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2011-2012学年高中毕业班第一次模拟数学(理科)试题


肇庆市中小学教学质量评估

数学(理科)

2012 届高中毕业班第一次模拟试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? ( x ? 5) ? (3 ? x)i 在复平面内对应的点位于第三象限,则实数 x 的取值范围是 A. (??,5) B. (3, ??) C. (3,5) D. (5, ??)

15 9 9 B. C. D. 2 2 2 4 8.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 ? 和向量 a ? M ,都有 ?a ? M ,则称 M
A. 为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是 A. {( x, y ) | y ? x }
2

B. ?( x, y ) | ?

? ?

? x ? y ? 0? ? ? x ? y ? 0?
2 2

C. {( x, y) | x ? y ? 2 y ? 0}
2 2

D. {( x, y ) | 3x ? 2 y ? 12 ? 0}

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 必做题(9~13 题) 9. | x | ?2 | x | ?15 ? 0 的解集是
2

2.已知集合 M ? {0,1, 2} ,集合 N 满足 N ? M ,则集合 N 的个数是 A.6 B. 7 C. 8 D. 9

. .(用数字作答)

?2 x , x ? 2 y?? 3.已知函数 f ( x) ? lg x 的定义域为 M ,函数 的定义域为 N ,则 M ? N ? ? ?3 x ? 1, x ? 1
A. (0,1) B. (2, ??)
2

? 4 1? 10.在 ? x ? ? 的展开式中常数项是 ... x? ?

10

C. (0, ??)

D. (0,1) ? (2, ??) 条件 D.非充分必要

11.某中学举行了一次田径运动会,其中有 50 名学生 参加了一次百米比赛,他们的成绩和频率如图所示.若 将成绩小于 15 秒作为奖励的条件,则在这次百米比赛 中获奖的人数共有 人.

4.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? x ? m 有零点”的 A.充分非必要 B.充要 C.必要非充分

5.已知函数 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x ,x∈R,则 f ( x) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

12. 短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1 , F2 , 3
?

过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

13.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 1 ,那么
2 2

6.已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ,如果向量 a ? ?b 与 b 垂直,则 | 2a ? ?b | 的值为 ( ) A.1 B. 5 C. 5 D. 5 5

y?3 的取值范围是 x ?1

? x ? 3, ? 2 y ? x, ? 7.已知 x, y 满足 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是( 3 x ? 2 y ? 6, ? ?3 y ? x ? 9 ?

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 ). 的距离的最小值为 15. (几何证明选讲选做题)如图 2,点 P 是⊙O 外一点, PD 为⊙O 的一切线, D 是切点,割线
0 经过圆心 O,若 ?EFD ? 30 , PD ? 2 3 ,则 PE ?

?

?

-1-

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (II)设 cn ? (I)求 {an } 的通项 an ;

19.(本小题满分 14 分) 如图 4, 已知斜三棱柱 (侧棱不垂直于底面)ABC ? A1 B1C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC 垂直,

5 ? an c , bn ? 2 n ,求 T ? log 2 b1 ? log 2 b2 ? log 2 b3 ? ? ? log 2 bn 的值。 2

BC ? 2, AC ? 2 3, AB ? 2 2 , AA1 ? A1C ? 6 .
(Ⅰ) 求侧棱 B1 B 在平面 A1 ACC1 上的正投影的长度. (Ⅱ) 设 AC 的中点为 D,证明 A1 D ? 底面 ABC ; (Ⅲ) 求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值; 20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 与两圆 x ? ( y ? 4) ? 1 , x ? ( y ? 2) ? 1 外切,圆 C 的圆心轨迹方程为 L,设 L 上
2 2 2 2

17.(本小题满分 13 分) 2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国 道长途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾驶操作而引发交 事故,肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站,让过 往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息 的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次,询问结果如图 3 所示:

