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一个基本方法三年高考压轴题


本文发表于《中学数学教学》2004 年 12 月第 6 期

一个基本方法、三年高考压轴题
刘祖希(苏州市第一中学 215006) 数列求和问题一直是高考的热点问题,并常与函数、不等式知识进行交汇,表现形式有两种:一是求和的精确值;二 是求和的近似值(估计和式的上、下界). 2002 年全国高考、2003 年全国春季高考(安徽卷) 、2004 年全国

高考(西部地 区使用)都以数列求和估计作为压轴题,引人注目.而“用无穷递缩等比数列所有项的和估计部分和” 就是破解这三道题 的一个基本方法. 设无穷递缩等比数列 ?an ? 首项 a1 ? a1 ? 0? ,公比 q ? 0 ? q ? 1? ,则其部分和 Sn ? 所有项的和 S ? a1 . 再设数列 ?bn ? 1? q 满足: bn ? an ,则数列 ?bn ? 的部分和 S n? ? S n ? S ? 例 1 (2002 年全国高考题)
2 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? n ? an ? 1 , n ? 1, 2,3,?

a1 . 1? q

(I)当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (II)当 a1 ? 3 时,证明对所有的 n ? 1 ,有 (i) an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2 本题(II)(ii)问是求和估计,只证这一问. 证明:由(i), an ? n ? 2 ∴ an?1 ?1 ? an ? n ? an ? 2 ? an ? n ? 2? ? n ? an ? 2 ? 2 ? an ? 1? ,
2

∴ an?1 ?1 ? 2 ? an ?1? ? 2

2

? an?1 ?1? ? ? ? 2n ? a1 ?1? ? 2n?2 ,

∴ 1 ? 1 , i ? 1, 2,3,? ,对 i 求和,得 1 ? ai 2i ?1

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ?? ? ? . 2 2 2 2 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2 2 1 2 1? 2
∴ 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ,当且仅当 n ? 1 取等号. 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2 说明:本题关键是寻找

1 1 ? 1 ? ? n ?1 ,归结为无穷递缩等比数列 ? n ?1 ? 的和的问题. 1 ? an 2 ?2 ?

例 2 (2003 年安徽春季高考题)
n n 设 ? , ? 为 x ? x ? 1 ? 0 的根,且 ? ? ? ,令 cn ? ? ? ? ? n ? N ? ,
2

(I)求 c1 , c2 , c3 ;

(II)证明:

1

?

2 n ?1

?

1

?

2n

?

1 c2 n?1

?

1 ; c2 n

(III)证明:

?c
k ?1

n

1
k

?? .

本题(III)问是求和估计,只证这一问. 证明:由(II)及 ? ? ? ? 1 ? 0 ,
2

? 1 1 ? ? ? k ?1 ck k ?1 ck

n

? ? 1 1 ? ? ?? ? ? (奇数项、偶数项分开求和) c2 k ? k ?1 ? c2 k ?1

? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ? ? ? k ?1 ? ?

??

? ?1 2k k ?1 ?
?

? ?2 ? ?? ? 1? 1 ? ? ?2
? 1 ?? . ? ?1

说明:本题关键是利用 和.

1

? 2 n ?1 ? 2 n

?

1

?

1 c2 n?1

?

n ? 1 1 ? ?1 得到 ? ? ? 2 k ,后者即为一个无穷递缩等比数列的所有项的 c2 n k ?1 ? k ?1 ck

例 3 (2004 年全国高考题,供西部地区使用) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 (I) 写出数列 ?an ?的前三项 a1 , a2 , a3 ; (II)求数列 ?an ?的通项公式; (III)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a 4 a5 am 8

本题(III)问是求和估计,只证这一问. 证明(III):由(II)所得通项公式 an ? 当 n ? 3 且 n 为奇数时,

2 ? n?2 n ?1 2 ? ? ?1? ? ? n ? 1? ,得 a4 ? 2 . ? 3?

? 1 1 3? 1 1 ? 3? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ? ? n?2 ? n?1 ? ? ? 2 n ?3 ? n ?1 n?2 an an?1 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ?
1 ? 3 ? 2n?1 ? 2n ? 2 ? 3 ? 1 ? ? ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? (*), 2 n ?3 2 ? 2? 2 ? 2?2

∴对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 1 ? 1 ? ?? ? ? ?? a4 a5 am a4 k ?5 ak

?

1 ?1 1? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (偶数项、奇数项配对) a4 ? a5 a6 ? ? a7 a8 ?
1 3? 1 1 ? 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 ? 23 24 ? 2 ? 25 26 ? 1 3? 1 1 1 1 ? ? ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? 2 2?2 2 2 2 ?

?

?

?

1 3 1 1 7 ? ? 3? ? . 2 2 2 1? 1 8 2

说明: ①本题与上述 2003 年安徽春季高考题(例 1-2)极为相似,可视之为原型; ④若讨论“当 n ? 3 且 n 为偶数”情形,可得:

? 3 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 3 ? 1 1 ? 1 1 3? 1 1 ? 3? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ? ? n?2 ? n?1 ? ? ? 2 n ?3 n ?1 n ?2 ? ? ? ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? . 2 n ?3 2 ? an an?1 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2?2
可以依此估计

1 1 1 的下界,读者不妨一试. ? ?? ? a4 a5 am


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