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3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数【教案版】带答案


三角函数专题 第 1 讲
任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|= ,l 是以角 α 作为圆心角 r 时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. r ④弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、 y x y 正切分别是:sin α= ,cos α= ,tan α= ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. r r x 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴 于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影. 由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α,sin_α), 即 P(cos_α, sin_α),其中 cos α=OM,sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边 或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切 线.

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三 角 函 数 线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为 余弦线

有向线段 AT 为正切线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. π ? ? (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合?β|β =2+kπ,k∈Z?;终边落
? ? ? ? kπ ? 在坐标轴上的角的集合可以表示为?β? ?β= 2 ,k∈Z . ? ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二 类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 ( A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z) 9 B.k· 360° + π(k∈Z) 4 5π D.kπ+ (k∈Z) 4 ).

9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案 C 正 4 4 确. 答案 C 2.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在( ). A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180° +225° =m· 360° +225° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +45° ,故 α 为第一象限角. 答案 A 3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是(
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).
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A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α>0 知 α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( ). 5 2 5 2 5 1 A.- B. C.- D.- 5 5 5 2 -1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- . 5 5 答案 A 5.(2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ 2 5 =- ,则 y=________. 5 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限 y 2 5 角,∴y<0,sin θ= 2=- 5 ?y=-8. 16+y 答案 -8

考向一 角的集合表示及象限角的判定 【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2 [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. π 解 (1)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 ? ? ? π ?α α= +kπ,k∈Z ?. 3 ? ? ? 6π θ 2π 2kπ (2)∵θ= +2kπ(k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π?- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 (3)∵α 是第二象限角, ∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z. ∴2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360° ,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α ∵k· 180° +45° < <k· 180° +90° ,k∈Z, 2 α 当 k=2m(m∈Z)时,m· 360° +45° < <m· 360° +90° ; 2 当 k=2m+1(m∈Z)时, α m· 360° +225° < <m· 360° +270° ; 2 α ∴ 为第一或第三象限角. 2
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(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间 相差 360° 的整数倍. (2)角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 , 如 : 终 边 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 ? ? ? ? ? π 3π ?x x=2kπ- ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ+ ,k∈Z ?. 2 2 ? ? ? ? ? ? 【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( ). A.α=-β B.α=180° +β C.α=k· 360° +β(k∈Z) D.α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z) 解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α-β=k· 360° ± 180° (k∈Z). ∴α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z). 答案 D

考向二 三角函数的定义

【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ=

2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 4

和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ. m 2 解 由题意得,r= 3+m2,∴ 2= 4 m,∵m≠0, 3+m ∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- . x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ= = =- ,tan= = = . r 2 2 4 x - 3 3 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已经 给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( ). 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 5 解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ=± ,故 cos 2θ=2cos2θ-1 5 3 =- . 5 答案 B

考向三 弧度制的应用
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【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α=∠AOB=60° = . 3 π (2)由(1)可知 α= ,r=10, 3 π 10π ∴弧长 l=α· r= ×10= , 3 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= × ×10= , 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB= · AB· = ×10× = , 2 2 2 2 2 π 3 ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来 也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40, 20?2 1 1 S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? ? 2 ? =100. 2 2 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大. 考向四 三角函数线及其应用 【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: 3 1 (1)sin α≥ ; (2)cos α≤- . 2 2 3 1 [审题视点] 作出满足 sin α= ,cos α=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 终边的范围. 2 2 解

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 2 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 ? ? ? π 2 ?α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? (1)作直线 y=

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 2 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为

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? ? ? 2 4 ?α 2kπ+ π ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin2x). 1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

π π? ∴定义域为? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). (2)∵3-4sin2x>0, 3 ∴sin2x< , 4 3 3 ∴- <sin x< . 2 2 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). ∴定义域为? 3 3? ?

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规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重合)的坐标为(x,y),它到 y x y 原点的距离是 r(r= x2+y2>0),则 sin α= 、cos α= 、tan α= 分别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是 r r x 以角为自变量,以比值为函数值的函数,这样的函数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限 确定,r 的符号始终为正,应用定义法解题时,要注意符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题 中应用广泛,并且有时可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得 x,y,r 的值;然后对于 含参数问题要注意分类讨论. 3 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cos α= x,求 sin 6 α、tan α 的值. 只要确定了 r 的值即可确定角 α 经过的点 P 的坐标,即确定角 α 所在的象限,并可以根据三角 函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x2+2,(2 分) 3 又 cos α= x, 6 x 3 ∴cos α= 2 = x, 6 x +2 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6 分) 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sin α=- ,tan α=- ;(9 分) 6 5 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sin α=- ,tan α= .(12 分) 6 5 当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终边在过坐标原点的一条直 线上时,在根据三角函数定义求解三角函数值时,就要把这条直线看做两条射线,分别求解,实际上这时 求的是两个角的三角函数值,这两个角相差 2kπ+π(k∈Z),当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另 一种情况. 4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α+cos α+ tan α. 5 3 4 3 [尝试解答] 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α=- ,cos α= ,tan α=- , 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 故 sin α+cos α+ tan α=- + + ×?-4? 5 5 5 5 2 =- ; 5 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α+cos α+ tan α= - + ×?-4?=- . 5 5 5 5 5 4 2 4 综上,sin α+cos α+ tan α 的值为- 或- . 5 5 5

