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第二章 第五节 从力做的功到向量的数量积


第五节 从力做的功到向量的数量积
1. 判断下列各题正确与否: ①若 a = 0,则对任一向量 b,有 a?b = 0. ②若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a?b ? 0. ③若 a ? 0,a?b = 0,则 b = 0. ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a ? 0,a?b = a?c,则 b = c. ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立. ⑦对任意向量 a、b、c,有(a?b) ?c ? a? (b?c). ⑧对任意向量 a,有 a2 = |a|2. 2.已知: a ? 2 , b ? 3 , a与 b的夹角为 120 0 , 求 (1) a ? b .( 2 ) a ? b .
b 3.已知 a、 都是非零向量,且 a ? 3 b与 7 a
? 5b
2 2

( ( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) ) )

垂直, a

? 4 b与 7 a ? 2 b

b 垂直,求 a、

的夹角。 4.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。
D

A a b

C

5. 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
D

B

C

A

B

参考答案 1. ①√ ②×
2 2

③×
2 2

④×

⑤×

⑥×

⑦×

⑧√

2. 解: (1) a ? b ? a ? b (2)
a?b ? (a ? b)
2

? 4 ? 9 ? ?5

?

2

a

? 2ab ? b

2

?

2

a

? 2 a b cos ? ? b

2

?

7

3. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 ②



两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?, 则 cos? =
a?b | a || b |
? ? ?

?

b

2 2

?

1 2
? ? ?

∴? = 60
? ? ?

2|b |
? ? ?

4. 证:设 AB = DC = a , AD = BC = b ∵ABCD 为菱形
? ? ?

∴|a| = |b|

∴ AC ? BD = (b + a)(b ? a) = b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0 ∴ AC ? BD 即菱形对角线互相垂直。 5. 解:如图: ABCD 中: AB ? DC , AD ? BC , AC = AB + AD ∴| AC |2=| AB + AD |2= AB 2+ AD 2+2 AB ? AD 而 BD = AB - AD
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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∴| BD |2=| AB - AD |2= AB 2+ AD 2-2 AB ? AD
? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB 2+2 AD 2= | AB |2+| AD |2+| BC |2+| DC |2

? ? ?

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