的点与点 M ( x, y ) 的距离的最小值为 m ,点 F (0,1) 与点 M ( x, y ) 的距离为 n . (Ⅰ)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (Ⅱ)求满足条件 m ? n 的点 M 的轨迹 Q 的方程; (Ⅲ)试探究轨迹 Q 上是否存在点 B( x1 , y1 ) ,使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面 (Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川籍的应 抽取几名? (Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名, 求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 ? 的分布列及其均 值(即数学期望) 。 积等于

1 。若存在,请求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由. 2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a ln ? x ? 1? .
2

18. (本题满分 13 分)已知△ ABC 的面积为 2 2 ,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? ln 2 有两个极值点 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,求证 F ( x2 ) ?

a ? 3, b ? 4, 0 ? C ? 90o .(Ⅰ)求 sin( A ? B) 的值;
(Ⅱ)求 cos ? 2C ?

1 . 4

? ?

??

??? ???? ? ??? ???? ? (Ⅲ)求向量 CB, AC 的数量积 CB ? AC . ? 的值; 4?

-2-

肇庆市中小学教学质量评估
一、选择 题号 答案 二、填空: 9、 10、 14、 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 11、 15、 12、 1 2 3 4 5

数学(理科)答题卡
6 7 8

17.(本小题满分 13 分)

13、

18. (本题满分 13 分)

-3-

19.(本小题满分 14 分)

21. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分)

-4-

肇庆市中小学教学质量评估
一、选择: 题号 答案 二、填空: (9) (? , 5 5 ?? 、 ??) ,( ) ? (14)1 (15) 2 1 C 2 C 3 D 4 C

数学(理科)答案
5 A 6 D 7 B 8 B

P(? ? 0) ?

C52 10 C1C1 10 C2 1 ? , P (? ? 1) ? 2 2 5 ? , P(? ? 2) ? 2 ? , (10 分) 2 C72 21 C7 21 C7 21

? 的分布列为:

?

0

1

2

(10) 、45. ( 11) 、11 (12)6

(13) ? , ?? ?

?4 ?3

? ?

10 1 4 ? 2? ? . P 21 21 7 1 1 18 解: (Ⅰ)由 ab sin C ? 2 ,即 ? 3 ? 4sin C ? 2 2 2 2
均 值 E (? ) ? 1? 得 sin C ?

10 21

10 21

1 21

(11 分) (13 分)

16 解: (Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解得 a1 ? 3 , d ? ?2 . 分) (4

? a1 ? d ? 1 , 分) (2 ? a1 ? 4d ? ?5

2 (2 分) 3
o

∵ A ? B ? 180 ? C ,∴ sin( A ? B ) ? sin(180 ? C ) ? sin C ?
o

2 (4 分) 3

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . 分) (6 (Ⅱ)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ? ∴ bn ? 2 n ? 2
c n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin C ?

5 ? an 5 ? (?2n ? 5) ? ?n 2 2
(8 分)

2 3
2 2

? 2? 7 ∵ 0 ? C ? 90 ,∴ cos C ? 1 ? sin A ? 1 ? ? (5 分) ? 3 ? ? 3 ? ? ?
o

∴ T ? log 2 b1 ? log 2 b2 ? log 2 b3 ? ? ? log 2 bn

? 7? 5 ∴ cos 2C ? 2cos C ? 1 ? 2 ? ? ? 3 ? ?1 ? 9 . ? ? ?
2

2

(6 分)

? log 2 2 ? log 2 22 ? log 2 23 ? ? ? log 2 2n

? 1? 2 ? 3 ?? ? n ?

n(n ? 1) (12 分) 2

∴ sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ?

2 7 2 14 ? ? (7 分) 3 3 9

17 解:(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(3 分) (Ⅱ)从图中可知,被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有: 5 ? 20 ? 25 ? 20 ? 30 ? 100 人, 四川籍的有: 15 ? 10 ? 5 ? 5 ? 5 ? 40 人, 分) (4 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名,依题意得 即四川籍的应抽取 2 名. (7 分) (Ⅲ) ? 的所有可能取值为 0,1,2; 分) (8
-5-

∴ cos ? 2C ?

