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二次函数与角度问题


二次函数专题一:角度
一、有关角相等
2 1、已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,与 y 轴 交于点 C (0 , 3) ,过点 C 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 D ,抛物线的顶点为 M ,直线

y ? x ? 5 经过 D 、 M 两点.

(1) 求此抛物线的解析式; (2)连接 AM 、 AC 、 BC ,试比较 ?MAB 和 ?ACB 的大小,并说明你的理由. 思路点拨:对于第(1)问,需要注意的是 CD 和 x 轴平行(过点 C 作 x 轴的平行线与抛物线 交于点 D ) 对于第(2)问,比较角的大小 a、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就 清楚了 b、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就 确定了 c、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大 小 d、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全 等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下 的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明 角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等 e、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快 速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有 M、C、A、B 这四个点,而这 四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来, 再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看 d 这一条 解: (1)∵CD∥x 轴且点 C(0,3) , ∴设点 D 的坐标为(x,3) . ∵直线 y= x+5 经过 D 点, ∴3= x+5.∴x=-2. 即点 D(-2,3) . 根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为 M(-1,y) , 又∵直线 y= x+5 经过 M 点, ∴y =-1+5,y =4.即 M(-1,4) . ∴设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1) ? 4 . ∵点 C(0,3)在抛物线上,∴a=-1.
2

即抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 .…………3 分 (2)作 BP⊥AC 于点 P,MN⊥AB 于点 N.
2

由(1)中抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 可得 点 A(-3,0) ,B(1,0) ,
2

∴AB=4,AO=CO=3,AC= 3 2 . ∴∠PAB=45°. ∵∠ABP=45°,∴PA=PB= 2 2 . ∴PC=AC-PA= 2 .

1

PB 在 Rt△BPC 中,tan∠BCP= PC =2.
在 Rt△ANM 中,∵M(-1,4) ,∴MN=4.∴AN=2.

MN tan∠NAM= AN =2.
∴∠BCP=∠NAM. 即∠ACB=∠MAB. 后记:对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角(圆分开再说) , 所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首 先要想到的是利用角之间的关系来解题, 其次才是利用线段之间的关系来解题, 除非你很快 就能看出利用线段之间的关系来解题很简单, 因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很 麻烦的, 尤其是不知道某个点的确切坐标时, 那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系 的基本思路 2、 (2012 朝阳一模第 24 题 8 分) 24. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 经 过点 N(2,-5) ,过点 N 作 x 轴的平行线交此抛物线左侧于点 M,MN=6. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P(x,y)为此抛物线上一动点,连接 MP 交此抛物线的对称轴于点 D,当△DMN 为直 角三角形时,求点 P 的坐标; (3)设此抛物线与 y 轴交于点 C,在此抛物线上是否存在点 Q,使∠QMN=∠CNM ?若存在,求出 点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.
y 8 7 6 5 4 3 2 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1O -1 -2 -3 -4 -5 6, -6 -7 -8 -9 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 x

2 24. 解: (1)∵ y ? ax ? bx ? 3 过点 M、N(2,-5) , MN ?

由题意,得 M( ? 4 , ? 5 ). ∴?

?4a ? 2b ? 3 ? ?5, ?16a ? 4b ? 3 ? ?5. ?a ? ?1, ? ?b ? ?2.
2

解得

∴此抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 . …………………………………2 分 (2)设抛物线的对称轴 x ? ?1 交 MN 于点 G, 若△DMN 为直角三角形,则 GD1 ? GD2 ?

1 MN ? 3 . 2

∴D1( ? 1 , ? 2 ) , D2 ( ? 1 , ? 8 ). ………………………………………4 分 直线 MD1 为 y ? x ? 1 ,直线 MD2 为 y ? ? x ? 9 .
2 将 P(x, ? x ? 2 x ? 3 )分别代入直线 MD1,

2

MD2 的解析式,
得 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? 1 ①, ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 9 ②. 解①得 x1 ? 1 , x2 ? ?4 (舍) , ∴ P1 (1,0). …………………………………5 分 解②得 x3 ? 3 , x4 ? ?4 (舍) , ∴ P2 (3,-12). ……………………………6 分 (3)设存在点 Q(x, ? x 2 ? 2 x ? 3 ) , 使得∠QMN=∠CNM. ① 若点 Q 在 MN 上方,过点 Q 作 QH⊥MN, 交 MN 于点 H,则
M D1 G D2

y C O P1 x N

y Q C O

P2

QH ? tan ?CNM ? 4 . MH

2 4 x ? 4) 即 ? x ? 2x ? 3 ? 5 ? ( .

