当前位置:首页 >> 数学 >>

11、2两直线的位置关系


七彩教育网 http://www.7caiedu.cn
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

11.2 两直线的位置关系
【知识网络】 1.能根据斜率判定两条直线的平行与垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 【典

型例题】 [例 1](1)已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂足为(1,p) ,则 m-n+p 的值为 ( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 2-m 1 6 2 (2)已知直线 y=- x- 和直线 y= x- m 平行,则 m 的值为 ( ) m m 3 3 A.-1 或 3 B.1 或-3 C. 3 D.-1 (3)点 A(4,0)关于直线 l:5x+4y+21=0 的对称点是( ) A. (-6,8) B. (-8,-6) C. (-6,-8) D. ( 6,8) (4)若直线 y=kx+3 与 y= 1 x-5 的交点在直线 y=x 上,则 k= k .

(5)过点 P(-2,1)且到原点距离最远的直线 l 的方程是 [例 4] 两条平行直线分别过点 P(-2,-2) ,Q(1,3) ,它们之间的距离为 d,如果这两 条直线各自绕着 P、Q 旋转并且保持互相平行。 (1) 求 d 的变化范围; (2) 用 d 表示这两条直线的斜率; (3) 当 d 取最大值时,求两条直线的方程。

【课内练习】 1.若直线 5x+4y=2m+1 与直线 2x+3y=m 的交点在第四象限,则 m 的取值范围是 ( ) A.m<2 B.m > 3 2 3 C.m<- 2 3 D.- <m<2 2

2.已知点 P(-1,2)在直线 l 上的射影为点 Q(1,-3) ,则直线 l 的方程为( ) A.2y+5x+1=0 B.5y-2x+17=0 C.5y+2x-8=0 D.2y-5x+11=0 3.已知直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 相互平行,则它们之间的距离是 ( ) A.4 2 13 B. 13 C. 5 26 13 D. 7 26 13

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

4.△ABC 的三边 a、b、c 分别对应角 A、B、C,若 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列, 则两直线 l1:xsin2A+ysinA=a 与直线 l2:xsin2B+ysinC=c 的位置关系是( ) A.不垂直的相交 B.平行 C.垂直相交 D.重合 5.直线 2x+3y+1=0 关于直线 x-y-1=0 的对称直线方程为 . 6.直线 l1:2x-5y+20=0 和 l2:mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数 m 的 值为 . 7.已知直线 l 经过点 P(1,2) ,且与 A(2,3)和 B(4,-5)的距离均为 d,则 d 的值 为 . 8.三条直线 l1:x+y+a=0,l2:x+ay+1=0,l3:ax+y+1=0 能构成三角形,求实数 a 的取值范 围。

9.过 P(0,1)作直线 l,交直线 l1:x-3y+10=0 于点 A,交直线 l2:2x+y-8=0 于点 B.若 点 P 平分线段 AB,试求直线 l 的方程。

10.已知函数 y=k∣x∣及 y=x+k(k>0 且 k≠1) (1) 求两函数图象的交点坐标; (2) 若两函数图象能围成三角形,求 k 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,求围成三角形的面积。

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

11.2 两直线的位置关系 A组
1.过点 P(-2,3)且与原点的距离为 2 的直线共有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.若直线 3x-2y=5,6x+y=5 与直线 3x+my=1 不能围成三角形,则 m 的值是( ) 1 A. 2 B.-2 1 C. 或-2 2 1 D. 或±2 2

3.如果点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 及 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值 是 ( ) A.-4 B.4 C.-5 D.5 4 .与直线 2x - y+ 3=0 垂直,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 2 的直线方程 是 . 5.函数 y= x2+9 + x2-8x+41 的最小值是 . 6.已知点 B(-1,2) ,在第二象限的∠ABC 的两边 AB、BC 的斜率分别为-1 和-7,求 ∠ABC 的平分线的方程.