? ?

??

? ? cos 2C cos ? sin 2C sin 4? 4 4
(9 分)

?

?

5 x ,解得 x ? 2 ? 100 40

5 2 2 14 2 5 2 ?4 7 ? ? ? ? ?? . 9 2 9 2 18 ??? ? ???? (Ⅲ)∵ CB ? a ? 3 , AC ? b ? 4

(10 分)

设向量 CB 与 CA 所成的角为 ? ,则 ? ? 180o ? C (11 分) ∴ CB ? AC ? CB ? AC cos ? ? ab cos(180 ? C ) ? ?ab cos C
o

??? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

∴ cos A1 ED ?

DE 1 ? , A1 E 2

即侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值为

? ?3 ? 4 ?

7 ? ?4 7 3

1 . 2

(14 分)

(13 分) (方法二) (Ⅰ)同方法 一 (Ⅱ)同方法 一 (3 分) (Ⅲ)∵ BC ? 2, AC ? 2 3, AB ? 2 2 , ∴

19 解: (方法一)(Ⅰ) ∵ ABC ? A1 B1C1 是斜三棱柱, ∴ BB1 // 平面 A1 ACC1 , 故侧棱 B1B 在平面 A1 ACC1 上的正投影的长度等于侧棱 B1 B 的长度.(2 分) 又 BB1 ? AA1 ?

6 ,故侧棱 B1B 在平面 A1 ACC1 的正投影的长度等于 6 . 6 ,∴ AC 2 ? AA12 ? AC12

(Ⅱ)证明: ∵ AC ? 2 3, , AA1 ? A1C ?

∴三角形 AA1C 是等腰直角三角形, 分) (5 又 D 是斜边 AC 的中点,∴ A1 D ? AC (6 分) ∵平面 A1 ACC1 ⊥平面 ABC ,∴A1D⊥底面 ABC (7 分) (Ⅲ)作 DE⊥AB,垂足为 E,连 A1E,∵A1D⊥面 ABC,得 A1D⊥AB. ∴ AB ? 平面 A1 ED , 分) (8 从而有 A1 E ? AB ,∴∠A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角. (9 分) ∵ BC ? 2, AC ? 2 3, AB ? 2 2 ,∴ AC ? BC ? AB
2 2 2

AC 2 ? AB2 ? BC 2
∴三角形 ABC 是直角三角形,过 B 作 AC 的垂线 BE,垂足为 E, 则 BE ?

8 2 3 AB ? BC 2 ? 2 2 2 6 2 2 ? ? , EC ? BC ? BE ? 4 ? ? 3 3 AC 3 2 3
2 3 3 ? (8 分) 3 3

∴ DE ? CD ? EC ? 3 ?

以 D 为原点, A1 D 所在的直线为 z 轴,DC 所在的直线为 y 轴,平行于 BE 的直线为 x 轴,建立 空间直角坐标系,如图所示,则 A(0, ? 3, 0), A1 (0, 0, 3), B ?

?2 6 3 ? ? 3 , 3 ,0? ? ? ?

∴三角形 ABC 是直角三角形, AB ? BC ∴ED∥BC ,又 D 是 AC 的中点, BC ? 2, AC ? 2 3 ∴ DE ? 1, A1 D ? AD ? 3 , A1 E ?

令 x ? 2 ,得 y ? ?1, z ? 1 ,所以 p ? ( 2, ?1,1) 是平面 A1 ABB1 的一个法向量. (11 分) 由(I)得 A1D⊥面 ABC,所以设平面 ABC 的一个法向量为 q ? (0, 0,1) (12 分)

?

?

A1 D 2 ? DE 2 ? 2

? ? ? ? p?q 设向量 p 和 q 所成角为 ? ,则 cos ? ? ? ? ? p q

1 2 ? 1 ? 1 ?1
2

?