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强化练习
1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A. 3 π C.- 3 π B. 6 π D.- 6 ) )

2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 C.4 B.1 D.8 )

3.已知角 α 的终边上有一点 M(3,-5),则 sin α=( 3 A.- 5 4 C.- 5

5 34 B.- 34 3 34 D.- 34 )

θ? θ θ 4.设 θ 是第三象限角,且? ?cos2?=-cos2,则2是( A.第一象限角 C.第三象限角 5.已知 sin θ-cos θ>1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 )

B.第二象限角 D.第四象限角

B.第二象限 D.第四象限 )

π 6.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=( 3 A.- 3 2 B. 3 2

1 C.- 2

1 D. 2

|sin α| |cos α| 7.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 - =________. sin α cos α 3π 3π? 8.若 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,则 sin β=________,tan β=________.

3? 9.如图, 角 α 的终边与单位圆(圆心在原点, 半径为 1)交于第二象限的点 A? ?cos α,5?, 则 cos α-sin α=________. 10. 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

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11.(1)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α=

2 x,求 sin α 与 tan α 的值; 4

(2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ.

12.已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

sin θ cos θ 1. 三角形 ABC 是锐角三角形, 若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos B, cos A-sin C), 则 + |sin θ| |cos θ| + tan θ 的值是( |tan θ| A.1 C.3 ) B.-1 D.4 )

2π 2.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( 3 1 3 A.?- , ? ? 2 2? 1 3 C.?- ,- ? 2? ? 2 B.?-

?

3 1? ,- 2 2? 3 1? , 2 2?

D.?-

?

π 3.已知 0<α< ,求证:(1)sin α+cos α>1;(2)sin α<α<tan α. 2

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答 案 A级 1.选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 1 π 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 即为- ×2π=- . 6 6 3 l+2r=6, ? ? ? ? ?l=4, ?l=2, 2.选 A 设扇形的半径和弧长分别为 r,l,则易得?1 解得? 或? 故扇形的圆心 ?r=1 ?r=2. ? ? ?2lr=2, ? 角的弧度数是 4 或 1. -5 y 5 34 3.选 B ∵|OM|= 32+?-5?2= 34,∴ sin α= = =- . |OM| 34 34 4. 选 B 由于 θ 是第三象限角, 所以 2kπ+π<θ<2kπ+ θ? 3π π θ 3π θ (k∈Z), kπ+ < <kπ+ (k∈Z); 又? ?cos2?=-cos2, 2 2 2 4

θ π θ 3π θ 所以 cos ≤0,从而 2kπ+ < <2kπ+ (k∈Z),即 是第二象限角. 2 2 2 4 2 5.选 B 由已知得(sin θ-cos θ)2>1,1-2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,且 sin θ>cos θ,因此 sin θ>0>cos θ, 所以角 θ 的终边在第二象限. π π 6.选 D 因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z),又 β=- ,所以 α=2kπ 2 3 + 5π 1 (k∈Z),即得 sin α= . 6 2

|sin α| |cos α| 7.解析:由题意知,角 α 是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.∴ - =1-(-1)=2. sin α cos α 3π 3π? 8.解析:因为 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,所以 β 的终边所在直线为 y=-x,则 β 在第二 或第四象限.所以 sin β= 2 2 或- ,tan β=-1. 2 2

3 4 7 9.解析:由题图知 sin α= ,又点 A 在第二象限,故 cos α=- .∴cos α-sin α=- . 5 5 5 10.解:设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ?r=1, ?2lr=1, ? 则? 解得? ?l=2. ? ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm).
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11.解:(1)∵r= x2+5,∴cos α=

x 2 x ,从而 x= 2 ,解得 x=0 或 x=± 3. 4 x +5 x +5
2

∵90° <α<180° ,∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 5 15 故 r=2 2,sin α= = ,tan α= =- . 4 3 2 2 - 3 1 (2)∵θ 的终边过点(x,-1),∴tan θ=- , x 又 tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 当 x=1 时,sin θ=- 2 2 ,cos θ= ; 2 2 2 2 ,cos θ=- . 2 2

当 x=-1 时,sin θ=-

12.解:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 y - 3t 3 sin α= = =- ,cos α= = = ,tan α= = =- ; r 5t 5 r 5t 5 x 4t 4 y -3t 3 x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α= = = ,cos α= = =- ,tan α= = =- . r -5t 5 r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- ;或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 5 5 4

B级 1.选 B 因为三角形 ABC 是锐角三角形,所以 A+B>90° ,即 A>90° -B,则 sin A>sin (90° -B)=cos B, sin θ cos θ tan θ sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, + + =-1+1-1=-1. |sin θ| |cos θ| |tan θ| 2.选 A 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos 2π 1 2π 3 =- ,y=sin = . 3 2 3 2

3. 证明: 如图, 设 α 的终边与单位圆交于 P 点, 作 PM⊥x 轴, 垂足为 M, 过点 A(1,0) 作 AT⊥x 轴,交 α 的终边于 T,则 sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. (1)在△OMP 中,∵OM+MP>OP, ∴cos α+sin α>1. (2)连接 PA,则 S△OPA<S 扇形 OPA<S△OTA, 1 1 1 即 OA· MP< OA· α< OA· AT,即 sin α<α<tan α 2 2 2

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