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广东省珠海市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


广东省珠海市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)设集合 A={x|y=lg(x﹣1)},B={y|y=2 ,x∈R},则 A∪B=() A.? B. R C.(1,+∞) D.(0,+∞) 2. (5

分)若复数 z 与 2+3i 互为共轭复数,则复数 z 的模|z|=() A. B. 5 C. 7 3. (5 分)下列函数为偶函数的是() A.f(x)=x +
2 x

D.13

B.f(x)=log2x

C.f(x)=4 ﹣4

x

﹣x

D.f(x)=|x﹣2|+|x+2|

4. (5 分)若 x、y 满足不等式组

,则

的最小值是()

A.

B.

C.

D.1

5. (5 分)执行如图的程序框图,若输出的 S=48,则输入 k 的值可以为()

A.4

B. 6
6

C. 8

D.10

6. (5 分)二项式(2x+ A.240

) 的展开式中,常数项的值是() C.192 D.180

B.60

7. (5 分)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的体积是()

A.

B.

C. 2

D.4

8. (5 分)已知集合 S={P|P=(x1,x2,x3) ,xi∈{0,1},i=1,2,3}对于 A=(a1,a2,a3) , B=(b1,b2,b3)∈S,定义 A 与 B 的差为 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,|a3﹣b3|) ,定义 A 与 B 之间的距离为 d(A,B)= |ai﹣bi|.对于?A,B,C∈S,则下列结论中一定成立的是() B. d(A,C)+d(B,C)>d(A,B) D.d(A﹣C,B﹣C)>d(A,B)

A.d(A,C)+d(B,C)=d(A,B) C. d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. (5 分)不等式|2x﹣1|≥x 的解集为. 10. (5 分)三个学生两位老师三位家长站成一排,则老师站正中间的概率是. 11. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,且 a3=5,S3=6,则 a7=. 12. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=x ﹣x?f′(2) ,则函数 f(x) 在点(2,f(2) )处的切线方程为.
3

13. (5 分)已知平面向量

满足|2 +3 |=1,则 ? 的最大值为.

(坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2 与曲线 C2:ρ=4sinθ( <θ<π)交点的极坐标是.

(几何证明选讲选做题) 15.如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,DE 与圆 O 相切于点 D,AC∩BD=F,F 为 AC 的中点, O∈BD,CD= ,BC=5,则 AE=.

三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分.请写出解答的步骤与详细过程. 16. (12 分)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表: x ωx+φ x1 0 x2 π 1 )= ﹣2 x3 2π 1 )的值. )在

Asin(ωx+φ)+B1 4 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 <α<π,f( ﹣

,求 f(α+

17. (12 分)某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲 料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克) 得到一组观测值,如下表: xi(月) 1 2 3 4 5 yi(千克) 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8 (1)在给出的坐标系中,画出关于 x,y 两个相关变量的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程 . (3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)

(参考公式: =

, = ﹣



18. (14 分)已知平行四边形 ABCD(如图 1) ,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点, 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置,使得 A1C=4,F 是线段 A1C 的中点(如图 2) . (1)求证:BF∥面 A1DE; (2)求证:面 A1DE⊥面 DEBC; (3)求二面角 A1﹣DC﹣E 的正切值.

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= n?an+1,n∈N ,其中 a1=1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

*

20. (14 分)已知抛物线 C1:x =y,圆 C2:x +(y﹣4) =1. (1)在抛物线 C1 上取点 M,C2 的圆周取一点 N,求|MN|的最小值; (2)设 P(x0,y0) (2≤x0≤4)为抛物线 C1 上的动点,过 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点.求 AB 的中点 D 的横坐标的取值范围. 21. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+ x ﹣(1+a)x. (1)求函数 f(x)的单调区间;
2

2

2

2

(2)证明:m、n∈N+时,m(m+n) [ + + +…+ ]>n.