x N

解得 x1 ? ?2 , x2 ? ?4 (舍). ∴ Q1 ( ? 2 ,3). ……………………………7 分 ② 若点 Q 在 MN 下方, 同理可得 Q2 (6, ? 45 ). …………………8 分
2 3、 (2012 西城一模 25 题 8 分) 25. 平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax ? 4ax ? 4a ? c 与

M

H

x 轴交于点 A、点 B,与 y 轴的正半轴交于点 C,点 A 的坐标为(1, 0),OB=OC,抛物线的顶
点为 D. (1) 求此抛物线的解析式; (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB,求点 P 的坐标; (3) Q 为线段 BD 上一点,点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A? ,若 QA ? QB ? 2 , 求点 Q 的坐标和此时△ QAA? 的面积.

3

2 2 25.解: (1)∵ y ? ax ? 4ax ? 4a ? c ? a( x ? 2) ? c ,

∴ 抛物线的对称轴为直线 x ? 2 .
2 ∵ 抛物线 y ? ax ? 4ax ? 4a ? c 与 x 轴交于

y
C

点 A、点 B,点 A 的坐标为 (1,0) , ∴ 点 B 的坐标为 (3,0) ,OB=3.…………… 1 分 可得该抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1)( x ? 3) . ∵ OB=OC,抛物线与 y 轴的正半轴交于点 C, ∴ OC=3,点 C 的坐标为 (0,3) . 将点 C 的坐标代入该解析式,解得 a=1.……2 分
2

1

O

A D

B

x

图9

∴ 此抛物线的解析式为 y ? x ? 4 x ? 3 . (如图 9)…………………… 3 分 (2)作△ABC 的外接圆☉E,设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 F,设☉E 与抛物 线的对称轴位于 x 轴上方的部分的交点为点 P1 ,点 P1 关于 x 轴的对称点为点

P2 ,点 P1 、点 P2 均为所求点.(如图 10)
可知圆心 E 必在 AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线 x ? 2 上. ∵ ?AP 1 B 、 ?ACB 都是弧 AB 所对的圆周角, ∴ ,且射线 FE 上的其它点 P 都不满足. 由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2. 可得圆心 E 也在 BC 边的垂直平分线即直线上. ∴ 点 E 的坐标为.………………………………………………… 4 分 ∴ 由勾股定理得 . ∴ . ∴ 点的坐标为.…………………………………………… 5 分 由对称性得点的坐标为. ……………………………… 6 分 ∴符合题意的点 P 的坐标为、. (3)∵ 点 B、D 的坐标分别为、 , 可得直线 BD 的解析式为,直线 BD 与 x 轴所夹的锐角为 45°. ∵ 点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为, (如图 11) 若设与∠AQB 的平分线的交点为 M, 则有 , , ,Q,B,三点在一条直线上. ∵ , ∴ 作⊥x 轴于点 N. ∵ 点 Q 在线段 BD 上, Q,B,三点在一条直线上, ∴ , . ∴ 点的坐标为. ∵ 点 Q 在线段 BD 上, ∴ 设点 Q 的坐标为,其中. ∵ ,

4

∴ 由勾股定理得 . 解得. 经检验,在的范围内. ∴ 点 Q 的坐标为. …………………………………………… 7 分 此时.… 8 分

二、特殊角 (一) 、450 角
1、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 为抛物线上一动点,点 A 的坐标为(4,2) ,若点 0 P 使∠AOP=45 ,请求出点 P 的坐标。

2、二次函数图象经过点 A(-3,0) 、B(-1,8) 、C(0,6) ,直线与 y 轴交于点 D,点 P 为二 0 次函数图象上一动点,若∠PAD=45 ,求点 P 的坐标。

3、 (2009-2010 海淀初三上期末)已知,抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0) 、B(8,0) ,与 y 轴交于点 C(0,-4) 。直线 y=x+m 与抛物线交于点 D、E(D 在 E 的左侧) ,与抛物线的对称 点交于点 F。 (1)求抛物线的解析式; (2)当 m=2 时,求∠DCF 的大小; 0 (3) 若在直线 y=x+m 下方的抛物线上存在点 P, 使∠DPF=45 , 且满足条件的点 P 只有两个, 则 m 的值为___________________.(第(3)问不要求写解答过程) 解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线与 y 轴交于点 C(0,-4), ∴-4=a(0+2)(0-8). 解得 a=. ∴抛物线的解析式为 y=(x+2)(x-8),即 y=x2-x-4; (2)由(1)可得抛物线的对称轴为 x=3, ∵m=2, ∴直线的解析式为 y=x+2, ∵直线 y=x+2 与抛物线交于点 D、E,与抛物线的对称轴交于点 F, ∴F、D 两点的坐标分别为 F(3,5),D(-2,0). 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M, 可得 CM=FM=MD=5, ∴F、D、C 三点在以 M 为圆心,半径为 5 的圆上. ∴∠DCF=∠DMF=45° . (3)由抛物线解析式可知,抛物线顶点坐标为 G(3,-) 设 F(3,3+m),则 FG=m+3+,设 D 关于对称轴的对称点为 D1, 当四边形 DGD1F 为正方形时,满足题意,此时 P 点与顶点 G 重合,或者与 D1 重合,
5

