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3-2-1 直线的方向向量和平面的法向量


基础巩固强化 一、选择题 ?1 ? 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a=?2,-1,3?,b=(-1,2, ? ? -6),则( A.α∥β C.α⊥β ) B.α 与 β 相交但不垂直 D.α∥β 或 α 与 β 重合 [答案] D [解析] ∵b=-2a,∴b∥a, ∴α∥β 或 α 与 β 重合. 2.直线 l1、l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2), 则( ) A.l1∥l2 C.l1⊥l2 [答案] C [解析] ∵a· b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. 3.若平面 α、β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,- 4),则( ) B.α⊥β D.以上均不正确 B.l1 与 l2 相交,但不垂直 D.不能确定 A.α∥β C.α、β 相交但不垂直 [答案] C -3 1 [解析] ∵ 2 ≠ 且 u· v≠0,∴α、β 相交但不垂直. -3 4.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,给出 下列结论: ①直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1); ②直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1); ③平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0); ④平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( A.1 个 [答案] C → → [解析] DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),直 → → 线 AD⊥平面 ABB1A1,AD=(0,1,0);C1 点坐标为(1,1,1),AC1与平面 B1CD 不垂直,∴④错. 5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F、 G、 H 分别为 AB、 CC1、 A1D1、C1D1 的中点,下列结论中,错误的是( A.A1E⊥AC1 C.BF⊥DG [答案] A ) B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 B.BF∥平面 ADD1A1 D.A1E∥CH [解析] 设正方体棱长为 1,以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 1 1 则 A1(1,0,1),E(1,2,0),C(0,1,0),F(0,1,2),C1(0,1,1),H(0, → → 1 1 1 2,1),G(2,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),∴A1E=(0,2,-1),AC1=(- → → → 1 1 1 1,1,1),BF=(-1,0,2),DG=(2,0,1),CH=(0,-2,1). 平面 ADD1A1 的一个法向量为 v=(0,1,0), → → 1 → ∴A1E· AC1=-2,BF· v=0, → → → → BF· DG=0,A1E=-CH. ∴B、C、D 成立,A 不成立,故选 A. 二、填空题 6.如果三点 A(1,5,-2),B(2,4,2),C(a,3,b+2)在同一直线上, 那么 a=________,b=________. [答案] 3 4 7 .平面 α 的法向量 u = (x,1 ,- 2) ,平面 β 的法向量 v = 1? ? ?-1,y, ?,已知 α∥β,则 x+y=________. 2? ? [答案] 15 4 x 1 -2 =y = 1 , -1 2 [解析] ∵α∥β,∴u∥v,∴ ?x=4, ∴? 1 y =- ? 4, 三、解答题 15 ∴x+y= 4 . 8.如图所示,已知矩形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点,

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