广东省珠海市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)设集合 A={x|y=lg(x﹣1)},B={y|y=2 ,x∈R},则 A∪B=() A.? B. R C.(1,+∞) D.(0,+∞) 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,B,根据并集运算进行求解. x 解答: 解:A={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1},B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0}, 则 A∪B={x|x>0}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)若复数 z 与 2+3i 互为共轭复数,则复数 z 的模|z|=() A. B. 5 C. 7 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z 与 2+3i 互为共轭复数, ∴z=2﹣3i, ∴|z|= = .
x

D.13

故选:A. 点评: 本题考查了共轭复数的定义、模的计算公式,属于基础题. 3. (5 分)下列函数为偶函数的是() A.f(x)=x +
2

B.f(x)=log2x

C.f(x)=4 ﹣4

x

﹣x

D.f(x)=|x﹣2|+|x+2|

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义进行判断即可.

解答: 解:A.f(1)=1+1=2,f(﹣1)=1﹣1=0,则 f(﹣1)≠f(1) ,故 f(x)不是偶函 数, B.函数的定义域为(0,+∞) ,定义域关于原点不对称,故函数 f(x)是非奇非偶函数. C.f(﹣x)=4 ﹣4 =﹣(4 ﹣4 )=﹣f(x) ,则 f(x)是奇函数, D.f(﹣x)=|﹣x﹣2|+|﹣x+2|=|x+2|+|x﹣2|=f(x) ,故函数 f(x)是偶函数, 故选:D 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
﹣x

x

x

﹣x

4. (5 分)若 x、y 满足不等式组

,则

的最小值是()

A.

B.

C.

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域, 根据 的几何意义可知, 的最小值为原点 O

到直线 x+2y﹣2=0 的距离,由点到直线的距离公式得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

的几何意义为可行域内的动点到原点的距离,

由图可知,

的最小值为原点 O 到直线 x+2y﹣2=0 的距离,等于



故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 5. (5 分)执行如图的程序框图,若输出的 S=48,则输入 k 的值可以为()

A.4

B. 6

C. 8

D.10

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,S 的值,当 S=48 时,由题意,此 时应该满足条件 n=10>k,退出循环,输出 S 的值为 48,故应有:7<k<10. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 n=1,S=1 不满足条件 n>k,n=4,S=6 不满足条件 n>k,n=7,S=19 不满足条件 n>k,n=10,S=48 由题意,此时应该满足条件 n=10>k,退出循环,输出 S 的值为 48, 故应有:7<k<10 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,根据退出循环的条件分析 k 的取值范围是解题的 关键,属于基础题. 6. (5 分)二项式(2x+ A.240 ) 的展开式中,常数项的值是() C.192 D.180
6

B.60

考点: 二项式系数的性质. 专题: 概率与统计. 分析: 利用通项公式 Tr+1= r=2.即可得出. 解答: 解:Tr+1= 令 6﹣3r=0,解得 r=2. = x
6﹣3r

=

x

6﹣3r

,令 6﹣3r=0,解得



∴常数项的值是

=

=240.

故选:A. 点评: 本题考查了二项式定理的通项公式、常数项,属于基础题. 7. (5 分)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的体积是()

A.

B.

C. 2

D.4

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题;空间位置关系与距离. 由三视图复原几何体是四棱锥,它的底面是主视图,棱锥的高为 1,根据公式可求体 解:由三视图复原几何体是四棱锥,它的底面是主视图,棱锥的高为 1, =

这个几何体的体积:V=

故选 B. 点评: 本题考查三视图、棱锥的体积;考查简单几何体的三视图的运用;考查空间想象能 力和基本的运算能力. 8. (5 分)已知集合 S={P|P=(x1,x2,x3) ,xi∈{0,1},i=1,2,3}对于 A=(a1,a2,a3) , B=(b1,b2,b3)∈S,定义 A 与 B 的差为 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,|a3﹣b3|) ,定义 A 与 B 之间的距离为 d(A,B)= |ai﹣bi|.对于?A,B,C∈S,则下列结论中一定成立的是() B. d(A,C)+d(B,C)>d(A,B) D.d(A﹣C,B﹣C)>d(A,B)

