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河北省定州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)


河北定州中学高二期中考试 数学(文)试题
评卷人 得分 一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分 1.函数 y ? cos( x ? ? ? ) 是奇函 数,则 ? 的一个可能取值为( ) 3 ? ? ? 2? A. ? B. ? C. D. 3 2 3 6 2.如图所示,已知 ABCD 是平行四边形,点 O 为空间任 意一点,设

?<

br />
OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则 OD 用 a, b, c 表示为(
A. a ? b ? c D B.



a?b?c
C

C.

?a?b?c

D.

?a?b?c

A

B

O 3.已知 sin ? ? 2cos ? ? 0 ,则 tan 2? ?

4 3 D. ? 5 5 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BA ? 0 AB ? BC ? AC AB ? AC ? BC 4.给出下面四个命题:①; ;② ;③ ; ??? ? ④ 0 ? AB ? 0 .其中正确的个数为( )
A. B. C. ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

4 3

2 3

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象( )

? ? 单位 B.向右平移 单位 4 4 ? ? C.向左平移 单位 D.向右平移 单位 8 8 4 6.若 sin ?? ? ? ? ? ,则 ? 角的终边在 5
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第一、 四象限 D.第三、四象限 等于 A 、 ( ) B、 ?

DB ?M 7. 平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O , M 是 OC 的中点, 若 AB ? ? 2, 4 ? , AC ? ?1,3? , 则A

??? ?

????

? ? ? ?? ? ? ?

1 2

1 2

C、3

D、 ?3 )

8.下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是( A. y ? sin 2 x B. y ? cos

x 2 1 ? tan2 x C.y=sin2x+cos2x D.y= 1 ? tan2 x 9.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x ,下列命题中正确的是( A、 ?x ? R , f ( x) ? 2 B、 ?x ? R , f ( x) ? 2



1

C、 ?x ? R , f ( x) ? 2

D、 ?x ? R , f ( x) ? 2

10.设命题 p : 函数 y ? 2sin ? x ? 列判断正确的是( A. p 为真 ) B. ? q 为假

? ?

??

? ? 是奇函数;命题 q : 函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 2 对称.则下 2?
C. p ? q 为假 D. p ? q 为真

11. (2015 秋?茂名期末)已知角 α 在第三象限,且 cosα =﹣ ,则 sinα 的值为( ) A. B.﹣ C. D.﹣

12.将函数 y ? sin(6 x ? 数的一个对称中心是( A. (

?
4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移


? 个单位,得到的新函 8

?
2

, 0)

B. (

?
4

, 0)

C. (

?
9

, 0)

D. (

?
16

, 0)

2

评卷人

得分 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分

13.已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 ,则 sin 2? ? 5



14.有下列说法: (1)函数 y=﹣ cos 2 x 的最小正周期是 π ;

k? ? ,k ?Z?; 2 ? ?? ? ?? ? (3)函数 y ? 4 sin ? 2 x ? ? 的一个对称中心为 ? ,0 ? 3? ?6 ? ? ( 4 )设△ABC 是锐角三角形,则点 P ( sin A ? cos B , cos ( A+B ) )在第四象限则正确命题的序号是
(2)终边在 y 轴上的角的集合是 ?? | ? ?

? ?

_________ . 15. cos

? ? ? 16.若向量 a、b 的夹角为 150? , a ? 3 ,
评卷人 得分

2 ?= 3

.

? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?

三、解答题:共 8 题 共 70 分 17.设关于 x 的函数 y ? ?2 sin x ? 2a sin x ? (2a ? 1) 的最大值为 f ( a )
2

(1)求 f ( a ) 的表达式 (2)确定使 f ( a ) =5 的 a 的值,并对此时的 a ,求 y 的最小值

18.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合而终边经过点 P(1, 2) . (1)求 tan ? 的值; (2)求

4sin ? ? 2 cos ? 的值. 5cos ? ? 3sin ?

1 12 ? cos? ? , cos(? ? ? ) ? .且0 ? ? ? ? ? 7 13 2 (Ⅰ)求 cos2? 的值. (Ⅱ)求 cos? 的值.
19.已知
3

20. (本小题满分 12 分)在直角坐标 xOy 平面内,已知点 F (1,0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 OP ? OF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 ? 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 ? 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , ,试判断 ?1 ? ?2 是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 面积 S ? (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f ( x) ? 3 sin

3 ab cos C 2

x x x cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,及取得最大值时角 B 的值. 2 2 2

22. O 为平面直角坐标系 xoy 的坐标原点,点 A (4,0), B(4,4), C(2,6), 求 AC 和 OB 交点 P 的坐标.

23. (本大题 满分 12 分)已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

?

? ? ? ? ? ? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?
(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

4

24.已知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) . 6 3 (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f (C ) ? 1 , c ? 2 3 , sin A ? 2sin B ,求△ABC 的 面积.

?

?

5

参考答案 1.C 【解析】 当? ? 2.A

?
6

时, y ? cos( x ?

?
6

?

?
3

) ? cos( x ?

?
2

) ? ? sin x ,函数为奇函数,满足题意.

??? ? ???? ? ? ? ? ? AB ? DC ,? 利用加减法的向量的变形, b ? a ? c ? d, 【解析】解:因为平行四边形 ABCD 中, ? , ? ?? ? ? ? ? d =-b+a +c
选择 A 3.A 【解析】 试题分析:因 为 sin ? ? 2cos ? ? 0 ,则 tan ? =-2,那么 tan 2? ?

2 tan ? 4 4 ?? ? ,故答案为 A. 2 1 ? tan ? ?3 3

考点:二倍角的正切公式 点评:主要是考查了同角公式和二倍角的公式的运用,属于基础题。 4. B 【 解 析 】 ①对.②对.③ AB ? AC ? CB ,错.④ 0 ? AB ? 0 ,错. 5.D 【解析】 试题分析 :将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?

? ? 单位得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,故选 D 4 8

考点:本题考查了三角函数的图象变换 点评:三角函数平移变换中,将 x 变换为 x+ ? ,这时才用“正向左,负向右”法则解决,属基础题 6.D 【解析】 试题分析:因为 sin ?? ? ? ? ? -sin ? ?

4 4 , 所以 sin ? ? ? ,所以 ? 角的终边在第三、四象限。 5 5

考点:诱导公式;三角函数值的符号。 点评:本题主要考查三角函数值符号的判断,属于基础题型。 7.C 【解析】 试题分析:如图,

∵ABCD 为平行四边形,且 AC 与 BD 交于点 O,M 为 OC 的中点,∴ AM ?

???? ?

3 3 9 (1,3) ? ( , ) , 4 4 4 ???? ? ???? ? ??? ? 3 9 5 7 则 BM ? AM ? AB ? ( , ) ? (2, 4) ? (? , ? ) , 4 4 4 4
又 AC =(1,3) ,∴ AM ?
6

??? ?

???? ?

3 ???? AC , 4

又 AB =(2,4) ,∴ AD ? BC ? AC ? AB ? (1,3) ? (2, 4) ? (?1, ?1) , 则 AD ? BM = (?1, ?1) ? ( ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

???? ???? ?

5 7 5 7 , ? ) =(﹣1)×( ? )+(﹣1)×( ? )=3. 4 4 4 4

故选 C. 考点:数量积的运算. 8.D 【解析】 试 题 分 析 : f ? ?x ? ? sin ? ?2x ? ? ? sin 2x ? ? f ? x ? , y ? sin 2 x 是 最 小 正 周 期 为 π 的 奇 函 数 ;

x 2? x ? x? f ? ? x ? ? cos ? ? ? ? cos , T ? ? 4? , y ? cos 是 最 小 正 周 期 为 4? 的 偶 函 数 ; 1 2 2 ? 2? 2 ?? ? f ? ?x ? ? ? sin x ? cos x , y ? sin x ? cos x ? 2 sin ? 2 x ? ? ,最小正周期为 ? ,非奇非偶函数. 4? ?

? ? ? ? cos 2 x ? x ? ? k? , k ? Z ? ,则函数是最小正周期为 π 的偶函数. 2 ? ? 1 ? tan x 考点:1.诱导公式;2.函数的奇偶性;3.函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的周期.
y? 1 ? tan x
2

2

9.B 【 解 析 】 解 : 因 为 函 数 f ( x) ?

3 sin x ? c ox s?

?x ? R , f ( x) ? 2 ,其余不成立。
10.C 【解析】 试题分析: 因为 y ? 2sin ? x ?

2 s ixn ?( , 可 ) 知函数的最大值为 2,因此说 6

?

? ?

??

所以命题 p 是假命题, 由余弦函数的性质可知命题 q ? ? 2cos x 是偶函数, 2?

