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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案64 排列与组合


学案 64

排列与组合

导学目标: 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3. 能解决简单的实际问题.

自主梳理 1.排列的定义:__________________________________________________,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 排列数的定义:_____________________________________________________________, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 Am n 表示. n! m m 2. 排列数公式的两种形式: (1)An =n(n-1)?(n-m+1), (2)An = , 其中公式(1)(不 ?n-m?! 带阶乘的)主要用于计算;公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程. 说明:①n!=________________________,叫做 n 的阶乘;②规定 0!=______;③当 m=n 时的排列叫做全排列,全排列数 An n=______. 3. 组合的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组, 叫做_____________. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的________,用________表示. 4.组合数公式的两种形式: n?n-1??n-2???n-m+1? Am n m (1)Cn = m= ; Am m?m-1?· ?· 3· 2· 1 n! n m (2)Cn = ,其中公式(1)主要用于计算,尤其适用于上标是具体数且 m≤ 的情 2 m!?n-m?! 况,公式(2)适用于化简、证明、解方程等. k * 5.Cm n =Cn?______________,m、k∈N,n∈N . m 6.组合数的两个性质:(1)Cm n =__________,(2)Cn+1=____________________. 自我检测 1.(2010· 北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( ) 2 2 2 2 A.A8 B.A8 C.A8 D.A8 8A9 8C9 8A7 8C7 2.(2011· 广州期末七区联考)2010 年上海世博会某国展出 5 件艺术作品,其中不同书法作 品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作品必须相邻,2 件绘画作品不能相邻,则该国展出这 5 件作品的不同方案有( ) A.24 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 3.从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选 3 台,其中至少要有甲、乙型电视机各一台,则 不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 4.(2011· 烟台期末)2008 年 9 月 25 日晚上 4 点 30 分,“神舟七号”载人飞船发射升空, 某校全体师生集体观看了电视实况转播,观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文 评选,若三年级文科共 4 个班,每班评出 2 名优秀论文(其中男女生各 1 名)依次排成一列进行 展览,若规定男女生所写论文分别放在一起,则不同的展览顺序有( ) A.576 种 B.1 152 种 C.720 种 D.1 440 种 5.(2010· 全国Ⅱ)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 6.(2010· 重庆)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班,每天 安排 2 人,每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法 共有( ) A.30 种 B.36 种 C.42 种 D.48 种
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探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式 3 C5 4 n-1+Cn-3 例 1 (1)求等式 =3 中的 n 值; 5 C3 n-3

1 1 2 (2)求不等式 3- 4< 5中 n 的解集. Cn Cn Cn

4 3 变式迁移 1 (1)解方程:A2 x+1=140Ax ; x x-2 (2)解不等式:A9>6A6 .

探究点二 排列应用题 例 2 (2011· 莆田模拟)六人按下列要求站一排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间恰间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端.

变式迁移 2 用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同,且 1 和 2 相邻,求这样的六位数的种数.

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探究点三 组合应用题 例 3 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下 列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

变式迁移 3 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师从后排 8 人中抽 2 人调 整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法总数是( ) 2 2 6 A.C2 A B . C A 8 3 8 6 2 2 C.C2 D.C2 8A6 8A5 1.解排列、组合应用题应遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类;二是按事件发生 的过程进行分步. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:(1)以元素为主考虑,即 先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要 求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求 的排列数或组合数. 3.关于排列组合问题的求解,应掌握以下基本方法与技巧: (1)特殊元素优先安排;(2) 合理分类与准确分步;(3)排列组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻 问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题 先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2009· 湖南)从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选, 而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A.85 B.56 C.49 D.28 2. (2010· 全国Ⅰ)某校开设 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门, 一位同学从中共选 3 门. 若

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要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( ) A.30 种 B.35 种 C.42 种 D.48 种 3.(2010· 重庆)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排一人,每人值班 1 天.若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不 同的安排方案共有( ) A.504 种 B.960 种 C.1 008 种 D.1 108 种 4.(2011· 济宁月考)6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4,现从中任 取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于 6 的方法共有( ) A.13 种 B.14 种 C.15 种 D.16 种 5.五人排成一排,甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A.24 B.36 C.48 D.60 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 北京)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 ____________个.(用数字作答) 7.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛, 每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军, 败者角逐 3、4 名,则大师赛共有________场比赛. 8. (2011· 马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有 8 人, 其中男同志 5 人, 女同志 3 人.现从这 8 人中选出 3 人参加灾后防疫工作,要求在选出的 3 人中男、女同志都 有,则不同的选法共有________种(用数字作答). 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(1)计算 C98 100+C199200; 28-n 2n (2)求 C3n +C21-n的值; m+1 m+1 n (3)求证:Cm Cn+1 = Cm- . n= n+1 n-m n 1

10.(12 分)有 5 个男生和 3 个女生,从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表,求分别符 合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任语文课代表; (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.