A.d(A,C)+d(B,C)=d(A,B) C. d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B)

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 因为每个数位上都是 0 或者 1,取差的绝对值仍然是 0 或者 1,符合 Sn 的要求.然后 是减去 C 的数位,不管减去的是 0 还是 1,每一个 a 和每一个 b 都是同时减去的,因此不影响 他们原先的差. 解答: 解:设 A=(a1,a2,a3) ,B=(b1,b2,b3) ,C=(c1,c2,c3)∈S 因 ai,bi∈0,1,故|ai﹣bi|∈0,1, (i=1,2,3)a1b1∈0,1, 即 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,|a3﹣b3|)∈S

又 ai,bi,ci∈(0,1) ,i=1,2,3 当 ci=0 时,有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi|; 当 ci=1 时,有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|(1﹣ai)﹣(1﹣bi)=|ai﹣bi|, 故 d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B)成立. 点评: 本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用,这道题目的难点主要出现在读题上, 需要仔细分析,以找出解题的突破点.题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是关于 Sn 的,其实 Sn 中的元素就是一个 n 维的坐标,其中每个坐标值都是 0 或者 1,也可以这样理解, 就是一个 n 位数字的数组,每个数字都只能是 0 和 1,第二个定义叫距离,距离定义在两者之 间,如果直观理解就是看两个数组有多少位不同,因为只有 0 和 1 才能产生一个单位的距离, 因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数, 然后将处理的结果综合起来, 就能看到整 体的性质了. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. (5 分)不等式|2x﹣1|≥x 的解集为{x|x≥1 或 x≤ }.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由绝对值的定义可得, 解答: 解:不等式|2x﹣1|≥x 即为 或 , 或 ,分别解出它们,再求并集即可.

即有





则有 x≥1 或 x≤ . 则解集为{x|x≥1 或 x≤ }. 故答案为:{x|x≥1 或 x≤ }. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查定义法解不等式,考查运算能力,属于基础题.

10. (5 分)三个学生两位老师三位家长站成一排,则老师站正中间的概率是



考点: 计数原理的应用. 专题: 概率与统计.

分析: 先求出没有任何要求的站法,再求出老师站正中间站法,根据古典概型的概率公式 可得. 解答: 解:没有要求的站队方法共有 ,老师站正中间的站队方法共有 ,

根据古典概型的概率公式可得,三个学生两位老师三位家长站成一排,则老师站正中间的概 率 P= = ,

故答案为: 点评: 本题主要考查了古典概型的概率问题,关键是利用排列组合求出基本事件,属于基 础题. 11. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,且 a3=5,S3=6,则 a7=17. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 运用等差数列的求和公式,由 a3=5,S3=6,可得 a1=﹣1,再由通项公式可得 d=3, 再由通项公式即可得到所求. 解答: 解:∵S3= ∴a1+a3=4, 而 a3=5, ∴a1=﹣1, ∴d= =3. =6,

则 a7=a1+6d=﹣1+6×3=17. 故答案为:17. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=x ﹣x?f′(2) ,则函数 f(x) 在点(2,f(2) )处的切线方程为 6x﹣y﹣16=0. 考点: 导数的运算;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 3 2 分析: f(x)=x ﹣x?f′(2) ,可得 f′(x)=3x ﹣f′(2) ,令 x=2,可得 f′(2)=6.可得 f(x) , 利用点斜式即可得出切线方程. 3 解答: 解:∵f(x)=x ﹣x?f′(2) , 2 ∴f′(x)=3x ﹣f′(2) , 令 x=2,可得 f′(2)=6. 3 ∴f(x)=x ﹣6x, 3 ∴f(2)=2 ﹣6×2=﹣4.
3

∴函数 f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y﹣(﹣4)=6(x﹣2) , 化为 6x﹣y﹣16=0, 故答案为:6x﹣y﹣16=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义、切线方程、点斜式,属于基础题.

