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2014高考数学一轮汇总训练《同角三角函数的基本关系与诱导公式》理 新人教A版


第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[备考方向要明了]

考 什 么 1.能利用单位圆中的三角函 π 数线推导出 ±α ,π ±α 2 的正弦、余弦、正切的诱导

怎 么 考

1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函 数基本关系式解决条件求值问题,主要包括

知角求值、知值求 角和知值求值,如 2012 年辽宁 T7 等.

公式. 2.理解同角三角函数的基本 关系式:sin x+cos x=1, sin x =tan x. cos x
2 2

2. 作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中,主 要起到化简三角函数关系式的作用.

[归纳?知识整合] 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1; sin α (2)商数关系:tan α = . cos α [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义? 提示:只要是同一个角,基本关系就成立,不拘泥于角的形式,如 sin sin 4α 2 2 ta n 4α = 等都是成立的,而 sin θ +cos φ =1 就不成立. cos 4α 2.诱导公式 组数 角 一 2kπ +α (k ∈Z) 二 π +α 三 -α 四 π -α 五 π -α 2 六 π +α 2
2 2 2

α 2α +cos =1, 3 3

1

正弦

sin_α

-sin_α

- sin_α cos_α - tan_α

sin_α

cos_α

cos_α - sin_α

余弦

cos_α

-cos_α

-cos_α

sin_α

正切

tan_α

tan_α

-tan_α 函数名改变符号看 象限

口诀

函数名不变符号看象限

即 α +k?2π (k∈Z),-α ,π ±α 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面加上 π 一个把 α 看成锐角时原函数值的符号; ±α 的正弦(余弦)函数值, 分别等于 α 的余弦(正 2 弦)函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. [探究] 2.有人说 sin(kπ -α )=sin(π -α )=sin α (k∈Z),你认为正确吗? 提示: 不正确. k=2n(n∈Z)时, 当 sin(kπ -α )=sin(2nπ -α )=sin(-α )=-sin α ; 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin(kπ -α )=sin[(2n+1)?π -α ]=sin(2nπ +π -α )= sin(π -α )=sin α . 3. 诱导公式的口诀“奇变偶不变, 符号看象限”中的“符号”是否与 α 的大小有关? 提示:无关,只是把 α 从形式上看作锐角,从而 2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π π π -α , -α , +α 分别是第一,三,四,二,一,二象限角. 2 2 [自测?牛刀小试] 1 1.(教材习题改编)已知 cos(π +α )= ,则 sin α 的值为( 2 1 A.± 2 C. 3 2 B. 1 2 3 2 )

D.±

1 1 解析:选 D cos(π +α )=-cos α = ,∴cos α =- , 2 2 ∴sin α =± 1-cos α =± 2.tan 690°的值为( A.- 3 3 ) B. 3 3
2
2

3 . 2

C. 3

D.- 3

解析:选 A tan 690°=tan(-30°+2?360°) =tan(-30°)=-tan 30°=- 3 . 3 )

sin α -cos α 3.(教材习题改编)若 tan α =2,则 的值为( sin α +cos α 1 A.- 3 C. 1 3 5 B.- 3 D. 5 3

解析:选 C

sin α -cos α tan α -1 2-1 1 = = = . sin α +cos α tan α +1 2+1 3

3 4.(教材习题改编)已知 tan α = 3,π <α < π ,则 cos α -sin α =________. 2 3 4 解析:∵tan α = 3,π <α < π ,∴α = π , 2 3 4 4 ∴cos α -sin α =cos π -sin π 3 3 =-cos π π 1 3 3-1 +sin =- + = . 3 3 2 2 2 3-1 2

答案:

10π ? 19π ?+tan?-13π ?=________. 5.计算 sin - 2cos?- ? ? ? 4 ? 3 ? 3 ? ? 4π ? 3π ? π? ? ? ? 解析:原式=sin?2π + ?- 2cos?4π + ?-tan?4π + ? 3 ? 4 ? 3? ? ? ? π? π? π ? ? =sin?π + ?- 2cos?π - ?-tan 3? 4? 3 ? ? π π 3 3 =-sin + 2cos - 3=- +1. 3 4 2 3 3 答案:- +1 2

同角三角函数关系式的应用

3

1 [例 1] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. 2 cos α -sin α [自主解答] (1)法一:

?sin α +cos α =1, ? 5 联立方程? 2 2 ?sin α +cos α =1, ② ?
1 由①得 cos α = -sin α , 5 将其代入②,整理得 25sin α -5sin α -12=0. ∵α 是三角 形内角,
2



?sin α =4, ? 5 ∴? 3 ? ?cos α =-5,

4 ∴tan α =- . 3

1 法二:∵sin α +cos α = , 5 1 ?1?2 2 ∴(sin α +cos α ) =? ? ,即 1+2sin α cos α = , 25 ?5? 24 ∴2sin α cos α =- , 25 24 49 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1+ = . 25 25 12 ∵sin α cos α =- <0 且 0<α <π , 25 ∴sin α >0,cos α <0,∴sin α -cos α >0. 7 ∴sin α -cos α = . 5

?sin α +cos α =1, ? 5 由? 7 ? ?sin α -cos α =5,
4 ∴tan α =- . 3

?sin α =4, ? 5 得? 3 ? ?cos α =-5,

4

sin α +cos α 2 2 cos α 1 sin α +cos α tan α +1 (2) 2 = = 2 = . 2 2 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α cos α -sin α 1-tan α 2 cos α
2 2

2

2

4 ∵tan α =- , 3

?-4?2+1 ? ? 1 tan α +1 ? 3? 25 ∴ = = =- . 2 2 2 cos α -sin α 1-tan α 4?2 7 ? 1-?- ? ? 3?
2

sin α -4cos α 保持本例条件不变,求:(1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +2sin α cos α 的值. 解:由例题可知 4 tan α =- . 3 sin α -4cos α (1) 5sin α +2cos α 4 - -4 3 tan α -4 8 = = = . 5tan α +2 7 ? 4? 5??- ?+2 ? 3? sin α +2sin α cos α (2)sin α +2sin α cos α = 2 2 sin α +cos α
2 2 2

16 8 - 9 3 tan α +2tan α 8 = = =- . 2 1+tan α 16 25 1+ 9
2

—————

—————————————— 同角三角函数关系式及变形公式的应用

sin α 2 2 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α cos α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α - cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1- sin α .
2 2 2 2 2 2 2

5

1.已知 sin α =2sin β ,tan α =3tan β ,求 cos α . 解:∵sin α =2sin β ,tan α =3tan β , ∴sin α =4sin β ,① tan α =9tan β .② 由①÷②得:9cos α =4cos β .③ 由①+③得 sin α +9cos α =4. 又 sin α +cos α =1, 3 6 2 ∴cos α = ,∴cos α =± . 8 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

诱导公式的应用

[例 2] (1)已知 cos?

?π +α ?= 3,求 cos?5π -α ?的值; ? 3 ? 6 ? ?6 ? ? ?

7 ? 3 ? (2)已知 π <α <2π ,cos(α -7π )=- ,求 sin(3π +α )?tan?α - π ?的值. 2 ? 5 ?

?π ? ?5π -α ?=π , [自主解答] (1)∵? +α ?+? ? 6 ? ? ? 6 ?
∴ 5π ?π ? -α =π -? +α ?. 6 ?6 ?

∴cos?

?5π -α ?=cos?π -?π +α ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

3 ?π ? =-cos? +α ?=- , 3 ?6 ? 即 cos?

?5π -α ?=- 3. ? 3 ? 6 ?

3 (2)∵cos(α -7π )=cos(7π -α )=cos(π -α )=-cos α =- , 5 3 ∴cos α = . 5 7 ? ? ∴sin(3π +α )?tan?α - π ? 2 ? ?

? ?7 ?? =sin(π +α )??-tan? π -α ?? ? ?2 ??

6

?π sin? -α ?2 ?π ? =sin α ?tan? -α ?=sin α ? ?2 ? ?π cos? -α ?2
cos α 3 =sin α ? =cos α = . sin α 5 —————

? ? ? ? ? ?

—————————————— 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求

(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整 理得最简形式. ? 2? 化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,

结构尽可能简单,能求值的要求出值.

2.(1)已知 si n α 是方程 5x -7x-6=0 的根,且 α 是第三象限角,则 3π ? ?3π ? ? 2 sin?-α - ?cos? -α ?tan ? π -α ? 2 ? ? 2 ? ? =( π π ? ? ? ? cos? -α ?sin? +α ? ?2 ? ?2 ? A. 9 16

2

)

9 B.- 16 D. 2sin? π +α ? cos? 3 4

3 C.- 4 (2) 设 f(α ) =

π -α ? -cos? π +α ? ?3π +α ?-sin2?π +α ? 2 1+sin α +cos? ? ?2 ? ? 2 ? ? ?