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11.(14 分)从 1,3,5,7,9 五个数字中选 2 个,0,2,4,6,8 五个数字中选 3 个,能组成多少个无 重复数字的五位数?

学案 64

排列与组合

自主梳理 1.从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列 从 n 个不同元素 中取出 m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数 2.①n· (n-1)· ?· 2· 1 ②1 ③n! 3.从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个组合 m n-m m-1 组合数 Cn 5.m=k 或 m+k=n 6.(1)Cn (2)Cm n +Cn 自我检测 2 1.A [不相邻问题用插空法,先排学生有 A8 8种排法,老师插空有 A9种方法,所以共有 8 2 A8 A9种排法.] 2.A [2 件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有 A2 2种不同排法,让两件 2 2 绘画作品插空有 A3种插法,两件书法作品之间的顺序也可交换,因此共有 2A2 2A3=24(种).] 3.C [从 4 台甲型机中选 2 台,5 台乙型机中选 1 台或从 4 台甲型机中选 1 台,5 台乙 1 1 2 型机中选 2 台,有 C2 4C5+C4C5=70(种)选法.] 4 4.B [女生论文有 A4 4种展览顺序,男生论文也有 A4种展览顺序,男生与女生论文可以交 2 4 4 2 换顺序,有 A2种方法,故总的展览顺序有 A4A4A2=1 152(种).] 5.B [先将 1,2 捆绑后放入信封中,有 C1 3种方法,再将剩余的 4 张卡片放入另外两个信 2 封中,有 C2 C 种方法, 4 2 2 2 所以共有 C1 3C4C2=18(种)方法.] 6.C [若甲在 16 日值班,在除乙外的 4 人中任选 1 人在 16 日值班有 C1 4种选法,然后 2 1 2 2 14 日、15 日有 C2 C 种安排方法,共有 C C C = 24( 种 ) 安排方法; 4 2 4 4 2 1 2 若甲在 15 日值班,乙在 14 日值班,余下的 4 人有 C1 4C3C2种安排方法,共有 12(种); 2 若甲、乙都在 15 日值班,则共有 C2 4C2=6(种)安排方法. 所以总共有 24+12+6=42(种)安排方法.] 课堂活动区 m * 例 1 解题导引 (1)在解有关 An 、Cm n 的方程或不等式时要注意运用 n≥m 且 m、n∈N 的条件;(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时,应首先应用性质和排列、组合的 意义化简,然后再根据公式进行计算.注意最后结果都需要检验. 解 (1)原方程可变形为 C5 19 14 3 n-1 5 3 +1= ,Cn-1= Cn-3, 5 5 Cn -3 ?n-1??n-2??n-3??n-4??n-5? 即 5!

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14 ?n-3??n-4??n-5? · , 5 3! 化简整理得 n2-3n-54=0, 解得 n=9 或 n=-6(不合题意,舍去), ∴n=9. 6 24 (2)由 - n?n-1??n-2? n?n-1??n-2??n-3? 240 < , n?n-1??n-2??n-3??n-4? 可得 n2-11n-12<0,解得-1<n<12. 又 n∈N*且 n≥5, ∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}. =
? ?2x+1≥4, 变式迁移 1 解 (1)根据原方程,x (x∈N*)应满足? ?x≥3, ? 解得 x≥3.根据排列数公式, 原方程化为(2x+1)· 2x· (2x-1)· (2x-2) =140x· (x-1)· (x-2), 因为 x≥3,两边同除以 4x(x-1), 得(2x+1)(2x-1)=35(x-2), 即 4x2-35x+69=0, 23 解得 x=3 或 x= (x∈N*,应舍去). 4 所以原方程的解为 x=3.

x≤9, ? ?x-2≤6, (2)根据原不等式,x (x∈N )应满足? x>0, ? ?x-2>0,
* x 2 故 2<x≤8.又由 Ax 9>6A6 , 9! 6! 84 得 >6× ,所以 >1, ?9-x?! ?8-x?! 9-x 所以-75<x<9. 故 2<x≤8,所以 x∈{3,4,5,6,7,8}. 例 2 解题导引 (1)求排列应用题最基本的方法有直接法:把符合条件的从正面考虑解 决,直接列式计算;间接法:根据正难则反的解题原则,如果问题从正面考虑情况比较多, 容易重或漏,那么从整体中去掉不符合题意的情况,就得到满足题意的排列种数.(2)相邻问 题,一般用捆绑处理的方法.(3)不相邻问题,一般用插空处理的方法.(4)分排问题,一般用 直排处理的方法.(5)“小集团”排列问题中,先整体后局部的处理方法. 解 (1)方法一 要使甲不站在两端, 可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个, 有 A1 4种站法, 5 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列,有 A5种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A1 A5 4· 5 =480(种)站法. 5 方法二 若对甲没有限制条件共有 A6 6种站法,甲在两端共有 2A5种站法,从总数中减去 5 这两种情况的排列数即得所求的站法数,共有 A6 6-2A5=480(种)站法. (2)先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有 A5 5种站法,再把甲、乙进行全排列, 2 5 2 有 A2种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A5· A2=240(种)站法. (3)因为甲、乙不相邻,所以可用“插空法”.第一步,先让甲、乙以外的 4 个人站队, 2 有 A4 4种站法;第二步,再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A5种站法, 故共有 A4 A2 4· 5=480(种)站法. (4)先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 A2 4种;然后把 3 甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列,有 A3种站法;最后对甲、乙进