13. (5 分)已知平面向量

满足|2 +3 |=1,则 ? 的最大值为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 利用 ? = 大值. 解答: 解:由|2 +3 |=1, ﹣ ,结合条件和不等式的性质即可得出最

则 ? =



=







当且仅当 2 =3 ,即| |= 时,上式等号成立. ∴ ? 最大值为 故答案为: . .

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,考查不等式的性质,属于中档题. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2 与曲线 C2:ρ=4sinθ( . <θ<π)交点的极坐标是

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 C1:ρ=2 化为 x +y =4,曲线 C2:ρ=4sinθ( y∈(0,4) ) .联立解得
2 2

<θ<π)化为 x +y =4y, (x<0,

2

2

,利用
2 2



即可得出.

解答: 解:曲线 C1:ρ=2 化为 x +y =4, 曲线 C2:ρ=4sinθ( <θ<π)化为 ρ =4ρsinθ,即 x +y =4y, (x<0,y∈(0,4) ) .
2 2 2

联立

,解得



∴ ∴交点的极坐标是

=2, .

,解得



点评: 本题考查了极坐标与直角坐标的互化,考查了计算能力,属于基础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,DE 与圆 O 相切于点 D,AC∩BD=F,F 为 AC 的中点, O∈BD,CD= ,BC=5,则 AE=2.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆;推理和证明. 分析: 由已知条件, 利用切割线定理、 垂径定理、 勾股定理, 推导出 (EA+5) =EA (EA+AB) +35,由此能求出 EA. 解答: 解:∵DE 与圆 O 相切于点 D, ∴DE =EA(EA+AB) , (EA+AB) =DE +BD ∵AC∩BD=F,F 为 AC 的中点,O∈BD,CD= ,BC=5, 2 2 2 ∴BD =CD +BC =10+25=35,AB=BC=5, 2 ∴(EA+5) =EA(EA+AB)+35, 解得 EA=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查圆中线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理、垂 径定理、勾股定理的合理运用. 三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分.请写出解答的步骤与详细过程. 16. (12 分)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表: x ωx+φ x1 0 x2 π x3 2π )在
2 2 2 2 2

Asin(ωx+φ)+B1 4 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 <α<π,f( ﹣ )=

1

﹣2

1 )的值.

,求 f(α+

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 解: (1)由题意可得

,即解得 ω,φ 的值,由

,即

解得 A,B 的值,即可求得函数 f(x)的解析式. (2)由 f( )= +1, 又 =﹣6sin( )cos( 可化简得 sin( ∈ ( , )= ;由 f( ) , 可求得 cos ( )=﹣6sin( ) =﹣ , 从而由 ( f ) )

)+1 即可求值.

解答: 解: (1)由题意可得





,…(2 分) ,

由题意可得 即 ,…(4 分)

∴函数 f(x)的解析式为:f(x)=3sin(2x+ (2)由 f( 可得 3sin[2( 化简得 sin( ∵f( 6sin( 又∵ )= )+ , ]+1= ,

)+1,…(5 分)

)= ,…(7 分) )=3sin[2( ) , )+ ]+1=3sin(2 )+1=﹣3sin(2 )+1=﹣

+1,…(10 分)

∴ ∴cos( ∴f(

∈(



) ,

)=﹣ ,…(11 分) )=﹣6sin( )cos( )+1=﹣6× = .…(12 分)

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性 质,考查了计算能力,属于中档题. 17. (12 分)某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲 料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克) 得到一组观测值,如下表: xi(月) 1 2 3 4 5 yi(千克) 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8 (1)在给出的坐标系中,画出关于 x,y 两个相关变量的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程 . (3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)

(参考公式: =

, = ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)利用所给数据,可得散点图; (2)利用公式,计算回归系数,即可得到回归方程; (3)x=12 代入回归方程,即可得到结论. 解答: 解: (1)散点图如图所示…(3 分) (2)由题设 =3, =1.6,…(4 分)

