 2.数列 1,x,x2,?,xn 1(x≠0)的前 n 项和为( ) - + 1-xn 1-xn 1 1-xn 1 A. B. C. D.以上均不正确 1-x 1-x 1-x 1-xn 解析:在不能确定公比 q 是否为 1 时,要分类讨论.当 x≠1 时,Sn= ;当 x=1 时,Sn=n. 1-x 答案:D 2 2 3.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 ) 1+a2+?+an等于( 1 n 1 n 2 n A.(2n-1) B. (2 -1) C.4 -1 D. (4 -1) 3 3 - 2 解析:根据前 n 项和 Sn=2n-1,可求出 an=2n 1,由等比数列的性质可得{an }仍为等比数列,且首项为 1 2 2 2 2 2 4 2n-2 a2 = (4n-1).答案:D 1,公比为 q ,∴a1+a2+?+an=1+2 +2 +?+2 3 4.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. ?a1q+a1q3=20, ?q=2, ? ? 2?1-2n? n+1 ? 解析:由题意知? 2 解得 故 S = =2 -2. n 4 1-2 ?a1q +a1q =40, ?a1=2, ? ? 答案:2 2n 1-2 5.已知等比数列{an}的首项 a1=1,且公比 q=2,求数列{nan}的前 10 项的和. - 解:由题意,an=2n 1,设{nan}的前 n 项和为 Sn, 则 S10=1×20+2×21+3×22+?+10×29, 2S10=1×21+2×22+3×23+?+10×210, 两式相减得:-S10=1+21+22+23+?+29-10×210=-1-9×210, 所以 S10=1+9×210.


考点 4. 等比数列前 n 项和公式的实际应用 【例 4】 从社会效益和经济效益出发,基地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划, 1 本年度投入 800 万元.以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设 5 1 对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 1 1 分析:该题中每年的资金投入都比上一年减少 ,每年的旅游业收入都比上一年增加 ,故为等比数列模型. 5 4 1 ?1- ?万元,?,第 n 年的投入为 800?1-1?n-1 万 解析:(1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800· ? 5? ? 5? 元,所以,n 年内的总投入为:

1? ? 1?n-1 ?4?n an=800+800? ?1-5?+?+800?1-5? =4 000-4 000?5? . 1? ?1+1?万元, 第一年旅游业收入为 400 万元, 第二年旅游业收入为 400· ?, 第 n 年旅游业收入为 400? ? 4? ?1+4?
n-1

万元. 1? ? 1?n-1 ?5?n 所以 n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400? ?1+4?+?+400?1+4? =1 600?4? -1 600. (2)设经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, ?5?n ? ? ?4?n? 即 1 600×? ??4? -1?-4 000×?1-?5? ?>0. 4?n ?5?n 化简得 5×? ?5? +2×?4? -7>0. 4?n 2 2 设 x=? ?5? ,代入上式得 5x -7x+2>0,解此不等式,得 x<5,x>1(舍去). 4?n 2 即? ?5? <5,由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

考点 5. 等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和,如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍组成等比数列. (2){an}为等比数列?Sn=Aqn+B(A+B=0). S偶 (3)在等比数列{an}中,若项数为 2n(n∈N*),则 =q. S奇 n (4)在等比数列{an}中,Sm+n=Sn+q Sm. (5) 在等比数列 {an } 中, 序号成等差数列的项构成一个新的等比数列. 如在等比数列 {an } 中(公比为 q ),

am , am?k , am?2k , ???, am?nk , ??? 也依次成等比数列 ?am ? ( n ?1) k ? ,其首项是 am ,公比是 qk .
(6)若 {an } 为等比数列,则 an , ?

? ?
2

?1? ? an ? ? 也为等比数列,若 {an } 和 {bn } 都为等比数列,则 ?anbn ? , ? ? ? an ? ? bn ?
n ?1

也为等比数列 (7) 当 q ? 0, q ? 1 时, 等比数列 {an } 的通项公式 an ? a1q 的形式;前 n 项和公式 Sn ?

