当前位置:首页 >> 数学 >>

天津市2014届高三六校联考数学试卷(理科)


天津市 2014 届高三六校联考数学试卷(理科)
一、选择题: (共 40 分,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.i 为虚数单位,则 A.-i

1? i = ( 1? i

). C.i D.1 ( )

B.-1

b 2. 设 a、 为向量,则“

/>
a ? b ? a b ”是“ a // b ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

?x+2y-5≤0, ? 3.已设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?x≥0, ?
为( ) 17 A.11 B.10 C.9 D. 2

则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值

4. 如果执行图 1 的框图,输入 N=5,则输出的数等于( A.



5 4
开始

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

输入 N

k=1,S=0

S ? S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

k?N

输出 S

结束

图1 5.某几何体的三视图如图 2 所示,则它的体积是( 2π A.8- 3 π B.8- 3 C.8-2π 2π D. 3 ).

图2

6.设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过 A(a,0),B(0,b)两点,若原点 O 到 l 的距离为 3 c,则双曲线的离心率为( 4 B.2 2 3 C. 2或 3 ) D. 2 3 3 ).

x2 y2 a b

2 3 A. 或2 3

1 7.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

8.已知函数 y=f(x)是定义在数集 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,xf (x)<f(-x)成立, 若a ?

/

1 1 3 f ( 3 ) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 ) f (log 2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是( ) 4 4
B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b

A.c>a>b

二、填空题: (本大题共有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 :3 :5.现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本的容量

n ? ______.
a ? ? 4 10.若 ? x ? 3 ? 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a ? _________. x? ?
11.若数列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),则 a2013=________.
8

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 12.直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长为 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
13.如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD,连 PD 交圆

O 于点 E,则 PE=________.

14.已知点(a,b)不在直线 x+y-2=0 的下方,则 2 +2 的最小值为________.

a

b

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤) 15.(13 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 x ? [?

, ] 时,求函数 f (x) 的最小值和最大值 12 12 (2)设△A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 3 , f (C ) ? 0 ,若 sinB=2sinA,求 a,b 的值.

? 5?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

16. (13 分)一个袋中装有 10 个个大小相同的小球.其中白球 5 个、黑球 4 个、红球 1 个. (1)从袋中任意摸出 2 个球,求至少得到 1 个白球的概率; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ξ ,求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ ).

17. (13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、

F 分别是 AB、PB 的中点.
(1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值.

18.(13 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, ? 3 )、 (0, 3 )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若点 A 在第一象限,证明当 k>0 时,恒有

| OA |?| OB | .

19.(14 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n 是 (1)求证:数列 {an } 是等差数列;

1 2 与 ( an ? 1) 的等比中项. 4

(2)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
20.(14分) 已知函数 f ? x ? ? x ? (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,e ?( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围.

2014 届高三第一次六校联考数学试卷(理科)(答案)
一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.D 二、填空题: 9.80 10. 5.A 6.B 7.C 8.A

1 2

11.3 12. 弦长=2 r 2 ? d 2 ? 2

1 1 7 ? ? . 2 100 5

13 .

3 7 7

14.4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤) 15.(13 分) 答案: (1) f ( x) ?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 2 6

最小值 ? 1 ? (2) C ?

3 , 最大值0. -------6 分 2

?
3

,a ? 1, b ? 2 ----------13 分

16. (13 分) . (1)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A, 则 P(A)=1-

C52 7 = .-----3 分 2 C10 9
3 1 2

(2)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,------4 分 C5 1 由于 P(ξ =0)= 3 = ,-----6 分 C10 12 C5C5 5 P(ξ =2)= 3 = ,-------10 分 C10 12 ξ 的分布列是 ξ 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12
2 1

P(ξ =1)=

C5C5 5 ,------8 分 3 = C10 12

P(ξ =3)= ,------12 分

1 12

P

1 5 5 1 3 ξ 的数学期望 E(ξ )= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= .---------13 分 12 12 12 12 2 17. (13 分)[解析] 以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如 图),设 AD=a,则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a, ,0)、F( , , )、 2 2 2 2

a

a a a

P(0,0,a).

a a → → (1)EF·DC=(- ,0, )·(0,a,0)=0,∴EF⊥DC.-------4 分 2 2
(2)设 G(x,0,z),则 G∈平面 PAD. →

a a a FG=(x- ,- ,z- ),
2 2 2

a a a a a → → FG·CB=(x- , , - )·(a,0,0)=a(x- )=0, x= ; - z ∴ 2 2 2 2 2 a a a a a → → FG·CP=(x- ,- ,z- )·(0,-a,a)= +a(z- )=0,∴z=0. 2 2 2 2 2
∴G 点坐标为( ,0,0),即 G 点为 AD 的中点.---------8 分 2 (3)设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z).
2

a

?n·→=0 ? DF 由? ?n·→=0 ? DE

?(x,y,z)·(a,a,a)=0, ? 2 2 2 得,? a ?(x,y,z)·(a,2,0)=0. ?

?a(x+y+z)=0, ?2 即? a ?ax+2y=0. ?