7.在直线 2x-y-4=0 上求一点 P,使它到两定点 A(4, 1) 、B(3,-4)距离之差最大.

8.已知点 P(a,b)在 x、y 轴上的射影分别为点 A、B, (1)求直线 AB 的方程; (2)求过点 P 且平行于 AB 的直线 l 的方程; (3)求过点 P 且垂直于 AB 的直线 m 的方程.

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

B组
1.若 A={(x,y)| 值为 4 A.- 3 ( ) B.4 4 C. 3 4 D.- 或 4 3

y ?3 ? 3 ,x,y∈R},B={(x,y)|4x+ay=16,x,y∈R},若 A∩B=φ ,则实数 a 的 x ?1

2.直线 y+(m2-2)x+1=0 与直线 y-x+m=0 有公共点,则 ( ) A.m≠1 B.m≠±1 C.m≠-1 D.m∈R 3.在直角坐标系 xoy 中,已知△AOB 三边所在直线方程分别为:x=0 ,y=0 ,2x+3y=30,则△ AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是 ( ) A.95 B.91 C.88 D.75 4.三条直线 x+3y-1=0,mx-6y+5=0,nx+my+1=0 两两相交,则 m、n 应满足的条件 是 . 5.等腰直角三角形的斜边所在的直线方程是 3x-y+5=0,直角顶点是(4,-1) ,则此三 角形在第一象限的顶点坐标是 . 6.若直线 l1:ax+4y-20=0,l2:x+ay-b=0,当 a、b 满足什么条件时,直线 l1 与 l2 分别相交? 平行?垂直?重合?

7.已知三点 P(1,2) ,Q(2,1) ,R(3,2) ,过原点作一直线,使得 P、Q、R 到此直线 的距离的平方和最小,求此直线方程.

8.已知两定点 A(2,5) ,B(-2,1) ,M(在第一象限)和 N 是过原点的直线 l 上的两个 动点,且|MN|=2 2 ,l∥AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标。

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

11.2 两直线的位置关系
【典型例题】 例 1(1)B.提示:由斜率关系求出 m,再将点的坐标代入直线方程,求出 n,p. (2)D.提示:两直线斜率相等且截距不等. (3)C.提示:对称点与 A 点之间的连线被直线 l 垂直平分. 3 (4) .提示:联列方程组. 5 (5)y= 1 x+2.提示:直线 l 与 OP 垂直. 2

例 2、因为点 P 是 l 与 y 轴及 l′的公共点,在 2x+y-1=0 中,令 x=0,得直线 l 与 y 轴的 交点为 P(0,1) . 又因为 0<α 、β <90°且 cosα =sinβ 得α 与β 互余,进而 l⊥l′,l′的斜率为-2, l 的斜率为 1 . 2 1 x+1. 2

故直线 l 的方程为 y=

例 3、 【解法一】以 M 点为坐标原点,BC 为 x 轴,建立坐标系(如图) , 令∣MC∣=t,则 A(-t,2t)B(-t,0)C(t,0) kAM=-2,kBN= 1 2 ① ② y A N B OM x C

直线 BN 的方程为:x-2y+t=0 直线 AC 的方程为:x+y-t=0 t 2t ①②联列解得点 N( , ) 3 3

∴kMN=2, 而 kAM=-2, ∴∠CMN=∠BMA 【解法二】以点 B 为坐标原点,BC 为 x 轴,建立坐标系 令∣BC∣=2t,则 A(0,2t)M(t,0)C(2t,0) 1 kAM=-2, kBN= 2 直线 BN 的方程为:x-2y =0 直线 AC 的方程为:x+y-2t=0 4t 2t ①②联列解得点 N( , ) 3 3 ① ②

y A N OB M x C

∴kMN=2, 而 kAM=-2, ∴∠CMN=∠BMA 例 4、 (1)解法一 设过点 P(-2,-2)的直线 l1 方程为: Ax+By+C1=0,过点 Q(1,3) 的直线 l2 方程为 Ax+By+C2=0,由于点 P、Q 在直线上,得-2A-2B+C1=0,A+3B+C2=0, |C1-C2| |3A+5B | 两式相减得 C1-C2=3A+5B,两直线间的距离为 2 2 = , A +B A2+B2 即: (d2-9)A2-30AB+(d2-25)B2=0 (※) A A ① 当 B≠0 时,两直线斜率存在,有(d2-9) ( )2-30( )+d2-25=0 B B