?

a1 n ? q 是关于 n 的指数型函数 an ? k ? qn q

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 ? 1 ? q n 是关于 n 的函数 Sn ? A ? Aqn 的形式. 1? q 1? q 1? q

【例 5】在等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求 S30. 解析:法一:设公比为 q,∴S10=10,S20=30≠20,∴q≠1. a ?1-q ? ? 1-q ∴? a ?1-q ? ? 1-q
1 1 10

? =10 ① ? =30 ②

20

a1 ②÷ ①得 1+q10=3,∴q10=2.将 q10=2 代入①得 =-10, 1-q

a1?1-q30? ∴S30= =-10(1-23)=70. 1-q 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列,又 S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-S20=S30-30= =40,∴S30=70. 10 练习 1. (1)在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 a 3 ?

3 9 , S 3 ? ,求公比 q . 2 2

(2)在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 5 , S20 ? 15 ,求 S30 .

解: (1)当 q ? 1 时, {an } 为常数数列, a1 ? a3 ?

3 9 , S3 ? 3a1 ? ;符合题意; 2 2

3 ? a1q 2 ? ? 2 1 1 ? 当 q ? 1 时, ? ,求得 q ? ? .综上, q ? 1 或 q ? ? . 3 2 2 ? a1 (1 ? q ) ? 9 ? 2 ? 1? q
(2)当 q ? 1 时, {an } 为常数数列,

S20 20a1 ? ? 2 ,与题意不合,所以 q ? 1 , S10 10a1

? a1 (1 ? q10 ) ? 1? q ? 5 ? 此时 ? 20 ? a1 (1 ? q ) ? 15 ? ? 1? q
代入①得

?1?
,两式相除,得

? 2?

1 ? q 20 15 ? , q10 ? 2 , 10 1? q 5

a1 a (1 ? q30 ) a ? ?5 ,所以 S30 ? 1 ? 1 (1 ? q30 ) ? 35 1? q 1? q 1? q

1.某厂去年的产值记为 1 ,计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ,则从今年起到第五年,这个厂 的总产值为( ) A. 1.1
4

B. 1.1

5

C. 11? (1.15 ? 1)

D. 10 ? (1.16 ?1)

1.1? (1 ? 1.15 ) 1.C 提示: S5 ? 1 ? 1.1
2.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为 A.81 B.120
3





C.168

D.192

2.B. 解:由已知, q ?

a5 ? 27 ,得公比 q ? 3 , a1 ? 3 ,故 S4 ? 120 . a2

3.在等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=44,则 a1 的值为( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 a1?1-q5? a1[1-?-2?5] 解析:S5= ,∴44= ,∴a1=4,故选 A. 1-q 1-?-2?

4.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 24?n (n ? N ? ) ,则它的前 5 项和等于( A.



5 2

B. 15

1 2

C. 40

D. 2 ? 1
8

4.B 提示:数列 ?an ? 为等比数列, a1 ? 8 , q ? 5.若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? A. S n ? 1 ?

1 2
)

n ,则前 n 项和为( 2n 1 2
n ?1

1 2n 1 2

B. S n ? 2 ?
n

?

n 2n

C. S n ? n?1 ?

? ?

1 ? ? 2n ?