取 x=1,则 y=-2,z=1,∴n=(1,-2,1). → BD·n a 3 → cos<BD,n>= → = = , 2a· 6 6 |BD||n| ∴ 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为 DB 3 ------13 分 6

18.(13 分)解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, ? 3 ),(0, 3 )为焦 点,长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

2 2 ? ( 3 ) 2 ? 1 ,------2 分

y2 ? 1 .-----5 分 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2) 证 明 : 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 其 坐 标 满 足 ? 消去 y 并整理,得 4 ? y ? kx ? 1. ?
(k +4)x +2kx-3=0,-------7 分 故 x1 ? x2 ? ?
2 2

2k 3 .-----------9 分 , x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2
2 1

| OA |2 - | OB |2 =x
2 2 2

+y1 -(x2 +y2 )

2

2

2

=(x1 -x2 )+4(1-x1 -1+x2 ) =-3(x1-x2)(x1+x2) ?

2

6k ( x1 ? x2 ) .---------11 分 k2 ? 4

因为 A 在第一象限,故 x1>0. 由 x1 x2 ? ?

3 知 x2<0,从而 x1-x2>0. k ?4
2

又 k>0,故 | OA |

2

? | OB |2 ? 0 ,
1 1 (an ? 1)2 即 Sn ? (an ? 1)2 ------1 分 4 4

即在题设条件下,恒有 | OA |?| OB | .--------13 分 19.(14 分)解: (Ⅰ) ( Sn )2 ? 当 n ? 1 时, a1 ?

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 ------2 分 4 1 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 4 1 2 2 ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) ------3 分 4
即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ------4 分 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2

∴数列 {an } 是等差数列------5 分 (Ⅱ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ------7 分 ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2 ∴ bn ? 2 (Ⅲ) cn ?
n ?1
n ?1

? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1
------9 分

?3

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

------10 分

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n ?1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ?2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ------14 分 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ?

20.(14 分) (1)解法 1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,? ? ? ,----1 分 x

a2 1 ? .3分 x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 经检验当 a ?

3.

3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ a ? 3 . -----5分

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ?

a2 ? ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ? , x a2 1 a2 1 2 2 ? ? x ? ? 2 ? 2 ? . 令 h? ? x ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? 0 , ∴h 即 整理, 2 x ? x ? a ? 0 . 得 x x x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) x2 ? , , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ?? ?


?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 4 ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1,e ? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的
x1 , x2 ? ?1,e ? 都有 ? f ? x ? ? min ≥ ? g ? x ? ? max .------6分 ? ? ? ? 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数.∴ ? g ? x ? ? ? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ----8分

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1?

2 2 ∴ ? f ? x ? ? ? f ?1? ? 1 ? a .由 1 ? a ≥ e ? 1,得 a ≥ e ,又 0 ? a ? 1 , ? ? min

∴ a 不合题意.-------10分 ②当1≤ a ≤ e 时, 若 1 ≤ x < a , 则 f ?? x? ?

?x ? a ??
x
2

? x

a ? ?0

, 若 a < x ≤ e , 则

f ?? x? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2
a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .

∴函数 f ? x ? ? x ? ∴ ? f ? x ?? ? ? min

e ?1 e ?1 ,又1≤ a ≤ e ,∴ ≤ a ≤ e .-----12分 2 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1,e ? 上是减函数. x a2 a2 ∴ ? f ? x ?? ? f ? e ? ? e ? .由 e ? ≥ e ? 1,得 a ≥ e , ? ? min e e 又 a ? e ,∴ a ? e .------13分
由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? .-------14 分 ? 2 ?


相关文章:
天津市2014届高三六校联考数学试卷(理科)
天津市2014届高三六校联考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。天津市 2014 届高三六校联考数学试卷(理科) 一、选择题: (共 40 分,每小题 5 分,每小题...
2014届天津市高三第一次六校联考文科数学试卷
2014届天津市高三第一次六校联考文科数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2014届天津市高三第一次六校联考文科数学试卷 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ...
2014天津市第一次六校联考理科数学
2014天津市第一次六校联考理科数学_数学_高中教育_教育专区。天津市 2014 届高三第一次六校联考数学试卷(理科) 一、选择题: (共 40 分,每小题 5 分,每小题...
2014届天津高三第一次六校联考数学试卷(理科)答案
2014届天津高三第一次六校联考数学试卷(理科)答案_数学_高中教育_教育专区。2014届天津高三第一次六校联考数学试卷(理科)答案2013 年高三第一次六校联考数学试卷(理...
天津市六校2014届高三上学期第一次联考理科数学试卷(解析版)
天津市六校 2014 届高三上学期第一次联考理科数学试卷 (解 析版) 一、选择题 1. i 为虚数单位,则 A. ?i 【答案】 C 【解析】 1? i = ( 1? i C...
2015-2016学年天津市六校联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016 学年天津市六校联考高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是...
2014天津市第二次六校联考理科数学
2014天津市第二次六校联考理科数学_数学_高中教育_教育专区。2014 届天津市高三第二次六校联考 数学理科试卷 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两...
天津市六校2014届高三联考数学试卷(文科)
天津市六校 2014 届高三联考数学试卷(文科)一、选择题(每题 5 分,共 8 题) 1 1.已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么 =( z A. 5 2 5 ? i 5 5 ) 1...
2014届天津高三第一次六校联考数学理试卷
2014届天津高三第一次六校联考数学理试卷2014届天津高三第一次六校联考数学理试卷隐藏>> 2013 年高三第一次六校联考数学试卷(理科) 一、选择题: (共 40 分,每...
更多相关标签:
天津市六校联考 | 安徽六校联考高三2017 | 安徽六校联考高三2016 | 2016上海高三六校联考 | 湖南省六校高三联考 | 六校联考 | 广东六校联考2017 | 安徽六校联考 |