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

由 d>0 及△≥0 得: (-30)2-4(d2-9) (d2-25)≥0 从而 0<d≤ 34 ② 当 B=0 时,两直线分别为 x=-2,与 x=1,它们间的距离为 3,满足上述结论。 综上所述,d 的取值范围是(0, 34 ] 解法二 两平行直线在旋转过程中,0<d≤PQ,而 PQ= 34 ,故 d 的取值范围是(0, 34 ]。
2 A 15±d 34-d (2)当 B≠0 时,两直线斜率存在,从方程※中解得 = , 2 B d -9

直线的斜率 k=-

15±d 34-d2 A = - B d2-9 A 3 =- ,对应两条直线分别为 l1:3x+5y+16=0,l2:3x+5y B 5

(3)当 d= 34 时,k=-

-18=0 【课内练习】 1.D.提示:将问题转化成解方程组与解不等式问题. 2.B.提示:PQ 与直线 l 垂直. 3.D.提示:先确定直线方程,再用两平行线间的距离公式. 4.D.提示:结合正弦定理考虑. 2 3 5.3x+2y=0.提示:方法一,两直线的交点坐标为( ,- ) .在直线 2x+3y+1=0 上取一 5 5 点A (1, -1) , 它关于直线 x-y-1=0 的对称点为 B (x, y) , 则 y-1 1+x y+1 - -1=0, 且 2 2 x-1 3 ,由点斜式可得所 2

= -1,解联立方程组得 x=0,y=0.于是所求直线的斜率为 kAB = -

求直线方程.方法二,对称轴是斜率为 1 的特殊直线,可以有特殊方法直接代入. 6.-5.提示:圆内接四边形的对角互补. 5 13 7. 13 , 5 17 提示:直线 l 经过 AB 中点或与直线 AB 平行. 17

8.a∈R 且 a≠±1,a≠-2(提示:因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共 点,即任意两条直线都不平行且三线不共点。 (1)若 l1、l2、l3 相交于同一点,则 l1 与 l2 的交点(-a-1,1)在直线 l3 上,于是 a(-a-1)+1+1=0,此时 a=1 或 a= -2。 (2)若 l1∥l2, 则-1 = 1 1 ,a=1。 (3)若 l1∥l3,则-1 = - a,a=1。 (3)若 l2∥l3,则- = -a,a= ±1。 ) a a

9.解法一 设所求直线 l 的方程为:y=kx+1.
?y=kx+1, 10k-1 7 由? 解得 A( , ) . 3k-1 3k-1 ?x-3y+10=0, ?y=kx+1, 7 8k+2 由? 解得 B( , ) . 2x + y 8=0 , k + 2 k+ 2 ?

由于 P 为线段 AB 的中点,故 + 3k-1 k+2 ? ? 2 = 0, ? 10k-1 + 8k+2 ? ? 3k-1 2 k+2 = 1,
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

7

7

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

1 解得 k= - . 4 1 故所求直线的方程为 y= - x+1,即 x+4y-4=0. 4 解法二 设 A(x1,y1) ,则点 A 关于 P(0,1)的对称点 B 的坐标为(-x1,2-y1) ,将 它们的坐标各自代入直线方程得
?x1-3y1+10=0, ? ?-2x1+(2-y1)-8=0,