D. S n ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n 2n

5.B 提示: an ? n ? ( ) ,用错位相减法求和. 4 6.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( ) 3 1 - - - A.-6(1-3 10) B. (1-310) C.3(1-3 10) D.3(1+3 10) 9 an+1 1 1 4 解析:由 3an+1+an=0,得 =- ,故数列{an}是公比 q=- 的等比数列.又 a2=- ,可得 a1=4. an 3 3 3 1 ? ?10? 4? ?1-?-3? ? - 所以 S10= =3(1-3 10).答案:C 1 ? 1-? ?-3? 5 7.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知 a2· a3=a1· a4=2a1,即 a4=2.由 a4 与 2a7 的等 5 5 5 5 1 1 1 2× -a4?= ?2× -2?= . 差中项为 知,a4+2a7=2× ,即 a7= ? 4 ? 2? 4 ? 4 4 4 2? 1?5? 16? 1-? 2? ? ? ? a 1 1 1 7 ∴q3= = ,即 q= .∴a4=a1q3=a1× =2,即 a1=16. ∴S5= =31. 答案:C a4 8 2 8 1 1- 2 ?1? 8.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的前 5 项和为( ) ? n? 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8 解析:由题意知 q≠1, - ∵9(a1+a2+a3)=a1+a2+?+a6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3,∴q=2,an=2n 1, 1 1 1 1 1 1 31 ∴ + +?+ = 0+ 1+?+ 4= . 答案:C a1 a2 a5 2 2 2 16 9.若数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+a(a 为常数),则数列{an}是( ) A.等比数列 B.仅当 a=-1 时,是等比数列 C.不是等比数列 D.仅当 a=0 时,是等比数列 ? ? S ? n = 1 ? , ? 1 ?3+a?n=1?, - 解析:an=? =? 当 a=-1 时,a1=2 适合通项 an=2×3n 1,故数列{an} n-1 ?Sn-Sn-1?n≥2? ?2×3 ?n≥2?. ? ? 是等比数列.当 a≠-1 时,{an}不是等比数列,故选 B. 10.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式为 an=________. 21 - - 解析:∵q=4,S3=a1(1+q+q2)=21,∴a1= =1.∴an=a1qn 1=4n 1. 1+q+q2

1 S4 11 设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 =________. 2 a4 1 ? a1? ?1-24? 15 1?3 1 S4 ? 解析:a4=a1?2? = a1,S4= = a1,∴ =15. 8 1 8 a4 1- 2 1 12.在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. 2 1 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,即-4= q3.解得 q=-2.等比数列{|an|}的公比为|q|=2, 2 1 n-1 1 1 1 - - 则|an|= ×2 ,所以|a1|+|a2|+?+|an|= (1+2+22+?+2n 1)= (2n-1)=2n 1- . 2 2 2 2 1 - 答案:-2 2n 1- 2 13. 已知 ?an ? 是公比为

1 的等比数列, 若 a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97 ? 100 , 则 a3 ? a6 ? a9 ???? ? a99 的值是 2 1 2 13. 25 提示: a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99 ? q (a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97 ) ? ? 100 ? 25 . 4

__

14.在等比数列 ?an ? 中,设前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2S2 ? 1 , a4 ? 2S3 ? 1 ,则公比 q ? 14. 3 提示: a3 ? 2S2 ? 1 , a4 ? 2S3 ? 1 ,两式相减,得 a4 ? a3 ? 2a3 ,

a4 ?3. a3

? 15.若数列 ?an ? 满足 lg an ?1 ? 1 ? lg an n ? N ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 100 ,则

?

?

lg(a101 ? a102 ? a103 ? ? ? a200 ) 等于
15. 102 提示:

an ?1 ? 10 , a101 ? a102 ? a103 ? ?? a200 ? q100 ?100 . an

16.已知数列 ?an ? , S n 是其前 n 项的和,且 an ? 7Sn?1 ? 2 (n ? 2) , a1 ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 a1 ? a4 ? a7 ???? ? a3n?2 关于 n 的表达式子. 16. (1)由已知 an ? 7Sn?1 ? 2 ①

an?1 ? 7Sn ? 2 ②

②-①,得 an?1 ? an ? 7?S n ? S n?1 ? ? 7an (n ? 2) ∴ an?1 ? 8an (n ? 2) ,又 a1 ? 2 , a2 ? 7S1 ? 2 ? 16 ,

a2 ?8 a1

所以数列 ?an ? 是一个以 2 为首项, 8 为公比的等比数列 ∴ an ? 2 ? 8n?1 (2) a1 , a4 , a7 , ???, a3n?2 为等比数列,公比为 q ? 512 ,共 n 项求和
3

a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a3n?2 ?