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行排列,有 A2 2种站法, 故共有 A2 A3 A2 4· 3· 2=144(种)站法. (5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A2 2种站法,再让其他 4 人在中间位置作全排 2 列,有 A4 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A A4 4 2· 4=48(种)站法. 5 (6)甲在左端的站法有 A5种站法,乙在右端的站法有 A5 5种,且甲在左端而乙在右端的站法 4 5 4 有 A4种站法,共有 A6 - 2A + A = 504( 种 ) 站法. 6 5 4 2 变式迁移 2 解 依题意先排列除 1 和 2 外的剩余 4 个元素有 2A2 · A2 2=8(种)方案,再向 这排好的 4 个元素中选 1 空位插入 1 和 2 捆绑的整体,有 A1 5种插法, ∴不同的安排方案共有 2A2 A2 A1 2· 2· 5=40(种). 例 3 解题导引 (1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”,无序的问题, 用组合解答,有序的问题属排列问题. (2)解组合问题时,常遇到“至多”、“至少”问题,解决的方法常常用间接法比较简单, 计算量也较小;用直接法也可以解决,但分类要恰当,特别对限制条件比较多的问题. 解 (1)第一步:选 3 名男运动员,有 C3 6种选法. 2 第二步:选 2 名女运动员,有 C4种选法. 共有 C3 C2 6· 4=120(种)选法. (2)“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”. 5 从 10 人中任选 5 人,有 C5 10种选法,其中全是男运动员的选法有 C6种. 5 5 所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 C10-C6=246(种). (3)从 10 人中任选 5 人,有 C5 10种选法. 其中不选队长的方法有 C5 种. 8 5 所以“至少 1 名队长”的选法有 C5 10-C8=196(种). (4)当有女队长时,其他人选法任意,共有 C4 9种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 4 4 C8种选法.其中不含女运动员的选法有 C4 种,所以不选女队长时共有 C4 5 8-C5种选法.故既要 4 4 有队长,又要有女运动员的选法有 C4 9+C8-C5=191(种). 2 变式迁移 3 C [从后排 8 人中选 2 人有 C8 种,这 2 人插入前排 4 人中且前排人的顺序 不变,则先从 4 人中的 5 个空位插一人有 5 种;余下的一人则要插入前排 5 人的空档有 6 种, 2 2 故为 A2 6.∴所求总数为 C8A6.] 课后练习区 9×8×7 3 1.C [丙不入选的选法有 C9 = =84(种), 3×2×1 7×6×5 甲乙丙都不入选的选法有 C3 =35(种). 7= 3×2×1 所以甲、乙至少有一人入选,而丙不入选的选法有 84-35=49(种).] 2.A [方法一 可分两种互斥情况:A 类选 1 门,B 类选 2 门或 A 类选 2 门,B 类选 1 2 2 1 门,共有 C1 3C4+C3C4=18+12=30(种)选法. 3 3 方法二 总共有 C3 7=35(种)选法,减去只选 A 类的 C3=1(种),再减去只选 B 类的 C4= 4(种),故有 30 种选法.] 6 3.C [不考虑丙、丁的情况共有 A2 2A6=1 440(种)排法. 5 在甲、乙相邻的条件下,丙排 10 月 1 日有 A2 2A5=240(种)排法,同理,丁排 10 月 7 日也 4 有 240 种排法.丙排 10 月 1 日,丁排 10 月 7 日也有 A2 2A4=48(种)排法,则满足条件的排法 2 6 2 5 2 4 有 A2A6-2A2A5+A2A4=1 008(种).] 1 1 4.C [当选用信息量为 4 的网线时有 C2 5种;当选用信息量为 3 的网线时有 C2C2+1 种, 1 1 共 C2 5+C2C2+1=15(种).] 5.B [五人中不排甲、乙、丙,另 2 人排列有 A2 2种方法,这两人中有 3 个空,按甲在两 头和中间分为两类,当甲在两头中的一头时,乙有 2 种插空法,乙插入后有 3 个空供丙插, 因此有 A2 C1 C1 C1 2· 2· 2· 3=24(种),当甲在中间时,乙有 2 种插法,乙插入后也有 3 个空供丙插,所 2 1 1 以共有 A2· C2· C3=12(种),由分类加法计数原理得:共有 24+12=36(种).] 6.14 解析 数字 2,3 至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现 1 次,“3”出现 3 次,共可组成 C1 4=4(个)四位数.
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“2”出现 2 次,“3”出现 2 次,共可组成 C2 4=6(个)四位数. “2”出现 3 次,“3”出现 1 次,共可组成 C3 4=4(个)四位数. 综上所述,共可组成 14 个这样的四位数. 7.16 2 解析 每组有 C2 4场比赛,两组共有 2C4场,每组的第一名与另一组的第二名比赛有 2 场, 2 决出冠军和第 3 名各 1 场,所以共有 2C4+2+1+1=16(场). 8.45 解析 从 3 名女同志和 5 名男同志中选出 3 人,分别参加灾后防疫工作,若这 3 人中男、 女同志都有,则从全部方案中减去只选派女同志的方案数 C3 3,再减去只选派男同志的方案数 3 3 3 3 C5,合理的选派方案共有 C8-C3-C5=45(种). 199 2 1 9.(1)解 C98 100+C200 =C100 +C200 100×99 = +200=4 950+200=5 150.(4 分) 2 ?0≤28-n≤3n, ?7≤n≤28, ? ? (2)解 ? 即? ?0≤2n≤21-n, ?0≤n≤7, ? ? * 28-n n 又 n∈N ,∴n=7,∴C3n +C2 21-n=2.(8 分) m+1 m+1 m+1 ?n+1?! (3)证明 ∵ Cn+1 = · n+1 n+1 ?m+1?!?n-m?! n! = =Cm n ;(10 分) m!?n-m?! ?n-1?! n n Cm · n-1= n-m n-m m!?n-1-m?! n! = =Cm n ,(11 分) m!?n-m?! m+1 m+1 n ∴Cm C+ = Cm- .(12 分) n= n+1 n 1 n-m n 1 2 4 1 10.解 (1)先取后排,先取可以是 2 女 3 男,也可以是 1 女 4 男,先取有 C3 5C3+C5C3种, 后排有 A5 5种, 2 4 1 共有(C3 A5 5C3+C5C3)· 5=5 400(种).(3 分) (2)除去该女生后,先取后排 C4 A4 7· 4=840(种).(6 分) (3)先取后排,但先安排该男生, 1 有 C4 C4 · A4 7· 4=3 360(种).(9 分) 1 (4)先从除去该男生和该女生的 6 人中选 3 人有 C3 6种,再安排该男生有 C3种,其余 3 人全 3 排有 A3种, 3 共有 C3 C1 A3 =360(种).(12 分) 6· 3· 11.解 从 1,3,5,7,9 五个奇数中选出 2 个,再从 2、4、6、8 四个偶数中再选出 3 个,排 3 5 成五位数,有 C2 5C4A5=10×4×120=4 800 个.(6 分) 从 5 个奇数中选出 2 个,再从 2、4、6、8 四个偶数中再选出 2 个,将选出的 4 个数再选 一个做万位数.余下的 3 个数加上 0 排在后 4 个数位上,有 2 2 1 4 C5 C4C4A4=10×6×4×24=5 760 个.(12 分) 由分类计数原理可知这样的五位数共有 2 3 5 2 1 4 C5 C4A5+C2 5C4C4A4=10 560 个. (14 分)

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