1 (13 分) 2

-6-

1 . (14 分) 2 20 解析: (Ⅰ)两圆半径都为 1,两圆心分别为 C1 (0, ?4) 、 C2 (0, 2) ,由题意得 CC1 ? CC2 ,
即侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值为

C 可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线, 1C2 的中点为 (0, ?1) , 直线 C1C2 的斜率等于零,
故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线方程为 y ? ?1 ,即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为

1 时, g ( x) ? 0 ,从而 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增; (3 2 1 ②当 ? ? 0 ,即 a ? 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,此时 f '( x) 在 f '( x) ? 0 的左右两侧不变 2
①当 ? ? 0 ,即 a ? 号,故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增; (4 分) ③当 ? ? 0 ,即 a ?

y ? ?1 。(4 分)
(Ⅱ)因为 m ? n ,所以 M ( x, y ) 到直线 y ? ?1 的距离与到点 F (0,1) 的距离相等,故点 M 的

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a 1 1 时, g ( x ) ? 0 的两个根为 x1 ? , x2 ? ?? , 2 2 2 2

p 轨迹 Q 是以 y ? ?1 为准线,点 F (0,1) 为焦点,顶点在原点的抛物线, ? 1 ,即 p ? 2 ,所以, 2
轨迹 Q 的方程是 x ? 4 y
2

当 1 ? 2a ? 1 ,即 a ? 0 时, x1 ? ?1 ,当 0 ? a ? 故当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1,

1 时, x1 ? ?1 . 2

(8 分)

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增;当 2 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 y ?

1 2 1 1 x , y? ? x ,所以过点 B 的切线的斜率为 k ? x1 ,切线方程为 4 2 2

0?a?

y ? y1 ?

2y 1 1 x1 ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? ? x12 ? y1 ,令 y ? 0 得 x ? ? 1 ? x1 , x1 2 2

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a 1 ), ( , ??) 单 调 递 增 , 在 时 , 函 数 f ( x) 在 (?1, 2 2 2

1 2 2 因为点 B 在 x ? 4 y 上,所以 y1 ? x1 4

1 2 1 故 y ? ? x1 , x ? x1 4 2
1 1 1 1 1 3 | x || y |? ? x12 x1 ? x1 2 2 4 2 16

(

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a , ) 单调递减. 分) (7 2 2

(Ⅱ)∵ F ?( x) ? f ?( x) ,∴当函数 F ( x) 有两个极值点时 0 ? a ? 故此时 x2 ?

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ? 设S ?

1 , 0 ? 1 ? 2a ? 1 , 2

1 1 3 1 ,即 x1 ? 得 x1 ? 2 ,所以 x1 ? ?2 2 16 2

?1 ? 1 ? 2a 1 ? (? , 0) ,且 g ( x2 ) ? 0 ,即 a ? ?(2 x 2 2 ? 2 x2 ) , (9 分) 2 2

当 x1 ? 2 时, y1 ? 1 ,当 x1 ? ?2 时, y ? 1, 所以点 B 的坐标为 (2,1) 或 (?2,1) . 21 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) , 分) (1 (14 分)

? F ? x2 ? ? x2 2 ? a ln ?1 ? x2 ? ? ln 2 ? x2 2 ? (2 x 2 2 ? 2 x2 ) ln ?1 ? x2 ? ? ln 2 ,
设 h( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln(1 ? x) ? ln 2 ,其中 ?
2 2

1 ? x ? 0, 2

(10 分)

则 h?( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln(1 ? x) ? 2 x ? ?2(2 x ? 1) ln(1 ? x) ,

f ?( x) ? 2 x ?
2

a 2x ? 2x ? a ? ( x ? ?1) (2 分) x ?1 x ?1
2

1 1 ? x ? 0 时, h '( x) ? 0 ,故函数 h( x) 在 (? , 0) 上单调递增, 2 2 1 1 1 故 h( x) ? h(? ) ? .∴ F ( x2 ) ? h( x2 ) ? (14 分) 2 4 4
由于 ?

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,则 ? ? 4 ? 8a .
-7-


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