故 DD1=F′G,D 点横坐标为:x=-(F′G-3)=-,纵坐标为-(F′G-3-m)=, 将 D 点坐标抛物线解析式,解得 m=-.

(二) 、900 角
1 、 如 图 , 抛 物 线 y ? ax ? bx ? 3与x轴交于A, B两点 , 与 y 轴 交 于 点 C , 且
2

OB ? OC ? 3OA .
(I)求抛物线的解析式; (II)探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以点 P, A, C 为顶点的三角形为直角三角形? 若存在,求出 P 点坐标,若不存在,请说明理由;

1 y ? ? x ?1 3 (III)直线 交 y 轴于 D 点, E 为抛物线顶点.若 ?DBC ? ? ,

?CBE ? ? , 求? ? ? 的值.

思路点拨: (II)问题的关键是直角,已知的是 AC 边,那么 AC 边可能为直角边,可能为斜 边,当 AC 为斜边的时,可知 P 点是已 AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与 A、 C 重合,明显只有 O 点;当 AC 为直角边时,又有两种情况,即 A、C 分别为直角顶 点,这时候我们要知道无论是 A 或者 C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA(或 Rt△PAC 和 Rt△OAC 相似) ,利用这点就可以求出 OP 的长度了 (III)从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要 么全是特殊角(30°,45°,60°,90°) ,在这种情况下,他们的差才有可能不是 特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能(在没有学反三角函数 的前提下) ,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就 是 45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是 利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似

? A?? 1,0?, B(3,0) .
2

2 解: (I)? 抛物线y ? ax ? bx ? 3与y轴交C点?0,?3?,且 OB ? OC ? 3OA .

代入 y ? ax ? bx ? 3 ,得

?

a ?b ?3?0 9 a ?3b ?3?0

?

?

a ?1 b ??2

? y ? x 2 ? 2x ? 3
(II)①当

?P 1 AC ? 90?时, 可证 ?P 1 AO ∽ ?ACO
6

? Rt ?P1 AO 中, tan ?P1 AO ? tan ?ACO ?
②同理: 如图当 ?P2 CA ? 90?时,P2 (9,0) ③当

1 1 ? P1 (0, ) 3. 3

?CP3 A ? 90?时,P3 (0,0)

综上,坐标轴上存在三个点 P ,使得以点 P, A, C 为顶点的三角形为直角三角形,分别

1 P1 (0, ) 3 P2 (9,0) , P3 (0,0) . 是

由y ? ?
(III) ∴ BC ? 3

1 x ? 1, 得D ?0,1? 2 ,得顶点 E?1,?4? . 3 .由y ? x ? 2x ? 3

2, CE ? 2, BE ? 2 5 .

2 2 2 ? BC ? CE ? BE ,? ?BCE为直角三角形. CE 1 ? tan ? ? ? CB 3 . OD 1 ? Rt ?DOB 中 tan ?DBO ? ? OB 3 .? ?DBO ? ?? . 又 ?? ? ?? ? ?? ? ?DBO ? ?OBC ? 45? .

2、 (2012 房山一模 24 题 7 分)24.如图⑴,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,

抛物线 y=ax2+8ax+16a+6 经过点 B(0,4). ⑴求抛物线的解析式; ⑵设抛物线的顶点为 D,过点 D、B 作直线交 x 轴于点 A,点 C 在抛物线的对称 轴上,且 C 点的纵坐标为-4,联结 BC、AC.求证:△ABC 是等腰直角三角形; ⑶在⑵的条件下, 将直线 DB 沿 y 轴向下平移, 平移后的直线记为 l , 直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A′、B′,是否存在直线 l,使△A′B′C 是直角三角形, 若存在求出 l 的解析式,若不存在,请说明理由.