?sinα ≠-1? , 则 ? 2? ? ?

f?-

? 23π ?=_ _______. 6 ? ? ?
3 2 解析:(1)选 B ∵方程 5x -7x-6=0 的根为 x1=2,x2=- , 5 3 4 3 由题知 sin α =- ,∴cos α =- ,tan α = . 5 5 4 cos α ? -sin α ? tan α 9 2 ∴原式= =-tan α =- . sin α cos α 16 ? -2sin α ? ? -cos α ? +cos α (2)∵f(α )= 2 2 1+sin α +sin α -cos α = 2sin α cos α +cos α cos α ? = 2 2sin α +sin α sin α ? 1+2sin α ? 1 = , 1+2sin α ? tan α
2

7

1 1 1 ? 23π ?= ∴f?- = = = 3. ? 6 ? ? ?-23π ? tan?-4π +π ? tanπ tan? ? 6 ? 6? 6 ? ? ? ? 答案: 3 诱导公式在三角形中的应用

[例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B), 求△ABC 的三个内角.

?sin A= 2sin B [自主解答] 由已知得? ? 3cos A= 2cos B ②
① +② 得 2cos A=1 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= , 2 2
2 2 2



(1)∵当 cos A=

π π 又 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= , 4 6 7π ∴C=π -(A+B)= . 12 (2)∵当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

又 A、B 是三角形的内角, 3π 5π ∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 ————— 1.三角形中的诱导公式 在三角形 ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π -C)=sin C, cos(A+B)=cos(π -C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π -C)=-tan C, ——————————————

C ?A B? ?π C? sin? + ?=sin? - ?=cos , 2 ?2 2? ? 2 2? C ?A B? ?π C? cos? + ?=cos? - ?=sin . 2 ?2 2? ? 2 2?

8

2.求角的一般步骤 求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.

3.在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内 角. 解:∵sin A+cos A= 2, ∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1. ∵A 为△ABC 的内角, π π ∴2A= ,∴A= . 2 4 ∵ 3cos A=- 2cos(π -B), π ∴ 3cos = 2cos B, 4 ∴cos B= 3 . 2

π ∵0<B<π ,∴B= . 6 7π ∵A+B+C=π ,∴C= . 12 π π 7π ∴A= ,B= ,C= . 4 6 12

? 1 个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变,符号看象限. ? 1 个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了. ? 3 种方法——三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan ? 3 个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负—脱周—化锐.
9
2 2 2 2 2

π =?. 4

特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的 平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区

3π ? 3 ? [典例] (2011?重庆高考)若 cos α =- ,且 α ∈?π , ?,则 tan α =________. 2 ? 5 ? 4 2 [解析] 依题意得 si n α =- 1-cos α =- , 5 sin α 4 tan α = = . cos α 3 [答案] 4 3

[易误辨析] 1.解答本题时,常会出现以下两种失误 (1)忽视题目中已知条件 α 的范围,求得 sin α 的两个值而致误; (2)只注意到 α 的范围,但判断错 sin α 的符号而导致 tan α 的值错误. 2.由同角三角函数的平方关系求 sin α 或 cos α 时,要注意以下两点 (1)题目中若没有限定角 α 的范围,则 sin α 或 cos α 的符号应有两种情况,不可漏 掉. (2)若已给出 α 的范围,则要准确判断在给定范围内 sin α 或 cos α 的符号,不合题 意的一定要舍去. [变式训练] 3π ? ? 1.(2013?福州模拟)已知 α ∈?π , ?,tan α =2,则 cos α =________. 2 ? ?

?tan α =sin α =2, ? cos α 解析:依题意得? 2 ?sin α +cos2α =1, ?
因此 cos α =- 答案:- 5 5 5 . 5

3π ? 1 ? 2 由此解得 cos α = ,又 α ∈?π , ?, 2 ? 5 ?

2. (2013?泰州模拟)若 θ ∈?