a1 (1 ? 512n ) 2 ? (512n ? 1) 1 ? 512 511

17.在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1=b1=1,a2=b2,a6=b3. (1)求等差数列{an}的通项公式 an 和等比数列{bn}的通项公式 bn;(2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Sn. ? ? ?1+d=q ?d=3, - ? 解:(1)设公差为 d(d≠0),公比为 q.由已知得? ∴an=3n-2,bn=4n 1. 2 ? ? ? ?1+5d=q ?q=4, - (2)由(1)可知 an· bn=(3n-2)· 4 n 1, - ∴Sn=1+4×4+7×42+?+(3n-2)· 4n 1, ① 4Sn=4+4×42+7×43+?+(3n-2)· 4n. ② - 4?1-4n 1? - 由①-②得-3Sn=1+3×4+3×42+3×43+?+3· 4n 1-(3n-2)· 4n=1+3× -(3n-2)· 4n=1 1-4 +4n-4-(3n-2)· 4n=-3-3(n-1)· 4n,∴Sn=1+(n-1)· 4n(n∈N*). 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1,所以 an=4n-1,n∈N*. - 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n 1,n∈N*. - n-1 (2)由(1)知,anbn=(4n-1)· 2 ,n∈N*,所以 Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1)· 2n 1, - 2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5)· 2n 1+(4n-1)· 2n, n 2 n-1 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2 -[3+4(2+2 +?+2 )]=(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.


相关文章:
高中数学必修5自主学习导学案:2.5 等比数列前n项和
高中数学必修5自主学习导学案:2.5 等比数列前n项和_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列的前 n 项和(学生版) 1.新课引入 国际象棋起源于印度, 相传国王要...
高中数学必修5自主学习导学案:2.3等差数列的前n项和
高中数学必修5自主学习导学案:2.3等差数列前n项和_数学_高中教育_教育专区。2.3 等差数列前 n 项和(学生版) 1.新课引入 高斯的故事:200 多年前,高斯...
高中数学必修5自主学习导学案:2.4等比数列的概念及其性质
高中数学必修5自主学习导学案:2.4等比数列的概念及其性质_数学_高中教育_教育专区...{an}的首项、公差及前 n 项和. 考点 3.等比数列的通项公式 【例 3】一...
高中数学 2.5等比数列的前n项和(二)导学案 新人教A版必修5
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.5 等比数列前 n 项和(二) 导学案 新人教 A 版必修 5 班级 【学习目标】 1、进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前...
高中数学 2.5《等比数列的前n项和(1)》导学案 新人教A版必修5
高中数学 2.5等比数列前n项和(1)》导学案 新人教A版必修5 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.5等比数列前 n 项和(1)》导学案学习目标】 1...
高中数学必修5高中数学必修5《2.5等比数列前n项和(一)》教案
高中数学必修5高中数学必修52.5等比数列前n项和(一)》教案_数学_高中教育_教育专区。广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学资料2.5...
人教A版数学必修五 2.5《等比数列的前n项和》(1)导学案
人教A版数学必修五 2.5等比数列前n项和》(1)导学案_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版必修五 2.5等比数列前 n 项和(1) 学习目标 1. 掌握等比...
人教版高中数学必修五精品学案-2.5等比数列的前n项和(1)
人教版高中数学必修五精品学案-2.5等比数列前n项和(1)_数学_高中教育_教育...Sn ?1 ? an (n ? 1) 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ...
人教A版数学必修五 2.5《等比数列的前n项和》(1)》导学案
人教A版数学必修五 2.5等比数列前n项和》(1)》导学案_数学_高中教育_教育专区。2.5等比数列前 n 项和(1)》导学案学习目标】 1. 掌握等比数列...
更多相关标签: