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必修四 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)


必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
一、选择题
π? 1、设函数 f(x)=sin? ?2x-2?,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 )

2、函数 f(x)=sin(ωx+6)的最小正周期为5,其

中 ω>0,则 ω 等于(
A.5 B.10 C.15 D.20

π

π

)

3、函数 f(x)= 3sin(2-4),x∈R 的最小正周期为(
π A. 2 B.π C.2π D.4π

x

π

)

4、函数 y=cos(sin x)的最小正周期是(
π A. 2 B.π C.2π

) D.4π

π ? 5、定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈? ?-2,0?时,f(x) 5π? =sin x,则 f? ?- 3 ?的值为( 1 A.- 2 1 B. 2 ) C.- 3 2 D. 3 2

6、下列函数中,不是周期函数的是(
A.y=|cos x| C.y=|sin x| B.y=cos|x| D.y=sin|x|

)

二、填空题 7、欲使函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值,则 ω 的最小值是________.

8、关于 x 的函数 f(x)=sin(x+φ)有以下命题:
①对任意的 φ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 φ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 φ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 φ,f(x)都不是偶函数.

其中的假命题的序号是________.

9、若 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=sin x,则 f(x)的解析式是______________.

π? 2π 10、函数 y=sin? ?ωx+4?的最小正周期是 3 ,则 ω=______.

11、函数 f(x)=sin(2πx+4)的最小正周期是________.

π

三、解答题 12、判断函数 f(x)=ln(sin x+ 1+sin2x)的奇偶性.

13、已知 f(x)是以 π 为周期的偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=1-sin x,求当 x∈[2π,3π]时 f(x)的解析式.

π

5

14、判断下列函数的奇偶性. π ? (1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x);
(2)f(x)= 1+sin x+ 1-sin x; - esin x+e sin x (3)f(x)= sin x -sin x. e -e

以下是答案 一、选择题
π? ?π ? 1、B [∵sin? ?2x-2?=-sin?2-2x?=-cos 2x, ∴f(x)=-cos 2x. 又 f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), ∴f(x)的最小正周期为 π 的偶函数.]

2、B 3、D 4、B [cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x).
∴T=π.] 5π? ?π? π 3 ? π? ? π? 5、D [f? ?- 3 ?=f?3?=-f?-3?=-sin?-3?=sin 3= 2 .]

6、D [画出 y=sin|x|的图象,易知.] 二、填空题 7、 2 π
解析 要使 y 在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值, 3 则 y 在[0,1]上至少含 49 个周期, 4 3 ?49 ?T≤1 4 199 即 ,解得 ω≥ π. 2 2π T= ω 199

? ? ?

8、①④
π 解析 易知②③成立,令 φ= ,f(x)=cos x 是偶函数,①④都不成立. 2

9、f(x)=sin|x|
解析 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=sin(-x)=-sin x, ∵f(-x)=f(x),∴x<0 时,f(x)=-sin x. ∴f(x)=sin|x|,x∈R.

10、± 3
解析 2π 2π = ,∴|ω|=3,∴ω=± 3. |ω| 3

11、1 三、解答题 12、解 ∵sin x+ 1+sin2x≥sin x+1≥0,
若两处等号同时取到,则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R 都有 sin x+ 1+sin2x>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+ 1+sin2x) =ln( 1+sin2x-sin x) - =ln( 1+sin2x+sin x) 1 =-ln(sin x+ 1+sin2 x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

13、解 x∈[2π,3π]时,3π-x∈[0,2],
π ∵x∈[0, ]时,f(x)=1-sin x, 2 ∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x. 又∵f(x)是以 π 为周期的偶函数, ∴f(3π-x)=f(-x)=f(x), 5 ∴f(x)的解析式为 f(x)=1-sin x,x∈[ π,3π]. 2 π ? 14、解 (1)x∈R,f(x)=cos? (-cos x)=sin 2xcos x. ?2+2x?cos(π+x)=-sin 2x· ∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x). ∴y=f(x)是奇函数. (2)对任意 x∈R,-1≤sin x≤1, ∴1+sin x≥0,1-sin x≥0. ∴f(x)= 1+sin x+ 1-sin x定义域为 R. ∵f(-x)= 1+sin?-x?+ 1-sin?-x?= 1+sin x+ 1-sin x=f(x), ∴y=f(x)是偶函数. - (3)∵esin x-e sin x≠0,∴sin x≠0, ∴x∈R 且 x≠kπ,k∈Z. ∴定义域关于原点对称. - - - - esin? x?+e sin? x? e sin x+esin x 又∵f(-x)= sin?-x? -sin?-x?= -sin x sin x=-f(x), e -e e -e ∴该函数是奇函数.

5

π


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