?π ,π ?, 2θ = 1 , cos θ -sin θ 的值是________. 则 ? sin 16 ?4 2?
10

15 2 解析:(cos θ -sin θ ) =1-sin 2θ = . 16 ∵ π π 15 <θ < ,∴cos θ <sin θ .∴cos θ -sin θ =- . 4 2 4 15 4

答案: -

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 3 1.α 是第一象限角,tan α = ,则 sin α =( 4 A. 4 5 B. 3 5 )

4 C.- 5

3 D.- 5

sin α 3 2 2 解析:选 B tan α = = ,sin α +cos α =1,且 α 是第一象限角,所以 sin cos α 4 3 α = . 5

?π ? 3 ?π ? 2.若 sin? +α ?= ,则 cos? -α ?=( ?6 ? 5 ?3 ?
3 A.- 5 C. 4 5 B. 3 5

)

4 D.- 5

?π ?π ?? ?π ? ?π ? 3 解析:选 B cos? -α ?=cos? -? +α ??=sin? +α ?= . ?? ?3 ? ?6 ? 5 ?2 ?6
3.(2013?安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin x+1=( A.0 C. 4 3
2 2 2

)

B. D.

9 5 5 3
2

2sin x+cos x 2tan x+1 9 2 解析:选 B sin x+1= = . 2 2 = 2 sin x+cos x tan x+1 5 sin? π -α ? cos? 2π -α ? ? 31 ? 4.已知 f(α )= ,则 f?- π ?的值为( cos? -π -α ? tan α ? 3 ? A. 1 2 1 B.- 3 )

11

1 C.- 2

D.

1 3

sin α cos α 解析:选 C ∵f(α )= =-cos α , -cos α tan α π? ? 31 ? ? 31 ? ? ∴f?- π ?=-cos?- π ?=-cos?10π + ? 3? ? 3 ? ? 3 ? ? π 1 =-cos =- . 3 2 5.(2013?西安模拟)已知 2tan α ?sin α =3,- A. C. 3 2 1 2 B.- 3 2 π <α <0,则 sin α =( 2 )

1 D.- 2
2

2sin α 解析:选 B 由 2tan α ?sin α =3 得, =3, cos α π 2 即 2cos α +3cos α -2=0,又- <α <0, 2 1 解得 cos α = (cos α =-2 舍去), 2 故 sin α =- 3 . 2
2

6.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5

)

解析:选 B 由题意知:sin θ +cos θ =- , 2 sin θ cos θ = .∵(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ , 4 ∴ =1+ ,解得 m=1± 5,又 Δ =4m -16m≥0, 4 2 ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

m

m

2

m2

m

2

?π sin? +α ?2 7.化简 cos?

??cos?π -α ? sin? π -α ? ?cos?π +α ? ? ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ?
π +α ? + sin? π +α ?

=________.

cos α ?sin α sin α ? -sin α ? 解析:原式= + -cos α -sin α

12

=-sin α +sin α =0. 答案:0 8.若 cos(2π -α )= 5 ? π ? ,且 α ∈?- ,0?,则 sin(π -α )=________. 3 ? 2 ?
2 2

解析: 由诱导公式可知 cos(2π -α )=cos α , sin(π -α )=sin α , sin α +cos α 由 2 =1 可得,sin α =± , 3 2 ? π ? ∵α ∈?- ,0?,∴sin α =- . 3 ? 2 ? 2 答案:- 3 9.已知 sin(π -α )-cos(π +α )= 2? π ? ? <α <π ?.则 sin α -cos α =________. 3 ?2 ? 2 , 3

解析:由 sin(π -α )-cos(π +α )= 得 sin α +cos α = 2 ,① 3

2 将①两边平方得 1+2sin α ?cos α = , 9 7 故 2sin α cos α =- . 9

? 7? 16 2 ∴(sin α - cos α ) =1-2sin α cos α =1-?- ?= . ? 9? 9
π 又∵ <α <π ,∴sin α >0,cos α <0. 2 4 ∴sin α -cos α = . 3 4 答案: 3 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10 . 已 知 sin(3π + θ ) = 1 cos? π +θ ? , 求 3 cos θ [cos? π -θ ? -1] +

cos? θ -2π ? 3π ? ? ?3π ? sin?θ - ?cos? θ -π ? -sin? +θ ? 2 ? ? ? 2 ? 1 解:∵sin(3π +θ )=-sin θ = , 3 1 ∴sin θ =- . 3

的值.

13

∴原式= cos θ ? = = =

-cos θ cos θ + -cos θ -1? cos θ ?? -cos θ ?