是假命题,选项 C 正确. 考点:1.三角函数性质;2.逻辑联结词与命题. 11.B 【解析】 试题分析:根三角函数同角的关系式进行求解. 解:∵角 α 在第三象限,且 co sα =﹣ , ∴sinα <0,且 sinα =﹣ =﹣ ,

故选:B 考点:同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 12.A 【解析】

y ? sin( 6x ?
试题分析:函数

?

) 4 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到图象的解析式为

y ? sin(2 x ?

?

4 ,再向右平移

)

y ? sin[2( x ? ) ? ] 8 4 =sin2x, 个单位得到图象的解析式为

?

?

? ? ( , 0) 当 x= 2 时,y=sinπ =0,所以 2 是函数 y=sin2x 的一个对称中心.故选 A.
考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的对称性 . 13. ?

24 25
7

【解析】

试题分析:∵ sin ? ?

3 4 24 ,且 ? 为第二象限角,? cos ? ? ? ,∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? . 5 5 25

考点:1、同角三角函数基本关系式;2、二倍角公式. 14. (1) (3) (4) 【解析】

2? ? ? ? ? ? ,正确; (2)终边在 y 轴上角的集合是 ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? ,错误; 2 2 ? ? ?? ? ? k? ? ? ?? ? (3)函数 y ? 4 sin ? 2 x ? ? 的对称中心 ? (4)由于三角形 ? ,0 ? ,当 k ? 0 时,对应 ? ,0 ? ,正确; 3? ?6 ? ? ? 2 6 ?
试题分析: (1)周期 T ? 为锐角三角形,因此 A ? B ?

?
2

,因此得 A ?

?

?? ? ? B ,?sin A ? sin? ? B ? ? cos B , cos? A ? B ? ? 0 , 2 ?2 ?

正确. 考点:三角函数的周期和对称中心. 15. ?

1 2

【解析】 试题分析: cos ? ? cos ? ? ? 考点:特殊角的三角函数值. 16.2 【解析】 试题分析: 2a ? b

2 3

? ?

??

? 1 ? ? ? cos ? ? . 3? 3 2

?

?

2

? ? ? 2a ? b

?

?

2

? 2 ?2 ? ? ? ? 3 ? 4a ? b ? 4a? b ? 12 ? 16 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? 4 ? 2a ? b ? 2 2

考点:向量的模及向量的数量积运算 17. 【解析】

18. (1)2(2)

6 11
4分 10 分

【解析】 试题分析:解: (1) tan ? ? 2 .

4sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 6 ? ? . (2) 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3 tan ? 11

考点:三角函数的化简求值 点评:解决的关键是利用三角函数定义和同角关系式来得到,属于基础题。 19.(1) 【解析】 试题分析:(1)

-

47 49

;(2)

12 ? 20 3 91



cos? ?

1 7

?sin 2? ? cos 2 ? ? 1......................1

8

4 3 ........................2 7 ?cos2? ? cos2? ? sin 2 ? .............3 47 =.....................4 49 1 12 (2) ?cos? ? cos(? - ? ) ? 7 13 5 4 3 sin( ? ? ? ) ? ........6 ?sin ? ? 13 7 ?cos? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos?cos(? ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ? ) 1 12 4 3 5 ? ............7 ? ? ? 7 13 7 13 ? 12 ? 20 3 ....................8 91
?sin ? ?
考点:本题主要考查三角函数恒等变换,三角函数求值。 点评:典型题,运用三角函数和差倍半公式,化简、求值、证明,是高考常考题型,注意角的配凑技巧, 如本题中 ? ? ? ? (? ? ? ) 。 20. (1) y 2 ? 4 x ; (2) ?1 ? ?2 ? 0 ,理由见解析. 【解析】 试题分析: (1)设 P ?x ,y ? ,从而利用 OP ? OF ? FP ? FQ 求得轨迹方程; (2) 设 F 过的直线为 x ? ty ? 1 ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 得 出 y1 ? y2 与 y1 y2 的 值 , 再 利 用

MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得到 ?1 , ?2 关于 y1 , y2 的表达式,从而求得 ?1 ? ?2 的值. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 试题解析: (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? ?1, y ? , F ?1,0 ? ,由 OP ? OF ? FP ? FQ 得 y 2 ? 4 x
(2)设 F 过的直线为 x ? ty ? 1 , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? ?1, ? 由?

? ?

2? ? t?