∴ =

=

=0.58,

a= ﹣

=﹣0.14…(9 分)

故回归直线方程为 y=0.58x﹣0.14…(10 分) (3)当 x=12 时,y=0.58×12﹣0.14=6.82…(11 分) 饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重约为 6.82 千克.…(12 分)

点评: 本题考查回归分析的初步运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 18. (14 分)已知平行四边形 ABCD(如图 1) ,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点, 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置,使得 A1C=4,F 是线段 A1C 的中点(如图 2) . (1)求证:BF∥面 A1DE; (2)求证:面 A1DE⊥面 DEBC; (3)求二面角 A1﹣DC﹣E 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)取 A1D 中点 G,并连接 FG,EG,能够说明四边形 BFGE 为平行四边形,从而 根据线面平行的判定定理即可得出 BF∥面 A1DE;

(2)先根据已知的边、角值说明△ A1DE 为等边三角形,然后取 DE 中点 H,连接 CH,从而 得到 A1H⊥DE,根据已知的边角值求出 A1H,CH,得出 ,从而得到

A1H⊥CH,从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面 A1DE⊥面 DEBC; (3)过 H 作 HO⊥DC,垂足为 O,并连接 A1O,容易说明 DC⊥面 A1HO,从而得出∠A1OH 为二面角 A1﹣DC﹣E 的平面角,能够求出 HO,从而求出 tan∠A1OH,即求出了二面角 A1﹣ DC﹣E 的正切值. 解答: 解: (1)证明:如图,取 DA1 的中点 G,连 FG,GE;

F 为 A1C 中点; ∴GF∥DC,且 ;

∴四边形 BFGE 是平行四边形; ∴BF∥EG,EG?平面 A1DE,BF?平面 A1DE; ∴BF∥平面 A1DE; (2)证明:如图,取 DE 的中点 H,连接 A1H,CH;

AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点; ∴△DAE 为等边三角形,即折叠后△ DA1E 也为等边三角形; ∴A1H⊥DE,且 ;

在△ DHC 中,DH=1,DC=4,∠HDC=60°; 根据余弦定理,可得: HC =1+16﹣4=13,在△ A1HC 中, ∴ ∴A1H⊥面 DEBC;
2



,A1C=4;

,即 A1H⊥HC,DE∩HC=H;

又 A1H?面 A1DE; ∴面 A1DE⊥面 DEBC; (3)如上图,过 H 作 HO⊥DC 于 O,连接 A1O; A1H⊥面 DEBC; ∴A1H⊥DC,A1H∩HO=H; ∴DC⊥面 A1HO; ∴DC⊥A1O,DC⊥HO; ∴∠A1OH 是二面角 A1﹣DC﹣E 的平面角; 在 Rt△ A1HO 中, 故 tan ; , ;

所以二面角 A1﹣DC﹣E 的正切值为 2. 点评: 考查中位线的性质,平行四边形的概念,线面平行的判定定理,能根据折叠前图形 的边角值得到折叠后对应的边角值,直角三角形边的关系,线面垂直、面面垂直的判定定理, 二面角的平面角的定义及求法. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= n?an+1,n∈N ,其中 a1=1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .
*

考点: 数列的求和;数列递推式;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)令 n=1,得 由此利用累乘法能求出 an=n. (2)由 bn= = = = < ,利用放缩法和不等式 ,由 a1=1,得 a2=2.当 n≥2 时,推导出 ,

的性质能证明 Tn< . 解答: (1)解:∵Sn= n?an+1,n∈N , ∴令 n=1,得 ,
*

由已知 a1=1,得 a2=2.…(1 分) 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ,





即得:

,n≥2,…(4 分)



,n≥3,



,n≥3,…(6 分)

又∵a2=2,∴an=n, * 又∵a1=1,∴an=n,n∈N .…(7 分) (2)证明:∵an=n, ∴bn= = = = < ,…(11 分)