+cos θ

1 cos θ + 2 1+cos θ -cos θ +cos θ 1 1 2 + = 2 1+cos θ 1-cos θ 1-cos θ 2 2 = =18. 2 sin θ ? 1?2 ?-3? ? ?
2

11.已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ ,θ ∈(0,2π ), 求: sin θ cos θ (1) + 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. 解:(1)原式= sin θ cos θ + sin θ -cos θ sin θ 1- cos θ
2 2 2



sin θ cos θ + sin θ -cosθ cos θ -sin θ
2 2

2

sin θ -cos θ = =sin θ +cos θ . sin θ -cos θ 由条件知 sin θ +cos θ =
2

3+1 , 2



sin θ cos θ 3+1 + = . sin θ -cos θ 1-tan θ 2
2 2

(2)由 sin θ +2sin θ cos θ +cos θ =1+2sin θ cos θ =(sin θ +cos θ ) ,得 m=
2

3 . 2

?sin θ +cos θ = 3+1, ? 2 (3)由? ?sin θ ?cos θ = 43 ? ?sin θ = 23, ? ? 1 ?cos θ =2, ?
1 ?sin θ =2, ? 或? 3 ?cos θ = 2 . ?



14

π π 又 θ ∈(0,2π ),故 θ = 或 θ = . 6 3

? π π? ?π ? 12.是否存在 α ∈?- , ?,β ∈(0,π ),使等式 sin(3π -α )= 2cos? -β ?, 2 2? ? ?2 ?
3cos(-α )=- 2cos(π +β )同时成立? 若存在,求出 α ,β 的值,若不存在,请说明理由. 解:假设存在 α 、β 使得等式成立,即有

?sin? 3π -α ? = 2cos?π -β ?, ? ?2 ? ? ? ? ? 3cos? -α ? =- 2cos? π +β ? , ② ?
由诱导公式可得



?sin α = 2sin β , ? ? 3cos α = 2cos β , ④
③ +④ 得 1 2 2 2 sin α +3cos α =2,解得 cos α = . 2 π π ? π π? 又∵α ∈?- , ?,∴α = 或 α =- . 4 4 ? 2 2? π 3 将 α = 代入④得 cos β = .又 β ∈(0,π ), 4 2 π ∴β = ,代入③可知符合. 6 π 3 将 α =- 代入④得 cos β = .又 β ∈(0,π ). 4 2 π ∴β = ,代入③可知不符合. 6 π π 综上可知,存在 α = ,β = 满足条件. 4 6
2 2



1.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°=( A. C. 1-k
2

) 1-k
2

k k
1-k
2

B.- D.-

k k
1-k
2

解析:选 B ∵cos(-80°)=cos 80°=k, sin 80°= 1-k ,
15
2

∴tan 80°=

1-k

2

k

,tan 100°=-tan 80°=- ) B. 2 2 3 2

1-k

2

k

.

2.sin 585°的值为( A.- 2 2 3 2

C.-

D.

解析: A 注意到 585°=360°+180°+45°, 选 因此 sin 585°=sin(360°+180° +45°)=-sin 45°=- 2 . 2 )

3.若 cos α +2sin α =- 5,则 tan α =( A. 1 2 B.2 D.-2

1 C.- 2

解析:选 B ∵cos α +2sin α =- 5,结合 sin α +cos α =1 得( 5sin α +2) 2 5 5 =0,∴sin α =- ,cos α =- , 5 5 ∴tan α =2.

2

2

2

4. 求值: sin(-1 200°)?cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050)°+tan 945°. 解:原式=-sin 1 200°?cos 1 290°+cos 1 020°? (-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°?cos 210°+cos 300°?(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)?(-cos 30°)+cos 60°?sin 30°+tan 45° = 3 3 1 1 ? + ? +1=2. 2 2 2 2
2

5.若 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 5x -x+a=0(a 是常数)的两根,θ ∈(0,π ), 求 cos 2θ 的值. 1 解:∵由题意知:sin θ +cos θ = , 5 1 2 ∴(sin θ +cos θ ) = . 25 24 ∴sin 2θ =- , 25 24 即 2sin θ cos θ =- <0, 25 则 sin θ 与 cos θ 异号.
16

1 π 3π 3π 又 sin θ +cos θ = >0,∴ <θ < ,∴π <2θ < . 5 2 4 2 7 2 故 cos 2θ =- 1-sin 2θ =- . 25

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