① ②

①+②得:x1+4y1-4=0. 因 P(0,1)也适合上述方程,故所求直线方程为 x+4y-4=0. k k2 k k2 10. (1)k>1 时,两个交点为( , )和(- , ) ;0<k<1 时,一个交 k-1 k-1 k+1 k+1 点(- k k2 k3 , ) , (2)k>1,(3)S△OAB= S△OAC +S△OBC= 2 k+1 k+1 k -1

11.2 两直线的位置关系 A组
1.B.提示:数形结合,不必具体计算. 2.D.提示:不能构成三角形可能是三线共点,也可能是有两线平行的情况. 3.B.将点的坐标分别代入两个方程左边,取值应该异号. 4.x+2y-4=0.提示:依据垂直设直线方程,再建立方程,求有关系数. 5.4 5 (提示:两个根式可分别看成点 P(x,0)到两点(0,3) (4,5)的距离) . 6.2x+y=0 (x≤-1).提示:直接用点到直线的距离公式,注意去绝对值符号时的正负 符号. 7. (5,6) .提示:两定点 A(4, 1) 、B(3,-4)位于直线 2x-y-4=0 的同侧,要点 P 到 A、B 距离之差最大,只须求直线 AB 与直线 2x-y-4=0 的交点. 8.因点 P(a,b)在 x、y 轴上的射影分别为点 A、B, 故点 A、B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b) , b 当 a≠0,b≠0 直线 AB 的斜率为- a (1)直线 AB 的方程为 x y + =1,即:bx+ay-ab=0 a b b (x-a)即:bx+ay-2ab=0 a

(2)求过点 P 且平行于 AB 的直线 l 的方程为 y-b=- (3)求过点 P 且垂直于 AB 的直线 m 的斜率为

a a ,方程为 y-b= (x-a), b b

即 by-ax-b2+a2=0 当 a=0,b≠0 时,点 P 在 y 轴上,直线 AB 是 y 轴,方程为 x=0;直线 l 与直线 AB 重 合;直线 m 的方程为 y=b. 当 a≠0,b=0 时,点 P 在 x 轴上,直线 AB 是 x 轴,方程为 y=0;直线 l 与直线 AB 重 合;直线 m 的方程为 x=a. 当 a=0,b=0 时,点 A、B、P 均为原点,不合题意,直线 l、m、AB 也不确定。

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

B组
1.D.提示:注意集合 A 是缺一点的一条直线. 2.C.提示:两直线重合时也有公共点. 3.B.若将△AOB 补形成矩形 OACB,即过点 A 作 OA 的垂线 AC,垂足为 A;过点 B 作 OB 的垂线 BC,垂足为 B,交 AC 于 C(如图所示) 。 有题意知 A、B 分别是 2x+3y=30 与 x 轴 y 轴的交点,其坐标为 A(15,0)B(0,10) 故矩形 OACB 内部和边上整点总数为 16×11=176 而对角线 AB 上的整点必须满足方程 2x+3y=30, 故 x 必须是 3 的整数倍, 整点分别为 (0,10) (3,8) , (6,6) , (9,4) , (12,2) , (15,0) 176-6 综上所述,△AOB 内部和边上整点的总数是 +6=91 2 4.m≠-2,且 m≠3n 且 m2≠-6n.提示:任意两直线不平行. 2 31 5. , 提示:在斜边上设一点,该点到直角顶点的距离等于直角顶点到斜边距离的 2 倍. 5 5 6.当 a=0 时,直线 l1 斜率为 0,l2 斜率不存在,两直线显然垂直。 当 a≠0 时,分别将两直线均化为斜截式方程为:l1:y= - (1)当- (2)当- a 1 ≠ - ,即 a≠±2 时,两直线相交。 4 a a 1 b = - 且 5≠ 时,即 a=2 且 b≠10 或 a= -2 且 b≠-10 时,两直线平行。 4 a a a 1 b x+5,l2:y= - x+ 。 4 a a

a 1 (3)由于方程(- )(- )= -1 无解,故仅当 a=0 时,两直线垂直。 4 a (4)当- a 1 b =- 且 5= 时,即 a=2 且 b=10 或 a= -2 且 b=-10 时,两直线重合。 4 a a
2 2 2 2