y D B A O C x

7

y D B A O C
图⑴ 备用图

x

24. ⑴解:由题意知: 解得: ∴抛物线的解析式为:-------1 分 ⑵证明 :由抛物线的解析式知:顶点 D 坐标为(-4,6) ∵点 C 的纵坐标为-4,且在抛物线的对称轴上 ∴C 点坐标为(-4,-4) 设直线 BD 解析式为: D 有: ,∴ B ∴BD 解析式为 13 ∴直线 BD 与 x 轴的交点 A 的坐标为(8,0) 过点 C 作 CE⊥轴于点 E,则 CE=4,BE=8 O 又∵OB=4,OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90° ∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2 分 C E ∴CB=AB, ∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90°,∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90°,即∠ABC=90° ∴△ABC 是等腰直角三角形---------------------3 分 ⑶存在.①当∠CA′B′=90°时,如图 1 所示, ∵A′B′∥AB ∴∠OA′B′=∠BAO y 易证:∠ECA′=∠OA′B′ ∴∠ECA′=∠BAO D ∵tan∠BAO= B ∴tan∠ECA′= ∴EA′=2 ∴A′坐标为(-2,0) A' O ∴直线 l 解析式为------5 分 E B' ②当∠A′CB′=90°时,如图 2 所示, 过点 C 作 CE⊥轴于点 E, 易证△A′FC≌△B′EC
8

2

A x

A x

C y D
图1

B A' F O A

y

∴A′F=B′E ∴由①tan∠B′A′O= ∴设 B′坐标为(0,n) ∴有 ∴ B′坐标为(0, ) ∴直线 l 解析式为------7 分
2

O

x

3、 (2012 石景山二模 25 题 8 分)25.已知:抛物线 y=-x +2x+m-2 交 y 轴于点 A(0, 2m-7) .与直线 y=x 交于点 B、C(B 在右、C 在左) . (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 E,在抛物线的对称轴上是否存在一点 F,使得,若存在,求出点 F 的坐标,若不存在,说明理由; (3)射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发,分别以每秒个单位长度、每秒 2 个单 位长度的速度沿射线 OC 运动,以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ(直 2 角边分别平行于坐标轴) ,设运动时间为 t 秒,若△PMQ 与抛物线 y=-x +2x+m-2 有公共点,求 t 的取值范围. 解:

25.解: (1)点 A(0,2m-7)代入 y=-x +2x+m-2,得 m=5 ∴抛物线的解析式为 y=-x +2x+3 (2)由得, ∴B() ,C()
2

2

………………………2 分

B()关于抛物线对称轴的
对称点为 可得直线的解析式为, 由,可得 ∴ ………………………5 分 (3)当在抛物线上时,可得, , 当在抛物线上时,可得, , 舍去负值,所以 t 的取值范围是.………………8 分

三、角的范围
1、二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于 C 点,在二次 函数的图象上是否存在点 P, 使得∠PAC 为锐角?若存在, 请你求出 P 点的横坐标取值范围; 若不存在,请你说明理由。

9

2、二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于 C 点,在二次 函数的图象上是否存在点 P,使得锐角∠PCO>∠ACO?若存在,请你求出 P 点的横坐标取值 范围;若不存在,请你说明理由。

专题 2----二次函数与角度问题 复习目标: 1.掌握与角度有关问题常见的思路和方法; 一、教案(供教师教学时使用) 【例】如图,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D(3,4)在抛物线上,连接 BD,点 P 为抛物线上一点,且∠DBP =45°,求点 P 的坐标.

【答案】P 的坐标为 解题方法总结:

二、学案 抛物线与并轴分别交于 A、B 两点,与 y 轴的正半轴交于 C 点,抛物线的顶点为 D,连接 BC、 BD,抛物线上是否存在一点 P,使得∠PCB=∠CBD,若存在,求 P 点的坐标,不存在,说明 理由,

10

【答案】或 三、练案 1.若抛物线的顶点为 B,与轴正半轴交于 A 点,在抛物线对称轴右侧一点 P,使 tan,求 P 点的坐标;

【答案】 P(3,3),(9,-45) 2.抛物线,交 x 轴于 M、N 点(M 点 N 点左边) ,交 y 轴于 D 点,点 E 为第一象限抛物线上 的点,若∠EMN=2∠ODM,求 E 点坐标.

【答案】

? 15 33 ? E ? , ?? ? 4 16 ?
3.如图,抛物线交 x 轴于 A(l,O)、B 两点,交, ,轴于 C(0,3);抛物线上是否存在点 P, 使∠PCB+ ∠ACB= 45°?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;

【答案】

11


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