∴Tn=b1+b2+…+bn < = ( )

=

=



∴Tn< .…(14 分) 点评: 本题考查数列的通项公式和不等式的证明,解题时要认真审题,注意累乘法和放缩 法的合理运用. 20. (14 分)已知抛物线 C1:x =y,圆 C2:x +(y﹣4) =1. (1)在抛物线 C1 上取点 M,C2 的圆周取一点 N,求|MN|的最小值; (2)设 P(x0,y0) (2≤x0≤4)为抛物线 C1 上的动点,过 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点.求 AB 的中点 D 的横坐标的取值范围. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (1)设出 M 的坐标,由圆 C2:x +(y﹣4) =1 可知圆心 C2(0,4) ,写出|MC2|, 利用配方法求其最小值, 则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径;
2 2 2

(2)设出 P,A,B 的坐标,再设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y﹣x0 =k(x﹣x0) ,由点到直 线的距离公式得到方程
2

2

,则其
2

两根为 PA,PB 的斜率,利用根与系数关系得到其两根和,再把 y﹣x0 =k(x﹣x0)代入 y=x 得,

,结合 x0 是此方程的根得到 x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0,然后把 AB

的中点 D 的横坐标 x 用含有 x0 的代数式表示, 再利用单调性结合 x0 的范围求得 AB 的中点 D 的横坐标的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)设 M(x,y) ,由圆 C2:x +(y﹣4) =1 可知圆心 C2(0,4) , 则|MC2|= = 当且仅当 M( ∴|MN|的最小值为 (2)设 P(x0, ) ,
2

= )时取“=”, ;





再设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y﹣x0 =k(x﹣x0) ,① 则 ,





设 PA,PB 的斜率为 k1,k2(k1≠k2) ,则 k1,k2 是上述方程的两根, ∴ 将①代入 y=x 得,
2

, ,



由于 x0 是此方程的根,故 x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0, ∴AB 的中点 D 的横坐标 x=

=

=



∵y= ∴y∈

是[2,4]上的减函数,且 2≤x0≤4, ,

则x



点评: 本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题,其中涉及到直线与圆相切的问题,考查了 学生的逻辑思维能力和运算能力,是压轴题.
2

21. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+ x ﹣(1+a)x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:m、n∈N+时,m(m+n) [ + + +…+ ]>n.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1) 由题意先求函数的定义域, 再求导 f( ′ x) = +x﹣ (1+a) = 从而讨论导数的正负以确定函数的单调性; (2)由(2)知,当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ lnx+ x ﹣ x≥0;当且仅当 x=1 时,等号成立;从 而可化出当>1 时, > ﹣ ;从而证明.
2 2



解答: 解: (1)f(x)=alnx+ x ﹣(1+a)x 的定义域为{x|x>0}, f′(x)= +x﹣(1+a)= ;

①当 a=1 时,f′(x)≥0,f(x)在定义域上是增函数; ②当 a>1 时,1<x<a 时,f′(x)<0,0<x<1 或 x>a 时,f′(x)>0; 故 f(x)的单调减区间为(1,a) ;单调增区间为(0,1) , (a,+∞) ; ③当 0<a<1 时,a<x<1,f′(x)<0,0<x<a 或 x>1 时,f′(x)>0; 故 f(x)的单调减区间为(a,1) ;单调增区间为(0,a) , (1,+∞) ; ④当 a<0 时,0<x<1,f′(x)<0,x>1 时,f′(x)>0; 故 f(x)的单调减区间为(0,1) ;单调增区间为(1,+∞) ; (2)证明:由(1)知,

当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ lnx+ x ﹣ x≥0; 当且仅当 x=1 时,等号成立; 2 即 lnx≤x ﹣x, 当>1 时, 故 > = ﹣ = ; + + + …+ ]>n. ﹣ > + + ﹣ ﹣ ; + +…+ ﹣ +…+

2

故 m(m+n)[

点评: 本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用,属于中档题.


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