∣k-2∣ ∣2k-1∣ ∣3k-2∣ 14k -20k+9 7.设所求直线方程为 y=kx,则 d= 2 + + = k +1 k2+1 k2+1 k2+1 即: (d-14)k2+20k+(d-9)=0, d=14 时,方程无解。 d≠14 时,由△≥0 可得 23-5 17 2 23+5 17 ≤d≤ 且 d≠14 2

23-5 17 -1+ 17 d 的最小值为 ,此时 k= 2 4 23-5 17 当 k 不存在时,l 为 y 轴,此时三点到 l 距离的平方和为 14,14> 2 故所求直线方程为 y= -1+ 17 4 x

8. (0,-3) .提示:由点 A、B 的坐标并利用斜率公式得 kAB =1,于是 kl =1,从而 l 的方程 为 y=x.设 M(a,a) (a>0) ,N(b,b) ,由|MN|=2 2 ,得 (a-b)2+(a-b)2 =2 2 ,故 a -5 3a |a-b|=2.直线 AM 的方程为:y-5= (x-2),令 x=0,则得 C 的坐标为(0, ) .直线 a -2 a-2 BN 的方程为:y-1= b-1 3b 3a 3b (x+2),令 x=0,则得 C 的坐标为(0, ) .故 = ,化 b+2 b+2 b+2 a-2

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

简得,a= -b.将其代入|a-b|=2,并注意到 a>0,得 a=1,b=-1.

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载


相关文章:
11、2两直线的位置关系
七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 11.2 两直线的位置关系【知识网络】 1.能根据斜率判定两条直线的...
11、2两直线的位置关系
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 11.2 两直线的位置关系【知识网络】 1.能根据斜率判定两条直线的平行与垂直. 2.能用解方程组的方法求两...
11、2两直线的位置关系
家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴你快乐成长本资料来源于《七彩教育网》 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 11.2 两直线的位置关系 . ...
11.3(1)两条直线的位置关系
11.3(1)两条直线的位置关系_高二数学_数学_高中教育_教育专区。11.3(1)两条直线的位置关系 1. 两条直线的位置关系:平行、相交、重合。 2. 用阶行列式法...
两条直线的位置关系
11.3 两条直线位置关系(1)理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的...②两条相交直线的交点坐标 思考并回答:如何求直线 l1 、 l 2 的交点? 解答...
两条直线位置关系判断方法
0,π ? ,所以可以推出; π ,致使斜率不存在; 2 ④若两条直线斜率都存在时...﹣2 或﹣3 分析:同第 5 题 11、已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 ...
11.3两条直线的位置关系
11.3 两条直线的位置关系导学案(1) 学习目标: (1)会根据两条直线方程的系数行列式,判别两条直线是否相交、平行或重合。 (2)能利用直线的法向量(或方向向量)...
11.3(1)两条直线的位置关系
11.3(1)两条直线的位置关系_设计/艺术_人文社科_专业资料。资源信息表标 题...2 公共点为 (?2,2) ; 方程组(2)有无数组解,两条直线有无数个公共点;...
11.3.1 两条直线的位置关系(含答案)
11.3.1 两条直线的位置关系(含答案)_数学_高中教育_教育专区。第十一章 ...0 . 时,两直线 ; 6.已知直线 l 经过两条直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0...
更多相关标签:
直线与圆的位置关系 | 直线与椭圆的位置关系 | 两条直线的位置关系 | 直线与直线的位置关系 | 直线和圆的位置关系 | 直线与平面的位置关系 | 两直线的位置关系 | 点与直线的位置关系 |