? x ? ty ? 1 ? y ? 4x
2

得 y ? 4ty ? 4 ? 0 ,
2

y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4 .

又 MA ? ?1 AF ,得 ?1 ? ?1 ? 所以 ?1 ? ?2 ? ?2 ?

2 ty1

MB ? ?2 BF 得 ?2 ? ?1 ?

2 , ty2

2? 1 1 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ??0 t ? y1 y2 ? t ? y1 y2 ?

考点:1、轨迹方程;2、直线与抛物线的位置关系;3、平面向量的数量积. 【方法点睛】圆锥曲线的定值解答主要从两个方面考虑: (1)从特殊入手,求出定点(定值) ,再证明这个 点(值)与变量无关; (2)直接推理、计算,将需要考察的相关量用设定的或题中给出的参数表示出来, 再将欲证的这些几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的式子,从而得到定值(定点) . 21. (1) C ?

? ? 3 ; (2) B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 3 3 2
9

【解析】 试题分析: (1)由 S= 0< C < ? ,即得 C ?

? 1 x x x 3 sin cos ? cos 2 ? sin( x ? ) ? , 6 2 2 2 2 ? ? 5? ? 根据 C= 得到 ? B ? ? , 6 6 6 3 ? ? ? 3 当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 6 2 3 2 3 1 1 试题解析: (1)由 S= abs1n C 及题设条件得 abs1n C = abcos C 2 2 2 即 s1n C = 3 cos C ,? tan C = 3 , 2分
(2)首先化简 f ( x) ?

? . 3

3 1 1 abs1nC 及题设条件得 abs1nC= abcosC,即 s1nC= 3 cosC,tanC= 3 ,根据 2 2 2

1分

? 0< C < ? ,? C ?
(2) f ( x) ?

? 3

4分

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? 7分 sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin( x ? ) ? , 9分 6 2 2? ? ? 5? ? ) ∴ ? B? ? ∵C = ∴ B ? (0, (没讨论,扣 1 分) 10 分 3 6 6 6 3 ? ? ? 3 当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 12 分 6 2 3 2
考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角形的面积;3.三角函数的图象和性质. 22. P(3,3) 【解析】略 23. (1)19(2) ? 【解析】

1 ,方向相反 3

试题分析:由 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) 计算出 ka ? b 与 a ? 3b 的坐标,根据平行垂直的位置关系得到坐标满 足的关系式,求解出 k 值,判断向量 b ? ? a 同向还是反向,需要判断系数 ? 的正负 试题解析: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 ; (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? , 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3
?
6
, k ? Z 时,函数 f ( x) 取得最大值 2. (Ⅱ) S ? 2 3 .

考点:1.向量的坐标运算;2.向量共线垂直的判定 24. (Ⅰ) x ? k? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 展开化一,化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,然后利 6 3
10

?

?

用正弦函数的最大值,即可求得函数 f ( x) 取得最大值 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (C) ? 2sin(2C ? ) ? 1 ,即 6 ? 1 ? sin(2C ? ) ? ,这是一个特殊值,可求得 C ? .因为 sin A ? 2 sin B ,根据正弦定理,得 a ? 2b .这样得 6 2 3 到一个关于 a , b 的方程, 再用余弦定理列一个关于 a , b 的方程, 解方程组, 便可得 a , b 的值 , 从而可求出△ABC 的面积. ? ? 3 1 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 6 3 2 2 2 2

?

? 3 sin 2x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 2 分 6
当 2x ?

?

?

? ? 1 (Ⅱ)由 f (C) ? 2sin(2C ? ) ?1 ,得 sin(2C ? ) ? , 6 6 2 ? ? ? ? 5? ? ∵ ? 2C ? ? 2? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? . 6 分 6 6 6 6 6 3 因为 sin A ? 2sin B ,根据正弦定理,得 a ? 2b , 8 分 由余弦定理,有 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,
则 (2 3)2 ? 4b2 ? b2 ? 2 ? 2b2 cos

6

? 2k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

6

, k ? Z 时,函数 f ( x) 取得最大值 2. 4 分

?
3

? 3b2 ,

解得 b ? 2 , a ? 4 , 10 分 1 1 ? 故△ABC 的面积 S?ABC ? ab sin C ? ? 4 ? 2 ? sin ? 2 3 . 12 分 2 2 3 考点:1、三角恒等变换;2、三角函数的最值;3、正弦定理与余弦定理.

11


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